第二十一章 一元二次方程知识归纳与题型突破 讲义 2025-2026学年人教版九年级数学上册

第二十一章一元二次方程知识归纳与题型突破2025-2026学年人教版九年级上册（十二类题型） 知识归纳： 知识点一：一元二次方程的有关概念 1. 一元二次方程的概念： 　　通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 2. 一元二次方程的一般式： 　 3.一元二次方程的解： 　　使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 要点诠释： 判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2. 对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0． 知识点二：一元二次方程的解法 1．基本思想 一元二次方程一元一次方程 2．基本解法 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 要点诠释： 解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法． 知识点三：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即 （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 2.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 要点诠释： 1.一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题： 　　(1)不解方程判定方程根的情况； 　　(2)根据参系数的性质确定根的范围； 　　(3)解与根有关的证明题． 2. 一元二次方程根与系数的应用很多： 　　(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数； 　　(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数； 　　(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程． 知识点四：列一元二次方程解应用题 1.列方程解实际问题的三个重要环节： 　　一是整体地、系统地审题； 　　二是把握问题中的等量关系； 　　三是正确求解方程并检验解的合理性. 2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 3.解决应用题的一般步骤： 　　　审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 　　　设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 　　　列 (根据题目中的等量关系，列出方程)； 　　　解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）； 　　　答 (写出答案，切忌答非所问). 4.常见应用题型 　　传播问题、平均变化率问题、利润(销售)问题、形积问题等. 要点诠释： 　　列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决. 题型突破： 题型一：一元二次方程的有关概念 1.下列方程中，关于x的一元二次方程是（    ） A．（x+1）2＝2（x+1） B． C．ax2+bx+c＝0 D．x2+2x＝x2﹣1 2.若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D．m为任意实数 3.一元二次方程3x2－6x＝1化为－般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0）后，a，b，c的值分别是（    ） A．a＝3，b＝6，c＝1 B．a＝3，b＝－6，c＝1 C．a＝－3，b＝－6，c＝1 D．a＝3，b＝－6，c＝－1 4.已知x=1是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是（  ） A．5 B．﹣5 C．﹣4 D．4 5.若是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是________． 6.若m是方程x2+4x﹣1＝0的根，则代数式（m+2）2+5的值为 ___． 题型二：直接开平方法 1.方程的解是（   ） A． B． C． D．没有实数根 2.一元二次方程的根为　　 A． B． C．， D． 3.解下列一元二次方程可以直接开平方的是　　 A． B． C． D． 4．用直接开平方法解下列方程： （1）；（2）． ． 题型三：配方法 1.用配方法解方程x2+4x﹣5＝0，配方后正确的是（　　） A．（x+2）2＝9 B．（x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝1 D．（x+4）2＝21 2.用配方法解一元二次方程，配方后的方程为（    ） A． B． C． D． 3.用配方法将方程变形为，则m的值是（ ）． A. B. 4 C. D. 8 4．用配方法解下列方程： （1）；（2）； 题型四：公式法 1.关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c＝0（a≠0，b2﹣4ac＞0）的根是（　　） A． B． C． D． 2.下列各项中，以为根的一元二次方程可能是　　 A． B． C． D． 3.用公式法解一元二次方程3x2+3＝2x时，首先要确定a，b，c的值，下列选项正确的是（　　） A．a＝3，b＝2，c＝3 B．a＝﹣3，b＝2，c＝3 C．a＝3，b＝2，c＝﹣3 D．a＝3，b＝﹣2，c＝3 4．用公式法解下列方程： （1）；（2）； 题型五：用因式分解法解一元二次方程 1.方程的解是（     ） A．， B．， C．， D．， 2.关于x的一元二次方程的解是（    ） A． B．， C．， D．以上都不对 3.用因式分解法解方程，下列过程正确的是(    ) A. 化为或 B. 化为或 C. 化为或 D. 化为 4.下列一元二次方程中最适合用因式分解法来解的是(    ) A. B. C. D. 5.已知菱形ABCD的两条对角线长是方程x2-7x+12=0的两个根，则菱形ABCD的面积为（    ） A．