第1章 2 30°，45°，60°角的三角函数值-【学海风暴】2025-2026学年九年级下册数学同步备课（北师大版）

∠BED=90.3CD=BD,∴.设CD a,BD=3a,BC=a.'cosB= 5 5 BE25.AB =25.BE -55 a.AC- 3a 5 5 AB-BC=(25a)-(4a)=2a.AE=AB-BE -25a-5。=5,dAD=C+CD- 5 2a)+a=5a. E--√-(5)-5 3/5 ÷im∠BAD=DE AD 5a 12.解：(1)3 (2)如图.过点D作DE⊥BC于点E,则A, nB=器 E=子DE CE-BC-BE-3-DE. ∠CDB=∠B.∴.CD=CB=3 CD=CE+DE 3=DE+(3-子DE), DE-器 ∠0B-瓷-器 13.解：(1)111 (2)1 证明：siA-兰cos4-之，且a2+6=c, 则nA+coA-(任）广+（白）-二+会-1. 即sin'A+cos2A=1. (3)在△ABC中，∠A+∠B=90°，∴∠C=90, ,sinA十cosA=1, ()'+oA=1. 解得6osA-或coA=-品（不合题，合去） .comA-13 5 230°，45°，60°角的三角函数值 1A2B3号 4.3 【解析】：3an15°=3X1=3.2sin60=2×号=厅 400s60'=4×7=2.3>2>5. mx{31an45,2sin60°.4c0s60°}的值为3. 2 九年级数学BS版 5.解：原式-9+1-5×（号）-+1-厅×号- +1-5=1 2原式=1+2×-日++5)=1+厄+3=4 2 2 +2. 6.C7.C8.B9.60°1 11.120°【解析】如图，过点G作GH⊥m1 于点H, 在R1△GHO中，GH=√5，OG=2. m∠G0H=C-乞 GHB .∠GOH=60°. ,∠G0P=120. 2B8-号 14.12【解析】过点A作AGLCF于点G,如图 :∠AEF=∠AGF=∠GFE=90°， ∴四边形AGFE是矩形，∴.AE=GF 4 m. .....CC :∠CAE=120°，∴.∠CAG=30 在R△AGC中，in30-CS_CC Ac-16 0G=16·sin30=16x7-8(m. ∴CF=CG+GF=8+4=12(m. 15解：15 (2)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2,BC=1, .AB=VAC+BCT=5...AD=AB=5, BC .CD-AD+AC-2+5.A-unD-D-5-2. 【解析】(3)①如图，作 AB的垂直平分线交AC于点E,连 接BE, 则AE=BE,∠A=∠ABE,·∠BEC= 2∠A. :R1△ABC中.∠C=90°，AC=3.anA=3 .BC=1, .AB-VAC+BC-/10. 设AE=x,则EC=3-x. 在R1△EBC中，x=(3-x)+1, 解得一亭同AE=E=子C=8一子-子 m2A=m∠BC-瓷-子 ②如图，作BM交AC于点M,使∠MBE=∠EBA, 则∠BAMC=∠A+∠MBA=3∠A. 设EM=y则CM=BC-EM=专- :∠MBE=∠EBA, 设点E到AB,BM边上的距离为d. 合AE·BC 根据等面积可得 ABd BM·d ZEM·BC 品器盈 .103 y BM=3匹 5 在R△MBC中，BM=CM°+BC, (2)-(告-)'+1. 解得一名=一子不合题意，会去小 25 即Ew-器cw=-答 BC113 ÷tan3A=tan∠BMC=C-立-g 公 3三角函数的计算 1.D2.C3.B变式题D 4.1.6【解析】在R:△BCD中. ∠B=90°，∠BCD=55°，CD=6m, ∴.BD=CD·sin∠BCD=6sin55°，∴.AD=AB-BD=6.5 -6sin55°%1.6(m). 故梯子的顶端与墙顶的距离AD约为1.6m 5.B 6.解：(1)证明：，ABCD,∠CDG=∠A. ∠FEC=∠A·.∠FEC=∠CDG, .EF∥DG. 下GCD,∴.四边形DEFG为平行四边形 (2)过点G作GP⊥AB于点P,如图. 四边形DEFG为平行四边形， ..DG=EF=6.2 m. :AD=1.6m, .AG=DG+AD=6.2+1.6=7.8(m) PG 在R△APG中，sinA=AG ∴.PG=AG·sinA=7.8×0.96≈7.5(m. 故雕塑的高约为7,5m. 解题技巧专题求锐角三角函数值的方法 1.D 2郁，在△ABC中，∠C=90a4-答-专AB=15 ∴BC=÷AB=÷X15=12.∴AC=AB-BC=9, ∴.△ABC的周长为AC+BC+AB=9+12+15=36,tanA 瓷号 3解，在△ACD中，A-咒子CD=6, AD-号CD-4 又，AB=12,∴.BD=AB-AD=12-4=8. 在R:△BCD中，CD=6,BD=8, .BC=/CD+BD=/6+8=10 CDBD3⊥47 sinB+cosB=+BC-方+方=万 4.D【解析】如图.过点C作CD⊥BA, 交BA的延长线于点D. ∠BAC=120 .∠DAC=180°-∠BAC=180- 120°=60 在Rt△ADC中，AC=2, CD=AC·iDAC-gx号-F. ∴.AD=/AC-CD=1. 又AB=4.∴.BD=AB十AD=5. 在R△BDC中，由勾股定理，得BC=√CD+BD= -3景是 56号 7.解：过点E作EF⊥BC,交BC的延长线于点F,如图. 设DE=CE=a. :△CDE为等腰直角三角形. .CD=ECE=Ea,∠DCE=45 :四边形ABCD为正方形， ∴.CB=CD=2a,∠BCD=90°， ∴.