专题01 相似三角形题型20题型（期中专项训练）九年级数学上学期沪教版

专题01 相似三角形 题型1相似多边形的判断 题型11利用相似三角形的性质求解（常考点） 题型2相似多边形的性质 题型12证明三角形的对应线段成比例 题型3成比例线段 题型13网格中找相似三角形（重点） 题型4比例线段 题型14利用相似三角形的性质解决动点问题（难点） 题型5利用比例的性质求解（常考点） 题型15相似三角形判定与性质综合 题型6黄金分割（常考点） 题型16相似三角形的实际应用（常考点） 题型7由平行线分线段成比例 题型17向量的相关概念 题型8由平行线分线段成比例求解（重点） 题型18实数与向量 题型9选择或补充条件使两个三角形相似（常考点） 题型19向量的线性运算（常考点） 题型10选用合适的方法证明相似三角形（重点） 题型20与相似三角形有关的热考模型（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 相似多边形的判断（共4小题） 1．（25-26九年级上·上海·阶段练习）下列图形一定是相似图形的是（   ） A．两个正方形 B．两个等腰三角形 C．两个直角三角形 D．两个矩形 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似图形的判断，准确结合所给图形的性质判断是解题的关键． 根据图形的特征逐一判断即可． 【详解】两个正方形一定是相似图形，故选项符合题意； 两个等腰三角形的两个底角不一定相同，所以不一定相似，故选项不符合题意； 两个直角三角形中两个锐角的角度不一定相同，所以不一定相似，故选项不符合题意； 两个矩形的邻边之比不一定相等，所以不一定相似，故选项不符合题意； 故选：． 2．（23-24八年级下·福建福州·期末）下列说法正确的是（   ） A．所有的菱形都是相似形 B．对应边成比例的两个多边形相似 C．对应角相等的两个多边形相似 D．所有的正方形都是相似形 【答案】D 【分析】此题主要考查了相似图形的判定，熟练应用判定方法是解题关键．利用相似图形的判定方法分别判断得出即可． 【详解】解：A、所有的菱形不一定是相似形，对应角不一定相等，故此选项错误； B、对应边成比例的两个多边形不一定相似，对应角不一定相等，故此选项错误； C、对应角相等的两个多边形不一定相似，对应边的比值不一定相等，故此选项错误； D、所有的正方形都是相似形，对应边成比例且对应角相等，故此选项正确； 故选：D 3．（23-24九年级上·上海普陀·阶段练习）下列说法中，一定正确的是（   ） A．所有的直角三角形都相似 B．所有的等腰三角形都相似 C．所有的矩形都相似 D．所有的正方形都相似 【答案】D 【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案． 【详解】A．所有的直角三角形的两个对应锐角不一定相等，故不一定相似，不符合题意； B．所有的等腰三角形，边的比不一定相等，对应角不一定对应相等，故不一定相似，不符合题意； C．所有的矩形，对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，故不一定相似，不符合题意； D．所有的正方形，对应角的度数一定相同，对应边的比值一定相等，故一定相似，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查相似多边形的判定，掌握相似多边形的性质：对应角相等，对应边的比相等是解题的关键． 4．（21-22九年级上·上海·阶段练习）下列命题中，错误的是（    ） A．两个含有角的等腰三角形一定相似 B．两个矩形一定相似 C．两个等边三角形一定相似 D．两个正方形一定相似 【答案】B 【分析】利用相似图形的定义分别判断即可得到答案． 【详解】解：A．两个含有角的等腰三角形一定相似，说法正确，不符合题意，选项错误； B．两个矩形一定相似，对应角相等，但对应边不成比例，故两个矩形不一定相似，说法错误，符合题意，选项正确； C．两个等边三角形一定相似，说法正确，不符合题意，选项错误； D．两个正方形一定相似，说法正确，不符合题意，选项错误， 故选B． 【点睛】本题考查了相似图形的定义，熟练掌握相似多边形对应角相等，对应边成比例是解题关键． 题型二 相似多边形的性质（共4小题） 5．（23-24九年级上·贵州毕节·期末）如图四边形四边形，，，，则（    ）    A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键．根据相似多边形的性质列出对应边成比例即可求解． 【详解】解：四边形四边形， ， ，，， ， ． 故选：． 6．（21-22九年级上·全国·课后作业）一个四边形的各边之比为1∶2∶3∶4，和它相似的另一个四边形的最小边长为，则它的最大边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设它的最大边长为，根据相似图形的性质求解即可得到答案 【详解】解：设它的最大边长为， ∵两个四边形相似， ∴， 解得， 即该四边形的最大边长为． 故选C． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，牢记“相似多边形对应边的比相等”是解题的关键． 7．（2025·上海静安·一模）我们把常用的纸的短边与长边的比叫作“白银比”，把这样的矩形称为“白银矩形”．如图，一张规格为的矩形纸片，将其长边对折（为折痕），得到两个全等的矩形纸片，且这两种规格的矩形纸片相似，那么这个“白银比”为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，理解题意，掌握相似多边形的各边的比是解题的关键． 分别表示出原矩形的长和宽，折叠后的长与宽，结合题意“白银比”进行计算即可求解． 【详解】解：设矩形纸片长为，宽为， ∴折叠后矩形的长为，宽为， 根据题意可得，， ∴， 解得，， 故答案为： ． 8．（2022九年级·上海·专题练习）已知四边形与四边形相似，并且点A与点、点B与点、点C与点、点D与点分别对应． (1)已知，，，求的度数； (2)已知，，，，，求四边形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据多边形相似的性质：对应角相等，求解即可； （2）根据多边形相似的性质：对应边成比例，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形与四边形相似， ∴， ∴； （2）解：∵四边形与四边形相似， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形的周长 【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 题型三 成比例线段（共4小题） 9．（2024九年级上·上海·专题练习）下列各组中的四条线段成比例的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】本题考查了比例线段：对于四条线段，如果其中两条线段的比（即它们的长度比)与另两条线段的比相等，则或，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．根据比例线段的定义对各选项进行判断． 【详解】解：A．由于，则，，，不成比例，故A选项不符合题意； B．由于，则，，，成比例，故B选项符合题意； C．由于，则，，，不成比例，故C选项不符合题意； D．由于，则，，，不成比例，故D选项不符合题意． 故选：B． 10．（2025·上海黄浦·一模）已知线段，，如果线段c是线段a和b的比例中项，那么线段c的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据比例中项的定义，成比例线段，构建方程即可解决问题． 本题考查比例中项的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，利用成比例线段性质列出等式，属于中考常考题型． 【详解】解：解：∵线段c是线段a和b的比例中项， ∴， ∵，，， ∴， 故选：B． 11．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）已知线段、、、是成比例线段，如果，，，那么的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例线段，掌握对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如，我们就说这四条线段是成比例线段是解题关键．利用成比例线段的定义得到，再代入数据，即可求解． 【详解】解：根据题意得，即， 解得：． 故选B． 12．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知线段，C是线段上一点，且是与的比例中项，那么线段的长等于 ． 【答案】 【分析】此题考查了比例中项和解一元二次方程，设线段的长等于，则，根据比例中项的概念列方程，并解方程即可． 【详解】解：设线段的长等于，则， ∵是与的比例中项， ∴， 解得（负根已舍去） 即线段的长等于， 故答案为：． 题型四 比例线段（共2小题） 13．（2025·上海宝山·一模）在比例尺为的图纸上，量得一座塔的高是厘米，那么它实际的高度是（  ） A．11米 B．110米 C．22米 D．220米 【答案】A 【分析】本题考查了比例，熟练掌握比例尺的定义“比例尺是图上距离与实际距离之比”是解题关键．比例尺是图上距离与实际距离之比，依此列出算式计算即可得． 【详解】解：设塔的实际的高度是厘米， 由题意得：， 解得， 因为厘米米， 所以塔的实际的高度是11米， 故选：A． 14．（24-25九年级上·上海·阶段练习）东海大桥全长32.5千米，如果东海大桥在某张地图上的长为6.5厘米，那么该地图上距离与实际距离的比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查比例尺，在求比值时注意对单位进行统一，这是解题的关键．根据该地图上距离与实际距离的比，就是东海大桥地图上的长度与实际长度的比值解答即可． 【详解】解：32.5千米厘米， 所以该地图上距离与实际距离的比为． 故选C． 题型五 利用比例的性质求解（共5小题） 15．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）已知，，那么下列等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质：内项之积等于外项之积是解决问题的关键．