专题04 二次函数（期中复习讲义）（必备知识+7大题型+分层检测）九年级数学上学期沪教版五四制

专题04 二次函数（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 二次函数的基本概念 能准确阐述二次函数的定义，明确一般式 中系数的取值范围及各自的几何意义， 基础必考点，主要考查二次函数的定义、二次函数表达式中字母系数的取值范围；二次函数的图象特征。 二次函数的图象与性质 能熟练画出给定二次函数的图象，全面掌握二次函数的性质，尤其是结合图象分析函数性质和解决问题。 二次函数的核心考点，重点考查函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值等性质。 二次函数的三种表达式 熟悉二次函数的三种形式：能根据不同的题目条件灵活选择合适的表达式形式。 基础考点，解决二次函数相关问题的基础，在各种题型中都会涉及。 二次函数解决实际问题 能从实际问题中抽象出二次函数模型，明确问题中的自变量和因变量，在解决过程中要注意自变量的取值范围需符合实际意义。 高频热点，主要考查将实际问题转化为数学问题，建立二次函数模型并解决问题的能力，尤其是最值问题的应用。 二次函数综合应用 掌握分类讨论的方法和步骤，做到分类标准统一、不重复、不遗漏，在每一种情况下都能准确求解，最后综合各种情况得出结论。 二次函数的核心考点，在二次函数综合题中，由于某些条件的不确定性，需要对不同情况进行分类讨论。 知识点01 二次函数的概念 一般地，形如y=ax²+bx+c (其中a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.其中，x是自变量，a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项。 注意：如果已说明该函数为二次函数,那么隐含条件为a≠0. 知识点02 二次函数的图像与性质 对称轴 顶点 开口方向 变化情况 直线 时，开口向上，顶点是最低点； 时，开口向下，顶点是最高点； 当时，抛物线在对称轴（直线）左侧的部分下降，在右侧上升；时，在对称轴左侧上升，在对称轴右侧下降. 直线 直线 直线 直线 知识点03 抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． b2-4ac与 0的关系 二次函数与x轴交点个数 一元二次方程ax2+bx+c= 0根的情况 b2-4ac>0 2个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac=0 1个交点 有一个不相等的实数根 b2-4ac<0 0个交点 没有实数根 （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 知识点04 待定系数法求二次函数解析式 名称 解析式 适用范围 一般式 y=ax²+bx+c (a≠0) 已知抛物线上的无规律的三个点的坐标 顶点式 y＝a(x–h)²＋k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k） 已知抛物线的顶点坐标或对称轴、最值 交点式 y＝a（x–x1）（x–x2） (a≠0) 已知抛物线与x 轴两交点坐标 注意:抛物线与x轴交点的横坐标就是方ax²+bx+c=0的解 相互联系 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. 2)一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法. 知识点05 用二次函数解决实际问题的一般步骤 1.审：仔细审题，理清题意； 2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； 5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 注意：二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 题型一 二次函数的识别 【典例1】（24-25九年级上·上海浦东新·期中）下列属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·上海普陀·期中）下列函数中，一定为二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·上海浦东新·期中）观察：①；②；③；④；⑤；⑥．这六个式子中，二次函数有 ．（只填序号） 题型二 二次函数的图象和性质 【典例1】（24-25九年级上·上海·期中）已知抛物线的图像开口向下，则m的取值范围是 ． 【典例2】（24-25九年级上·上海·期中）二次函数的图像的对称轴是 ． 【典例3】（24-25九年级上·上海普陀·期中）如果抛物线经过原点，那么 ． 【变式1】（24-25九年级上·上海静安·期中）如果抛物线（k是常数）的顶点在y轴上，那么该抛物线的顶点坐标为 ． 【变式2】（24-25九年级上·上海普陀·期中）已知关于的二次函数，当时，随的增大而减小，且当时，有最大值16，则的值为 ． 题型三 根据二次函数的图象判断各项系数或式子符号 【典例1】（24-25九年级上·上海·期中）已知二次函数的图象如图所示，那么a、b、c的符号为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【典例2】（24-25九年级上·上海·期中）如图，已知抛物线（a，b，c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点A，与y轴的交点B在，之间（不含端点），下列四个结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例3】（24-25九年级上·上海·期中）如图，二次函数的图像与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，它的对称轴为直线，下列结论中正确的有（   ） ①；②；③； ④当（为实数）时， A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1】（24-25九年级上·上海奉贤·期中）如图所示：抛物线的对称轴是直线，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·上海徐汇·期中）如图，是二次函数图象的一部分，直线是对称轴，且经过点．有下列判断：①；②；③；④若，是抛物线上两点，则．其中正确的是（   ） A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④ 【变式3】（24-25九年级上·上海青浦·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论： ①；②；③；④（为任意实数）；⑤若，，是抛物线上三点，则；⑥关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；其中正确的个数是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 题型四 二次函数图象的平移 【典例1】（24-25九年级上·上海普陀·期中）将抛物线向左平移4个单位后得到的新抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25九年级上·上海·期中）将抛物线向右平移2个单位，所得新抛物线经过原点，那么m的值为 ． 【变式1】（24-25九年级上·上海静安·期中）抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的顶点关于直线对称的点坐标是 ． 【变式2】（24-25九年级上·上海宝山·期中）如果抛物线向右平移一个单位后，顶点落在抛物线上，那么的值等于 ． 题型五 待定系数法求二次函数解析式 【典例1】（23-24九年级上·上海奉贤·期中）已知一个二次函数的图像经过、、三点． (1)求这个函数的解析式，并写出它的对称轴； (2)求点关于对称轴对称的点的坐标． 【典例2】（24-25九年级上·上海普陀·期中）已知二次函数的图像经过原点，顶点坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)如果二次函数的图像与x轴交于点A（不与原点重合），连结，试判断的形状并说明理由． 【典例3】（21-22九年级上·上海奉贤·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（1，0），B（0，2）、C（3，0）． （1）求该抛物线的表达式； （2）设该抛物线的对称轴与x轴的交点为D，点E在该抛物线的对称轴上，如果以点A、D、E所组成的三角形与△AOB相似，求点E的坐标． 【变式1】（22-23九年级上·上海静安·期中）已知抛物线经过点，，． (1)求该二次函数的解析式； (2)写出该抛物线的对称轴和顶点坐标． 【变式2】（24-25九年级上·上海·期中）已知抛物线经过点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)平移抛物线得到新抛物线．新抛物线与x轴、y轴都只有一个交点，分别为点． ①求两点坐标． ②在抛物线上有一动点R，使得平行于的一边，求出点R的坐标． 题型六 实际问题与二次函数 【典例1】（23-24九年级上·上海青浦·期中）某商店一月份销售额为万元，月平均增长率（），一季度的销售额为万元，那么关于月平均增长率的函数解析式是 ． 【典例2】（24-25九年级上·上海静安·期中）已知：如图是400米跑道示意图，中间的足球场是矩形，两边是全等的半圆，设直道的长为x米，足球场的面积为S平方米． (1)求出S关于x的函数关系式（结果保留），并写出定义域； (2)当直道的长为多少米时，足球场的面积最大？ 【变式1】（22-23九年级上·上海徐汇·期中）“阳光体育活动”促进了学校体育活动的开展，小杰在一次铅球比赛中，铅球出手以后的轨迹是抛物线的一部分（如图所示），已知铅球出手时离地面1.6米（如图，直角坐标平面中的长），铅球到达最高点时离地面2米（即图中的长），离投掷点3米（即图中的长），请求出小杰这次掷铅球的成绩（即图中的长，精确到0.01米，参考数据）． 【变式2】（22-23九年级上·上海静安·期中）有一座抛物线形状的拱桥，已知正常水位时，水面的宽度为20米，拱顶距水面5米，如图是拱桥的截面图，其中桥拱截线是一段抛物线，平面直角坐标系的原点是桥拱截线与水位正常的水面截线相交处的一点，轴在水面截线上；是警戒线，拱顶到的距离为1.8米． (1)求桥拱截线所在抛物线的表达式； (2)求达到警戒线位置时水面的宽度． 题型七 二次函数综合题 【典例1】（24-25九年级上·上海·期中）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且经过点． (1)求a、b的值； (2)如果点B是抛物线的顶点，求的面积． 【典例2】（24-25九年级上·上海·期中）如图，抛物线经过点，点．      (1)求这条抛物线的表达式； (2)点是抛物线对称轴上的点，联结， ①如果，求点的坐标； ②如果，求直线的表达式． 【典例3】（24-25九年级上·上海·期中）已知抛物线与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点． (1)求抛物线表达式和点A、B的坐标； (2)点P是第四象限抛物线上一点，线段与线段相交于点M，若，求点P的坐标： (3)将抛物线向上平移，平移后新的抛物线顶点为点D，点C的对应点为点E．设直线与x轴正半轴交于点F，与线段交于点G，当时，求平移后抛物线的表达式． 【典例4】（24-25九年级上·上海青浦·期中）定义：已知一次函数与二次函数，我们把函数称为与的“复合函数”． 例如：一次函数与二次函数的“复合函数”为． 已知一次函数与二次函数，函数为与的“复合函数”． (1)如果的图像上存在不同的两点与，求的值； (2)如果的图像经过原点，那的图像是否经过某一定点？若经过，求出点坐标，若不经过，请说明理由； (3)如果的图像同时满足（1）（2）的条件，记的图像与轴的另一个交点为点A，记的图像与轴的交点为点B，则的图像上是否存在点C，使得以A、B、C、P四点为顶点所组成的凸四边形为中心对称图形？若存在，求出所有满足条件的中心对称图形的对称中心坐标，若不存在，请说明理由． 【变式1】（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，已知抛物线与x轴交于，的两点，与y轴交于点，D为顶点，点P是x轴上方的抛物线上的一个动点，轴于点M，与交于点E． (1)求该抛物线所对应的函数关系式及顶点D的坐标； (2)设点P的横坐标为， ①当t为何值时，线段的长最大； ②连接，求的正弦值； (3)是否存在点P，使得以点P，M、B为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2】（22-23九年级上·上海·期中）我们定义【，，】为函数的“特征数”，如：函数的“特征数”是【2，，5】，函数的“特征数”是【0，1，2】 (1)若一个函数的“特征数”是【1，，1】，将此函数图像先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到一个图像对应的函数“特征数”是______； (2)将“特征数”是【0，，】的图像向上平移2个单位，得到一个新函数，这个函数的解析式是______； (3)在（2）中，平移前后的两个函数图像分别与轴交于A、两点，与直线分别交于、两点，在给出的平面直角坐标系中画出图形，并求出以A、、、四点为顶点的四边形的面积； (4)若（3）中的四边形与“特征数”是【1，，】的函数图像有交点，求满足条件的实数的取值范围． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（23-24九年级上·上海长宁·期中）二次函数图象的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（23-24九年级上·上海青浦·期中）已知抛物线的最高点为，则 ． 3．（24-25九年级上·上海·期中）拋物线向左平移2个单位得到的抛物线表达式为 ． 4．（23-24九年级上·上海长宁·期中）已知抛物线经过点，．试比较和的大小： （填“＞”，“＜”或“＝”） 5．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如果抛物线在对称轴的左侧，的值随的增大而增大，那么的取值范围是 ． 6．（24-25九年级上·上海青浦·期中）已知函数，在范围内，函数的值随的值的增大而 ． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 一、填空题 1．（24-25九年级上·上海·期中）当 时（只要填一个符合条件的m值即可），抛物线（m是常数）经过一、二、三象限． 2．（24-25九年级上·上海普陀·期中）已知二次函数的图象经过点、，那么该二次函数图象的对称轴为直线 ． 3．（23-24九年级上·上海普陀·期中）定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的“割距”，如图，线段长就是抛物线关于直线的“割距”，已知直线与轴交于点，与轴交于点，点恰好是抛物线的顶点，则此时抛物线关于直线的割距是 ．      4．（23-24九年级下·上海崇明·期中）新定义：我们把抛物线，（其中）与抛物线称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为．已知抛物线的“关联抛物线”为，抛物线的顶点为P，且抛物与x轴相交于M、N两点，点P关于x轴的对称点为Q，若四边形是正方形，那么抛物线的表达式为 ． 二、解答题 5．（23-24九年级上·上海青浦·期中）已知二次函数在时取到最小值为，且该函数图像顶点、图像与轴交点及原点构成的三角形面积为 (1)求此二次函数的解析式； (2)将抛物线沿轴平移，平移后顶点为，若与相似，求平移后的抛物线解析式． 6．（24-25九年级上·上海·期中）如图，已知抛物线与y轴交于点A，且对称轴是直线． (1)求该抛物线顶点P的坐标并说明抛物线的变化情况； (2)已知点B的坐标为，设，用向量表示（请直接写出答案）． 7．（23-24九年级上·上海宝山·期中）某社区两条平行的小道之间有一块三角形空地.如图，这两条小道、之间的距离为9米，表示这块空地，米.现要在空地内划出一个矩形区域建造花坛，使它的一边在上，其余两个顶点分别在边、上.    (1)如果矩形花坛的边，求出这时矩形花坛的两条邻边的长； (2)矩形花坛的面积能否占空地面积的？请作出判断并说明理由. 8．（23-24九年级上·上海普陀·期中）如图，二次函数为常数，且的图像与轴交于点两点，与轴交于点，已知点在轴的左侧，且，，点的坐标为．      (1)求点的坐标； (2)求这个二次函数的解析式． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（23-24九年级上·上海普陀·期中）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线过点A、B、C，点A的坐标是，点C的坐标是，联结，抛物线的顶点为点D．    (1)求抛物线的表达式； (2)求的面积； (3)如果点P是抛物线上的一点，当时，求点P的横坐标． 2．（23-24九年级上·上海奉贤·期中）如图，点第一象限内在抛物线上，以点为顶点的抛物线与轴交于点，与射线交于点，连接交抛物线于点，设点的横坐标为．    (1)用、表示、； (2)求证：； (3)求的比值． 3．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C．连接交对称轴于点E，点D为抛物线的顶点． (1)连接，若 ①求抛物线解析式； ②线段上一点F，，连接，求． (2)平移抛物线，使新抛物线顶点在射线上，新抛物线与y轴交于点．若平分，且，求新抛物线解析． 4．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，在矩形中，，点E是线段上一点，，F是上的动点，连接，是上一点且（为常数，），分别过点，作，的垂线，交点为．设的长为，的长为． (1)若，则k的值是_____ (2)若时，求y关于x的函数解析式. (3)在点F从点B到点C的整个运动过程中，若线段上存在唯一的一点G，求此时k的值. 5．（23-24九年级上·上海长宁·期中）在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点、和点，与轴交于点．      (1)求该抛物线的表达式及点的坐标； (2)将抛物线平移，点平移到点． ①定义：如果有一个点既在平移前的抛物线上又在平移后的抛物线上，那么称这个点为“平衡点”． 如果平移所得新抛物线经过原点，且点是“平衡点”，求的长； ②如果平移所得新抛物线的顶点在轴正半轴上，与轴交于点，且与相似，求点的坐标． 6．（23-24九年级下·上海崇明·期中）如图，已知在平面直角坐标系中，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线经过点B和点，顶点为D． (1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标； (2)设抛物线与x轴的另一个交点为E，若点P在y轴上，当时，求点P的坐标； (3)将抛物线平移，得到抛物线，平移后抛物线的顶点D落在x轴上的点M处，将沿直线翻折，得到，如果点Q恰好落在抛物线的图像上，求平移后的抛物线的表达式． 7．（23-24九年级下·上海宝山·期中）在平面直角坐标系中（如图），已知开口向下的抛物线经过点，顶点为A． (1)求直线的表达式； (2)如果将绕点O逆时针旋转，点A落在抛物线上的点Q处，求抛物线的表达式； (3)将（2）中得到的抛物线沿射线平移，平移后抛物线的顶点为B，与y轴交于点C，如果，求的值． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二次函数（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 二次函数的基本概念 能准确阐述二次函数的定义，明确一般式 中系数的取值范围及各自的几何意义， 基础必考点，主要考查二次函数的定义、二次函数表达式中字母系数的取值范围；二次函数的图象特征。 二次函数的图象与性质 能熟练画出给定二次函数的图象，全面掌握二次函数的性质，尤其是结合图象分析函数性质和解决问题。 二次函数的核心考点，重点考查函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值等性质。 二次函数的三种表达式 熟悉二次函数的三种形式：能根据不同的题目条件灵活选择合适的表达式形式。 基础考点，解决二次函数相关问题的基础，在各种题型中都会涉及。 二次函数解决实际问题 能从实际问题中抽象出二次函数模型，明确问题中的自变量和因变量，在解决过程中要注意自变量的取值范围需符合实际意义。 高频热点，主要考查将实际问题转化为数学问题，建立二次函数模型并解决问题的能力，尤其是最值问题的应用。 二次函数综合应用 掌握分类讨论的方法和步骤，做到分类标准统一、不重复、不遗漏，在每一种情况下都能准确求解，最后综合各种情况得出结论。 二次函数的核心考点，在二次函数综合题中，由于某些条件的不确定性，需要对不同情况进行分类讨论。 知识点01 二次函数的概念 一般地，形如y=ax²+bx+c (其中a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.其中，x是自变量，a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项。 注意：如果已说明该函数为二次函数,那么隐含条件为a≠0. 知识点02 二次函数的图像与性质 对称轴 顶点 开口方向 变化情况 直线 时，开口向上，顶点是最低点； 时，开口向下，顶点是最高点； 当时，抛物线在对称轴（直线）左侧的部分下降，在右侧上升；时，在对称轴左侧上升，在对称轴右侧下降. 直线 直线 直线 直线 知识点03 抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． b2-4ac与 0的关系 二次函数与x轴交点个数 一元二次方程ax2+bx+c= 0根的情况 b2-4ac>0 2个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac=0 1个交点 有一个不相等的实数根 b2-4ac<0 0个交点 没有实数根 （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 知识点04 待定系数法求二次函数解析式 名称 解析式 适用范围 一般式 y=ax²+bx+c (a≠0) 已知抛物线上的无规律的三个点的坐标 顶点式 y＝a(x–h)²＋k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k） 已知抛物线的顶点坐标或对称轴、最值 交点式 y＝a（x–x1）（x–x2） (a≠0) 已知抛物线与x 轴两交点坐标 注意:抛物线与x轴交点的横坐标就是方ax²+bx+c=0的解 相互联系 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. 2)一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法. 知识点05 用二次函数解决实际问题的一般步骤 1.审：仔细审题，理清题意； 2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； 5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 注意：二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 题型一 二次函数的识别 【典例1】（24-25九年级上·上海浦东新·期中）下列属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、中，当时，不是二次函数，该选项不符合题意； B、，不是二次函数，该选项不符合题意； C、，不是二次函数，该选项不符合题意； D、，是二次函数，该选项符合题意； 故选：D． 【变式1】（24-25九年级上·上海普陀·期中）下列函数中，一定为二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：、不是二次函数，不符合题意； 、，是二次函数，符合题意； 、，没有说明，不符合题意； 、，是正比例函数，不是二次函数，不符合题意； 故选：． 【变式2】（24-25九年级上·上海浦东新·期中）观察：①；②；③；④；⑤；⑥．这六个式子中，二次函数有 ．（只填序号） 【答案】①②③ 【详解】①，是二次函数； ②，是二次函数； ③，是二次函数； ④，不是二次函数； ⑤∵中不是整 式，∴不是二次函数； ⑥，不是二次函数． ∴①②③是二次函数． 故答案为：①②③． 题型二 二次函数的图象和性质 【典例1】（24-25九年级上·上海·期中）已知抛物线的图像开口向下，则m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解∶ 因为抛物线的图象开口向下， 所以，即． 故答案为：． 【典例2】（24-25九年级上·上海·期中）二次函数的图像的对称轴是 ． 【答案】直线 【详解】解：二次函数的图像的对称轴为直线， 故答案为：直线． 【典例3】（24-25九年级上·上海普陀·期中）如果抛物线经过原点，那么 ． 【答案】 【详解】解：由题意，抛物线经过原点， ． ． 故答案为：． 【变式1】（24-25九年级上·上海静安·期中）如果抛物线（k是常数）的顶点在y轴上，那么该抛物线的顶点坐标为 ． 【答案】 【详解】解：抛物线（k是常数）的顶点在y轴上， 抛物线的图形与y轴只有一个交点， 当时，， 即抛物线与y轴的交点坐标为， 顶点坐标为． 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·上海普陀·期中）已知关于的二次函数，当时，随的增大而减小，且当时，有最大值16，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：二次函数， 对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， 开口向上，， 当时，有最大值， 当时，， ， 解得或， ， 的值为． 故答案为：． 题型三 根据二次函数的图象判断各项系数或式子符号 【典例1】（24-25九年级上·上海·期中）已知二次函数的图象如图所示，那么a、b、c的符号为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【详解】解：∵的图象的开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴在的负半轴， ∴对称轴， ∴， ∵， ∴， ∵函数与轴的交点在正半轴， ∴， 故选：A． 【典例2】（24-25九年级上·上海·期中）如图，已知抛物线（a，b，c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点A，与y轴的交点B在，之间（不含端点），下列四个结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：抛物线开口向上， ， 对称轴为直线，、同号， ， 与轴的交点在和之间， ， ， 故A不正确； 对称轴为直线， ， ， ， 故B不正确； 由图可得，当时，， 故C不正确； 由题意可得，方程的两个根为，， ，即， ， ， 因此， 故D正确； 故选：D． 【典例3】（24-25九年级上·上海·期中）如图，二次函数的图像与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，它的对称轴为直线，下列结论中正确的有（   ） ①；②；③； ④当（为实数）时， A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【详解】解：由图像开口向上，可知，与轴的交点在轴的上方，可知， 又对称轴为直线， ， ， ，故①错误； 二次函数的图像与轴交于，两点， ， ，故②错误； 又， ， ，故③错误； 当为实数时， 当（为实数）时，，故④正确， 故选：A． 【变式1】（24-25九年级上·上海奉贤·期中）如图所示：抛物线的对称轴是直线，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵抛物线的开口向上，与轴的交点位于轴的负半轴， ∴， ∵抛物线的对称轴是直线， ∴，即，选项D正确； ∴，则选项A错误； 由图象可知，当时，， ∴， ∴，选项C错误； 由图象可知，当时，， ∴，选项B错误； 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·上海徐汇·期中）如图，是二次函数图象的一部分，直线是对称轴，且经过点．有下列判断：①；②；③；④若，是抛物线上两点，则．其中正确的是（   ） A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【详解】解：①直线是对称轴， ， ； 故此项正确； ②当时， ， 直线是对称轴，且经过点， 与轴的另一个交点为， 当时， ， 故此项不正确； ③由①得： ， 经过点， ， ， ， ， 故此项正确； ④， 到越靠近对称轴的点，对应的函数值越大， ； 故此项正确； 故选：C． 【变式3】（24-25九年级上·上海青浦·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论： ①；②；③；④（为任意实数）；⑤若，，是抛物线上三点，则；⑥关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；其中正确的个数是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【详解】解：由图象可知，，对称轴为直线，即， 当时，最小， 当时，随的增大而减小， 当时，， ∴，①正确，故符合要求； 当时，，②正确，故符合要求； 当时，，③错误，故不符合要求； ∵， ∴（为任意实数），④正确，故符合要求； 关于对称轴对称的点坐标为， ∵， ∴，⑤正确，故符合要求； 由题意知，，有两个不同的交点，即关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；⑥正确，故符合要求； 故选：B． 题型四 二次函数图象的平移 【典例1】（24-25九年级上·上海普陀·期中）将抛物线向左平移4个单位后得到的新抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：把抛物线向左平移4个单位长度，所得直线解析式为：； 故选：D． 【典例2】（24-25九年级上·上海·期中）将抛物线向右平移2个单位，所得新抛物线经过原点，那么m的值为 ． 【答案】 【详解】解：， 将该抛物线向右平移2个单位，得到的新抛物线对应的函数表达式为， 新抛物线经过原点， ， 解得， 故答案为：． 【变式1】（24-25九年级上·上海静安·期中）抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的顶点关于直线对称的点坐标是 ． 【答案】 【详解】解：抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的表达式为，即为， 则新抛物线的顶点的坐标为， 点关于直线对称的点坐标是，即， 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·上海宝山·期中）如果抛物线向右平移一个单位后，顶点落在抛物线上，那么的值等于 ． 【答案】 【详解】解：∵将抛物线向右平移一个单位后得到， ∴顶点坐标为， ∵抛物线的顶点落在抛物线上， ∴， ∴． 故答案为：． 题型五 待定系数法求二次函数解析式 【典例1】（23-24九年级上·上海奉贤·期中）已知一个二次函数的图像经过、、三点． (1)求这个函数的解析式，并写出它的对称轴； (2)求点关于对称轴对称的点的坐标． 【详解】（1）解：设所求的二次函数解析式为：， 将、、代入二次函数解析式得：， 解得：， 二次函数的解析式为， 对称轴为直线由； （2）解：点关于对称轴对称的点为， 令，则， 解得：，， ， 点关于对称轴对称点的坐标为． 【典例2】（24-25九年级上·上海普陀·期中）已知二次函数的图像经过原点，顶点坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)如果二次函数的图像与x轴交于点A（不与原点重合），连结，试判断的形状并说明理由． 【详解】（1）解：∵二次函数图像的顶点坐标为， ∴设二次函数的解析式为， ∵二次函数的图像经过原点， ∴把，代入得.. 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵二次函数的图像与x轴交于点A， ∴把，代入， 解得，（舍去）， 得点A的坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形． 【典例3】（21-22九年级上·上海奉贤·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（1，0），B（0，2）、C（3，0）． （1）求该抛物线的表达式； （2）设该抛物线的对称轴与x轴的交点为D，点E在该抛物线的对称轴上，如果以点A、D、E所组成的三角形与△AOB相似，求点E的坐标． 【详解】解：（1）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（1，0），B（0，2）、C（3，0）． 设二次函数的解析式为，将代入解析式， 解得 该抛物线的表达式为： （2） 抛物线的对称轴为 轴， 又，则当以点A、D、E所组成的三角形与△AOB相似时，，则存在以下两种情况： ①当时， 点E在该抛物线的对称轴上， 或 ②当时 点E在该抛物线的对称轴上， 或 综上所述，或或或 【变式1】（22-23九年级上·上海静安·期中）已知抛物线经过点，，． (1)求该二次函数的解析式； (2)写出该抛物线的对称轴和顶点坐标． 【详解】（1）解：将，，代入中， 得， 解得， 所以抛物线解析式为：； （2）解：， 对称轴为：， 顶点坐标为 【变式2】（24-25九年级上·上海·期中）已知抛物线经过点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)平移抛物线得到新抛物线．新抛物线与x轴、y轴都只有一个交点，分别为点． ①求两点坐标． ②在抛物线上有一动点R，使得平行于的一边，求出点R的坐标． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， ∵经过点，与y轴交于点．， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）①由题意可知，平移后的抛物线为， 当时，， ∴， ∵新抛物线与x轴、y轴都只有一个交点，分别为点． ∴当时，，有两个相等的实数根，点P为抛物线的顶点， ∴，， ∴，， ∴ 解得，（不合题意，舍去）或， ∴， ∵， ∴， ∴两点坐标分别为，． ②由①可知，， 当， 则直线为， 则，解得（不合题意，舍去），， ∴， ∴此时点R的坐标为． 当时， 设直线解析式为， ， 解得， ∴直线解析式为， ∴直线的解析式为， 联立得到， 解得（不合题意，舍去）或， 即此时点R的坐标为， 当时， 设直线解析式为， ， 解得， ∴直线解析式为， ∴直线的解析式为， 联立得到， 解得（不合题意，舍去）， 综上可知，点R的坐标为或． 题型六 实际问题与二次函数 【典例1】（23-24九年级上·上海青浦·期中）某商店一月份销售额为万元，月平均增长率（），一季度的销售额为万元，那么关于月平均增长率的函数解析式是 ． 【答案】 【详解】解：根据题意可得，， 故答案为：． 【典例2】（24-25九年级上·上海静安·期中）已知：如图是400米跑道示意图，中间的足球场是矩形，两边是全等的半圆，设直道的长为x米，足球场的面积为S平方米． (1)求出S关于x的函数关系式（结果保留），并写出定义域； (2)当直道的长为多少米时，足球场的面积最大？ 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， ，即，且， ， S关于x的函数关系式及定义域是； （2）解：， 当时，S的值最大， 当直道的长为100米时，足球场的面积最大． 【变式1】（22-23九年级上·上海徐汇·期中）“阳光体育活动”促进了学校体育活动的开展，小杰在一次铅球比赛中，铅球出手以后的轨迹是抛物线的一部分（如图所示），已知铅球出手时离地面1.6米（如图，直角坐标平面中的长），铅球到达最高点时离地面2米（即图中的长），离投掷点3米（即图中的长），请求出小杰这次掷铅球的成绩（即图中的长，精确到0.01米，参考数据）． 【详解】解：由题意得：， 设抛物线的解析式为， 将代入得， 解得：， ∴抛物线解析式为， 令，得， 解得：或（舍去） ∴米， 答：小杰这次掷铅球的成绩为米． 【变式2】（22-23九年级上·上海静安·期中）有一座抛物线形状的拱桥，已知正常水位时，水面的宽度为20米，拱顶距水面5米，如图是拱桥的截面图，其中桥拱截线是一段抛物线，平面直角坐标系的原点是桥拱截线与水位正常的水面截线相交处的一点，轴在水面截线上；是警戒线，拱顶到的距离为1.8米． (1)求桥拱截线所在抛物线的表达式； (2)求达到警戒线位置时水面的宽度． 【详解】（1）解：由题意可得，抛物线与轴的交点为，，顶点坐标为， 设抛物线解析式为 将代入可得，解得， 即 （2）解：由题意可得，、两点的纵坐标为， 将代入，可得， 化简可得， 解得：， 即， 则米， 答：达到警戒线位置时水面的宽度为12米． 题型七 二次函数综合题 【典例1】（24-25九年级上·上海·期中）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且经过点． (1)求a、b的值； (2)如果点B是抛物线的顶点，求的面积． 【详解】（1）解：二次函数的对称轴为直线， ， ， ， 过点， ； （2）解：∵点B是抛物线的顶点， ， 由（1）可知：，设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为， 设直线与抛物线对称轴交于点，则， ， ， 的面积为． 【典例2】（24-25九年级上·上海·期中）如图，抛物线经过点，点．      (1)求这条抛物线的表达式； (2)点是抛物线对称轴上的点，联结， ①如果，求点的坐标； ②如果，求直线的表达式． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为∶， 对称轴为： （2）①如图所示，作于C，    ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，延长交轴于点，    ∵ ∴ 设， ∴ 解得： ∴ 设直线的解析式为，代入， ∴， 解得： ∴直线的表达式为． 【典例3】（24-25九年级上·上海·期中）已知抛物线与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点． (1)求抛物线表达式和点A、B的坐标； (2)点P是第四象限抛物线上一点，线段与线段相交于点M，若，求点P的坐标： (3)将抛物线向上平移，平移后新的抛物线顶点为点D，点C的对应点为点E．设直线与x轴正半轴交于点F，与线段交于点G，当时，求平移后抛物线的表达式． 【详解】（1）解：由题意可知，，解得， ∴抛物线解析式为 ， 令则 ， 解得：或 ， ∵点在点的左边， ； （2）解：∵点为线段的三等分点， ， ∴直线的解析式为， 令， ， ， ， ； （3）解：作点轴于点， 设直线BC的解析式为，把点、的坐标代入得， ，解得， ∴直线的表达式为：， 设平移后的抛物线表达式为：， 则点， 点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 设直线交轴于点， 则点，联立和的表达式得：， 解得：， 即点的横坐标为， ∵， 则， ∴即 解得： 则平移后抛物线的表达式为：． 【典例4】（24-25九年级上·上海青浦·期中）定义：已知一次函数与二次函数，我们把函数称为与的“复合函数”． 例如：一次函数与二次函数的“复合函数”为． 已知一次函数与二次函数，函数为与的“复合函数”． (1)如果的图像上存在不同的两点与，求的值； (2)如果的图像经过原点，那的图像是否经过某一定点？若经过，求出点坐标，若不经过，请说明理由； (3)如果的图像同时满足（1）（2）的条件，记的图像与轴的另一个交点为点A，记的图像与轴的交点为点B，则的图像上是否存在点C，使得以A、B、C、P四点为顶点所组成的凸四边形为中心对称图形？若存在，求出所有满足条件的中心对称图形的对称中心坐标，若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：∵的图像上存在不同的两点与， ∴函数的对称轴为直线， 由题意知，， ∴， 解得，； （2）解：由题意知，， ∵的图像经过原点， ∴，即， ∴， ∴， 当时，， ∴的图像经过一定点，； （3）解：由（1）（2）可知，，， ∴， ∴， 令， 解得，或， ∴， ∵的图像与轴的交点为点B， ∴， 由题意知，当以A、B、C、P四点为顶点所组成的凸四边形为中心对称图形时，该四边形为平行四边形； 当为对角线时，则的中点为对称中心， ∴， 当时，，此时不存在； 当为边时，，， ∴， 当时，，此时对称中心坐标为，即； 当时，，此时对称中心坐标为，即； 综上所述，存在，对称中心坐标为或． 【变式1】（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，已知抛物线与x轴交于，的两点，与y轴交于点，D为顶点，点P是x轴上方的抛物线上的一个动点，轴于点M，与交于点E． (1)求该抛物线所对应的函数关系式及顶点D的坐标； (2)设点P的横坐标为， ①当t为何值时，线段的长最大； ②连接，求的正弦值； (3)是否存在点P，使得以点P，M、B为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， ∵抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点， ∴，解得， ∴抛物线所对应的函数关系式， 经配方，得，则抛物线的顶点为． （2）解：① 抛物线与x轴交点坐标为． 设直线的函数关系式为， 则，解得， 直线的函数关系式为． 设，则． ∴， ∵，且， ∴ 当时，线段的长最大值为． ② 证明：∵，， 则，，， ∵， ∴为直角三角形， 如图1， ∴； （3）解：存在． 由（2）知是直角三角形，且，，． (Ⅰ) 如图2，若，则， 即， 整理，得，解得，（舍去）． ∴． (Ⅱ) 如图3，若， 则， 即， 整理，得，解得，（舍去）． ∴ ． 故符合条件的点P的坐标为或． 【变式2】（22-23九年级上·上海·期中）我们定义【，，】为函数的“特征数”，如：函数的“特征数”是【2，，5】，函数的“特征数”是【0，1，2】 (1)若一个函数的“特征数”是【1，，1】，将此函数图像先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到一个图像对应的函数“特征数”是______； (2)将“特征数”是【0，，】的图像向上平移2个单位，得到一个新函数，这个函数的解析式是______； (3)在（2）中，平移前后的两个函数图像分别与轴交于A、两点，与直线分别交于、两点，在给出的平面直角坐标系中画出图形，并求出以A、、、四点为顶点的四边形的面积； (4)若（3）中的四边形与“特征数”是【1，，】的函数图像有交点，求满足条件的实数的取值范围． 【详解】（1）解：∵函数的特征数是【1，，1】， ∴函数为， 将函数向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到， ∴函数的“特征数”是【1，0，】． 故答案为：【1，0，】． （2）∵函数的“特征数”是【0，，】， ∴， ∵函数图象向上平移2个单位， ∴平移后函数为． 故答案为：． （3）解：令，则， ∴， 令，则，， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． ； （4）∵函数的“特征数”是【1，，】， ∴， ∴由函数图象得：函数与AD边无交点， ∴函数与BC边有交点， 将代入函数得：， 将代入函数得：， ∴． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（23-24九年级上·上海长宁·期中）二次函数图象的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴二次函数图象的顶点为． 故选：D． 二、填空题 2．（23-24九年级上·上海青浦·期中）已知抛物线的最高点为，则 ． 【答案】 【详解】解：把代入得，, ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·上海·期中）拋物线向左平移2个单位得到的抛物线表达式为 ． 【答案】 【详解】解：拋物线向左平移2个单位得到的抛物线表达式为， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·上海长宁·期中）已知抛物线经过点，．试比较和的大小： （填“＞”，“＜”或“＝”） 【答案】> 【详解】解：∵ ∴抛物线对称轴为直线，开口向上， ∵ ∴离对称轴较近， ∴． 故答案为：>． 5．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如果抛物线在对称轴的左侧，的值随的增大而增大，那么的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：抛物线在对称轴左侧，的值随的增大而增大， 抛物线开口向下， ， 解得：． 故答案为：． 6．（24-25九年级上·上海青浦·期中）已知函数，在范围内，函数的值随的值的增大而 ． 【答案】减小 【详解】解：∵ ∴ ∴抛物线开口向上 ∵ ∴对称轴为直线 ∴在范围内，函数的值随的值的增大而减小． 故答案为：减小． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 一、填空题 1．（24-25九年级上·上海·期中）当 时（只要填一个符合条件的m值即可），抛物线（m是常数）经过一、二、三象限． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，当时，， ∴当抛物线（m是常数）经过一、二、三象限时，图象与坐标轴有两个交点，且与轴的交点的纵坐标为非负数， ∴，解得：， ∴当时，满足题意； 故答案为：（答案不唯一） 2．（24-25九年级上·上海普陀·期中）已知二次函数的图象经过点、，那么该二次函数图象的对称轴为直线 ． 【答案】 【详解】解：∵二次函数的图象经过点、， ∴二次函数的对称轴为直线， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·上海普陀·期中）定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的“割距”，如图，线段长就是抛物线关于直线的“割距”，已知直线与轴交于点，与轴交于点，点恰好是抛物线的顶点，则此时抛物线关于直线的割距是 ．      【答案】 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴点的坐标为， ∵点恰好是抛物线的顶点， ∴， ∴，， 即：抛物线为，则，解得：或， ∴抛物线与直线的交点为，， ∴此时抛物线关于直线的割距是：， 故答案为：． 4．（23-24九年级下·上海崇明·期中）新定义：我们把抛物线，（其中）与抛物线称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为．已知抛物线的“关联抛物线”为，抛物线的顶点为P，且抛物与x轴相交于M、N两点，点P关于x轴的对称点为Q，若四边形是正方形，那么抛物线的表达式为 ． 【答案】 【详解】解： ， “关联抛物线”为：， 设抛物线的顶点，则 ，， 抛物线的顶点， 点P关于x轴的对称点， 连接交轴于，如图所示， 四边形是正方形， ， ， 设抛物线：与轴交点，，，即为方程的根， 则，， ， 解得， 抛物线的表达式为，即， 故答案为：． 二、解答题 5．（23-24九年级上·上海青浦·期中）已知二次函数在时取到最小值为，且该函数图像顶点、图像与轴交点及原点构成的三角形面积为 (1)求此二次函数的解析式； (2)将抛物线沿轴平移，平移后顶点为，若与相似，求平移后的抛物线解析式． 【详解】（1）解：由题意得点坐标为，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意可知，抛物线与轴交点在正半轴上， ∴点坐标为， 设二次函数的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴此二次函数的解析式为：； （2）解：∵与相似， ∴， ∴， ∴， ∴点横坐标为或， 即点坐标为或， ∴平移后的抛物线解析式为：或． 6．（24-25九年级上·上海·期中）如图，已知抛物线与y轴交于点A，且对称轴是直线． (1)求该抛物线顶点P的坐标并说明抛物线的变化情况； (2)已知点B的坐标为，设，用向量表示（请直接写出答案）． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴， ∵抛物线的开口向下， ∴当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大； （2）∵， ∴当时，， ∴， ∵，，且， ∴． 7．（23-24九年级上·上海宝山·期中）某社区两条平行的小道之间有一块三角形空地.如图，这两条小道、之间的距离为9米，表示这块空地，米.现要在空地内划出一个矩形区域建造花坛，使它的一边在上，其余两个顶点分别在边、上.    (1)如果矩形花坛的边，求出这时矩形花坛的两条邻边的长； (2)矩形花坛的面积能否占空地面积的？请作出判断并说明理由. 【详解】（1）解：如图，过点作于点，交于点，      设，则，， ， ， ， ， 解得：， ，， 这时矩形花坛的两条邻边的长分别为6米和12米． （2）解：不能，理由如下： 设， 由（1）知， ， ， 解得：， ， 矩形的面积为， 矩形花坛的面积最大为， 又空地面积的为，， 故矩形花坛的面积不能占空地面积的． 8．（23-24九年级上·上海普陀·期中）如图，二次函数为常数，且的图像与轴交于点两点，与轴交于点，已知点在轴的左侧，且，，点的坐标为．      (1)求点的坐标； (2)求这个二次函数的解析式． 【详解】（1）解：∵ ∴ 在中， ∵， ∴， 由勾股定理，得 ， ∵图像与轴交于点两点，且点在轴的左侧， ∴； 在中， ∵， ∴ ∴ 由勾股定理，得 ∴ 解得：， ∵点在轴的左侧， ∴． （2）解：把，，分别代入，得 ， 解得：， ∴ 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（23-24九年级上·上海普陀·期中）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线过点A、B、C，点A的坐标是，点C的坐标是，联结，抛物线的顶点为点D．    (1)求抛物线的表达式； (2)求的面积； (3)如果点P是抛物线上的一点，当时，求点P的横坐标． 【详解】（1）把点，点代入得， ， 解得，， ∴抛物线的表达式为； （2）， ∴, 过点D作于点E，    ∴ ∴ 又，点 ∴， ∴ （3）设， 当P点在上方时，过点P作轴交于E，    ∵， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴P点横坐标为； 当P点在下方时，过点P作轴交于K，    ∵， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴P点横坐标为； 综上所述：P点的横坐标为或． 