第1章 1 第2课时 正弦和余弦-【学海风暴】2025-2026学年九年级下册数学同步备课（北师大版）

第2课时 已课内基础闯关 知识点①正弦与余弦 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2, BC=1,则sinB的值为 A号 B.2 c. D.2 第1题图 第2题因 2.(2025九江修水月考)如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB=5,AC=5,则cosA 的值是 A.5 c D.26 3.已知△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C 所对的边分别是a,b,c,且c=3b,则cosB= A号 B.21 3 c D./10 3 4.如下图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6, cosA-子求BC的长及sinA的值 正弦和余弦 知识点②正弦、余弦与梯子的倾斜程度 5.如图，梯子与地面所成的锐角 为∠a.关于∠a的三角函数值 与梯子的倾斜程度之间的关 人a 7777777 第5题图 系，下列叙述正确的是( A.sina的值越小，梯子越陡 B.cosa的值越小，梯子越陡 C.梯子的长度决定倾斜程度 D.梯子的倾斜程度与∠a的三角函数值无关 知识点③锐角三角函数的综合 6.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2,AB=3, 那么下列各式中，正确的是 4sinB三3 2 B.tanB= C.cosB 32 D.tanB 7.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=a,AC= 3,则AB的长可以表示为 ( ) 3 A.- B.3 coSa sina C.3sina D.3tana 8.如下图，在△ABC中，AD⊥BC,AE是BC 边上的中线，AB=10,AD=6,tan∠ACB =1. (1)求BC的长 (2)求sin∠DAE的值. ED 下册第一章 ⊙课外拓展提高 9.古代数学文化如图所示的是源于我国汉代 数学家赵爽的“弦图”，它是由四个全等直角 三角形与一个小正方形拼成的一个大正方 形.若小正方形的面积为1，大正方形的面积 为25，直角三角形中较小的锐角为Q,则 cosa的值为 ( A号 4 3 B. C. D.6 第9题阁 第10题图 10.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的 边OA在x轴上，点A(5,0),sin∠COA= 合若反比例函数y一兰(>0>0)的图 象经过点C,则k的值是 A.10 B.12 C.48 D.50 11.如图，在Rt△ABC中，∠C =90°，3CD=BD.若cosB =2 5，则 sin∠BAD= 第11题图 12.如右图，在△ABC中，∠ACBA 4 =90.anB=3AB=5. (1)BC的长为 (2)已知点D在AB上，且 ∠CDB=∠B.求sin∠DCB的值. 九年级数学BS版 @综合能力提升 13.(2025淄博张店区月考)把(sina)2记作 sin2a,根据下图解答下列各题： .的六 (1)sin2A +cos2A= sinA2+ cos2A2= sin2A cos'A= (2)观察上述等式猜想：在Rt△ABC中， ∠C=90°，总有sin2A+cos2A= 请证明你的猜想。 (3)已知在△ABC中，∠A+∠B=90°，且 sinA=是求cosA 12 知识要点归纳 1.正弦：在R1△ABC中，锐角A的对边与斜边 的比叫做∠.A的正弦，记作sinA,即sinA =∠A的对边 斜边 2.余弦：在Rt△ABC中，锐角A的年边与斜边 的比叫做∠A的余弦，记作cOsA,即c0sA ∠A的邻边 斜边 3.锐角A的正孩、余孩和正切都是∠A的三角 函效参考答案 第一章直角三角形的边角关系 13.解：如图所示，∠MON即为所求 由图，得∠MOH=a,∠NOH=B,∠MON 1 锐角三角函数 =a-3. 在△MFN和△NHO中. 第1课时正切 (MF-NH. 1.A2.C3.B4.17 ∠F=∠NHO. 5.解：AB=AC=5,AD是中线，AD=4, FN=HO. .AD⊥BC, ∴.△MFN2△NHO(SAS). ∴.BD=/AB-AD=3, .MN=NO,∠MNF=∠NOH. m∠BAD-0-是 ∠NOH+∠ONH=90, .∠ONH+∠MNF=90. 6.C7.乙8.75m变式题35m .∠MNO=90°，.∠MON=∠NMO=45, 9.C【解析】如图. 