第1章 4 解直角三角形-【学海风暴】2025-2026学年九年级下册数学同步备课（北师大版）

4解直角三角形 已课内基础闯关 6.(教材变式)在Rt△ABC中，∠A,∠B,∠C 知识点①已知两边解直角三角形 的对边分别为a,b,c,∠C=90°，根据给出的 条件，求这个三角形的其他元素， 1.在Rt△ABC中，AB=4,AC=22,∠C (1)已知a=8,∠B=60° 90°，则∠A的度数为 ( (2)已知∠B=45°，b=6. A.30 B.40° C.45 D.60 2.(教材变式)如下图，在Rt△ABC中，∠C 90°，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c. 根据下列条件求出Rt△ABC的其他元素： (1)已知a=9,c=92. (2)已知a=35,b=315 知识点③ 已知一边及一锐角三角函数值解 直角三角形 7.在△ACB中，∠C=90°，sinB= ·若AC= 1 6,则BC的长为 A.8 B.12 C.65 D.123 8.如图，AD是△ABC的高.若 BD=2CD=6,tanC=2,则边 知识点②已知一边及一锐角解直角三角形 AB的长为 D 3.已知在△ABC中，∠C=90°，∠B=50°，AB A.32 B.35 第8题图 =10,那么BC的长为 C.62 D.3/7 A.10cos50 B.10sin50 9.如下图，在△ABC中，AB=AC=5, C.10tan50 D.10 4.如图，在Rt△ABC中，A m∠ABC-子求BC的长. ∠ACB=90°，CD是斜边 AB的中线，∠B=30°，BC= 第4题图 cm,则CD的长为 cm. 5.长为6m的梯子搭在墙上与地面成30°角， 作业时调整为45°角，则梯子的顶端沿墙面 升高了 m(结果保留根号). 10 九年级数学BS版 色课外拓展提高 1 2ac·sinB=2ab·sinC.① 10.(2025抚州期中)如图，电 由以上推理得结论①：三角形的面积等于 流表中，把指针旋转中心记 为点O,针尖为点A,指针 0 两边及其夹角正弦积的一半 第10题图 顺时针旋转某一度数，针尖 又”ac≠0，将等式分c·snA=司 ac. 4 为点B,连接AB.若tan∠OAB= 3.AB= sinB= 2ab·sinC两边同除以2abc,得 6,则指针OA的长是 sinA sinB sinC 11.三角板是我们学习数学的好帮手.将一对 b .② a 直角三角板如下图放置，点C在FD的延 由以上推理得结论②：在一个三角形中，各 长线上，点B在ED上，AB∥CF,∠F= 边和它所对角的正弦的比值相等。 ∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC= 【理解应用】如下图，甲船以24km/h的速 10.求CD的长 度向正北方向航行，当甲船位于A处时，乙 船位于甲船的南偏西75°方向的B处，且乙 船从B处沿北偏东15°方向匀速直线航行， 当甲船航行20min到达D处时，乙船航行 到甲船的南偏西60°方向的C处，此时两船 相距8km. (1)求△ADC的面积. 60 (2)乙船航行的路程是 15 km(结果保留 75 根号). 色综合能力提升 12.【阅读材料】在△ABC中，∠A,∠B,∠C 的对边分别记为a,b,c,△ABC的面积记为 S△A,过点A作AD⊥BC,垂足为D,则 sinB=AD BAD=AB·simB,.SAAc= 知识要点归纳 BC·AD=BC·AB·inB=ac· 1 一般地，在直角三角形中，除直角外，共有五个元 sinB.同理可得S△A=bc·sinA,S么Ac 素，即三条边和两个锐角.由直角三角形中己知 的元素，求出所有未知无素的过程，叫做解直角 2ab·sinC.故S△Ac=2bc·sinA 三角形. 下册第一章由(1)，得∠ADG=∠DCF=a,sina 号 12.7 【解析】如图，过点D作DH⊥BC于点H. 在R△ABC中，∠A=90,sinB=元=了， AC 3 ∴.设AC=3k,BC=5k,则AB=4k. AC=AD=3k...BD=. “mB=,BD=k. ∴，DH= 3 D CH=BC-BH=5k- 21 3 ∴tan∠BCD= DH 5 1 CH 21 13.2【解析】四边形ABCD是菱形.，.AD=AB.DE⊥ AB∠ABD=∠BD=90,:mA-5-子，设 AE=3x.AD =5x,BE =5x -3x -2xr,DE AD-AE=/5x)-(3x)=4x.在Rt△BED中. DE=2. tan∠DBE-B-2 14.解：设AD=x,DE=y,则由题意可得CD=5+ 2 在矩形ABCD中，∠D=90°，ABCD, ∴.∠ACD=∠CAB. 由折叠的性质，得∠B'AC=∠CAB. ∴∠ACD=∠B'AC. ∴AE=CE AE=CE=CD-DE= 4- 在R△ADE中+=（中-） 整理得之宁 ∴AD=2y,∴AE=+(2y)=5y, ·im∠DAE=DE=之-E AE 5y 5 4解直角三角形 1.C 2.解：(1)由勾股定理，得b=√-a=(92)2一9=9， am--号-1 ∠A=45°..∠B=90°-∠A=45 故0=9，∠A=45°，∠B=45, (2)由勾股定理，得c=a+6=√(35)+(35)产 65. tanA-4355B 63/厉3 ÷∠A=30° 4 九年级数学BS版 ∠B=90-∠A=602 故c=65,∠A=30°，∠B=60 3.A4.1 5.(3√2-3)【解析】如图，由题意可知，∠AB0 =30°，∠A'B'0=45°，AB=A'B=6m, .A0=AB·sin30°=3m,A'0=A'B· sin45'=32m. BB' ∴AA'一A'0-AO-(3厄-3)m,即梯子的顶端沿墙面升 高了(32-3)m. 6.