根据比例的性质对各选项进行判断． 【详解】解：由得， A、，则， ∴，故不符合题意； B、，则， ∴，故不符合题意； C、，则， ∴，故不符合题意； D、，则， ∴，故符合题意， 故选：D． 16．（24-25九年级上·上海·阶段练习）若（均为正数），则下列式子不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用比例的性质进行逐项分析判断，即可作答．本题考查了比例的性质：灵活运用比例的性质是解决此类问题的关键． 【详解】解： ， 设, ， A选项成立，故该选项不符合题意； ∴，B选项不一定成立，故该选项符合题意； ∴，则， C选项成立，故该选项不符合题意； ∴，D选项成立，故该选项不符合题意； 故选：B． 17．（24-25九年级下·上海·自主招生）已知正数满足，则 ． 【答案】2025 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质、正确变形是解题的关键； 根据题意可得，再利用比例的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵为正数 ∴； 故答案为：2025． 18．（25-26九年级上·上海·阶段练习）已知：．当时，求a、b、c的值． 【答案】，， 【分析】本题考查了比例的性质．设，则，，，代入得到关于k的方程，解出k的值，进而即可求解． 【详解】解：设， 则，，， ， ， 解得， ，，． 19．（2025·上海徐汇·一模）已知：． (1)求代数式的值： (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键． （1）设，利用比例性质得到，，，然后把它们分别代入所求的代数式值，然后进行分式的化简计算； （2）把，，代入中得到关于的方程，然后求出，从而得到、、的值． 【详解】（1）解：设，则，，， 所以原式； （2）解：把，，代入得， 解得， 所以，，． 题型六 黄金分割（共5小题） 20．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如果点是线段的黄金分割点，那么下列线段的值不可能是的为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了黄金分割比的概念，根据把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比作出判断．找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 【详解】解：点是线段的黄金分割点， ， 则； 或， 则． 故只有的值不可能是． 故选：D． 21．（24-25九年级上·上海·期中）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是黄金分割数，著名的“断臂维纳斯”便是如此．若某人满足上述黄金分割比例，且肚脐至足底的长度为100厘米则其身高约是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割，列出比例式，进行求解即可． 【详解】解：设最美人体的头顶至肚脐的长度为， 由题意，得：， ∴， ∴人的身高为：； 故选B． 22．（23-24九年级上·安徽宣城·期末）已知点C把线段黄金分割，且，那么下列等式中，成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键，难度适中． 根据黄金分割的定义即把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比，从而得出答案． 【详解】解：∵点C把线段黄金分割，且， ∴， ∴． 故选：B． 23．（24-25九年级下·上海·阶段练习）黄金分割在生活中处处可见，例如：主持人如果站在舞台上的黄金分割点处，观众观感最好，若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 根据黄金分割的概念，可得，由此列方程即可求解． 【详解】解：如图：设米， 由题意知 米，米， 由黄金分割可得：， ， 故答案为：． 24．（2022九年级上·浙江·专题练习）如果一个矩形的宽长之比时，则称这个矩形是黄金矩形，如图所示，四边形是黄金矩形且，将矩形剪裁掉一个正方形后，剩余的四边形是否是黄金矩形？请说明理由. 【答案】剩下的矩形也是一个黄金矩形 【分析】根据黄金分割设出矩形的长和宽，然后表示出矩形的宽，再求出宽与长的比值即可得证． 【详解】证明：设矩形的长为， 四边形为黄金矩形， 宽为， 四边形是正方形， ， ， 与的比是黄金比， 剩下的矩形也是一个黄金矩形 【点睛】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键，要熟记黄金分比． 题型七 由平行线分线段成比例（共5小题） 25．（25-26九年级上·上海浦东新·阶段练习）如果用线段a、b、c，求作线段x，使，那么下列作图正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例，逐项分析即可． 【详解】解: A、由平行可得，变形为与已知不符合，故选项A不正确； B、由平行可得，变形为，与已知符合，故选项B正确； C、由平行可得与已知不符合，故选项C不正确； D、由平行可得与已知不符合，故选项D不正确； 故选：B． 26．（25-26九年级上·上海·课后作业）如图，已知，，那么下列比例式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理的推论，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例，由此可解． 【详解】解： ，， ，． ． 故选D． 27．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）在中，点D、E分别在边的延长线上（如图），下列四个选项中，能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理，掌握相关的判定定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理判断即可． 【详解】解：当时，，A选项正确，符合题意； 当时，不能判定，B、C选项错误，不符合题意； 当时，不能判定，D选项错误，不符合题意． 故选：A． 28．（24-25九年级上·上海浦东新·期末）如图，已知，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，由，根据平行线分线段成比例定理逐项进行分析判断即可得到问题的答案． 【详解】解：∵， ∴，而与不一定相等，与不一定相等， 故A正确，C不正确，D不正确； 由得， 假设成立，则， ∴， ∴，与已知条件不符， ∴不成立， 故B不正确， 故选：A． 29．（22-23九年级·上海·假期作业）如图，中，为中点，为上一点，的延长线交于点，的延长线交于点，，且过点与、分别交于点和点．求证：      (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行线分线段成比例得出，由为中点，即可证得； （2）根据平行线分线段成比例得出，等量代换后得到，再得出． 【详解】（1）证明： ， ． ， ． 由为中点，即可证得． （2）证明：连接．    ， ． 由（1）可得， ， ， ． 【点睛】考查三角形一边平行线的判定定理，注意根据相等的比例作为中间量进行等比例转换． 题型八 由平行线分线段成比例求解（共6小题） 30．（23-24九年级上·四川眉山·期末）如图，直线、交于点O，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例定理，找到与相关的线段比例关系进行求解．本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握该定理并能准确找到对应线段的比例关系是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：A． 31．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图所示，在中，点E是上的一点，，F是上的中点，则的值（   ） A．1∶4 B．2∶5 C．1∶5 D．3∶5 【答案】C 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理等知识．过点F作交于点G，得到，进一步得到，由得到即可． 【详解】解：∵F是上的中点， ∴， 过点F作交于点G， ∴， ∴ ∵， ∴, ∴， ∵， ∴， 故选：C 32．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查平行线分线段成比例定理，作出合适的辅助线是解题的关键． 过点D作交于点G，利用平行线分线段成比例定理求出，，进而可得答案． 【详解】解：如图，过点D作交于点G． ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 33．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，直线分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且． (1)如果，，求的长． (2)如果，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，能熟练地运用定理进行计算是解此题的关键． （1）利用平行线分线段成比例定理求得，可求得的长，进一步可求得的长． （2）利用平行线分线段成比例定理求得，代入数值可求得的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 34．（24-25九年级上·上海·假期作业）如图，在中，，，．连接交于点，求的值 ． 【答案】 【分析】本题主要考查比例线段的基本性质，根据共高两三角形的底边之比等于面积比将线段的比转化为面积的比是解题的关键． 【详解】解： 如图，连接、， 则， ，，， ，，，， ． 题型九 选择或补充条件使两个三角形相似（共3小题） 35．（21-22九年级下·全国·课前预习）下列各组条件中不能使与相似的是（   ） A．，， B．，， C．，，，， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定法则即可得出答案，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键． 【详解】解：A、，， ∴，故选项不符合题意； B、∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴，故选项不符合题意； C、∵，，， ∴， 又∵， ∴，故选项不符合题意； D、∵， ∴与的夹角为，与的夹角为， 而给出的条件为， ∴不能判断，故选项符合题意； 故选：D． 36．（13-14九年级上·河南周口·阶段练习）如图给出下列条件：①；②；③；④．其中能够单独判定相似于的条件有（      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，此题主要考查学生对相似三角形判定定理的理解和掌握，难度不大，属于基础题，要求学生应熟练掌握．由图可知与中为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可解答． 【详解】解：①，即，再加上为公共角，可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定； ②，再加上为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定； ③中不是已知的比例线段的夹角，不正确 ④，再加上为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定； 有三个能够单独判定相似于． 故选：C． 37．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，在中，，D、E分别为边上的一点，，，点F为边上一点，添加一个条件使与相似，则添加的一个条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，先证明可得，再添加条件即可证明． 【详解】 当时， 故答案为：（答案不唯一）． 题型十 选用合适的方法证明相似三角形（共4小题） 38．（24-25九年级下·上海·假期作业）如图，在边长为1个单位的方格纸上，有与．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理和相似三角形的判定，先计算出三角形的各个边的长，再根据三边对应成比例的两个三角形相似证明即可． 【详解】证明：由图知：，，， ，，． ， ． 39．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，点D、E分别在线段和上，与相交于点O，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据可证，通过可证，然后根据相似的传递性即可得证． 【详解】证明： ， ， ， ， ， ， ． 40．（2024·广东广州·中考真题）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出，，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明． 【详解】解：，， ， 四边形是正方形， ，， ，， 又， ． 41．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，，且，，求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，先求出，， 再证明即可． 【详解】证明：，且，， ， ，且， ， ， ， 又∵， 题型十一 利用相似三角形的性质求解（共4小题） 42．（21-22九年级上·上海闵行·期中）下列有关相似三角形的性质，正确的是（    ） A．如果两个相似三角形的相似比为，那么它们对应角平分线的比为 B．如果两个相似三角形的相似比为，那么它们的周长的比为 C．如果两个相似三角形的相似比为，那么它们的面积的比为 D．如果两个相似三角形的相似比为，那么它们对应中线的比为 【答案】B 【分析】根据相似三角形的性质，逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 如果两个相似三角形的相似比为，那么它们对应角平分线的比为，故该选项不正确，不符合题意； B. 如果两个相似三角形的相似比为，那么它们的周长的比为，故该选项正确，符合题意； C. 如果两个相似三角形的相似比为，那么它们的面积的比为，故该选项不正确，不符合题意； D. 如果两个相似三角形的相似比为，那么它们对应中线的比为，故该选项不正确，不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，其他线段的比等于相似比是解题的关键． 43．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，在中，点D，E分别是边上的点，且，，的面积是18，则四边形的面积是 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方． 根据条件证明，得到相似比，然后利用三角形的面积比等于相似比的平方求出的面积，最后利用面积的和差即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵ ∴相似比为， , ∴四边形的面积为， 故答案为：10． 44．（2025·上海金山·一模）已知两个相似三角形的一组对应边长分别是5厘米和2厘米，如果这组对应边上的高的长度相差厘米，那么这两条高的长度和为 厘米． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质：熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键； 根据相似三角形的高线比等于相似比，设未知数，列出一元一次方程，进行求解即可 【详解】解：由题意得：两个相似三角形的相似比为：， ∴两个三角形的高线比为， 设较大三角形的高为（厘米），较小三角形的高为（厘米）， ∴， 解得：， ∴两个三角形的高的长度和为（厘米）， 故答案为：． 题型十二 证明三角形的对应线段成比例（共2小题） 45．（2023·上海松江·一模）如图，已知梯形中，．是边上一点，与对角线交于点，且． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由可证，得到，再由得到，即可证明； （2）由得到，得到，进而得到，即可得到． 【详解】（1）∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴； （2）∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，相似三角形判定方法是解题的关键． 46．（2021九年级·全国·专题练习）如图，中，，在上分别截取的延长线相交于点F，证明：． 【答案】见解析 【分析】过点E作 交BC于点M，可得到 ，，进而有 ，，根据，可得到，即证． 【详解】如图，过点E作 交BC于点M， ∵， ∴ ，， ∴ ， ∴ , 即 ， ∵ ∴ ， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法和性质． 47．（2021九年级·全国·专题练习）在中，D为上的一点，E为延长线上的一点，交于F．求证： 【答案】见解析 【分析】过D作交于G，证明和相似， 和相似，列出比例式变形，比较，即可解决问题． 【详解】证明：过D作交于G，则和相似， ∴， ∵， ∴， 由可得和相似， ∴即， ∴ 【点睛】本题考查了相似三角形的证明和性质的使用，熟知以上知识是解题的关键． 题型十三 网格中找相似三角形（共3小题） 格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，△ABC就是一个格点三角形，现从的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与相似的有(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，根据三边对应成比例的三角形相似进行求解即可． 【详解】解：如图所示，由网格的特点可知， ， ∴， ∴， 同理可证明， ∴从的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与相似的有3个， 故选C． 49．（24-25九年级上·上海虹口·期中）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，是格点三角形，在图中的正方形网格中作出格点三角形（不含），使得（同一位置的格点三角形只算一个），这样的格点三角形一共有 个． 【答案】6 【分析】本题考查了在直角坐标系中画出与已知三角形相似的图形，解题的关键在于找出与已知三角形各边长成比例的三角形，并在直角坐标系中无一遗漏地表示出来． 根据题意，得出的三边之比，并在直角坐标系中找出与各边长成比例的相似三角形，并在直角坐标系中无一遗漏地表示出来． 【详解】解：有图可知：的三边为： ，， ， 如图所示： 可能出现的相似三角形共有以下六种情况： ， 故答案为：6． 50．（2023·上海长宁·一模）如图，在平面直角坐标系中，，，点为图示中正方形网格交点之一（点除外），如果以、、为顶点的三角形与相似，那么点的坐标是 ． 【答案】、、 【分析】根据是直角三角形，构造K字形相似即可得出以、、为顶点的三角形与相似的点C坐标．或直接作出全等三角形． 【详解】解：以为共同的斜边时，，得坐标为， 过点作的垂线，当时，，得 ， 过点作的垂线，当时，，得 ． 故答案为：、、 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键，注意分类讨论． 题型十四 利用相似三角形的性质解决动点问题（共3小题） 48．（23-24九年级上·上海金山·期末）如图在的方格中，每一个小正方形的顶点叫做 51．（23-24九年级上·湖南邵阳·期中）如图，在中，，．点分别从同时出发，沿分别向终点移动．已知点移动端的速度分别为．设两点移动的时间为，当以为顶点的三角形与相似时，求的值． 【答案】的值为或时，以为顶点的三角形与相似 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握以判定方法及性质是解题的关键，根据相似三角形的判定方法，分类讨论，①；②；结合相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：点从的运动时间为，点从的运动时间为，根据题意可得，，则，，则， 以为顶点的三角形与相似，分类讨论， ①， ∴，即，解得，， ∵， ∴运动时间为时，以为顶点的三角形与相似； ②， ∴，即，解得，， ∵， ∴运动时间为时，以为顶点的三角形与相似； 综上所述，的值为或时，以为顶点的三角形与相似． 52．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系内，已知点、点，动点P从点A开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒． (1)当t为何值时，； (2)当t为何值时，与相似． 【答案】(1)当的值为时，； (2)当的值为或时，与相似． 【分析】本题考查了勾股定理，列代数式，相似三角形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）利用勾股定理求得的长度，，，再根据题意列出代数式求解即可； （2）利用相似三角形的性质，分和两种情况解答即可求解． 【详解】（1）解：∵点，点，， ∴，， ； 由题意，，则， 由题意则有：， 解得， 当时，； （2）解：∵是公共角， ∴①当时，， ∴， 即， 解得； ②当时，， ∴， 即， 解得； 综上，当的值为或时，与相似． 53．（24-25九年级上·四川资阳·期中）如图所示，中，，，．点P从点A开始沿边向B以速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，P，Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)几秒后，的长度等于？ (2)线段能否将分成面积的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． (3)若与相似，求t的值． 【答案】(1)当时，的长度等于 (2)经过3秒时，线段能将分成面积的两部分 (3)秒或秒时，与相似 【分析】本题考查直角三角形中的动点问题，涉及一元二次方程的应用以及相似三角形的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，注意分类思想的运用； （1）在中，利用勾股定理，列出方程进行求解即可； （2）分的面积为面积的和的面积为面积的，列出方程进行求解即可． （3）设经过t秒时，与相似，分① 时，②当时，两种情况进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：设经过秒后，的长度等于， 由题意，得：， ∴， 当时，在中， ， ， 整理，得：， 解得：； ∴当时，的长度等于． （2）解：设经过秒，线段能将分成面积的两部分， 依题意有：的面积， ①当的面积为面积的时， 则：， 整理，得：， 解得：； ②当的面积为面积的时， 则：， 整理，得：， ， ∴方程无实数根； ∴经过3秒时，线段能将分成面积的两部分． （3）解：设经过秒时，与相似， 时， ， ， ． ②当时， ， ， ， 综上所述，秒或秒时，与相似． 题型十五 相似三角形判定与性质综合（共4小题） 54．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，在矩形中，，，点在边上（点与端点、不重合），连接，过点作，交的延长线于点，连接，与对角线、边分别交于点、．设，． (1)求证：； (2)求关于的函数解析式，并写出该函数的定义域； (3)连接，当与相似时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据矩形的性质以及，利用同角的余角相等得到，从而可证明； （2）根据得到，从而用，表示出、、、，易证，得到，将对应线段长代入整理即可得解； （3）延长交于点，根据，得到，，进而得到，分和两种情况讨论，利用相似三角形的判定和性质，结合正切的定义，分别列出比例式求出的值即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是矩形，，， ，，， ， ，即， ， ， ； （2）解：由（1）可知， ， ， ， ，，， 在矩形中，， ， ， ， ； （3）解：如图所示，延长交于点， ， ， ， ， ， ， 若， ， ，即， 化简得， ， ， 化简得， 解得或（舍去）， 若，则有， ， ， ，即， ， ， ， ， 又， ， ，即， 整理得：， ， ，整理得：， ，（不符合题意，舍去）； 综上，当与相似时，或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，函数关系式，正切的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，用分类讨论的思想思考问题． 55．（2025九年级·上海·学业考试）在平行四边形中，分别是上的点． (1)若是中点； ①若，求证：； ②若，连接交于，求的值； (2)若，求． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的选择与判定，相似三角形的性质与判定等知识，综合性强，难度较大，熟知相关知识，根据题意灵活添加辅助线，找到全等三角形、相似三角形是解题关键． （1）①延长交延长线于点H．先证明，得到，进而证明，得到，即可证明； ②如图，过作，交于，交于．根据得到分别为中点，，设即可得到，，从而得到．，则，，设，则，，，，即可求出； （2）延长交延长线于，则，根据得到，再证明，得到．进而证明，，设，则则，求出，，根据求出，，，即可得到从而求出． 【详解】（1）解：①证明：延长交延长线于点H． ∵是的中点， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； ②如图，过作，交于，交于． ， 所以分别为中点，． 设， ， ． 设，则，， 设，则， ，， ， ； （2）解：延长交延长线于，则． ， ， ， ， ， ． ， ， ， 设，则 ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ， ， ， ∴， ． 56．（22-23九年级下·上海·阶段练习）如图，梯形中，，对角线，，，，点E是边上一个点，，交于点F、交延长线于点G． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质等，熟练掌握相关知识，数形结合是解题的关键； （1）利用题中条件证明，推出，再证明，推出， 变形得，结合，可证明； （2）利用勾股定理求出，的长，利用求出的长，再证明， 推出，代入求解即可． 【详解】（1）， ， ， ， 又，，， ， ， ， ，，， ， ， ， ， 又， ． （2）由勾股定理得，，， 由（1）知，，可得， ， ， ， ，， ， ， ． 57．（2025九年级上·上海·专题练习）如图1，中，、分别平分、．是的外角的平分线，交延长线于，连接． (1)变化时，设．若用表示和，那么___________，___________； (2)若，且与相似，求相应长； (3)如图2，延长交延长线于．当形状、大小变化时，图中有哪些三角形始终与相似？写出这些三角形，并选其中之一证明． 【答案】(1)，． (2) (3)，见解析． 【分析】（1）根据三角形内角与外角的关系可以用表示和； （2）与相似，根据题意知，可分三种情况讨论并求出相应长； （3）共三对、、．以为例说明：由于是的外角，可得出；由于、、分别为、、的角平分线，不难得出，由此可得出，即可证得；即，再加上两三角形中一组对顶角，即可证得所求的两三角形相似． 【详解】（1）解：，． 、分别平分、， 平分， ， 是的外角的平分线， ， ， 、分别平分、， ， ， ， ， ， ； （2）与相似，根据题意知，所以本题分三种情况： 若，如图1， 易证，则为等腰直角三角形， ． ，如图2， 推出， ， ， ，，， ，如图3， 同，推出中，，，． （3）写出：，，． 证明其中一个三角形与相似．如：． 证明：平分， ， 同理可得出，． ， ， ； ， ； ． 又， ． 【点睛】本题考查了三角形角平分线定义、内心性质、三角形外角性质、相似三角形的判定和性质、平角定义等知识点，数形结合是解题的关键． 题型十六 相似三角形的实际应用（共4小题） 58．（21-22九年级上·上海宝山·期中）学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度．如图，小明站立在地面点F处，使得小明的头顶点E、杆顶点A、楼顶点C在一条直线上（点F、B、D也在一条直线上）．已知小明的身高米，“标杆”米，又米，米． (1)求大楼的高度为多少米（垂直地面）？ (2)小明站在原来的位置，同学们通过移动标杆，可以用同样的方法测得楼上点G的高度米，标杆应该向大楼方向移动多少米？ 【答案】(1)（米） (2)0.5米 【分析】本题考查测高，涉及矩形判定与性质、三角形相似的判定与性质等知识，熟练掌握测高的题型及解法，灵活运用相似三角形的判定与性质是解决问题的关键 （1）过点作于点，交于点，如图所示，利用三角形相似的判定与性质得到，代值求解即可得到答案； （2）过点作于点交于点，如图所示，设米，利用三角形相似的判定与性质得到，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：过点作于点，交于点，如图所示：    则四边形，四边形都是矩形， ∴米，米，米， ∵米， ∴米， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴米， ∴米； （2）解：过点作于点交于点，如图所示：      设米， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵米， ∴标杆AB应该向教学楼方向移动0.5米． 59．（21-22九年级上·河南平顶山·期中）数学实践小组想利用镜子的反射测量池塘边一棵树的高度．测量和计算的部分步骤如下： ①如图，树与地面垂直，在地面上的点C处放置一块镜子，小明站在的延长线上，当小明在镜子中刚好看到树的顶点A时，测得小明到镜子的距离(，小明的眼睛E到地面的距离． ②将镜子从点C沿的延长线向后移动到点F处，小明向后移动到点H处时，小明的眼睛G又刚好在镜子中看到树的顶点A，这时测得小明到镜子的距离； ③计算树的高度； 解：设． ∵， ∴． …． 请你根据材料中得到的测量数据和计算步骤，将剩余的计算部分补充完整． 【答案】见解析，树的高度为 【分析】本题是对相似三角形的综合考查，熟练掌握相似三角形判定及相似比是解决本题的关键． 设，先证，得到，再证，得到，从而求出x的值即可． 【详解】解：设． ∵， ∴， ， ∵， ∴， 解得． 把代入 中，得 解得， ∴树的高度为． 60．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，小明晚上由路灯A下的点B处走到点C处时，测得自身影子的长为1米，他继续往前走3米到达点E处（即米），测得自己影子的长为2米．已知路灯A的高度为7.2米，求小明的身高． 【答案】小明的身高是米 【分析】本题考查了相似三角形的应用举例，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．过点C作交于点M，过点E作交于点N，设小明的身高为米，米，根据题意可得出，，再根据相似三角形的判定与性质即可得． 【详解】解：过点C作交于点M，过点E作交于点N， 设小明的身高为米，米，则米，米， 由题意得：，，米， ，， ，， 即， ， 解得， 则，解得： 经检验，是所列分式方程组的解， 答：小明的身高是米． 61．（22-23九年级上·上海宝山·期中）学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米．    (1)小丽先调整自己的位置至点P，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为A、B、C（如图①），斜边平行于地面（点M、P、E、N在一直线上），且点D在边（较长直角边）的延长线上，此时测得边距离地面的高度为1.5米，小丽与古树的距离为16米，求古树的高度； (2)为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点Q，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为（如图②），使直角边（较短直角边）平行于地面（点M、Q、E、N在一直线上），点D在斜边的延长线上，且测得此时边距离地面的高度依然是1.5米，那么小丽向前移动了多少米？ 【答案】(1)古树的高度为13.5米 (2)小丽向前移动了7米 【分析】本题考查了相似三角形的应用和勾股定理的应用： （1）先在中，由勾股定理求得，再利用和相似求得的长，加上，即可求得树高； （2）利用和相似求得的长，即可求得小丽向前移动了多少米． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 在中， ∵， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：古树的高度DE为13.5米； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：小丽向前移动了7米． 题型十七 向量的相关概念（共4小题） 62．（24-25八年级下·上海黄浦·期末）下列关于向量的说法中，正确的是（　　） A．若，那么或 B．若、均为单位向量，那么 C．如果是单位向量，那么1 D．若，则A、B、C、D构成平行四边形 【答案】B 【分析】本题考查向量的基本概念，包括模长、单位向量及平行四边形的判定，需逐一分析各选项的正确性，熟练掌握向量的基本概念是解此题的关键． 【详解】解：A、若两向量模长相等，它们的方向未必相同或相反，例如，向量与的模均为1，但既不相等也不相反，故A错误； B、单位向量的定义是模长为1的向量，因此无论方向如何，和的模均为1，必然相等，故B正确； C、单位向量的模长为1，但向量本身是既有大小又有方向的量，不能直接等于标量1，正确表述应为，故C错误； D、若，说明与平行且长度相等，但若四点共线（如，，，），则无法构成平行四边形，故D错误； 故选：B． 63．（24-25八年级下·上海·阶段练习）如果，那么下列结论中正确的是（   ） A． B．与是相等向量 C．与是相反向量 D．与是平行向量 【答案】B 【分析】本题主要考查了平面向量，解题的关键是根据题意判定四边形是平行四边形．根据已知条件可以判定四边形是平行四边形，结合平行四边形的性质和相等向量、平行向量的定义作出判断． 【详解】解： ， ，， 四边形是平行四边形． A、当平行四边形是矩形时，，该结论才成立，故不符合题意； B、由四边形是平行四边形得到：，且，则与是相等向量，故符合题意； C、如图所示，与不是相反向量，故不符合题意； D、如图所示，与不是平行向量，故不符合题意． 故选：B． 64．（24-25九年级上·上海静安·期中）已知、为非零向量，下列判断错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果为单位向量，且，那么 【答案】C 【分析】本题考查了平面向量，平面向量既有大小，又有方向．根据相等向量，平行向量，模，单位向量的定义一一判断即可． 【详解】解：A、如果，那么两向量是共线向量，则，故本选项正确，不符合题意； B、如果，那么两向量为共线向量，则，，故本选项正确，不符合题意； C、，只能说明两个向量的模相等，无法判定方向，故本选项错误，符合题意； D、根据向量模的定义知，，故本选项正确，不符合题意． 故选：C． 65．（24-25九年级上·上海·期中）下列命题中正确的是（    ） A．若都是单位向量，则 B．若是相等向量，则它们的始点、终点都相同 C．若是相反向量，则 D．与是平行向量 【答案】D 【分析】本题考查平面向量，根据单位向量，平行向量、相等向量的定义即可判断． 【详解】解：A、单位向量不一定是相等向量，故A不符合题意． B. 若是相等向量，则它们的始点、终点可以不相同 C. 若是相反向量，方向相反，但长度不一定相等则不一定成立，故该选项不正确，不符合题意； D. 与是平行向量，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 题型十八 实数与向量（共5小题） 66．（24-25九年级上·上海·阶段练习）下列关于向量的说法中，不正确的是（   ） A． B． C．如果，那么或 D．如果（为非零向量），那么 【答案】C 【分析】本题考查向量与实数的运算，向量的线性计算，根据相关运算法则逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，计算正确，不符合题意； B、，计算正确，不符合题意； C、不能得到或，错误，符合题意； D、如果（为非零向量），那么，正确，不符合题意； 故选C． 67．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）已知，，且和的方向相反，那么下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面向量，等式的性质等知识点，熟练掌握平面向量的基本知识是解题的关键． 根据平行向量的性质即可解决问题． 【详解】解：，，且和的方向相反， ， ， 故选：． 68．（23-24九年级上·上海闵行·期中）已知是非零向量，如果与同方向的单位向量记作，那么下列式子中正确的是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据实数与向量相乘，对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，，A错误，故不符合要求； ，B错误，故不符合要求； ，C正确，故符合要求； ，D错误，故不符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了实数与向量相乘．解题的关键在于熟练掌握实数与向量相乘结果是向量． 69．（24-25九年级上·上海·期中）若向量与单位向量的方向相反，且，则 （用表示） 【答案】 【分析】本题考查的是平面向量的知识，即长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．根据向量的表示方法可直接进行解答． 【详解】解：∵向量与单位向量的方向相反，且， ∴． 故答案为：． 题型十九 向量的线性运算（共4小题） 70．（2024·上海杨浦·三模）已知在梯形中，，点、分别是边、的中点，，设，那么 ．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了平面向量，梯形中位线定理；由梯形中位线定理即可求解． 【详解】解：∵，点、分别是边、的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 71．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，在平行四边形中，E为对角线上一点，设，，若，则 （结果用含，的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了平面向量的知识，解答本题的关键是先确定各线段之间的关系．先求出，从而可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵E是上一点，， ， ∵， ∴， 故答案为：． 72．（2025九年级上·上海·专题练习）如图梯形中，．交于点，．已知，，如用表示，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查向量的计算，熟练掌握三角形法则，是解题的关键，根据向量的三角形法则可知，根据平行线的性质和相似三角形的性质可知，．根据向量的三角形法则可知，代入即可求解． 【详解】解：∵，． ，， ∴， ∴， ∴． ． 故答案为：． 73．（2025九年级上·上海·专题练习）如图，在中，是边上的中线，设向量，如果用向量，表示向量，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查向量的加法，根据向量的加法法则进行计算，． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∴． 故答案为：． 74．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，在中，是边上的中线．设，． (1)求（用向量、的式子表示）； (2)如果点在中线上，求作在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量） 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】本题主要考查平面向量和平行四边形法则，解题的关键是掌握平行四边形法则画出分向量． （1）根据是边上的中线可得,可得,根据可求出； （2）利用平行四边形法则，即可求得在方向上的分向量． 