∠ECF=45, ∴△CEF为等腰直角三角形， cF-ER-9cE-号 在Rt△BEF中，tan∠EBF EF BE a tan∠EBC=3 8.B 9.解：由折叠的性质，得CF=CD=10,∠EFC=∠D=90, ·∠AFE+∠BFC=90 在R△BCF中，∠BCF+∠BFC=9O°. .∠AFE=∠BCF. 在R△BCF中，BF=CF-BC=6, LAFE=∠CF3- 10.解：(1)证明：在正方形ABCD中，AD=DC,∠ADC=90°， ,CF⊥DE,.∠DFC=∠CFG=90 :AG∥CF..∠AGD=∠CFG=90. ∴.∠AGD=∠DFC. 又：∠ADG+∠CDF=∠ADC=90°，∠DCF+∠CDF= 90°..∠ADG=∠DCF. ∠DFC=∠AGD 在△DCF和△ADG中，〈∠DCF=∠ADG. DC=AD. .△DCF≌△ADG(AAS). (2)设正方形ABCD的边长为2a E是AB的中点，AE=Z×2a=a 在Rt△ADE中，DE=/AD+AE=/T2a)+a= 5a.∴.sim∠ADG= DE a 5 下册参考答案 3△230°，45°，60° @课内基础闯关 知识点① 特殊角的三角函数值 L.√2cos45°-1的值等于 A.0 B.1 C② 2 -1D.2-1 2.已知实数a=tan30°，b=cos60°，c=sin45°， 则下列判断正确的是 A.b>a>c B.c>a>b C.b>c>a D.a>c>b 3.如图，以点O为圆心，任意长 为半径画弧，与射线OA交于 点B,再以点B为圆心，BO长 0 B 为半径画弧，两弧交于点C,画第3题图 射线OC,则sin∠AOC的值为 4.某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探 究中遇到一些新的数学符号，他们摘录的某 些材料如下：对于三个实数a,b,c,用max{a, b,c}表示这三个数中最大的数，例如max {1,2,-3}=2,max{sin30°，cos45°，tan60y =√5.结合上述材料，max{3tan45°，2sin60°， 4cos60°)的值为 5.计算：(1)cos30°+tan45°-tan60°·cos245°. (2)(-1)2+2sin45°-cos30°+sin609 +tan260°. 角的三角函数值 知识点②由特殊角的三角函数值求角 6.若∠a为锐角，cosa= 2,则∠a= A.30° B.45 C.60 D.90 7在△ABC中，若snA-引+（号-coB) =0,∠A,∠B是锐角，则△ABC的形状是 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 &当∠A为脱角，且时<A<号时，乙A的 取值范围是 A.0°<∠A<30° B.30°<∠A<60 C.60°<∠A<90° D.30°<∠A<459 9.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1,AC= 5,则∠B的度数是 知识点③特殊角的三角函数的实际应用 10.(教材变式)如图，已知在点C处观察树的顶 端A的视线与水平地面所成的角为30°，BC =40m,则树的高度AB为 309 第10题图 第11题图 11.跨物理学科如图是潜望镜工作原理的平 面示意图，一条平行光线L经镜面BC反射 到EF后得到光线m,且l∥m,虚线为光线 的反射轨迹.若测得两条平行光线间的距 离为√，虚线的长为2，则虚线与m所夹钝 角的度数为 下册第一罩 已课外拓展提高 12.若点P(sin30°，tan45°)关于x轴的对称点 为Q,点Q关于原点的对称点为M,则点 M的坐标为 ( A(分-) R(-多) c(-2- D.以上答案都不对 13.小明查阅资料发现，cos60°= 2,C0s240° -2,得c0s240°=c0s(180°十60°) 一cos60°.由此猜想：当a为锐角时，有 cos(180°+a)=一cosa.由此可猜想 c0s210°= 14.(2025长春期末)图①是一辆登高云梯消防 车的实物图，图②是其工作示意图.起重臂 AC是可伸缩的(10m≤AC≤22m),且起 重臂AC可绕点A在一定范围内转动，张 角为∠CAE(90°≤∠CAE≤150)，转动点 A距离地面BD的高度AE为4m.当起重 臂AC长度为16m,张角∠CAE为120 时，则云梯消防车最高点C距离地面的高 度CF为 m. 图① 图② 第14题图 色综合能力提升 15.推理能力在学习北师版九年级下册第一 章时，小华同学对一个角与其倍角的三角 函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣， 并进行了研究。 图① 图② 九年级数学BS版 【初步尝试】(1)已知tan60°= tan30°= ,则tanA 2an(分A)(填=”或“≠”). 【实践探究】(2)在解决“如图①，若在 Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2,BC=1, 求tan(2A)的值"这一问题时，小华想构造 包含？∠A的直角三角形，延长CA到点 D,使DA=AB,连接BD,则∠D=2∠A, 即转化为求∠D的正切值.请按小华的思 路求tam(分A)的位 【拓展延伸】(3)如图②，若在Rt△ABC中， ∠C=90°，AC=3,tanA= 则 ①tan2A的值为 ②tan3A的值为 知识要点归纳 sina的值随∠a的增大而增大，30°，45°，60°的正 123 弦值依次为2，乞，乞：c0的值随∠a的增大 而减小.30,45,60的余弦值依次为5.巨.1 222 tana的值随∠a的增大而增大，30°，45,60的正 切推依次为号1后