即a-8=45. ,AC⊥CD.EO⊥CD 第2课时正弦和余弦 .AC∥EO,∠A=∠a 1.C2.B 同理可得∠B=∠3. ∠a=∠B,∴∠A=∠B. 3.B【解析】在R1△ABC中，∠C=90,a=-不 :∠ACO=∠BDO.∴.△AOCO△BOD, √b-F=2亿hosB=4=24-22 品品“-解得6C= 36 OC 3 mw-mA-瓷-子 4解：在R△ABC中，∠C-90io4-福 5oA-子AC=6治-元号解得AB=9 2 10 ∴BC=/AB-AC=-6=35 11.甲【解析】甲、乙两款人字梯的截面示意图分别如图①，② BC5 所示周0中a-品-空-器周@中，n一品 :.sinA=AB3 BD 87 BD 5.B6.C7.A 2 8.解：(1)AD⊥BC,AB=10,AD=6 一票“器”甲教人字精比较电， 71 ∴.BD=AB-AD=8. ,tan∠ACB=I,∴.CD=AD=6, .BC=BD+CD=8+6=14. (2),AE是BC边上的中线， CE=2B0=7 ∴.DE=CE-CD=7-6=1. 87 em 图① AD⊥BC.∴AE=AD+DE=/37, 12.解：(1)，DE⊥AC, .∠AED=∠ACB=90°， .In DAE- ∴.DE∥BC. 9.D ∴∠ADE=∠B. 10.B【解析】如图，过点C作CE⊥OA .anZADE=tanB-3 4 于点E, 菱形OABC的边OA在x轴上，点 能 A(5,0),∴.OC=OA=5. 63 “sim∠CoA=4-C5 0 ∴，AE=8,∴.AD=DE+AE=10 5元CE=4. (2)由(1)，得DEBC, “.(OE=OC-CE=3,点C的坐标为(3,4).：反比 能品脚亮品 例函数y=女>0>0)的图象经过点C, .EC=16. “k=3×4=12 EC168 ÷am∠CDE=元=6= 【解析】如图，过点D作DE⊥AB于点E,侧∠AED= 下册参考答案 1 ∠BED=90.3CD-BD..设CD 5.解：原式-号+1-万×（号）-+1-F×专号 a.BD=3a,:BC=4a.''cosB= 2月 5 19 51 E-2S,AB=25,BE=65。,AC 照式=1+2×号-号+号+=1+厅+8= 5 5 + AB-BC=(2a)-(4a)=2a.AE=AB-BE 6.C7.C8.B9.60° =25a-5。=5,dAD=C+CD- 11.120【解析】如图，过点G作GH⊥m1 2a)+a=5a. 于点H. 在R1△GHO中，GH=√5，OG=2 E-D--√5a-(5)-5 35 <aoH号 2 、54 .∠GOH=60°. ∠BD器 5a 5 .∠G0P=120. 12.解：(1)3 12B1a.-号 (2)如图，过点D作DE⊥BC于点E,则A mB=专能 14.12【解析】过点A作AG⊥C下于点G,如图. :∠AEF=∠AGF=∠GFE=90°. BE-4DE: ∴四边形AGFE是矩形，∴AE=GF= 4 m. CE=BC-BE=3-子DE, ∠CAE=120,.∠CAG=30 ∠CDB=∠B..CD=CB=3 在R△AGC中，in30-CSCG CD产=CE2+DE, CG=16·sim30°=16×2=8(m. 1 ∴3=DE+(3-子DE), ∴.CF=CG+GF=8+4=12(m). DE-器 15.解：1)5 8 ∠0B=股-器 (2)在R△ABC中，∠C=90,AC=2,BC-1, :.AB=/AC+BC=5...AD=AB=5, 13.解：(1)111 BC (2)1 CD-AD+AC-2+5.:A-unD-D-55-2. 证明：nA-兰osA-名，且a+6-c, (3)①号【解折13)①如图，作 则mA+A-(侣）广+（白）”-号+答-1 AB的垂直平分线交AC于点E,连 接BE, 即sinA+cos2A=1. 则AE=BE,∠A=∠ABE,÷∠BEC (3)在△ABC中，∠A+∠B=90,∴∠C=90, 2∠A. “,sinA+cosA=1, :R△ABC中，∠C=90°，AC=3.anA=3 () +cosA=1, .BC=1. 解得coA一或c0A=一员（不合题意，含去）. 5 AB=AC+BC=而. 设AE=x,则EC=3一x. .coA-13 5 在R1△EBC中，x=(3-,x)+1, 230°，45°，60°角的三角函数值 1:A2B3号 imeA=m∠C-贤-子 ②如图.作BM交AC于点M,使∠MBE=∠EBA, 则∠BMC=∠A+∠MBA=3∠A. 4.3 【解析】：3tan5°=3×1=3,2sin60=2× -B. 设EM=,则CM=BC-EM=音-y 4c0s60'=4×7=2.3>2>5, :∠MBE=∠EBA, mx{31an45,2sin60°.4cos60°}的值为3. 设点E到AB,BM边上的距离为d. 九年级数学BS版