解：(1)在R1△ABC中，∠C=90,∠B=60,4=8, .∠A=90°-∠B=30',6=a·tanB=85. c=品=16. 故∠A=30°，b=85.0=16. (2)在Rt△ABC中.∠C=90°，∠B=45°，b=6, .∠A=90°-∠B=45°. 六a=b=6c=6 CosA=2B. 故∠A=45,a=6,c=25 7.C8.C 9.解：如图，过点A作AD⊥BC于点D, &a∠Aac-0 AD-AB·sin∠ABC-5X5 3 =3 在R1△ABD中，由勾股定理，得BD=√一3=4. ,AB=AC,AD⊥BC, ∴.BC=2BD=8. 10.5 11.解：如图，过点B作BM⊥FD于点M 在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°， AC=10, .∠ABC=30,BC=10×an60°= 105, AB//CF. ∴.∠BCM=∠ABC=30°. 1 在R△BMC中，BM=BC·sim30'=10/5×2=5E,CM -ca0-l1o万×号-16. 在△EFD中，∠F=90°，∠E=45.∴.∠EDF=45. 又，BM⊥FD,.∠MBD=45=∠BDM. ∴.MD=BM=55, .CD=CM-MD=15-55. 12.解：(D)由题意知，∠ADC=60,DC=8kmAD=24×2 8km).S64c=ZDC·AD·sim∠ADC=2X8X8X sin60=子×8x8× 2 =165(km2). 故△ADC的面积为165km. 286 3 【解析】2)由(1)知，DC=AD,∠ADC=60°， .△ACD是等边三角形. .∠DAC=60°，AC=AD=8km. 又：∠BAM=75°，.∠BAC=180°-75-60°=45°. 由题意知，∠NBC=15°，∠NBA=75°， .∠ABC=75-15=60, AC BC 在△ABC中，Sn∠ABC-sinZBAC BC=AC·sin∠BAC_8×sin45 sin∠ABC sin60 __8/6ckm). 2 故乙船航行的路程为 3 km. 教材变式专题构造直角三角形解决问题 1,A【解析】如图①、图②，分别过点A,P作AD⊥BC于点 D,PHLQR交QR的延长线于点H,则h1=5sin55°，h:= 5sin(180°-125)=5sin55°.∴h,=h2. 5 1259 图① 图2 2.解：如图，过点C作CD⊥AB于点D. ,∠CAB=120°， 70 .∠CAD=60 301209 在Rt△ADC中，CD=AC·sin60°=30 =155(m), AD=AC·os60'=30×z=15(m. 在Rt△BDC中，BD=√BC-CD=/70-(15J5)= /4225=65(m), .AB=BD-AD=65-15=50(m). 故A,B两个凉亭之间的距离为50m. 3.解：如图，过点C作CD⊥AB于点D, 由题意可知，∠DCA=30°，.AD= AC=E,CD=AC·os30-2B× 1 23 ∠BCA=75, .∠BCD=75-30°=45°. :.CD=BD=3...AB=AD+BD=3+3.BC=3. .AB+BC=3+5+323+1.7+3×1.4≈9. 故旗杆原来的高度约为9m. 4.40.0【解析】延长EB交AD于点H,如图. AD∥EF,AM⊥MN,DN⊥MN. ,四边形AMND是矩形 ,四边形BEFC为矩形 .EH⊥AD, 四边形AMEH为矩形..AM=EH AH-ME. :∠ABE=152°， ∴.∠ABH=180°-∠ABE=28°， .∠HAB=90-28°=62°， 器-g1 ∴.BH=20.0×1.8837.6(m), .∴.AM=EH=BH+BE=37.6+2.4=40.0(m), 故“大碗”的高度AM的长约为40.0m 5.解：如图，延长CA,DB交于点P, ∠ABD=120°.AB⊥AC,BD⊥CD .∠C=60°，∠PBA=60. 在△CDP中mC-器。 .PD=CD·tanC=503X3=150(m). 在R△PAB中，m∠PBA-器 .PA=AB·tan∠PBA-30X5=90(m), Ssw=5Am-SaPn三X50万×150一 1-2 305×90=24005(m). 故这块土地的面积为2400/5m. ◆一题多解法《 如图，过点A作AE⊥DB,交DB 的延长线于点E,作AF⊥CD于 点F, :∠ABD=120°，·∠ABE=60°， ∴.∠BAE=30 AB=305m,.AE=AB·sim∠ABE=45m, BE=AB·sin∠BAE=153m. 由题意可知，四边形AEDF为矩形， ∴.FD=AE=45m. ∴.CF=CD-FD=(503-45)m ,AB⊥AC.BD⊥CD,∠ABD=120°， ∴.∠ACD=60°， .AF=CF·tan∠ACD=(150-455)m, 1 六S边51ns=Sa带E一S△能=之X(45十50B) ×150-45,5)-×155×45=24005(m). 故这块土地的面积为2400m 6.解：(1)如图①，过点A作AG⊥CB交延 长线于点G,交DE的延长线于点H. '∠C=∠D=90°， .四边形GCDH为矩形， 160m .GH=CD=120 cm.DH=CG,/H= 120cm 90°.在Rt△ABG中，∠ABG=a=30°， AB=30 cm, 图①D .AG=15 cm,BG=15/3 cm. ∴.AH=120-15=105(cm). ,AE⊥AB, .∠EAH=30 又，∠H=90°. ,∴.EH-AH·tan30°-35Ecm ..DE=DH-HE=BC+BG-HE=160+153-35 125.4(cm). (2)①BF=DE ②如图②，连接BD.在R△BCD中， BD=√C+CD=200cm, 5 下册参考答案