2．（23-24九年级上·上海奉贤·期中）如图，点第一象限内在抛物线上，以点为顶点的抛物线与轴交于点，与射线交于点，连接交抛物线于点，设点的横坐标为．    (1)用、表示、； (2)求证：； (3)求的比值． 【详解】（1）解：根据题意可得点坐标为， 所以， 所以、. （2）由点，可得直线的解析式为， 解方程组 得和 所以点的坐标为， 由两点之间距离公式可得、， 所以； （3）由可得点的坐标为， 又点的坐标为， 所以轴，， 解方程， 得，所以； 所以． 3．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C．连接交对称轴于点E，点D为抛物线的顶点． (1)连接，若 ①求抛物线解析式； ②线段上一点F，，连接，求． (2)平移抛物线，使新抛物线顶点在射线上，新抛物线与y轴交于点．若平分，且，求新抛物线解析． 【详解】（1）解：①令，则， ∴， ∴， ∵轴， ∴， 又∵， ∴， ∴点， 把点代入中，得： ， ∴， ∴抛物线的解析式为：； ②令，则， 解得：，， ∵点，， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 过点作于点，则为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴，对称轴为直线， 如上图，作垂直于直线于点， ∴， ∴，， ∴； （2）解：如图： ∵平分， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 又∵， ∴为中点， ∵， ∴， 设， ∴，， ∴，， ∴新抛物线解析式为：， 令，则， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴新抛物线解析式为：． 4．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，在矩形中，，点E是线段上一点，，F是上的动点，连接，是上一点且（为常数，），分别过点，作，的垂线，交点为．设的长为，的长为． (1)若，则k的值是_____ (2)若时，求y关于x的函数解析式. (3)在点F从点B到点C的整个运动过程中，若线段上存在唯一的一点G，求此时k的值. 【详解】（1）∵在矩形中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，，设的长为，的长为， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：． 故答案为：； （2）解：由（1）得， ∴当， ∴； （3）解：∵在点从点到点的整个运动过程中，若线段上存在唯一的一点， ∴的最大值是3， 由（1）知：， 当时，即，有最大值， 当时，的最大值是， ∴， ∴． ∴此时的值为． 5．（23-24九年级上·上海长宁·期中）在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点、和点，与轴交于点．      (1)求该抛物线的表达式及点的坐标； (2)将抛物线平移，点平移到点． ①定义：如果有一个点既在平移前的抛物线上又在平移后的抛物线上，那么称这个点为“平衡点”． 如果平移所得新抛物线经过原点，且点是“平衡点”，求的长； ②如果平移所得新抛物线的顶点在轴正半轴上，与轴交于点，且与相似，求点的坐标． 【详解】（1）解：依题意，抛物线（）经过点、 ∴， 解得：， ∴抛物线表达式为， ∵点在抛物线上 ∴ ∴； （2）解：①依题意，，顶点坐标为， ∵平移不改变开口方向，平移后的抛物线经过原点， ∴设平移后的解析式为 ∵点是“平衡点” ∴ 解得： ∴平移后的抛物线解析式为，顶点坐标为， ∴抛物线的平移方式是向上平移个单位，向右平移个单位； 即点 ∴ ②∵与轴交于点 当时， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵、 ∴ ∵， ∴的解析式为：，， ∴ ∴ ∵与相似 ∴有或    设点，且，则平移后的抛物线解析式为， 当时， 即 当时， ∴， 解得：； ∴，解得：（负值舍去） 当时， ∴ 解得：； ∴，解得：（负值舍去） 综上所述，点的坐标为或． 6．（23-24九年级下·上海崇明·期中）如图，已知在平面直角坐标系中，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线经过点B和点，顶点为D． (1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标； (2)设抛物线与x轴的另一个交点为E，若点P在y轴上，当时，求点P的坐标； (3)将抛物线平移，得到抛物线，平移后抛物线的顶点D落在x轴上的点M处，将沿直线翻折，得到，如果点Q恰好落在抛物线的图像上，求平移后的抛物线的表达式． 【详解】（1）解： 直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B， ，， 抛物线经过点B和点， ，解得， 抛物线的表达式为：， 顶点坐标，即． （2）解：设抛物线与x轴的另一个交点为， 则，即， ， 点P在y轴上，设， ，，， 根据勾股定理得，， ，，， ， 解得， ． （3）解：，顶点为，由于抛物线的顶点由平移到了点，在轴上， 抛物线可以看作是先将平移到顶点在原点的抛物线，然后由抛物线再进行左右平移得到的一条抛物线， 抛物线：顶点为，解析式为， 设，则由抛物线平移后抛物线解析式为：， 设经过将沿直线翻折，得到后，图形如图所示， 连接，过点作轴于， 若落在原点右侧，则 ，， ， ， 沿直线翻折，得到， ， ，， 为等边三角形， ，， ， ， 设点坐标为 ，， 若落在原点左侧，如图所示， ， ，， 无论落在原点哪一侧，点坐标表示都一样， 点在抛物线：上， ， 解得，（舍去，不与重合） ， 平移后的抛物线的表达式为：． 7．（23-24九年级下·上海宝山·期中）在平面直角坐标系中（如图），已知开口向下的抛物线经过点，顶点为A． (1)求直线的表达式； (2)如果将绕点O逆时针旋转，点A落在抛物线上的点Q处，求抛物线的表达式； (3)将（2）中得到的抛物线沿射线平移，平移后抛物线的顶点为B，与y轴交于点C，如果，求的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， 设直线的表达式为， 则，解得， ∴直线的表达式为； （2）解：由抛物线开口向下，且过， ∴A在第二象限， 设绕点O逆时针旋转，A的对应点Q，如图所示，过点A、Q分别作轴，轴，垂足为M、N，    ∵旋转， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 代入，得， 整理得， 解得，（舍去） 经检验，是原方程的解， ∴a的值为； （3）解：由（2）知：，， 设平移后抛物线表达式为， 则， 当时，，∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴或， 解得，，，， ∵抛物线沿射线平移， ∴B在A左上方， ∴， ∴， ∴，， ∴， 过C作于D，    在中，，， ∴， ∴， ∴. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $