第1章 5 第1课时 方向角问题-【学海风暴】2025-2026学年九年级下册数学同步备课（北师大版）

129=0.6 ÷sin∠1-200 .∠1￥36.9° 在R1△BAD中，AB=30cm 160c AB 30 六in∠2=元20=0.15， 120cm D(E) ∠2s8.6°， 图2 .∠3=90°-8.6°=81.4°， .a=180°-∠1-∠3=180°-36.9°- 81.4°=61.7 【解析】(2)①如图③，由平移的性质可知， AB=A'F,AB∥AF, 160 em ·四边形ABFA'为平行四边形. F120 cm ..BF=AA'. 同理可得，四边形AEDA'为平行四边形 图) ..DE-AA'..BF-DE. 5三角函数的应用 第1课时方向角问题 1.105 2.解：如图，过点P作PC⊥AB,垂足为C 由题意可知，∠A=∠1=37”，∠B=∠2=45， 在Rt△APC中，∠A=37,AP 37 =100 n mile, .PC=AP·sin4=100Xsin37"≈100×0.60 =60(n mile), AC=AP·cosA=100Xcos37≈100×0.80= 80(n mile). 在Rt△PBC中，，'∠B=45..BC=PC=60 n mile ..AB=AC+BC=80+60=140(n mile). 故B处距离A处约140 n mile. 3.D 变式题(2+1)【解析】如图，过点A B作BE⊥AD,交AD于点E,则 ∠AEB=∠DEB=90°. 由题意，得∠A=90°一60°=30 在R1△AEB中，BE=AB·sinA=4X =2(km).AE= AB·c0sA=4X2 =25(km) 在R1△BDE中，∠EBD=45,∴.DE=BE=2km AD=DE+AE=(2+23)km, ,.CD=AD-AC=2+23-1=(25+1)km. 4.解：：点A,B均在点C的北偏东37方向上，点A在点D的 正北方向，且点D在点C的正东方向， .△ACD是直角三角形， ∴.∠BCD=90°-37°=53° ∴∠A=90°-∠BCD=90°-53°=37 在R1△ACD中， CD =sinA,CD=90 m. Ac-品8-10m :∠CDA=90°.∠BDA=53°， ,∴.∠BDC=90°-53°=37°， ,.∠BCD+∠BDC=37+53°=90 ∴∠CBD=9O°，即△BCD是直角三角形， 6 九年级数学BS版 %-∠BC .BC=CD·sin∠BDC≈90×0.60=54(m》, .AB=AC-BC=150-54=96(m) 故A,B两点间的距离约为96m, 5.D【解析】如图，过点O作OM⊥ BC于点M,ON⊥AC于点N. AC⊥BC..四边形ONCM为 矩形，.ON=MC,OM=NC.设 OM=x,则NC=x.AN=840- x,在R△ANO中，∠OAN=45, ∴.ON=AN=840-x,∴.MC=ON=840-x.在Rt△BOM OM 中.BM an∠0B*1.BC-500m840-x+2 =500.解得x=480,即点(O到BC的距离约为480m. 6.解：如图，过点C作CH⊥AB于 点H. CAB-45".AC-30 n mile, 45 ∴.AH=CH=AC·sin45= 15/厄n mile. 由题意，得∠CBH=60° 2.BC-CH10/(n mile). sin60 2 由题意得∠HCD=60°，∠HCB=30°，.∠BCD=30. 又：∠CBD=30°+60°=90°. ,在R1△CBD中，CD= BC106 c0s30 =20√2(n mile). 2 故C,D间的距离为20反n mile. 7,解：(1)如图，过点D作DF⊥ D EA,垂足为F. 易得四边形ABCF是矩形， .∴.AF=BC=10km. 在Rt△ADF中，∠DAF=45 AD=AF 10 0s45° ≈14(km), E 2 ∴.AD的长度约为14km (2)在Rt△ADF中，∠ADF=∠DAF=45°，AF=10km. .DF=AF=10 km. 在R△ABE中.∠ABE=90°-60°=30°.：AB=CF=DF +CD=24km,AE=AB.an30=24×5=85(km). 