6 B．7.5 C．10 D．12.5 6.利用因式分解法可以将一元二次方程x（x﹣2）＋x﹣2＝0转化为两个一元一次方程求解，这两个一元一次方程分别为_____． 7.方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为　 　． 8．用因式分解法解下列方程： （1）；（2）； （3）；（4）． 题型五：用适当的方法解一元二次方程 1.解方程4（3x+2）2＝3x+2，较恰当的解法是（　　） A．直接开方法 B．因式分解法 C．配方法 D．公式法 2.用适当的方法解下列方程． (1)(2) 3.选择合适的方法解下列方程： (1)x2-49=0； (2)2x2+6x-8=0． 题型六：判断一元二次方程根的情况 1.下列关于x 的一元二次方程，有两个不相等的实数根的方程的是( ) A. x2＋1＝0 B. x2＋2x＋1＝0 C. x2＋2x＋3＝0 D. x2＋2x－3＝0 2.下列一元二次方程没有实数根的是（　　） A．x2+2x+1=0 B．x2+x+2=0 C．x2﹣1=0 D．x2﹣2x﹣1=0 3.一元二次方程根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 题型七：确定字母的取值或范围 1.关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（　　） A．m≥ B．m＜ C．m＝ D．m＜﹣ 2.关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 3.关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______． 4.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_______． 5.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是___________. 6.已知关于x的一元二次方程． (1)当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？ (2)当时，用合适的方法求此时该方程的解． 题型八：一元二次方程的根与系数的关系 1.若关于x一元二次方程的根为，，则下面成立的是（ ） A. B. C. D. 2.若m，n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则m3﹣4n2+17的值为（　　） A．﹣2 B．6 C．﹣4 D．4 3.若一元二次方程的两根为，，则的值是（    ） A．4 B．2 C．1 D．﹣2 4.若、是关于的方程的两个实数根，且，则的值为______． 5.已知、是方程的两个实数根，则代数式的值是________． 6.已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣9＝0． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x1+x2＝6，求m的值． 题型九：传播问题 1.某校九年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，每两班之间都进行两场比赛，共需比赛12场，则九年级班级的个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 2.有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（    ） A．8人 B．9人 C．10人 D．11人 3.某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 4.某校九(1)班的学生互赠新年贺卡，共用去1560张贺卡，则九(1)班有________名学生． 5．一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握了36次手，设到会的人数为x人，则根据题意列方程为_____． 6.某种病毒传播非常快，如果一个人被感染，经过两轮感染后就会有64个人被感染． (1)求每轮感染中平均一个人会感染几个人； (2)若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会不会超过500人． 题型十：平均变化率问题 1.一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是（     ） A．100(1+x)=121 B．100(1-x)=121 C．100(1+x)2=121 D．100(1-x)2=121 2.某小型企业一月份的营业额为200万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额为1000万元．设月平均增长率为，可列方程为（    ） A． B． C． D． 3.某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为（     ） A．48（1﹣x）2=36 B．48（1+x）2=36 C．36（1﹣x）2=48 D．36（1+x）2=48 4．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（　　） A．200（1+x）2＝1000B．200+200×2x＝1000 C．200+200×3x＝1000D．200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000 5．某商品原售价为100元，经连续两次涨价后售价为121元，设平均每次涨价的百分率为x，则依题意所列的方程是　 　． 6．某种商品原来每件售价为200元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为128元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，可列方程为 　 　． 7.某农业大镇2023年猕猴桃总产量为12万吨，预计2025年猕猴桃总产量达到16万吨，求8.该镇猕猴桃总产量的年平均增长率，设该镇猕猴桃总产量的年平均增长率为x，则可列方程为______． 9.某校为响应我市全民阅读活动．利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆人次．进馆人次逐月增加，到第三个月进馆人数为人次，若进馆人次的月平均增长率相同． （1）求进馆人次的月平均增长率： （2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次．并说明理由． 题型十一：面积问题 1.如图，在长为33米宽为20米的矩形空地上修建同样宽的道路（阴影部分），余下的部分为草坪，要使草坪的面积为510平方米，则道路的宽为（　　） A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 2.如图，某学校计划在一块长12米，宽9米的矩形空地修建两块形状大小相同的矩形种植园，它们的面积之和为60平方米，两块种植园之间及周边留有宽度相等的人行通道，若设人行通道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程（    ） A． B． C． D． 3.在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶等宽的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400 cm2，设金色纸边的宽为 cm，根据题意所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 4.如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，AD＝8cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P到达终点后，P、Q两点同时停止运动，则 　 　秒时，△BPQ的面积是6cm2． 5.如图，某小区规划在一个长为24m、宽为10m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．若草坪部分的总面积为160m2，则小路的宽度为　 　m． 6.如图，有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的长方形花圃． （1）设花圃的一边AB为xm，则BC的长可用含x的代数式表示为　 　m； （2）当AB的长是多少米时，围成的花圃面积为63平方米？ 题型十二：利润(销售)问题 1.某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系.每盆植入3株时，平均单株盈利5元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利为20元，需要每盆增加几株花苗？设每盆增加 株花苗，下面列出的方程中符合题意的是（　　） A． B． C． D． 2．某网店销售一批运动装，平均每天可销售20套，每套盈利45元；为扩大销售量，增加盈利，采取降价措施，一套运动服每降价1元，平均每天可多卖4套，若网店要获利2100元，设每套运动装降价元，则列方程正确的是（       ） A． B． C． D． 3．某种服装，平均每天可销售50件，每件利润40元．若每件降价5元，则每天多售10件．如果要在扩大销量的同时，使每天的总利润达到2100元，每件应降价多少元？若设每件应降价元，则可列方程得（       ） A． B． C． D． 4．某商品进货价为每件10元，售价每件30元时平均每天可以售出20件，经调查发现，如果每件降低2元，那么平均每天多售出4件，若想每天盈利450元，设每件应降价x元，可列出方程为__________________． 5．某医药超市平均每天卖出口罩100个，每个赢利2元，为了尽快减少库存，该超市准备采取适当的降价措施．调查发现，如果每个口罩售价减少0.5元，那么平均每天可多售出80个．若该超市想平均每天赢利270元，每个口罩应降价多少元？若设每个口罩降价元，可列方程为_____________________．（不需要化简） 6．某超市销售一种水果，每月可售出500千克，每千克盈利10元．经市场分析，售价每涨1元，月销售量将减少10千克．如果该超市销售这种水果每月盈利8000元，那么该水果的单价涨了多少元？设水果单价涨了x元，根据题意，可列方程为_____． 7．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，由于疫情，为了扩大销售量，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天销售这种衬衫的盈利要达到1200元，则每件衬衫应降价多少元？设每件衬衫降价x元，由题意列得方程______． 8.某商店进了一批服装，进价为每件50元，按每件60元出售时，可销售800件；若单价每提高1元，则其销售量就减少20件，若商店计划获利12000元，且尽可能减少进货量，问销售单价应定为多少元？ 【答案】 第二十一章一元二次方程知识归纳与题型突破2025-2026学年人教版九年级上册（十二类题型） 知识归纳： 知识点一：一元二次方程的有关概念 1. 一元二次方程的概念： 　　通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 2. 一元二次方程的一般式： 　 3.一元二次方程的解： 　　使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 要点诠释： 判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2. 对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0． 知识点二：一元二次方程的解法 1．基本思想 一元二次方程一元一次方程 2．基本解法 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 要点诠释： 解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法． 知识点三：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即 （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 2.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 要点诠释： 1.一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题： 　　(1)不解方程判定方程根的情况； 　　(2)根据参系数的性质确定根的范围； 　　(3)解与根有关的证明题． 