2.6 应用一元二次方程（第2课时）（教学设计）数学北师大版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦用一元二次方程解决营销问题（利润、售价、销量关系）和增长率问题，通过新华商场冰箱销售情境导入，复习列方程步骤与利润公式，衔接已有方程解法和应用题经验，搭建从实际问题到数学建模的学习支架。 此资料以生活情境激活数学眼光，如营销问题引导抽象“总利润=单件利润×总销量”关系，增长率问题用线段图培养几何直观。通过小组讨论和实例（冰箱定价、成本下降）发展推理意识与应用意识，助力学生掌握建模方法，也为教师提供清晰路径和分层练习，提升课堂效率。

2. 6 应用一元二次方程 第2课时 教学设计 1.教学内容 本节课选自北师大版九年级上册第二章一元二次方程第6节应用一元二次方程（第2课时） - 核心知识点：用一元二次方程解决营销问题（含利润、售价、销量关系）；用一元二次方程解决增长率（或下降率）问题。 2.内容解析 本课时是一元二次方程应用的延伸，核心逻辑为“实际问题→数学建模→方程求解→检验应用”。从知识价值看，营销问题需结合“总利润=单件利润×总销量”公式，体现数学与经济生活的关联；增长率问题需掌握“最终量=初始量×(1±x)n”（n为增长/下降次数，x为平均百分率）的模型，是解决连续变化问题的关键。教学重点为两类问题中等量关系的确定与方程构建，难点是根据实际情境调整解的合理性（如舍去负根、不符合题意的解），整体内容为后续复杂实际问题建模奠定基础。 1.教学目标 1. 会用一元二次方程的方法解决营销问题及增长率问题（重点、难点）； 2. 进一步培养将实际问题转化为数学问题的能力及分析问题、解决问题的能力。 2.目标解析 1. 营销问题目标达成标准：能准确识别“售价、进价、销量”的变化关系，根据“总利润=单件利润×总销量”列出一元二次方程，且能检验并确定符合实际的定价或降价金额； 2. 增长率问题目标达成标准：能区分“增长”与“下降”情境，正确代入“最终量=初始量×(1±x)n”模型列方程，熟练求解并验证平均百分率的合理性； 3. 能力目标达成标准：面对新的实际问题（如农产品储藏获利、贺卡降价盈利），能自主梳理数量关系，完成“实际语言→数学符号→方程”的转化，且能对解进行有效检验。 1. 已有知识基础：学生已掌握一元二次方程的解法（因式分解法、直接开平方法等），理解列一元一次方程解应用题的“审、设、列、解、验、答”步骤，且对“利润=售价-进价”“增长率”等基础概念有生活认知； 2. 学习难点： - 营销问题中，销量随售价变化的“增减幅度”计算（如“每降低50元多售4台”需转化为“降价x元时多售()台”）； - 增长率问题中，对“连续两次变化”的模型理解（如“2月到3月、3月到4月两次下降”需用(1-x) 2表示）； - 列方程时易忽略“等量关系的准确性”（如总利润计算漏算成本、增长率问题混淆初始量与中间量）； 3. 学习优势：对生活中的营销、增长场景较熟悉，可通过情境实例降低建模难度，且具备初步的小组讨论与逻辑推理能力。 1、复习回顾 1. 列一元二次方程解应用题的一般步骤是什么? (1) “审”，审清题意，找出等量关系； (2) “设”，设出未知数，用所设的未知数表示其他量； (3) “列”，列一元二次方程； (4) “解”，解一元二次方程； (5) “验”，检验所求的解是否符合题意，确定未知数的值； (6) “答”，作答. 2.利润问题中的常见公式: ①利润=售价 – 进价=进价× 利润率 ； ②利润率= ×100%； ③总利润= 单件利润 ×销量. 2.创设情景，引入新课 1. 营销情境问题：新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元。当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台。请思考： - 当销售价为2700元时，平均每天能多售出多少台？ - 此时每天的利润是多少元？ 2. 计算引导：先计算售价从2900元到2700元的降价金额（2900-2700=200元），再根据“每降50元多售4台”，得多售数量为(200/50)×4=16台；利润为多售数量×单件利润=16×(2700-2500)=3200元。 