3 ∴.EB=2AE=2X85=163(km). 按路线①A一D一C一B锻炼的路程为AD+DC+CB=14 +14+10=38(km), 按路线②A一E一B银炼的路程为AE+EB=85+165= 42(km). :38km<42km,∴.小明应该选择线路①， 第2课时仰角、俯角及坡度问题 1.A 23【得折】在R△D中，m∠BDC器 .BC=CD·tan∠BDC=101an45=10X1=10(m).5三角 第1课时 已课内基础闯关 知识点①同一地点的两个方向角的应用 1.如图，小明位于景点大门P的北偏 东60°方向，距离景点大门86m的 :609 A处，他沿正南方向走到了位于 45 景点大门P的南偏东45°方向上 的B处.此时，B处与景点大门P第1题国 的距离约为 m(结果取整数，参 考数据：5≈1.73,2≈1.41) 2.如右图，一艘海轮位于灯塔P的 北偏东3°方向，距离灯塔 37 l00 n mile的A处，它沿正南方 向航行一段时间后，到达位于灯 45 塔P的南偏东45°方向上的B 处.这时，B处距离A处有多远（参考数据： sin37°≈0.60，cos37≈0.80，tan37°≈0.75)？ 知识点②不同地点的两个方向角的应用 3.如图，轮船从B处以50 n mile/h的速度沿南 偏东30°方向匀速航行，在B处观测到灯塔A 位于南偏东75°方向上.轮船航行半小时到达 C处，在C处观测到灯塔A位于北偏东60°方 向上，则C处与灯塔A的距离是 A.253 n mile B.25√/2 n mile C.50 n mile D.25 n mile 4金14 九年级数学BS版 数的应用 方向角问题 B 11 X75 60 45 4 km 160 第3题图 变式题图 变式题如图所示，某施工方计划把一座山的 C,D两点用隧道打通，并利用北斗卫星定位 技术确定A,C,D三点在东西方向的同一条 直线上.在隧道没有打通之前，技术监督员李 工每天需要驾车先从隧道口点C向正西方 向行驶1km到达点A,然后再沿南偏东6o 方向行驶4km到达点B,接着再沿北偏东 45方向行驶一段路程才能到达隧道口D,则 遂道CD的长度为 km. 4.如右图，为了测量河对岸 十东 A,B两点间的距离，某数学 B 兴趣小组在河岸南侧选定 37 .53 观测点C,测得A,B均在 点C的北偏东37°方向上.沿正东方向行走 90m至观测点D,测得点A在点D的正北 方向，点B在点D的北偏西53°方向上.求 A,B两点间的距离（参考数据：sin37°≈ 0.60,cos37°≈0.80，tan37°≈0.75). ⊙课外拓展提高 5.某区域平面示意图如 图，点O在河的一侧， AC和BC表示两条互 相垂直的公路.若甲勘 N 测员在A处测得点O位 第5题图 于北偏东45°，乙勘测员在B处测得点O位 于南偏西73.7°，测得AC=840m,BC= 500m,则点O到BC的距离约为（参考数据： 7 24 sin73.cos73.7tan73.T A.140mB.340mC.360mD.480m 6.如右图，海中有一个小 ↑北 岛C,某渔船在海中的 45 3060时 60 A点测得小岛C位于东 北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后 到达B点，测得小岛C位于北偏西30°方向 上，再沿北偏东60°方向继续航行一段时间 后到达D点，这时测得小岛C位于北偏西 60方向上.已知A,C相距30 n mile,求C, D间的距离. @综合能力提升 7.几何直观如下图，为了满足市民的需求，某 市在一条小河AB两侧开辟了两条长跑锻 炼线路：①A一D一C一B:②A一E一B.经 勘测，点B在点A的正东方向，点C在点B 的正北方向10km处，点D在点C的正西方 向14km处，点D在点A的北偏东45°方 向，点E在点A的正南方向，点E在点B的 南偏西60°方向（参考数据：2≈1.41,5≈ 1.73). (1)求AD的长度. (2)由于时间原因，小明决定选择一条较短 线路进行锻炼，请通过计算说明他应该选择 线路①还是线路②.（结果精确到1km) 45 60 知识要点归纳 方向角：以观察点为中心，以正北或正南为始边， 旋转到观察目标所成的锐角，称为方向角. 下册第一章