2. 一元二次方程根与系数的应用很多： 　　(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数； 　　(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数； 　　(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程． 知识点四：列一元二次方程解应用题 1.列方程解实际问题的三个重要环节： 　　一是整体地、系统地审题； 　　二是把握问题中的等量关系； 　　三是正确求解方程并检验解的合理性. 2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 3.解决应用题的一般步骤： 　　　审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 　　　设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 　　　列 (根据题目中的等量关系，列出方程)； 　　　解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）； 　　　答 (写出答案，切忌答非所问). 4.常见应用题型 　　传播问题、平均变化率问题、利润(销售)问题、形积问题等. 要点诠释： 　　列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决. 题型突破： 题型一：一元二次方程的有关概念 1.下列方程中，关于x的一元二次方程是（    ） A．（x+1）2＝2（x+1） B． C．ax2+bx+c＝0 D．x2+2x＝x2﹣1 【答案】A 2.若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D．m为任意实数 【答案】C 3.一元二次方程3x2－6x＝1化为－般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0）后，a，b，c的值分别是（    ） A．a＝3，b＝6，c＝1 B．a＝3，b＝－6，c＝1 C．a＝－3，b＝－6，c＝1 D．a＝3，b＝－6，c＝－1 【答案】D 4.已知x=1是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是（  ） A．5 B．﹣5 C．﹣4 D．4 【答案】D 5.若是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是________． 【答案】 6.若m是方程x2+4x﹣1＝0的根，则代数式（m+2）2+5的值为 ___． 【答案】10 题型二：直接开平方法 1.方程的解是（   ） A． B． C． D．没有实数根 【答案】C 2.一元二次方程的根为　　 A． B． C．， D． 【答案】 3.解下列一元二次方程可以直接开平方的是　　 A． B． C． D． 【答案】 4．用直接开平方法解下列方程： （1）；（2）． 【详解】解：（1） ， 则， 解得：，； （2）． ， 解得：，． 题型三：配方法 1.用配方法解方程x2+4x﹣5＝0，配方后正确的是（　　） A．（x+2）2＝9 B．（x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝1 D．（x+4）2＝21 【答案】A 2.用配方法解一元二次方程，配方后的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 3.用配方法将方程变形为，则m的值是（ ）． A. B. 4 C. D. 8 【答案】B 4．用配方法解下列方程： （1）；（2）； 【答案】（1），； （2），； 【详解】解：（1）， ，即， 则． ， 即，； （2）配方得：， 即． 两边开平方，得， ，； 题型四：公式法 1.关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c＝0（a≠0，b2﹣4ac＞0）的根是（　　） A． B． C． D． 【答案】A． 2.下列各项中，以为根的一元二次方程可能是　　 A． B． C． D． 【答案】 3.用公式法解一元二次方程3x2+3＝2x时，首先要确定a，b，c的值，下列选项正确的是（　　） A．a＝3，b＝2，c＝3 B．a＝﹣3，b＝2，c＝3 C．a＝3，b＝2，c＝﹣3 D．a＝3，b＝﹣2，c＝3 【答案】D． 4．用公式法解下列方程： （1）；（2）； 【答案】（1）； （2）； 【详解】（1）， ，，， △， ， ； （2）， ，，， △， ， ； 题型五：用因式分解法解一元二次方程 1.方程的解是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 2.关于x的一元二次方程的解是（    ） A． B．， C．， D．以上都不对 【答案】C 3.用因式分解法解方程，下列过程正确的是(    ) A. 化为或 B. 化为或 C. 化为或 D. 化为 【答案】A 4.下列一元二次方程中最适合用因式分解法来解的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B 5.已知菱形ABCD的两条对角线长是方程x2-7x+12=0的两个根，则菱形ABCD的面积为（    ） A．6 B．7.5 C．10 D．12.5 【答案】A 6.利用因式分解法可以将一元二次方程x（x﹣2）＋x﹣2＝0转化为两个一元一次方程求解，这两个一元一次方程分别为_____． 【答案】x﹣2＝0，x+1＝0 7.方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为　 　． 【答案】15 8．用因式分解法解下列方程： （1）；（2）； （3）；（4）． 【详解】（1）原方程可变形为： ， 或． ，． （2）原方程可变形为 ， ． ． （3）原方程可变形为 ， 或 ，． （4）原方程可变形为 ， ， 即． 或． ，． 题型五：用适当的方法解一元二次方程 1.解方程4（3x+2）2＝3x+2，较恰当的解法是（　　） A．直接开方法 B．因式分解法 C．配方法 D．公式法 【答案】B 2.用适当的方法解下列方程． (1)(2) (1) 解： 移项得：， ∴， ∴， 解得：； (2) 解：， ∴， ∴， ∴， 解得： 3.选择合适的方法解下列方程： (1)x2-49=0； (2)2x2+6x-8=0． (1) (2) 原方程可化为 即 题型六：判断一元二次方程根的情况 1.