【设计意图】通过具体的生活场景问题，激活学生对“利润、售价、销量”的已有认知，同时自然引出“售价变化影响销量与利润”的核心矛盾，为后续营销问题的深入探究铺垫，且通过简单计算降低新课门槛，激发学习兴趣。 探究一：利用一元二次方程解决营销问题 探究1：新华商场销售某种冰箱，每台进价为2500元.市场调研表明:当销售价为2900元时，平均每天能售出8台;而当销价每降低50元时，平均每天能多售4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元? 2. 师生活动 - 教师引导：提问“利润达到5000元的核心等量关系是什么？”，组织学生小组讨论，梳理“单件利润、总销量、总利润”的关系； - 学生探究：小组内分析“降价x元”对单件利润（2900-x-2500）和总销量（8+4×）的影响，尝试列出方程。 3. 详细过程 1. 审：明确等量关系——每台销售利润×平均每天销售数量=5000元； 2. 设：设每台冰箱降价x元，则每台冰箱定价为(2900-x)元，单件利润为(2900-x-2500)元，总销量为(8+4×)台； 3. 列：根据等量关系列方程：； 4. 解：化简方程：，进一步整理为，用因式分解法得； 5. 验：x=150为正数，符合“降价”情境，定价2900-150=2750元，检验总利润：(2750-2500)×(8+4×())=250×20=5000元，符合题意； 6. 答：每台冰箱定价应为2750元。 4. 例题巩固 题目：某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个。调查发现，售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个。为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应购进台灯多少个？ - 解析步骤： 1. 设：设每个台灯上涨x元，则售价为(40+x)元，单件利润为(40+x-30)元，总销量为(600-10x)个； 2. 列：根据“总利润=10000元”列方程：； 3. 解：化简得，解得，（因售价需在40-60元范围内，x=40时售价为80元，舍去）； 4. 算：售价=40+10=50元，进货量=600-10×10=500个； - 答案总结：台灯售价应定为50元，这时应购进台灯500个。 【设计意图】通过“情境延续→问题深化”的方式，让学生逐步掌握营销问题的建模逻辑，小组讨论与教师引导结合突破“销量随售价变化”的难点；例题巩固进一步强化“设元→列方程→检验”的步骤，培养学生结合实际筛选解的能力。 知识归纳 商品销售问题： 单件利润 = 售价 - 成本（成本为固定值，售价变化会直接影响单件利润）； 总销量 = 原销量 ± 因售价变化增减的销量（通常 “降价则销量增加，涨价则销量减少”，需根据题目条件确定增减幅度）； 总利润 = 单件利润 × 总销量（这是列方程的核心等量关系，题目常以 “总利润达到某一数值” 为目标，据此建立方程）. 练一练 1. 某商场购进一批商品，每件进价为8元，若售价为13元，每天可卖出48件.商家决定降价促销，根据市场调查，每降价0.5元，每天可多卖出2件，现在商家要使每天销售利润达到168元，则商家应将售价定为多少元？设定价为x元，则每件商品获利（x﹣8）元；此时定价相对13元降低（13﹣x）元，销售量应变为件，故可列方程：. 探究二：利用一元二次方程解决增长率问题 1. 问题引入 某公司1 月份的生产成本是400 万元，由于改进生产技术，生产成本逐月下降，3 月份的生产成本是361 万元. 假设该公司2，3，4 月每个月生产成本的下降率都相同. (1)求每个月生产成本的下降率； (2) 请你预测4月份该公司的生产成本. 2. 师生活动 - 教师引导：用线段图演示“1月成本→2月成本→3月成本”的变化过程，提问“两次下降的百分率相同，如何用代数式表示2月、3月的成本？”； - 学生探究：自主尝试用“初始量×(1-下降率)”表示单次下降后的量，推导两次下降后的成本表达式，进而列出方程。 3. 详细过程 1. 审：明确等量关系——1月成本×(1-下降率)2=3月成本； 2. 设：设每个月生产成本的下降率为x，则2月成本为400(1-x)万元，3月成本为400(1-x)2万元； 3. 列：根据题意列方程：； 4. 解：用直接开平方法，得，，舍去负根（下降率不能为负），得x=5%； 5. 验：x=5%符合“下降率”的实际意义，3月成本=400×(1-5%)2=361万元，与题意一致； 6. 算4月成本：361×(1-5%)=342.95万元； 7. 答：下降率为5%，4月生产成本预测为342.95万元。 4. 例题巩固 题目：某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元。求3月份到5月份营业额的月平均增长率。 - 解析步骤： 1. 算3月营业额：400×(1+10%)=440万元； 2. 设：设3月到5月营业额的月平均增长率为x，则4月营业额为440(1+x)万元，5月营业额为440(1+x)2万元； 3. 列：根据题意列方程：； 4. 解：化简得，解得（20%），（舍去负根）； - 答案总结：3月份到5月份营业额的月平均增长率为20%。 【设计意图】通过线段图直观呈现“连续变化”过程，帮助学生理解增长率模型的推导逻辑；例题巩固区分“先增长再连续增长”的情境，强化对“初始量”的准确判断，突破“多次变化模型构建”的难点。 知识归纳 增长率（或下降率）问题： 若平均增长（或降低）百分率为x，增长（或降低）前的量是a，增长（或降低）n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为a (1± x )n=b（其中增长取“ ＋ ”，降低取“ ﹣ ”）. 练一练 2. 一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元.设两次降价的百分率都为 x，则 x满足（ D ）A. B. C. D. 议一议 利用方程解决实际问题的关键是什么？ 利用方程解决实际问题，关键是从实际情境中准确找出“等量关系”.无论是利润问题中“总利润 = 单件利润 × 总销量”，还是增长率问题中“最终量 = 初始量 × (1 + 增长率)²”，或是几何问题中“周长/面积公式”等，所有方程的构建都依赖于这一核心——将题目中隐含的、表示数量之间相等关系的语句转化为数学等式，只有先找准等量关系，才能确定未知数、列出方程，进而解决问题. 典例分析 例1：某批发市场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出 500 张，每张赢利 0.3 元. 为了尽快减少库存，摊主决定采取适当的降价措施.调查发现，如果这种贺年卡的售价每降价 0.05 元，那么平均每天可多售出 200 张. 摊主要想平均每天赢利 180 元，每张贺年卡应降价多少元？ 【解析】解：设每张贺卡应降价x元，每张贺卡的利润为(0.3﹣x)元， 因降价多售出的数量为 张，总销量为 （）张， 根据题意，得(0.3﹣x)（）=180 . 解这个方程，得x1＝0.1， x2＝0.03. 又因为摊主想尽快减少库存，所以降得越多，卖得越多. 所以在盈利相同的情况下选择降价 0.1元更合适. 例2：某公司今年 10 月的营业额为 2500 万元，按计划第四季度的总营业额要达到 9100 万元，求该公司 11，12 两个月营业额的月均增长率. 【解析】设该公司 11，12 两个月营业额的月均增长率为x， 10月营业额：2500万元 11月营业额：2500(1＋x)万元 12月营业额：2500(1＋x)2万元 第四季度总营业额为10月、11月、12月营业额之和， 根据题意，得2500+2500(1＋x) +2500(1＋x)2 =9100 解这个方程，得x1＝0.2= 20%， x2＝ ﹣3.2（不合题意，舍去）. 所以，该公司 11，12 两个月营业额的月均增长率为 20%. 1. 两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元.设甲种药品成本的年平均下降率为x，根据题意，下列方程正确的是（ B ） A. B. C. D. 2. 某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，如果每月的增长率相同，那么x满足的方程是（ C ） A. B. C. D. 3. 某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件.若生产的产品一天的总利润为1120元，且同一天所生产的产品为同一档次，则该产品的质量档次是（ A ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 4. 元旦将至，九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九年级一班共有多少名学生？设九年级一班共有名学生，那么所列方程为（ D ） A. B. C. D. 5. 一个农业合作社以 64000 元的成本收获了某种农产品 80 t，目前可以以 1200 元/t 的价格售出.如果储藏起来，每星期会损失 2t，且每星期需支付各种费用 1600 元，但同时每星期每吨的价格将上涨 200 元. 那么，储藏多少个星期后出售这批农产品可获利 122000 元？ 【解答】解：设储藏x个星期后出售这批农产品可获利122000元，依题意有： (1200 + 200 x) (80 - 2x) - 1600x - 64000 = 122000 解得：x1＝x2＝15. 答：储藏 15个星期出售这批农产品可获利 122000元. 6. 菜农李伟种植的某蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售. (1)求平均每次下调的百分率； 解：设平均每次下调的百分率为x， 由题意，得5(1﹣x)2＝3.2. 解得：x1＝0.2= 20%， x2＝ 1.8（不合题意，舍去）. ∴平均每次下调的百分率为20%； (2) 小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元.试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由. 解：小华选择方案一购买更优惠，理由如下： 5吨 = 5000千克 方案一所需费用为：3.2×0.9×5000=14400(元) 方案二所需费用为：3.2×5000－200×5=15000(元) 因为1400＜1500， 所以小华选择方案一购买更优惠. （设计意图：通过不同难度层次的练习，全面检验学生对知识的掌握情况，及时发现学生在学习过程中存在的问题，并进行有针对性的查漏补缺。） （教学建议：让学生独立完成练习后，同桌之间相互检查答案。教师针对错误率较高的题目进行集中讲解，特别要强调在实际问题中，解的合理性至关重要.） (设计意图：帮助学生系统梳理本节课的知识体系，强化重点内容，培养学生的总结归纳能力，使学生构建起清晰的知识框架。) (教学建议：采用 “学生先说，教师后补” 的方式，鼓励学生用自己的语言表达学习收获。对于学生遗漏的要点，教师通过提问的方式引导学生回忆) 1. 必做题：教材习题2.10第1-3题（巩固营销问题与增长率问题的基础解法）； 2. 探究性作业：教材习题2.10第4题（拓展复杂情境下的一元二次方程应用，培养综合分析能力）。 （设计意图：巩固学生对本课核心知识点的掌握，兼顾基础练习与思维延伸。） 2.6 应用一元二次方程（第2课时） 一、知识回顾 二、营销问题 1. 核心公式： - 单件利润=售价-成本 - 总利润=单件利润×总销量 2. 例题（冰箱定价）： 三、增长率问题 1. 核心模型： - 最终量=初始量×(1±x) n（n为变化次数） 2. 例题（成本下降） 四、典型例题解析 本课时通过生活情境导入，有效激发了学生兴趣，多数学生能掌握营销问题与增长率问题的核心公式和模型，基本达成“会用一元二次方程解决两类问题”的目标。但教学中发现，部分学生在以下方面仍有困难：一是营销问题中“销量随售价变化的幅度计算”（如“每上涨1元少售10个”转化为代数式时易出错）；二是增长率问题中“多次变化的初始量判断”（如混淆2月与3月营业额作为初始量）。后续教学可增加“销量-售价”“初始量-变化次数”的专项辨析练习，同时给予小组合作列方程的时间，让学生在交流中梳理数量关系，进一步突破建模难点。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $