精品解析：河南省信阳市信阳高级中学2025-2026学年高二上学期9月测试（二）数学试题（历史方向）

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高二上期09月测试（二） 数学试题（历史方向） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为空间的一组基底，能与组成基底的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量共面基本定理可得结果. 【详解】由于，，， 由空间向量共面基本定理知，，，均与共面， 不能构成一组基底，故ABD均错误. 故选：C. 2. 如图，在平行六面体中，M为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的线性运算求解即可. 【详解】因为M为与的交点，所以M是与的中点， 所以. 故选：D. 3. 设，，向量，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的坐标运算来表示向量垂直与共线，即可求解参数，再用空间向量的坐标运算去求模即可. 【详解】设、，向量，且， ，解得， 又因为，所以，解得， 所以， 故选：． 4. 如图，在正四面体中，为棱的中点，为棱上靠近点的三等分点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立适当空间直角坐标系后，可结合正四面体性质得到各点坐标，即可得直线与的方向向量，再利用空间向量夹角公式求解即可得. 【详解】取中点建立如图所示空间直角坐标系， 设正四面体边长为，则，，， 由正四面体性质可得，则， 即，则，， ，， 则， 则， 即异面直线与所成角的余弦值为. 故选：A. 5. 已知为原点，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，利用坐标计算，最后求一元二次函数的最小值. 【详解】因点在直线上运动，则设，于是有， 因此，， 于是得 则当时，，此时，点 故选：A 6. 位于灯塔P的正西方向且相距40海里的M处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔P的东北方向的C处有一艘乙船在甲船的北偏东方向上，则乙船前往支援M处的甲船需要航行的最短距离是（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 30海里 【答案】B 【解析】 【分析】根据题设画出示意图，利用正弦定理可得. 【详解】依题意，画出示意图如下，，， 在中，，由正弦定理得， 因此（海里）， 所以乙船前往支援M处的甲船需要航行的最短距离是海里. 故选：B. 7. 在高一某班的元旦文艺晚会中，有这么一个游戏：一个盒子内装有6张大小和形状完全相同的卡片，每张卡片上写有一个成语，它们分别为意气风发、风平浪静、心猿意马、信马由缰、气壮山河、信口开河，从盒内随机抽取2张卡片，若这2张卡片上的2个成语有相同的字就中奖，则该游戏的中奖率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用列举法求出古典概型的概率. 【详解】从盒内随机抽取2张卡片，有以下情况：（意气风发、风平浪静）， （意气风发、心猿意马），（意气风发、信马由缰），（意气风发、气壮山河）， （意气风发、信口开河），（风平浪静、心猿意马），（风平浪静、信马由缰）， （风平浪静、气壮山河），（风平浪静、信口开河），（心猿意马、信马由缰）， （心猿意马、气壮山河），（心猿意马、信口开河），（信马由缰、气壮山河）， （信马由缰、信口开河），（气壮山河、信口开河），共有15种情况， 其中这2张卡片上的2个成语有相同的字的情况有（意气风发、风平浪静），（意气风发、心猿意马）， （意气风发、气壮山河），（心猿意马、信马由缰），（信马由缰、信口开河）， （气壮山河、信口开河），共6种情况， 所以该游戏的中奖率为. 故选：C 8. 已知函数满足，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先应用方程组法计算得出解析式，再应用指数函数及对数函数数形结合得出，最后应用单调性得出选项. 【详解】因为，所以， 联立得，且在上单调递减， 在同一坐标系中作，，，的图象，如图所示： 所以，故. 故选:A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 空间四点及空间任意一点，由下列条件一定可以得出四点共面的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间向量共面定理及其推论，对每个选项进行逐一判断，即可选择. 【详解】对A：，定有共面，且有公共顶点， 故四点共面，故A正确； 对B：，， 故四点不共面，故B错误； 对C：，可得三点共线， 则四点一定共面，故C正确； 对D：，， 故四点一定共面，故D正确. 故选：ACD. 10. （多选题）设为两个随机事件，以下命题错误的为（    ） A. 若是对立事件，且，则 B. 若是对立事件，则 C. 若是互斥事件，，，则 D. 若是互斥事件，，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用互斥事件、对立事件的和事件的概率公式即可逐一判断. 【详解】对于选项A，若是对立事件，则，故A项错误； 对于选项B，当是对立事件时，，故B项正确； 对于选项C，当是互斥事件，，，则，故C项错误； 对于选项D，若是互斥事件，，则，故D项正确. 故选：AC. 11. 在棱长为2的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，动点在正方体表面运动，则（ ） A. PN与为异面直线 B. 与MN所成的角为 C. 平面PMN截该正方体所得截面形状为等腰梯形 D. ，则点轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据异面直线定义可判断A正确，作与平行的直线，作出异面直线的平面角并由勾股定理可判断B正确，作出截面形状可知平面截该正方体所得截面形状为正六边形，可得C错误，利用向量共线定理可找出点轨迹为线段，求出其长度可得结果，即D正确. 【详解】对于A，由异面直线定义可知与不同在任何一个平面内，它们是异面直线，即A正确； 对于B，取中点为，连，，如下图所示：由正方体性质可知，又， 所以， 因此与所成的角即为与所成的角，即或其补角， 易知，，，满足，即， 所以，因此与所成的角为，即B正确； 对于C，分别取，的中点为，，连接各中点，如上图所示： 易知，，， 即可知，，，，，在同一平面内， 所以平面截该正方体所得截面即为六边形， 又，所以截面形状为正六边形，即C错误； 对于D，因为为的中点，所以， 由可知， 即，因此可知，共线， 所以点轨迹为过点且与平行的线段， 取的中点为，连接，取的中点， 连接，如下图所示： 由正方体性质易知，，又为的中位线， 所以，； 因此点轨迹即为线段，且， 所以点轨迹长度为，可得正确. 故选：ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】由二倍角的余弦公式可得的值，再由位于第一象限，可知取正值，由此可得答案. 【详解】由二倍角的余弦公式，可得， 因为，所以，故. 故答案为：. 13. 如图是棱长均为2的柏拉图多面体，已知该多面体为正八面体，四边形为正方形，、分别为、的中点，则点A到平面的距离为________. 【答案】1 【解析】 【分析】利用等体积法求点到平面的距离的距离即可. 【详解】连接、.由已知得为的中位线，所以， 为正三角形的中线，所以，又， 所以，所以为直角三角形， 所以. 因为，所以到平面的距离为， 设A到平面的距离为， 因为，所以， 所以，所以. 故答案为：1 14. 设是定义在R上的奇函数，当时，．若对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性求得函数的解析式，然后根据函数的单调性列出不等式，转化为最值问题，即可求得结果. 【详解】设，则，因为当时，，则， 且函数是定义在R上的奇函数，则 所以，则． 因此，原不等式等价于． 由解析式知在R上是增函数，所以，即． 又，所以当时，取得最大值． 因此，，解得． 故a的取值范围是． 故答案为: 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，，，，， （1）若、共线，求实数； （2）若向量与所成角为锐角，求实数的范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的模长公式以及可求出、的值，可得出向量、的坐标，根据、共线，可得出关于实数的不等式，解之即可； （2）分析可知以及、不共线，结合空间向量的坐标运算可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 解：因为，，，，， 则，可得，，解得， 所以，，所以，， 因为，所以，解得． 【小问2详解】 解；由（1）知，，， 因为向量与所成角为锐角， 所以，解得， 又当时，， 所以实数的范围为． 16. 已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其面积为，且. （1）求角； （2）若，求取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由已知及余弦边角关系得，再由三角形面积公式、差角正弦公式整理得，即可求角； （2）由已知和三角形面积公式、三角形内角关系得、，利用正弦定理及三角恒等变换得，根据锐角三角形得，进而求的范围. 【小问1详解】 由，则， 所以，则， 又，可得； 【小问2详解】 由，且， 由正弦定理知， 所以， 由且，可得，则， 所以，故，即. 17. 某中学举行了一次“数学文化知识竞赛”，高二年级学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计.将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积.请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）若根据这次成绩，年级准备淘汰60%的同学，仅留40%的同学进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理？ （2）从样本数据在，两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率． （3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的96和84两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． 【答案】（1）73分合理 （2） （3）22.25 【解析】 【分析】（1）由题意知可得，计算可求得；根据小长方形的面积和为1求得，利用频率分布直方图计算第60百分位数即可； （2）利用分层抽样可得两层应分别抽取4人和2人，分别记为，，，和，， 列出所有基本事件，根据古典概型计算即可得出结果； （3）根据平均数和方差的计算公式求解即可. 【小问1详解】 由第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积可知，， 解得， 又，解得， 所以，， 成绩落在内的频率为：， 落在内的频率为：，设第60百分位数为， 则，解得，所以晋级分数线划为73分合理； 【小问2详解】 由图可知，按分层抽样法，两层应分别抽取4人和2人，分别记为，，，和，， 则所有的抽样有：，共15个样本点， “抽到的两位同学来自不同小组”， 则共8个样本点， 所以. 【小问3详解】 因为，所以， 所以， 所以， 剔除其中的96和84两个分数，设剩余8个数为，，，…，， 平均数与标准差分别为，， 则剩余8个分数的平均数：， 方差： 18. 如图所示，已知斜三棱柱中，在上和上分别有一点和，且. （1）求证：，，共面； （2），且，点为侧棱上靠近点的四等分点，求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】（1） 证明：因为，所以，. ， 即，由共面向量定理可知，，，共面. 故，，共面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的运算及平面向量基本定理即可证； （2）根据题中的条件分析，适当建立空间直角坐标系，用向量的方法来解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设的中点为.因为，，所以为正三角形， 得，.又因，， 所以为正三角形，. 在中.， 由余弦定理可得，， 所以.又因，均为正三角形，所以， 且，平面，平面， 所以平面.因为平面ABC. 所以平面平面ABC.所以在平面内作，则平面ABC， 以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图所示： 则，，，. 设是平面的一个法向量. ， 则，即 取，则，，得. 由上知， . 设直线与平面所成角为，，. 则 故直线与平面所成角的余弦值为. 19. 函数（，，，）的图象如图所示，图象最高点、最低点处分别记为，，在轴上的射影分别为，.已知图象过点，，，沿轴将坐标平面折叠，使平面平面，此时. （1）求的解析式； （2）求四面体外接球的表面积； （3）若为已知图象上一点，且，设四面体外接球的半径为，求证：. 【答案】（1） （2） （3）由题得，，设， ③ ， 因为，所以， 即，所以， 又（为外接圆半径）， 当且仅当时等号成立，此时，不满足， 所以等号取不到，所以，由（2）知. 【解析】 【分析】（1）结合图象确定函数的最小正周期，根据周期公式求，由图象过点，列方程求， 由关系列方程，结合，求，由此可得结论， （2）由条件利用余弦定理求，再求，再由正弦定理求的外接圆半径，再求四面体外接球的半径，根据球的表面积公式求结论， （3）设，由向量夹角余弦公式和基本不等式可得，由此可求的范围，由此可求的范围，结合（2）可得结论， 【小问1详解】 由题得，，所以， 由图象过点，，得，① ，② 由①②可得， 所以（舍去）或，， 因为，，，所以，又， 所以， 所以，所以， 代入①，解得， 因为平面平面，平面平面，平面，， 所以平面，平面，所以， 因为，，， 所以，即，又， 解得，， 所以. 【小问2详解】 由（1），又，， 所以，，，故，， 在中，由余弦定理可得，， 设外接圆半径为，则，所以， 由（1），故，，， 所以，又平面平面，是截面圆的直径， 所以平面所在截面圆半径就是外接球半径， 所以四面体外接球的半径为， 所求外接球表面积. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高二上期09月测试（二） 数学试题（历史方向） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为空间的一组基底，能与组成基底的向量是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在平行六面体中，M为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 3. 设，，向量，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 如图，在正四面体中，为棱的中点，为棱上靠近点的三等分点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知为原点，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 位于灯塔P的正西方向且相距40海里的M处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔P的东北方向的C处有一艘乙船在甲船的北偏东方向上，则乙船前往支援M处的甲船需要航行的最短距离是（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 30海里 7. 在高一某班的元旦文艺晚会中，有这么一个游戏：一个盒子内装有6张大小和形状完全相同的卡片，每张卡片上写有一个成语，它们分别为意气风发、风平浪静、心猿意马、信马由缰、气壮山河、信口开河，从盒内随机抽取2张卡片，若这2张卡片上的2个成语有相同的字就中奖，则该游戏的中奖率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数满足，若，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 空间四点及空间任意一点，由下列条件一定可以得出四点共面的有（ ） A. B. C. D. 10. （多选题）设为两个随机事件，以下命题错误的为（    ） A. 若是对立事件，且，则 B. 若是对立事件，则 C. 若是互斥事件，，，则 D. 若是互斥事件，，则 11. 在棱长为2的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，动点在正方体表面运动，则（ ） A. PN与为异面直线 B. 与MN所成的角为 C. 平面PMN截该正方体所得截面形状为等腰梯形 D. ，则点轨迹长度为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，则________． 13. 如图是棱长均为2的柏拉图多面体，已知该多面体为正八面体，四边形为正方形，、分别为、的中点，则点A到平面的距离为________. 14. 设是定义在R上的奇函数，当时，．若对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围是________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，，，，， （1）若、共线，求实数； （2）若向量与所成角为锐角，求实数的范围． 16. 已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其面积为，且. （1）求角； （2）若，求取值范围. 17. 某中学举行了一次“数学文化知识竞赛”，高二年级学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计.将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积.请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）若根据这次成绩，年级准备淘汰60%的同学，仅留40%的同学进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理？ （2）从样本数据在，两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率． （3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的96和84两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． 18. 如图所示，已知斜三棱柱中，在上和上分别有一点和，且. （1）求证：，，共面； （2），且，点为侧棱上靠近点的四等分点，求直线与平面所成角的余弦值. 19. 函数（，，，）的图象如图所示，图象最高点、最低点处分别记为，，在轴上的射影分别为，.已知图象过点，，，沿轴将坐标平面折叠，使平面平面，此时. （1）求的解析式； （2）求四面体外接球的表面积； （3）若为已知图象上一点，且，设四面体外接球的半径为，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $