特训08 二次函数—角度存在性问题分类专练（4大题型）-2025-2026学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（人教版）

特训08二次函数一一角度存在性问题分类专练 【特训过关】 一、特殊角 1.抛物线y=r-2+1(>列与x轴交于A,B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C.若 ∠ACB=45°，求a的值. 2.如图，抛物线”=mr-(m+3到x-(6m-9列与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,已知B3,0) A 备用图 (1)求m的值和直线BC对应的函数表达式： (2)P点是对称轴上的一点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标： (3)Q为抛物线上一点，若∠AC2=45°，求点Q的坐标. 3.如图，抛物线y=m2+bx+3与r轴交于A-2,0)、B6,0)两点，与y轴交于点C直线1与抛物线交 于A、D两点，与y轴交于点E,点D的坐标为4，m) D B (1)求抛物线的解析式： (2)若点P是抛物线上的点且在直线1上方，连接PA、PD,求当△PAD面积最大时点P的坐标及该面 积的最大值； (3)若点Q是y轴上的点，且∠AD0=45°，求点Q的坐标. 4,如图，抛物线C:y=X+br+c与y轴交于点D(0,-3),与x轴交于4-3,0)，B两点，顶点为H 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)将抛物线C:y=r+br+C平移后得到抛物线C,且抛物线C的顶点P(m,m)始终在抛物线C上， ①当点P在第一象限时，抛物线C2与y轴交于点E,若△PED的面积为6m时，直接写出P点坐标； ②将平移后的抛物线C2绕点P旋转180°得到抛物线C,抛物线C与直线BH交于点M(M与H不重 合)，与y轴交于点N,连接MN,NH,若∠MNH=I5°，求直线NH的解析式. 2 二、等角 5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线的表达 与x轴交于点B(-2,0)和点C4,0), 与y轴交于点A. 图1 图2 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作PO上AC,垂足为点Q,点E,F分别是x轴和 直线AC上一点，当PO取得最大值时，求此时点P的坐标及OF+EF+E0的最小值： (3)在(2)的条件下，当PQ取得最大值时，将抛物线沿射线CA方向平移，使新抛物线经过点Q,点 M是新抛物线上一动点，连接BM,当∠OBM=∠PC巴时，请直接写出所有符合条件的点M的横坐标」 3 6.如图所示，己知抛物线y=r-4r+mm≠0)，与x轴交于A,B两点(A在B的左侧)，与y轴交 于点D,且满足OB=OD,顶点为C. A B (1)求m的值； (2)①求抛物线顶点C的坐标： ②若将该抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，直接写出平移后的抛物线的解析式： (3)己知点P为异于点A的该抛物线上的一个点，并且∠PDB=∠ADB,求点P的坐标 4 v=->x2+bx+c 7.如图，抛物线 4 经过A,B两点，与x轴的另外一个交点为C,点P是直线AB上方抛 物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交直线AB于点D,点E是y轴上点B下方一点，若DE=DB, 点44,0)，点B0,3到 B (1)求抛物线的表达式： (2)点P是直线AB上方抛物线上的一动点，过点P作PD∥y轴交AB于点D,在y轴上点B下方取一 D+-BE 点E,使得DE=DB,求 2的最大值及此时点P的坐标： (3)在点P运动过程中，连接PC,当PC的中点恰好落在y轴上时，连接AP,在抛物线 s 3x+bx+c 上是否存在点Q,使得∠PAB=∠QPA,如果存在，请写出所有符合条件的点Q的 坐标；如果不存在，请说明理由. 5 三、倍角 8.如图，已知二次函数y=r+2x+C的图象与x轴交于4，B两点，A点坐标为-l,0),与y轴交于 点C0,3) (1)求二次函数的表达式： (2)在直线BC上方的抛物线上存在点Q,使得∠QCB=2∠ABC,求点Q的坐标 9.如图，抛物线y=r+hr+c与x轴交于A-5,0),B-l,0两点，与y轴交于点C(0,5), (1)求抛物线的解析式： (2)点P是抛物线对称轴上一点，点Q是平面内任意一点，当以A、C、P、Q为顶点的四边形是矩形时， 求点P的坐标： (3)过点B的直线交直线AC于点M,连接BC,当直线BM与直线AC的夹角等于∠ACB的2倍时， 请直接写出点M的坐标. 6 y= Ix-axta 10.已知抛物线 B -1 7 (1)若抛物线过点 2), 则它的对称轴是直线 1 (2)当-2≤x≤1时，二次函数的最大值为2，求a的取值范围： 7 (3)在(1)的条件下将抛物线向下平移2个单位后如图所示与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左 侧)，与y轴交于点C,连接AC,抛物线上存在点Q,使得∠ABQ=2∠ABC.请求出直线B0的解析 式 > 四、和角（差角） 1.如图，抛物线y=-X+2x+3与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C,P为 第一象限内抛物线上一点.若点E的坐标为1,0)，且∠POC+∠0CE=45°，求点P的坐标. 12.如图，抛物线y=ar+2x+C与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,OB=OC=3 D F E A B 图1 图2 (1)求抛物线的解析式. (2)如图1，点D是第一象限抛物线上的点，过点D分别作x轴、y轴的垂线，交BC于点E、交y轴于 点F,求DE+DF的最大值及此时点D的坐标. (3)如图2，连接AC,抛物线上是否存在点Q,使∠QBC+∠AC0=∠BC0?若存在，请直接写出点 Q的坐标，若不存在，请说明理由. 8 13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=+br-4(ū≠0)与x轴交于点A-2,0)、点B4,0) 与y轴交于点C. E B B 图1 图2 (1)求该抛物线的解析式： (2)点P为直线BC下方抛物线上一动点，作PE∥y轴交BC于点E,PF∥x轴交BC于点F,当 △PEF的周长最大时，求点P的坐标和△PEF周长的最大值： (3)将抛物线y=r+bx-4(a≠0)沿射线CB方向平移2V2个单位，得到新的抛物线y,在新的抛 物线'上是否存在点H,使∠CBH-45°=∠AC0,若存在，请直接写出点H的坐标：若不存在，请说 明理由. 9 14.如图，抛物线y=xr+br+C与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,抛物线的对称轴是直线 2,已知点B1,0),C(0,-2) (1)求抛物线的解析式： (2)E是线段AC上的一个动点，过点E作ED⊥x轴，延长DE交抛物线于点F,求线段EF的最大值 及此时点E的坐标： (3)在y轴上是否存在一点P,使得∠OAP+∠OAC=60°？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说 明理由， 0特训08 二次函数 角度存在性问题分类专练 【特训过关】 一、特殊角 1.抛物线y=x2-2ax+1a>1)与x轴交于A,B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C.若 ∠ACB=45°，求a的值. A B 【答案】a=√2 【解析】解：过点A作AF⊥AC交BC于点F,过点F作FG⊥x轴于点G. G B ∴.∠AGF=∠COA=90°， ∴.∠OAC+∠GAF=90° ∠OCA+∠OAC=90°， ∴.∠OCA=∠GAF, ,∠ACB=45°， .AF=CA, 设At,0), 在△OCA和△GAF中 ∠OCA=∠GAF ∠COA=∠AGF CA=AF 1 .△OCA≌AGAF(AAS, ..OC=AG, OA=GF=t, 当x=0时，y=1, .C0,1, ..OC=AG= .F(t+1,t), 设直线BC的解析式为y=x+1, 则y=k(t+1)+1=t, k=1 t+1 .BC的解析式为y= t-1 -x+1 t+1 ,抛物线与x轴的交点为A、B, .XXB =1, 1 国0我入1. 得-11+1=0， t+1 t 解得1=-1±√2， 经检验：t=-1士√2是此方程的根， t>0, ∴.t=√2-1， -2a=x+x, 22 ·2a=(2-10+1 √2-1 2 .a=V2 2.如图，抛物线y=mx2-m2+3x-(6m-9)与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,已知B(3,0). 备用图 (1)求m的值和直线BC对应的函数表达式： (2)P点是对称轴上的一点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标： (3)Q为抛物线上一点，若∠ACQ=45°，求点Q的坐标. 【答类1m=1y=-x+3:2P叫2小：)Q3） 【解析】(1)解：把B(3,0)代入y=mx2-m2+3x-6m-9,得： 9m-3m2+3)-(6m-9)=0, 解得：m=1或m=0(舍去)： .y=x2-4x+3, .当x=0时，y=3, .C0,3, 设直线BC的解析式为：y=kx+3,把B(3,O)代入，得：k=-1, .y=-x+3; (2).y=x2-4x+3, .对称轴为直线x=- 4=2, ,A,B关于对称轴对称， ∴.PA+PC=PB+PC≥BC, .当点P在线段BC上时，PA+PC=BC最小， 3 ,点P在对称轴上， .xp=2, 把xp=2代入y=-x+3,得：y=1, P(2,1: (3).y=x2-4x+3, ∴.当y=0时，x2-4x+3=0, .x=3,x2=1, .A1,0), .OA=1, C(0,3, .OC=3, 过点A作AD⊥AC且AD=AC,过点D作DE⊥x轴， ⑧E 则：∠DEA=∠COA=∠CAD=90°，∠ACD=45°=∠ACQ, ∴.∠ACO=∠DAE=90°-∠OAC,点Q在直线CD上， ∴.△ACO≌ADAE, ∴.AE=OC=3,DE=OA=1, ..OE=OA+AE=4, .D(4,1, 设直线CD的解析式为：y=mx+n, 1 n=3 1m=- 则： 4m+n=1' 解得： 2 n=3 :直线CD的解析式为：y=2x+3, y=x2-4x+3 > x= x=0 联立 1 2+3 ,解得： 或 y= y (y3 4 75 故024 3.如图，抛物线y=x2+bx+3与x轴交于A-2,0)、B(6,0)两点，与y轴交于点C直线1与抛物线交 于A、D两点，与y轴交于点E,点D的坐标为4，n). D E B (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是抛物线上的点且在直线1上方，连接PA、PD,求当aPAD面积最大时点P的坐标及该面 积的最大值： (3)若点Q是y轴上的点，且∠ADQ=45°，求点Q的坐标. 【答10=++3：@P) (0,-9). 【解析】(1)解：，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A-2,0、B(6,0)两点， 5 4a-2b+3=0 36a+6b+3=0 1 解得： a-4 b=1 1 ∴抛物线的解析式为y=-x2+x+3, 4 (2):点D(4,m,在抛物线y=-x2+x+3上， 4 .n=-二×42+4+3=3 4 .D(4,3, ·直线1经过A-2,0)、D(4,3) 设直线1的解析式为y=x+mk≠0)， -2k+m=0 则 4k+m=3 1 解得， k2 m=1 1 ·直线1的解析式为y=2x+1: 知图1中注点P作Fy交40千有卫爱Pam+m+3小则F如+ D B 图1 5ao=2(-x,)小PF=3PF, .PF的值最大值时，△PAD的面积最大， :PF=-m2+m+3-m-1=-号m2+m+2=- 1 4 2 4 2 4m-1)2+9 4 6 、1 <0, 4 am=1时，PF的值最大，是大板为}、此时。P4D的面买销最大值为子。P) (3)如图2中，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AT,分别过T,D点作x轴的垂线，垂足分别为U, S, .∠TUA=90°，∠DSA=90°， ∴.∠TAU+∠ATU=90°，∠TAD=90°，∠DAS+∠DSA=90°， .∠TAU+∠DAS=90 ∴.∠TAU=∠ADS 又，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AT, .AT AD, 在AATU与△DAS中， [∠TUA=∠ASD ∠TAU=∠ADS AT=AD ∴.△ATU≌△DAS(AAS) .AU=DS,TU=AS, :A-2,0,D(4,3 .DS=3,AS=6 ∴.OU=OA+AU=2+3=5 .T(-5,6), 7 0/ 图2 设DT交y轴于点Q,则∠ADQ=45°， D(4,3), 设直线DT的解析式为y=kx+b, 4k+b=3 -5k+b=6 解得： 13 b23 :直线DT的解析式为)y=一？+ -x+3,当x=0时，y= 3 3 g号》 作点T关于AD的对称点T'1,-6, 设直线DT'的解析式为y=k2x+b 「4k2+b2=3 k2+b2=-6 k2=3 解得： b2=-9 则直线DT'的解析式为y=3x-9, 8 设DQ'交y轴于点Q',则∠ADQ'=45°，当x=0时，y=-9 .Q'(0,-9), 综上所达，满足条件的点Q的坐标为Q? 或(0，-9) 9 4.如图，抛物线C:y=x2+bx+c与y轴交于点D(0,-3),与x轴交于A-3,0),B两点，顶点为H. A 备用图 (1)求抛物线的解析式； (2)将抛物线C,:y=x2+bx+c平移后得到抛物线C,,且抛物线C,的顶点P(m,始终在抛物线C,上， ①当点P在第一象限时，抛物线C,与y轴交于点E,若△PED的面积为6m时，直接写出P点坐标； ②将平移后的抛物线C,绕点P旋转180°得到抛物线C,抛物线C与直线BH交于点M(M与H不重合) ,与y轴交于点N,连接MN,NH,若∠MNH=15°，求直线NH的解析式. 【答案】1)y=2+2x-3:2)①P叫2,5)，②y=5x+5-4或y=5x+5-4. 3x+3 【解析】(1)将D(0,-3),A(-3,0)代入y=x2+bx+c, c=-3 9-3b+c=0 「b=2 解得 c=-3 抛物线的解析式为y=x2+2x-3; (2)①，点P(m,n始终在抛物线C,上， .n=m2+2m-3, .抛物线C的解析式为y=(x-m)+m2+2m-3, .E(0,2m2+2m-3), .ED=2m2+2m, 10