【详解】（1）∵是边上的中线， ∴， ∴, ∵， ∴； （2）如图，过点E作，， 则就是在方向上的分向量 题型二十 与相似三角形有关的热考模型（共7小题） 75．（2025九年级上·上海·专题练习）如图，是一个边长为2的等边三角形，、都在直线上，并且． (1)设，，求与之间的函数关系式； (2)在上题中一共有几对相似三角形，分别指出来（不必证明） (3)改变原题的条件为，，，、之间要满足什么样的关系，能使（1）中与的关系式仍然成立？说明理由． 【答案】(1)； (2)3对；，，； (3)成立，见解析． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形外角性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）可以证明，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解； （2）由题意得，再由外角性质可得，从而得到几组相等的角，由两个角分别对应相等的三角形相似即可得出答案； （3）当时，与的关系式仍然成立，可以首先证明，且，即可证明，根据相似三角形对应边的比相等即可证明． 【详解】（1）是等边三角形， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ； （2）3对；，， 是等边三角形， ，， 由外角性质得：， ， ，，； （3）当时，与的关系式仍然成立． ，， ， ， ， ， ， ， ， 同理：， ， ， ， ． 76．（2025九年级上·上海·专题练习）已知，，是的平分线，点在上，．将三角板的直角顶点放置在点处，绕着点旋转，三角板的一条直角边与射线交于点，另一条直角边与直线、直线分别交于点、点． (1)如图，当点在射线上时， ①求证：． ②设，，求与的函数解析式并写出函数的定义域． (2)连接，当与相似时，求的长． 【答案】(1)①见解析，② (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的性质、全等三角形的判定和性质等，熟练掌握分类讨论思想在题目中的运用是解题的关键． （1）①过点作，，垂足分别为、，由已知条件证明即可证明； ②利用①中的三角形全等和相似三角形的性质即可求出与的函数解析式，再写出其自变量的取值范围即可； （2）当与相似时，点的位置有两种情况：①当点在射线上时，②当点在延长线上时，分别讨论求出满足题意的长即可． 【详解】（1）①证明：过点作，，垂足分别为、． 是的平分线， ． 由，得． ． ， ． ． ． ②解：， ． ， ． ． ， ， ． ． ． （2）解：当与相似时，点的位置有两种情况： ①当点在射线上时， ，， ． ． ． 在中，． ②当点在延长线上时， ，， ． ，，， ． 同理，可得． ． ． ∵，，， ∴， ∴． ， ∴， ． ∴． 即， ∵， ∴， ． ． 77．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）如图，已知：，垂足分别为，与交于点，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)连接，求证：平分． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（）证明和可得，，相加即可求证； （）证明可得，又由平行线等分线段定理得，即得，进而可得，即得到，即可得，即可求证； 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线等分线段定理，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴平分． 78．（24-25八年级下·山东泰安·期末）某数学兴趣小组的同学在学习了《图形的相似》之后；对三角形的相似问题进行深入探究． 【感知问题】 如图1，在四边形中，点P在边上（点P不与A，B重合），．易证：．（不需要证明） 【探究问题】 如图2，在四边形中，点P 在边上（点P不与点A，B重合），．求证：． 【知识应用】 如图3，在中，，．点P在边上（点P不与点A，B重合），连接，作，与边交于点E． （1）当时，求的长； （2）当是等腰三角形时，求的长． 【答案】【探究问题】见解析【知识应用】（1）或（2）或 【分析】探究问题：利用三角形外角的性质，得到，即可求解； 知识应用：（1）通过三角形外角的性质，得到，利用相似三角形的性质，求解即可；（2）分两种情况，、，分别求解即可． 【详解】【探究问题】解：证明：由三角形外角的性质可得： ， ， ， 又 ， ； 【知识应用】解：（1）设，则， ，， ，，， ，， ， ， ， 即， 化简可得：， 解得或， 即或； （2）由（1）可得，， ， 则为等腰三角形，有两种情况，或， ① 当时， 由（1）可得，，， ， ， ； ② 当时， 可得， 则， ， 设，则， ， 由可得， ， 即 解得， ， 综上，或. 【点睛】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，解一元二次方程，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 79．（2025·浙江绍兴·三模）如图，中，，，点是边上一点，过点作交于点，以为边作矩形，其中点、落在边上． (1)当时，求矩形的面积； (2)当经过的重心时，求矩形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，三角形重心的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，是解题的关键； （1）过点作，得出，证明，进而可得，，得出，即可求解． （2）同（1）可得，，进而得出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∵ ∴ ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∴ ∴ 即 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴矩形的面积为 （2）解：经过的重心时， ∴， 同（1）可得， ∴ ∵， ∴矩形的面积为 80．（2024·湖北黄冈·模拟预测）如图1，正方形和正方形，连接，． (1)[发现]：当正方形绕点A旋转，如图2，线段与之间的数量关系是______；位置关系是______； (2)[探究]：如图3，若四边形与四边形都为矩形，且，，猜想与的数量关系与位置关系，并说明理由； (3)[应用]：在（2）情况下，连接（点E在上方），若，且，，求的长． 【答案】(1)，，理由见解析 (2)，，理由见解析； (3)8． 【分析】（1）证明，后证明即可； （2）延长，交于点H，交于点K，．根据（1）的证明方法，类似证明即可． （3）设与交的交点为M，根据平行四边形的判定和性质，勾股定理，结合．解答即可． 【详解】（1），． 理由如下：延长，交于点N，交于点P， ∵四边形，四边形是正方形， ∴，，， 在和中， ， ∴． ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故且． （2）解：，． 理由如下：延长，交于点H，交于点I， ∵四边形，四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故且． （3）解：设与交的交点为M， ∵， ∴， 在中，， ∴， 根据勾股定理得：， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由（2）知，， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似判定和性质，勾股定理，熟练掌握三角形相似的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 81．（2023·江西上饶·模拟预测）综合与探究    (1)如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，且，则线段与的之间的数量关系为_____________； (2)【类比探究】如图2，在矩形中，，点E，F分别在边，上，且，请写出线段与的数量关系，并证明你的结论． (3)【拓展延伸】如图3，在中，，D为上一点，且，连接，过点B作于点F，交于点E，求的长． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）由“”可证，可得； （2）通过证明，利用相似三角形的性质，即可求解； （3）过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，延长交于点，勾股定理求得，根据（2）知，求得，证明，利用相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：结论：，理由如下： 设与相交于点P，如图1中，    ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）结论：，理由如下： ∵， ∴． 在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图3，过点A作的垂线，过点C作的垂线，两垂线交于点G，延长交于点H． ∴ ∵，      ∴四边形是矩形． ∵， ∴， ∴， 由（2）知， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键． $专题01 相似三角形 题型1相似多边形的判断 题型11利用相似三角形的性质求解（常考点） 题型2相似多边形的性质 题型12证明三角形的对应线段成比例 题型3成比例线段 题型13网格中找相似三角形（重点） 题型4比例线段 题型14利用相似三角形的性质解决动点问题（难点） 题型5利用比例的性质求解（常考点） 题型15相似三角形判定与性质综合 题型6黄金分割（常考点） 题型16相似三角形的实际应用（常考点） 题型7由平行线分线段成比例 题型17向量的相关概念 题型8由平行线分线段成比例求解（重点） 题型18实数与向量 题型9选择或补充条件使两个三角形相似（常考点） 题型19向量的线性运算（常考点） 题型10选用合适的方法证明相似三角形（重点） 题型20与相似三角形有关的热考模型（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 相似多边形的判断（共4小题） 1．（25-26九年级上·上海·阶段练习）下列图形一定是相似图形的是（   ） A．两个正方形 B．两个等腰三角形 C．两个直角三角形 D．两个矩形 2．（23-24八年级下·福建福州·期末）下列说法正确的是（   ） A．所有的菱形都是相似形 B．对应边成比例的两个多边形相似 C．对应角相等的两个多边形相似 D．所有的正方形都是相似形 3．（23-24九年级上·上海普陀·阶段练习）下列说法中，一定正确的是（   ） A．所有的直角三角形都相似 B．所有的等腰三角形都相似 C．所有的矩形都相似 D．所有的正方形都相似 4．（21-22九年级上·上海·阶段练习）下列命题中，错误的是（    ） A．两个含有角的等腰三角形一定相似 B．两个矩形一定相似 C．两个等边三角形一定相似 D．两个正方形一定相似 题型二 相似多边形的性质（共4小题） 5．（23-24九年级上·贵州毕节·期末）如图四边形四边形，，，，则（    ）    A．4 B．5 C．8 D．10 6．（21-22九年级上·全国·课后作业）一个四边形的各边之比为1∶2∶3∶4，和它相似的另一个四边形的最小边长为，则它的最大边长为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·上海静安·一模）我们把常用的纸的短边与长边的比叫作“白银比”，把这样的矩形称为“白银矩形”．如图，一张规格为的矩形纸片，将其长边对折（为折痕），得到两个全等的矩形纸片，且这两种规格的矩形纸片相似，那么这个“白银比”为 ． 8．（2022九年级·上海·专题练习）已知四边形与四边形相似，并且点A与点、点B与点、点C与点、点D与点分别对应． (1)已知，，，求的度数； (2)已知，，，，，求四边形的周长． 题型三 成比例线段（共4小题） 9．（2024九年级上·上海·专题练习）下列各组中的四条线段成比例的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 10．（2025·上海黄浦·一模）已知线段，，如果线段c是线段a和b的比例中项，那么线段c的长为（   ） A． B． C． D． 11．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）已知线段、、、是成比例线段，如果，，，那么的值是（ ） A． B． C． D． 12．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知线段，C是线段上一点，且是与的比例中项，那么线段的长等于 ． 题型四 比例线段（共2小题） 13．（2025·上海宝山·一模）在比例尺为的图纸上，量得一座塔的高是厘米，那么它实际的高度是（  ） A．11米 B．110米 C．22米 D．220米 14．（24-25九年级上·上海·阶段练习）东海大桥全长32.5千米，如果东海大桥在某张地图上的长为6.5厘米，那么该地图上距离与实际距离的比为（   ） A． B． C． D． 题型五 利用比例的性质求解（共5小题） 15．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）已知，，那么下列等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 16．（24-25九年级上·上海·阶段练习）若（均为正数），则下列式子不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 17．（24-25九年级下·上海·自主招生）已知正数满足，则 ． 18．（25-26九年级上·上海·阶段练习）已知：．当时，求a、b、c的值． 19．（2025·上海徐汇·一模）已知：． (1)求代数式的值： (2)当时，求的值． 题型六 黄金分割（共5小题） 20．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如果点是线段的黄金分割点，那么下列线段的值不可能是的为（　　） A． B． C． D． 21．（24-25九年级上·上海·期中）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是黄金分割数，著名的“断臂维纳斯”便是如此．若某人满足上述黄金分割比例，且肚脐至足底的长度为100厘米则其身高约是（   ） A． B． C． D． 22．（23-24九年级上·安徽宣城·期末）已知点C把线段黄金分割，且，那么下列等式中，成立的是（    ） A． B． C． D． 23．（24-25九年级下·上海·阶段练习）黄金分割在生活中处处可见，例如：主持人如果站在舞台上的黄金分割点处，观众观感最好，若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是 ． 24．（2022九年级上·浙江·专题练习）如果一个矩形的宽长之比时，则称这个矩形是黄金矩形，如图所示，四边形是黄金矩形且，将矩形剪裁掉一个正方形后，剩余的四边形是否是黄金矩形？请说明理由. 题型七 由平行线分线段成比例（共5小题） 25．（25-26九年级上·上海浦东新·阶段练习）如果用线段a、b、c，求作线段x，使，那么下列作图正确的是（    ） A．B．C．D． 26．（25-26九年级上·上海·课后作业）如图，已知，，那么下列比例式中正确的是（   ） A． B． C． D． 27．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）在中，点D、E分别在边的延长线上（如图），下列四个选项中，能判定的是（   ） A． B． C． D． 28．（24-25九年级上·上海浦东新·期末）如图，已知，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 29．（22-23九年级·上海·假期作业）如图，中，为中点，为上一点，的延长线交于点，的延长线交于点，，且过点与、分别交于点和点．求证：      (1)； (2)． 题型八 由平行线分线段成比例求解（共6小题） 30．（23-24九年级上·四川眉山·期末）如图，直线、交于点O，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 31．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图所示，在中，点E是上的一点，，F是上的中点，则的值（   ） A．1∶4 B．2∶5 C．1∶5 D．3∶5 32．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，则 ． 33．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，直线分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且． (1)如果，，求的长． (2)如果，求的长． 34．（24-25九年级上·上海·假期作业）如图，在中，，，．连接交于点，求的值 ． 题型九 选择或补充条件使两个三角形相似（共3小题） 35．（21-22九年级下·全国·课前预习）下列各组条件中不能使与相似的是（   ） A．，， B．，， C．，，，， D．， 36．（13-14九年级上·河南周口·阶段练习）如图给出下列条件：①；②；③；④．其中能够单独判定相似于的条件有（      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 37．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，在中，，D、E分别为边上的一点，，，点F为边上一点，添加一个条件使与相似，则添加的一个条件是 ． 题型十 选用合适的方法证明相似三角形（共4小题） 38．（24-25九年级下·上海·假期作业）如图，在边长为1个单位的方格纸上，有与．求证：． 39．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，点D、E分别在线段和上，与相交于点O，，．求证：． 40．（2024·广东广州·中考真题）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 41．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，，且，，求证：．    题型十一 利用相似三角形的性质求解（共4小题） 42．（21-22九年级上·上海闵行·期中）下列有关相似三角形的性质，正确的是（    ） A．如果两个相似三角形的相似比为，那么它们对应角平分线的比为 B．如果两个相似三角形的相似比为，那么它们的周长的比为 C．如果两个相似三角形的相似比为，那么它们的面积的比为 D．如果两个相似三角形的相似比为，那么它们对应中线的比为 43．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，在中，点D，E分别是边上的点，且，，的面积是18，则四边形的面积是 ． 44．（2025·上海金山·一模）已知两个相似三角形的一组对应边长分别是5厘米和2厘米，如果这组对应边上的高的长度相差厘米，那么这两条高的长度和为 厘米． 题型十二 证明三角形的对应线段成比例（共2小题） 45．（2023·上海松江·一模）如图，已知梯形中，．是边上一点，与对角线交于点，且． 求证： (1)； (2)． 46．（2021九年级·全国·专题练习）如图，中，，在上分别截取的延长线相交于点F，证明：． 47．（2021九年级·全国·专题练习）在中，D为上的一点，E为延长线上的一点，交于F．求证： 题型十三 网格中找相似三角形（共3小题） 格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，△ABC就是一个格点三角形，现从的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与相似的有(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 49．（24-25九年级上·上海虹口·期中）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，是格点三角形，在图中的正方形网格中作出格点三角形（不含），使得（同一位置的格点三角形只算一个），这样的格点三角形一共有 个． 50．（2023·上海长宁·一模）如图，在平面直角坐标系中，，，点为图示中正方形网格交点之一（点除外），如果以、、为顶点的三角形与相似，那么点的坐标是 ． 题型十四 利用相似三角形的性质解决动点问题（共3小题） 48．（23-24九年级上·上海金山·期末）如图在的方格中，每一个小正方形的顶点叫做51．（23-24九年级上·湖南邵阳·期中）如图，在中，，．点分别从同时出发，沿分别向终点移动．已知点移动端的速度分别为．设两点移动的时间为，当以为顶点的三角形与相似时，求的值． 52．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系内，已知点、点，动点P从点A开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒． (1)当t为何值时，； (2)当t为何值时，与相似． 53．（24-25九年级上·四川资阳·期中）如图所示，中，，，．点P从点A开始沿边向B以速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，P，Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)几秒后，的长度等于？ (2)线段能否将分成面积的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． (3)若与相似，求t的值． 题型十五 相似三角形判定与性质综合（共4小题） 54．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，在矩形中，，，点在边上（点与端点、不重合），连接，过点作，交的延长线于点，连接，与对角线、边分别交于点、．设，． (1)求证：； (2)求关于的函数解析式，并写出该函数的定义域； (3)连接，当与相似时，求的值． 55．（2025九年级·上海·学业考试）在平行四边形中，分别是上的点． (1)若是中点； ①若，求证：； ②若，连接交于，求的值； (2)若，求． 56．（22-23九年级下·上海·阶段练习）如图，梯形中，，对角线，，，，点E是边上一个点，，交于点F、交延长线于点G． (1)求证：； (2)若，求的长． 57．（2025九年级上·上海·专题练习）如图1，中，、分别平分、．是的外角的平分线，交延长线于，连接． (1)变化时，设．若用表示和，那么___________，___________； (2)若，且与相似，求相应长； (3)如图2，延长交延长线于．当形状、大小变化时，图中有哪些三角形始终与相似？写出这些三角形，并选其中之一证明． 题型十六 相似三角形的实际应用（共4小题） 58．（21-22九年级上·上海宝山·期中）学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度．如图，小明站立在地面点F处，使得小明的头顶点E、杆顶点A、楼顶点C在一条直线上（点F、B、D也在一条直线上）．已知小明的身高米，“标杆”米，又米，米． (1)求大楼的高度为多少米（垂直地面）？ (2)小明站在原来的位置，同学们通过移动标杆，可以用同样的方法测得楼上点G的高度米，标杆应该向大楼方向移动多少米？ 59．（21-22九年级上·河南平顶山·期中）数学实践小组想利用镜子的反射测量池塘边一棵树的高度．测量和计算的部分步骤如下： ①如图，树与地面垂直，在地面上的点C处放置一块镜子，小明站在的延长线上，当小明在镜子中刚好看到树的顶点A时，测得小明到镜子的距离(，小明的眼睛E到地面的距离． ②将镜子从点C沿的延长线向后移动到点F处，小明向后移动到点H处时，小明的眼睛G又刚好在镜子中看到树的顶点A，这时测得小明到镜子的距离； ③计算树的高度； 解：设． ∵， ∴． …． 请你根据材料中得到的测量数据和计算步骤，将剩余的计算部分补充完整． 60．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，小明晚上由路灯A下的点B处走到点C处时，测得自身影子的长为1米，他继续往前走3米到达点E处（即米），测得自己影子的长为2米．已知路灯A的高度为7.2米，求小明的身高． 61．（22-23九年级上·上海宝山·期中）学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米．    (1)小丽先调整自己的位置至点P，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为A、B、C（如图①），斜边平行于地面（点M、P、E、N在一直线上），且点D在边（较长直角边）的延长线上，此时测得边距离地面的高度为1.5米，小丽与古树的距离为16米，求古树的高度； (2)为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点Q，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为（如图②），使直角边（较短直角边）平行于地面（点M、Q、E、N在一直线上），点D在斜边的延长线上，且测得此时边距离地面的高度依然是1.5米，那么小丽向前移动了多少米？ 题型十七 向量的相关概念（共4小题） 62．（24-25八年级下·上海黄浦·期末）下列关于向量的说法中，正确的是（　　） A．若，那么或 B．若、均为单位向量，那么 C．如果是单位向量，那么1 D．若，则A、B、C、D构成平行四边形 63．（24-25八年级下·上海·阶段练习）如果，那么下列结论中正确的是（   ） A． B．与是相等向量 C．与是相反向量 D．与是平行向量 64．（24-25九年级上·上海静安·期中）已知、为非零向量，下列判断错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果为单位向量，且，那么 65．（24-25九年级上·上海·期中）下列命题中正确的是（    ） A．若都是单位向量，则 B．若是相等向量，则它们的始点、终点都相同 C．若是相反向量，则 D．与是平行向量 题型十八 实数与向量（共5小题） 66．（24-25九年级上·上海·阶段练习）下列关于向量的说法中，不正确的是（   ） A． B． C．如果，那么或 D．如果（为非零向量），那么 67．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）已知，，且和的方向相反，那么下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 68．（23-24九年级上·上海闵行·期中）已知是非零向量，如果与同方向的单位向量记作，那么下列式子中正确的是（        ） A． B． C． D． 69．（24-25九年级上·上海·期中）若向量与单位向量的方向相反，且，则 （用表示） 题型十九 向量的线性运算（共4小题） 70．（2024·上海杨浦·三模）已知在梯形中，，点、分别是边、的中点，，设，那么 ．（用含的式子表示） 71．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，在平行四边形中，E为对角线上一点，设，，若，则 （结果用含，的式子表示）． 72．（2025九年级上·上海·专题练习）如图梯形中，．交于点，．已知，，如用表示，那么 ． 73．（2025九年级上·上海·专题练习）如图，在中，是边上的中线，设向量，如果用向量，表示向量，那么 ． 74．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，在中，是边上的中线．设，． (1)求（用向量、的式子表示）； (2)如果点在中线上，求作在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量） 题型二十 与相似三角形有关的热考模型（共7小题） 75．（2025九年级上·上海·专题练习）如图，是一个边长为2的等边三角形，、都在直线上，并且． (1)设，，求与之间的函数关系式； (2)在上题中一共有几对相似三角形，分别指出来（不必证明） (3)改变原题的条件为，，，、之间要满足什么样的关系，能使（1）中与的关系式仍然成立？说明理由． 76．（2025九年级上·上海·专题练习）已知，，是的平分线，点在上，．将三角板的直角顶点放置在点处，绕着点旋转，三角板的一条直角边与射线交于点，另一条直角边与直线、直线分别交于点、点． (1)如图，当点在射线上时， ①求证：． ②设，，求与的函数解析式并写出函数的定义域． (2)连接，当与相似时，求的长． 77．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）如图，已知：，垂足分别为，与交于点，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)连接，求证：平分． 78．（24-25八年级下·山东泰安·期末）某数学兴趣小组的同学在学习了《图形的相似》之后；对三角形的相似问题进行深入探究． 【感知问题】 如图1，在四边形中，点P在边上（点P不与A，B重合），．易证：．（不需要证明） 【探究问题】 如图2，在四边形中，点P 在边上（点P不与点A，B重合），．求证：． 【知识应用】 如图3，在中，，．点P在边上（点P不与点A，B重合），连接，作，与边交于点E． （1）当时，求的长； （2）当是等腰三角形时，求的长． 79．（2025·浙江绍兴·三模）如图，中，，，点是边上一点，过点作交于点，以为边作矩形，其中点、落在边上． (1)当时，求矩形的面积； (2)当经过的重心时，求矩形的面积． 80．（2024·湖北黄冈·模拟预测）如图1，正方形和正方形，连接，． (1)[发现]：当正方形绕点A旋转，如图2，线段与之间的数量关系是______；位置关系是______； (2)[探究]：如图3，若四边形与四边形都为矩形，且，，猜想与的数量关系与位置关系，并说明理由； (3)[应用]：在（2）情况下，连接（点E在上方），若，且，，求的长． 81．（2023·江西上饶·模拟预测）综合与探究    (1)如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，且，则线段与的之间的数量关系为_____________； (2)【类比探究】如图2，在矩形中，，点E，F分别在边，上，且，请写出线段与的数量关系，并证明你的结论． (3)【拓展延伸】如图3，在中，，D为上一点，且，连接，过点B作于点F，交于点E，求的长． $