下列关于x 的一元二次方程，有两个不相等的实数根的方程的是( ) A. x2＋1＝0 B. x2＋2x＋1＝0 C. x2＋2x＋3＝0 D. x2＋2x－3＝0 【答案】D 2.下列一元二次方程没有实数根的是（　　） A．x2+2x+1=0 B．x2+x+2=0 C．x2﹣1=0 D．x2﹣2x﹣1=0 【答案】B 3.一元二次方程根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 题型七：确定字母的取值或范围 1.关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（　　） A．m≥ B．m＜ C．m＝ D．m＜﹣ 【答案】B 2.关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 3.关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______． 【答案】 4.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_______． 【答案】且 5.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是___________. 【答案】且 6.已知关于x的一元二次方程． (1)当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？ (2)当时，用合适的方法求此时该方程的解． （1）解：由题意得:＞0，即：，，解得：，∵该方程为一元二次方程，∴，∴当，且时，方程有两个不相等的实数根； （2）解：当m＝2时，方程为，∵＝9＋4×2×2＝25＞0，∴，∴，． 题型八：一元二次方程的根与系数的关系 1.若关于x一元二次方程的根为，，则下面成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 2.若m，n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则m3﹣4n2+17的值为（　　） A．﹣2 B．6 C．﹣4 D．4 【答案】A 3.若一元二次方程的两根为，，则的值是（    ） A．4 B．2 C．1 D．﹣2 【答案】A 4.若、是关于的方程的两个实数根，且，则的值为______． 【答案】 5.已知、是方程的两个实数根，则代数式的值是________． 【答案】3 6.已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣9＝0． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x1+x2＝6，求m的值． 【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣2m）2﹣4×（m2﹣9）＝4m2﹣4m2+36＝36＞0， ∴此方程有两个不相等的实数根． （2）解：x2﹣2mx+m2﹣9＝0，即（x﹣m+3）（x﹣m﹣3）＝0， 解得：x1＝m+3，x2＝m﹣3． ∵x1+x2＝6， ∴2m＝6， 解得：m＝3． 题型九：传播问题 1.某校九年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，每两班之间都进行两场比赛，共需比赛12场，则九年级班级的个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 2.有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（    ） A．8人 B．9人 C．10人 D．11人 【答案】B 3.某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 4.某校九(1)班的学生互赠新年贺卡，共用去1560张贺卡，则九(1)班有________名学生． 【答案】40 5．一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握了36次手，设到会的人数为x人，则根据题意列方程为_____． 【答案】x（x﹣1）=36 6.某种病毒传播非常快，如果一个人被感染，经过两轮感染后就会有64个人被感染． (1)求每轮感染中平均一个人会感染几个人； (2)若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会不会超过500人． （1） 解：设每轮感染中平均一个人会感染x个人， 依题意，得：1+x+x（1+x）=64， 解得：x1=7，x2=-9（不合题意，舍去）． 答：每轮感染中平均一个人会感染7个人． （2） 64×（1+7）=512（人），512＞500． 答：若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会超过500人． 题型十：平均变化率问题 1.一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是（     ） A．100(1+x)=121 B．100(1-x)=121 C．100(1+x)2=121 D．100(1-x)2=121 【答案】C 2.某小型企业一月份的营业额为200万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额为1000万元．设月平均增长率为，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 3.某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为（     ） A．48（1﹣x）2=36 B．48（1+x）2=36 C．36（1﹣x）2=48 D．36（1+x）2=48 【答案】D 4．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（　　） A．200（1+x）2＝1000B．200+200×2x＝1000 C．200+200×3x＝1000D．200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000 【答案】D 5．某商品原售价为100元，经连续两次涨价后售价为121元，设平均每次涨价的百分率为x，则依题意所列的方程是　 　． 【答案】100（1+x）2＝121 6．某种商品原来每件售价为200元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为128元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，可列方程为 　 　． 【答案】200（1﹣x）2＝128． 7.某农业大镇2023年猕猴桃总产量为12万吨，预计2025年猕猴桃总产量达到16万吨，求8.该镇猕猴桃总产量的年平均增长率，设该镇猕猴桃总产量的年平均增长率为x，则可列方程为______． 【答案】 9.某校为响应我市全民阅读活动．利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆人次．进馆人次逐月增加，到第三个月进馆人数为人次，若进馆人次的月平均增长率相同． （1）求进馆人次的月平均增长率： （2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次．并说明理由． 解：（1）设平均增长率为．由题意可得， 解得： （舍） 进馆人次的月平均增长率为． （2）（人） ， 校图书馆可以接纳第四个月的进馆人次． 题型十一：面积问题 1.如图，在长为33米宽为20米的矩形空地上修建同样宽的道路（阴影部分），余下的部分为草坪，要使草坪的面积为510平方米，则道路的宽为（　　） A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 【答案】C 2.如图，某学校计划在一块长12米，宽9米的矩形空地修建两块形状大小相同的矩形种植园，它们的面积之和为60平方米，两块种植园之间及周边留有宽度相等的人行通道，若设人行通道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D． 3.在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶等宽的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400 cm2，设金色纸边的宽为 cm，根据题意所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 4.如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，AD＝8cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P到达终点后，P、Q两点同时停止运动，则 　 　秒时，△BPQ的面积是6cm2． 【答案】2或3 5.如图，某小区规划在一个长为24m、宽为10m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．若草坪部分的总面积为160m2，则小路的宽度为　 　m． 【答案】：2． 6.如图，有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的长方形花圃． （1）设花圃的一边AB为xm，则BC的长可用含x的代数式表示为　 　m； （2）当AB的长是多少米时，围成的花圃面积为63平方米？ 【答案】（1）30－3x（2）AB的长为7m时，花圃的面积为63m2． 【解答】（1）30－3x （2）解：由题意得：﹣3x2+30x＝63． 解此方程得x1＝7，x2＝3． 当x＝7时，30﹣3x＝9＜10，符合题意； 当x＝3时，30﹣3x＝21＞10，不符合题意，舍去； 故当AB的长为7m时，花圃的面积为63m2． 题型十二：利润(销售)问题 1.某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系.每盆植入3株时，平均单株盈利5元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利为20元，需要每盆增加几株花苗？设每盆增加 株花苗，下面列出的方程中符合题意的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 2．某网店销售一批运动装，平均每天可销售20套，每套盈利45元；为扩大销售量，增加盈利，采取降价措施，一套运动服每降价1元，平均每天可多卖4套，若网店要获利2100元，设每套运动装降价元，则列方程正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 3．某种服装，平均每天可销售50件，每件利润40元．若每件降价5元，则每天多售10件．如果要在扩大销量的同时，使每天的总利润达到2100元，每件应降价多少元？若设每件应降价元，则可列方程得（       ） A． B． C． D． 【答案】A 4．某商品进货价为每件10元，售价每件30元时平均每天可以售出20件，经调查发现，如果每件降低2元，那么平均每天多售出4件，若想每天盈利450元，设每件应降价x元，可列出方程为__________________． 【答案】（30﹣x﹣10）（20+2x）＝450 5．某医药超市平均每天卖出口罩100个，每个赢利2元，为了尽快减少库存，该超市准备采取适当的降价措施．调查发现，如果每个口罩售价减少0.5元，那么平均每天可多售出80个．若该超市想平均每天赢利270元，每个口罩应降价多少元？若设每个口罩降价元，可列方程为_____________________．（不需要化简） 【答案】 6．某超市销售一种水果，每月可售出500千克，每千克盈利10元．经市场分析，售价每涨1元，月销售量将减少10千克．如果该超市销售这种水果每月盈利8000元，那么该水果的单价涨了多少元？设水果单价涨了x元，根据题意，可列方程为_____． 【答案】（10+x）（500﹣10x）＝8000 7．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，由于疫情，为了扩大销售量，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天销售这种衬衫的盈利要达到1200元，则每件衬衫应降价多少元？设每件衬衫降价x元，由题意列得方程______． 【答案】 8.某商店进了一批服装，进价为每件50元，按每件60元出售时，可销售800件；若单价每提高1元，则其销售量就减少20件，若商店计划获利12000元，且尽可能减少进货量，问销售单价应定为多少元？ 解：设销售单价为x元，则： ， ∴，． ∵为了减少进货量， ∴（舍），． 答：销售单价为80元． 学科网（北京）股份有限公司 $