专题02 有理数（期中复习讲义）七年级数学上学期新教材苏科版

专题02 有理数（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 有理数的基本概念 理解并掌握相反数、绝对值、数轴等概念，能准确进行概念辨析 基础必考点，选择题中出现频率极高 有理数的运算 熟练进行有理数的加减乘除乘方及混合运算，掌握运算顺序和法则 高频易错点，混合运算错误率较高，符号错误最常见 有理数的大小比较 能运用数轴、绝对值等方法比较有理数的大小 中档考点，常与数轴结合考查 有理数的实际应用 能运用有理数解决实际问题，熟练使用科学记数法解决问题，建立数学模型 综合应用题必考，需要强化建模能力 知识点01 有理数的基本概念 1.有理数的分类：整数和分数统称为有理数 2.数轴三要素：原点、正方向、单位长度 3.相反数：只有符号不同的两个数互为相反数 4.绝对值：一个数在数轴上所对应的点到原点的距离 ·示例：（1）在数轴上标出－2.5，3，－1，0.5的位置，并比较它们的大小. （2） 求下列各数的相反数和绝对值：－3，2.5，0，－. （3）有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示． （1）填空：c 　 　 0；c－b 　 　 0；a+b 　 　 0．（均选填“＞”或“＜”） （2）化简：|c|－|c－b|+|a－c|+|a+b|＝ 　 　 ． ·易错点：绝对值和相反数概念混淆，求绝对值时忘记化简符号. 知识点02 有理数的运算 1.加法法则：同号两数相加取相同符号并把绝对值相加，异号两数相加取绝对值较大的加数符号并用较大的绝对值减较小的绝对值. 2.减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数. 3.乘法法则：同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. 4.除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数. 5.乘方的意义：n个相同因数a的乘积叫做a的n次方. （1）正数的任何次幂都是正数 （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 （3）0的任何正整数次幂都是0 6. 运算顺序：先乘方，后乘除，再加减，有括号先算括号内的. ·示例：计算：（1）－32－|（－5）3|×（）2－18÷|－（－3）2 ；（2）（）． ·易错点：混合运算中最容易出现符号错误和运算顺序错误，特别是乘方运算的优先级. 知识点03 科学记数法 表示方法：a × 10ⁿ（其中1 ≤ |a| < 10，n为正整数） 表示技巧：n为所有整数位数减1 还原方法：根据指数n用0补全数位 ·示例：（1）我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为（　　） A．2.15×107 B．0.215×108 C．2.15×106 D．21.5×106 （2）我国发射的海洋Ⅰ号气象卫星，进入预定轨道后，若地球运行的速度为7.9×103米/秒，则运行2×102秒走过的路程是 　 　 米（用科学记数法表示） ·易错点：a的取值范围错误（必须1 ≤ |a| < 10），指数n的确定错误（整数位数或小数位数计算错误） 知识点04 有理数的大小比较 1.数轴法：在数轴上，右边的数总比左边的数大 2.绝对值法：两个负数比较，绝对值大的反而小 3.作差法：a－b>0则a>b；a－b<0则a<b ·示例：结合具体的数的运算，归纳有关特例，然后比较下列代数式的大小． （1）已知0＜a＜1，则比较　 　 （填＞，＝，＜） （2）如果a＜0，给出：a，a＝－0.25，a＝－2，a＝－1，a＝－5，利用给出的a的值，通过数的运算，归纳有关特例，说明a与的大小关系． ·易错点：比较负数大小时忘记“绝对值大的反而小”，分数比较时通分错误，小数与分数比较时形式不统一. 知识点05 有理数的实际应用 ·示例：出租车司机小张某天下午的运营是在一条东西走向的大道上．如果规定向东为正，他这天下午的行程记录如下：（单位：千米） +15，－3，+14，－11，+10，－18，+14 （1）将最后一名乘客送到目的地时，小张离下午出车点的距离是多少？ （2）离开下午出发点最远时是多少千米？ （3）若汽车的耗油量为0.06升/千米，油价为4.5元/升，这天下午共需支付多少油钱？ ·易错点：实际问题中的正负号意义理解错误，单位不统一导致计算错误，最后结果忘记结合实际意义解释. 题型一 有理数的混合运算 解｜题｜技｜巧 1.先确定运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内 2.将除法转化为乘法 3.注意符号规则，特别是负号的处理 4.分步计算，避免一步出错全盘皆错 易｜错｜点｜拨 混合运算中最容易出现符号错误和运算顺序错误，特别是乘方运算的优先级 【典例1】． 【变式1】定义一种新运算：观察下列式子： 1⊕3＝1×2+3＝5，3⊕1＝3×2+1＝7，5⊕4＝5×2+4＝14． （1）请你想一想：a⊕b＝　 　 ；若a≠b，则a⊕b　 　 b⊕a．（填入＝或≠） （2）计算：（a－b）⊕（a+b）⊕b． 【变式2】已知两数a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值是2； 求x2－（a+b+cd）x+（a+b）2024+（－cd）2025的值． 题型二 科学记数法的应用 答｜题｜模｜板 1.确定a的值（1 ≤ |a| < 10） 2.确定n的值（整数位数减1或小数位数） 3.写成a × 10ⁿ的形式 4.检查是否符合规范 【典例1】地球表面平均1cm2上的空气质量约为1kg，地球表面的面积大约5×108km2，已知地球的质量约为6×1024kg，则地球的质量大约是地球表面全部空气质量的　 　 倍． 【典例2】比较大小：3.2 × 104 ______ 2.8 × 105 【变式1】用科学记数法表示下列各数： （1）80700000； （2）800000000000； （3）－5180000； （4）120万． 【变式2】比较用科学记数法表示的两个数的大小： （1）－3.65×105与－1.02×106； （2）1.45×102019与9.8×102018． 题型三 有理数的大小比较 答｜题｜模｜板 1.数轴法：在数轴上，右边的数总是比左边的数大. 2.运用法则：正数 > 0 > 负数；两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的反而小. 3.作差法：设a、b为任意两个有理数，若 a － b > 0，则 a > b；若 a － b < 0，则 a < b. 4.转化法：对于分数和小数、分数和分数之间的比较，通常统一化为小数或通分后比较. 易｜错｜点｜拨 1.比较负数时遗忘法则：两个负数，绝对值大的反而小. 2.混淆“－a”的正负：－a不一定是负数，当a本身是负数时，－a就是正数。比较时需根据a的具体数值判断。 3.不同形式数比较时的转换错误：分数化小数时计算错误，或通分时找不准最简公分母。 【典例1】把下列各数在数轴上表示出来，并按从大到小的顺序排列起来． －（－2），3，+（－1），0，|－1.5| 【典例2】如图，数轴上有3个点，它们所表示的数分别用a，b，c． （1）在数轴上标出a，b，c的相反数－a，－b，－c； （2）把a，b，c和它们的相反数用“＜”连接起来； （3）如果将表示数a的点向左移动3个单位长度，同时将表示数b的点向右移动5个单位长度，表示数c的点保持在原来的位置，则移动后的a，b，c三个数的大小关系如何？ 【变式1】（1）当a＞0时，a　 　 －a；当a＝0时，a　 　 －a；当a＜0时，a　 　 －a．（填“＞”“＜”或“＝”） （2）请仿照（1）的方法，当a＞0时，比较a和的大小关系． 题型三 有理数的实际应用题 答｜题｜模｜板 1.明确实际问题中的正负意义 2.建立有理数运算模型 3.计算结果并结合实际解释 易｜错｜点｜拨 实际问题中要特别注意单位的统一和结果的合理性。 【典例1】乐高侧重于培养孩子的解决问题能力，沟通表达能力，自我学习能力和创新实践能力．某线上文具店计划每天销售100套乐高，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：套）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 +4 －3 －5 +14 －8 +21 －6 （1）根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售　 　 套； （2）本周实际销售量是否达到了计划量？试说明理由； （3）若每套乐高按80元售卖，平均每套乐高需要线上文具店支付的运费是10元，那么该线上文具店本周销售乐高实际收入多少元？ 【典例2】如图，A，B两点在数轴上对应的数分别为a，b，且点A在点B的左边，|a|＝10，a+b＝80，ab＜0． （1）求出a，b的值； （2）现有一只电子蚂蚁P从点A出发，以3个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q从点B出发，以2个单位长度/秒的速度向左运动． ①设两只电子蚂蚁在数轴上的点C相遇，求出点C对应的数是多少？ ②经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度？ 【变式1】如图，电子宠物狗在6×6的网格（每个小网格的边长表示10米距离）图上沿着网格线运动．电子宠物狗从点A处出发，规定：向上、向右走为正，向下、向左走为负．例如从点A到点B记为A→B（+1，+3），从点B到点A记为B→A（－1，－3），其中第一个数表示左右方向的移动情况，第二个数表示上下方向的移动情况． （1）填空：从点C到点D记为C→D 　 　 ； （2）若电子宠物狗从点A处出发，行走路线依次为（+2，+1），（+2，+3），（+1，－1），（－2，0），（－1，+2），请在图中标出电子宠物狗运动停止的位置点E； （3）在（2）中，若电子宠物狗每走1米消耗0.5焦耳的能量，则电子宠物狗运动过程共消耗多少焦耳的能量？ 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1.已知有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．a+b＜0 B．1－a＜0 C．－a＞b D．a－b＜0 2.－3的相反数是（　　） A．－3 B． C． D．3 3. 5G是第五代移动通信技术的简称，5G网络理论下载速度可以达到每秒1300000KB以上，这意味着下载一部高清电影只需要1秒．将1300000用科学记数法表示为（　　） A．1.3×106 B．1.3×105 C．13×105 D．1.3×107 4.计算：（1）； （2）． 5.已知：a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为2． 求：mcd的值． 6.小明做了如下一道有理数混合运算，在检查时发现有错误． －34[（－2）2]2 解：原式＝－81（）2……第一步 ＝－6第二步 第三步 （1）小明在第 　 　 步开始出现错误； （2）请给出该题的正确解答． 7.最近几年，全球新能源汽车发展非常迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车的产销量都大幅度增加．小明家新换了一辆新能源纯电动汽车，他连续7天记录每天行驶的路程（如表）．以60km为标准，超过60km记为“+”，不足60km记为“－”，刚好60km记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） －6 －10 －15 0 +45 +36 +30 （1）小明家这7天里行驶路程最多的一天比最少的一天多　 　 km． （2）请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ （3）已知汽油车每行驶100km需用汽油6.5升，汽油价8.2元/升，而新能源汽车每行驶100km耗电量为15度，每度电为0.5元，小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省了多少钱？ 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1.若一个数的绝对值是4，则这个数是（　　） A．4 B．或 C．4或－4 D． 2.数轴上A，B，C三点依次从左向右排列，表示的数分别为－2－x，2x－3和1，则x可能是（　　） A．－2 B．－1 C．0 D．1 3.《孙子算经》中记载：“量之所起，起于粟．六粟为一圭，十圭为一撮，十撮为一抄，十抄为一勺，十勺为一合…”可知：6粟＝1圭，10圭＝1撮，10撮＝1抄，10抄＝1勺，10勺＝1合，则8合为（　　） A．4.8×104粟 B．4.8×105粟 C．8×104粟 D．8×105粟 4.电影《哈利•波特》中，小哈利波特穿越墙进入“站台”的镜头（如示意图的Q站台），构思奇妙，能给观众留下深刻的印象．若A、B站台分别位于，处，AP＝2PB，则P站台用类似电影的方法可称为“　 　 站台”． 5.对于任意有理数m，n定义一种新运算：m⊕n＝（n－m）－|m+n|． （1）若a＝－6，b＝7，求a⊕b的值； （2）已知点A，点B在数轴上表示的数分别为－1，x，且A，B两点的距离是7，y是－[－（－5）]的相反数，求[x⊕y]⊕（－1）的值． 6.【定义新知】我们知道：式子|x－3|的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离AB＝|a－b|．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： （1）式子|x+2|在数轴上的几何意义是　 　 ，当|x+2|+|x－3|＝7，则x的值为　 　 ； （2）当x＝　 　 时，|x+2|+|x+6|+|x－1|的值最小，最小值为　 　 ； 【解决问题】 （3）如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧5千米，右侧1千米，右侧3千米，A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人，现因垃圾分类需要，需要在该公路上建一个垃圾中转站P，用于接收这3个小区的所有垃圾．若小区垃圾的运输和处理总成本为每千米1元/千份，那么垃圾中转站P建在何处才能使总运输和处理总成本最低，最低成本是多少？ 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.如图所示，数轴上点A，M，B分别表示数a+b，a，2a，若AM＞BM，则下列运算结果一定是正数的是（　　） A．a+b B．a－b C．ab D．|a|+b 2.－2025的相反数是（　　） A．2025 B． C．－2025 D． 3.若有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则的值为（　　） A．－2 B．－3 C．2 D．1 4.“天河二号”是由国防科学技术大学研制的超级计算机系统，持续计算速度可达每秒3.39×1016次，若连续运行5分钟，则总计算次数用科学记数法表示为（　　） A．1017×1013次 B．1.017×1019次 C．16.95×1016次 D．1.695×1017次 5.从特殊到一般，是我们学习和认知新事物经常运用的方法． （1）比较大小： 　 　 ，　 　 ，　 　 ，　 　 （横线上填“＞”，“＜”或“＝”） （2）请你根据上面的材料，利用字母a、b、c（a＞b＞0，c＞0）归纳出一个数学关系式； （3）运用所学知识，证明你归纳的数学关系式． 6.分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简|a|时，可以这样分类：当a＞0时，|a|＝a；当a＝0时，|a|＝0；当a＜0时，|a|＝－a．用这种方法解决下列问题： （1）当a＝5时，求的值． （2）当a＝－2时，求的值． （3）已知a，b是有理数，当ab＞0时，试求的值． （4）已知a，b是有理数，当abc＜0时，试求的值． 7.【概念学习】 规定：求n个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如2÷2÷2，（－3）÷（－3）÷（－3）÷（－3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的3次商”，（－3）÷（－3）÷（－3）÷（－3）写作（－3）④，读作“－3的4次商”，一般地，把写作aⓝ，读作“a的n次商”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：5②＝ 　 　 ， 　 　 ； （2）下列关于除方说法中，错误的是 　 　 （只有一个正确答案）． A．当m≠0时，m②＝1 B．当m≠0时， C．正数的n次商结果是正数，负数的n次商结果是负数 D．n次商等于它本身的数是1 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方乘方（幂）的形式 （3）归纳：请把有理数a的n次商（a≠0，n≥3），写成乘方（幂）的形式为：aⓝ＝ 　 　 ； （4）比较：（－2）⑧　 　 4⑤；（填“＞”“＜”或“＝”） （5）计算：． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 有理数（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 有理数的基本概念 理解并掌握相反数、绝对值、数轴等概念，能准确进行概念辨析 基础必考点，选择题中出现频率极高 有理数的运算 熟练进行有理数的加减乘除乘方及混合运算，掌握运算顺序和法则 高频易错点，混合运算错误率较高，符号错误最常见 有理数的大小比较 能运用数轴、绝对值等方法比较有理数的大小 中档考点，常与数轴结合考查 有理数的实际应用 能运用有理数解决实际问题，熟练使用科学记数法解决问题，建立数学模型 综合应用题必考，需要强化建模能力 知识点01 有理数的基本概念 1.有理数的分类：整数和分数统称为有理数 2.数轴三要素：原点、正方向、单位长度 3.相反数：只有符号不同的两个数互为相反数 4.绝对值：一个数在数轴上所对应的点到原点的距离 ·示例：（1）在数轴上标出－2.5，3，－1，0.5的位置，并比较它们的大小. 【解答】解：－2.5 < －1 < 0.5 < 3 （2） 求下列各数的相反数和绝对值：－3，2.5，0，－. 【解答】解：－3的相反数是3，绝对值是3；2.5的相反数是－2.5，绝对值是2.5；0的相反数是0，绝对值是0；－的相反数是，绝对值是. （3）有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示． （1）填空：c 　 　 0；c－b 　 　 0；a+b 　 　 0．（均选填“＞”或“＜”） （2）化简：|c|－|c－b|+|a－c|+|a+b|＝ 　 　 ． 【解答】解：（1）c＜0；c－b＞0；a+b＜0；故答案为：＜，＞，＜； （2）∵b＜a＜c＜0， ∴|c|－|c－b|+|a－c|+|a+b| ＝－c－（c－b）－（a－c）－（a+b） ＝－c－c+b－a+c－a－b ＝－c－2a． ·易错点：绝对值和相反数概念混淆，求绝对值时忘记化简符号. 知识点02 有理数的运算 1.加法法则：同号两数相加取相同符号并把绝对值相加，异号两数相加取绝对值较大的加数符号并用较大的绝对值减较小的绝对值. 2.减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数. 3.乘法法则：同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. 4.除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数. 5.乘方的意义：n个相同因数a的乘积叫做a的n次方. （1）正数的任何次幂都是正数 （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 （3）0的任何正整数次幂都是0 6. 运算顺序：先乘方，后乘除，再加减，有括号先算括号内的. ·示例：计算：（1）－32－|（－5）3|×（）2－18÷|－（－3）2 ；（2）（）． 【解答】解：（1）－32－|（－5）3|×（）2－18÷|－（－3）2| ＝－9－12518÷9 ＝－9－20－2 ＝－31； （2）（）＝（）×36 ＝－27－20+21 ＝－26． ·易错点：混合运算中最容易出现符号错误和运算顺序错误，特别是乘方运算的优先级. 知识点03 科学记数法 表示方法：a × 10ⁿ（其中1 ≤ |a| < 10，n为正整数） 表示技巧：n为所有整数位数减1 还原方法：根据指数n用0补全数位 ·示例：（1）我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为（　　） A．2.15×107 B．0.215×108 C．2.15×106 D．21.5×106 【解答】解：将21500000用科学记数法表示为：2.15×107．故选：A． （2）我国发射的海洋Ⅰ号气象卫星，进入预定轨道后，若地球运行的速度为7.9×103米/秒，则运行2×102秒走过的路程是 　 　 米（用科学记数法表示） 【解答】解：运行2×102秒走过的路程是（2×102）×（7.9×103）＝15.8×105＝1.58×106（米）， 故答案为：1.58×106． ·易错点：a的取值范围错误（必须1 ≤ |a| < 10），指数n的确定错误（整数位数或小数位数计算错误） 知识点04 有理数的大小比较 1.数轴法：在数轴上，右边的数总比左边的数大 2.绝对值法：两个负数比较，绝对值大的反而小 3.作差法：a－b>0则a>b；a－b<0则a<b ·示例：结合具体的数的运算，归纳有关特例，然后比较下列代数式的大小． （1）已知0＜a＜1，则比较　 　 （填＞，＝，＜） （2）如果a＜0，给出：a，a＝－0.25，a＝－2，a＝－1，a＝－5，利用给出的a的值，通过数的运算，归纳有关特例，说明a与的大小关系． 【解答】解：（1）如，，，0＜a＜1，则比较； （2）a，2，a；a＝－0.25，4，a， 当－1＜a＜0时，a； a＝－2，，a；a＝－1，1；a＝－5，，a， 当a≤－1时，a． ·易错点：比较负数大小时忘记“绝对值大的反而小”，分数比较时通分错误，小数与分数比较时形式不统一. 知识点05 有理数的实际应用 ·示例：出租车司机小张某天下午的运营是在一条东西走向的大道上．如果规定向东为正，他这天下午的行程记录如下：（单位：千米） +15，－3，+14，－11，+10，－18，+14 （1）将最后一名乘客送到目的地时，小张离下午出车点的距离是多少？ （2）离开下午出发点最远时是多少千米？ （3）若汽车的耗油量为0.06升/千米，油价为4.5元/升，这天下午共需支付多少油钱？ 【解答】解：（1）小张离下午出车点的距离＝（+15）+（－3）+（+14）+（－11）+（+10）+（－18）+（+14） ＝+21（千米）． 答：将最后一名乘客送到目的地时，小张距下午出车时的出发点21千米，此时在出车点的东边； （2）当行程为+15千米时离开下午出发点15千米； 当行程为－3千米时离开下午出发点（+15）+（－3）＝12千米； 当行程为+14千米时离开下午出发点12+14＝26千米； 当行程为－11千米时离开下午出发点26+（－11）＝15千米； 当行程为+10千米时离开下午出发点15+（+10）＝25千米； 当行程为－18千米时离开下午出发点25+（－18）＝7千米； 当行程为+14千米时离开下午出发点（7）+（+14）＝21千米； ∵26最大，∴离开下午出发点最远时是26千米，答：离开下午出发点最远时是26千米； （3）∵这天下午小张所走路程＝|+15|+|－3|+|+14|+|－11|+|+10|+|－18|+|+14|＝15+3+14+11+10+18+14 ＝85（千米）， ∴这天下午共需付钱＝85×0.06×4.5＝22.95（元）， 答：这天下午共需支付22.95元油钱． ·易错点：实际问题中的正负号意义理解错误，单位不统一导致计算错误，最后结果忘记结合实际意义解释. 题型一 有理数的混合运算 解｜题｜技｜巧 1.先确定运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内 2.将除法转化为乘法 3.注意符号规则，特别是负号的处理 4.分步计算，避免一步出错全盘皆错 易｜错｜点｜拨 混合运算中最容易出现符号错误和运算顺序错误，特别是乘方运算的优先级 【典例1】． 【解答】解：原式 ＝－1×（－3）－4 ＝3－4 ＝－1． 【变式1】定义一种新运算：观察下列式子： 1⊕3＝1×2+3＝5，3⊕1＝3×2+1＝7，5⊕4＝5×2+4＝14． （1）请你想一想：a⊕b＝　 　 ；若a≠b，则a⊕b　 　 b⊕a．（填入＝或≠） （2）计算：（a－b）⊕（a+b）⊕b． （2）利用（1）中所得运算法则自左至右依次计算可得． 【解答】解：（1）由题意知，a⊕b＝2a+b， ∵a⊕b＝2a+b，b⊕a＝2b+a，∴a⊕b－b⊕a＝2a+b－2b－a＝a－b， 由a≠b知a－b≠0，∴a⊕b≠b⊕a，故答案为：2a+b，≠； （2）（a－b）⊕（a+b）⊕b＝[2（a－b）+a+b]⊕b＝（3a－b）⊕b＝2（3a－b）+b＝6a－2b+b＝6a－b． 【变式2】已知两数a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值是2； 求x2－（a+b+cd）x+（a+b）2024+（－cd）2025的值． 【解答】解：由条件可知a+b＝0；cd＝1；x＝±2； 当x＝2时，原式＝22－（0+1）×2+02024+（－1）2025＝4－2+0－1＝1； 当x＝－2时，原式＝（－2）2－（0+1）×（－2）+02024+（－1）2025＝4+2+0－1＝5； 综上所述，原式的值为1或5． 题型二 科学记数法的应用 答｜题｜模｜板 1.确定a的值（1 ≤ |a| < 10） 2.确定n的值（整数位数减1或小数位数） 3.写成a × 10ⁿ的形式 4.检查是否符合规范 【典例1】地球表面平均1cm2上的空气质量约为1kg，地球表面的面积大约5×108km2，已知地球的质量约为6×1024kg，则地球的质量大约是地球表面全部空气质量的　 　 倍． 【解答】解：地球表面全部空气的质量约为：5×108×1010×1＝5×1018kg；6×1024÷（5×1018）＝1.2×106， 故答案为：1.2×106． 【典例2】比较大小：3.2 × 104 ______ 2.8 × 105 【解答】解：∵2.8×105＝28×104，∴28×104＞3.2 × 104，∴3.2 × 104 ＜2.8 × 105． 【变式1】用科学记数法表示下列各数： （1）80700000； （2）800000000000； （3）－5180000； （4）120万． 【解答】解：（1）80700000＝8.07×107； （2）800000000000＝8×1011； （3）－5180000＝－5.18×106； （4）120万＝1.2×106． 【变式2】比较用科学记数法表示的两个数的大小： （1）－3.65×105与－1.02×106； （2）1.45×102019与9.8×102018． 【解答】解：（1）∵－1.02×106＝－1 020 000， －3.65×105＝－365 000， ∵－365 000＞－1 020 000， ∴－3.65×105＞－1.02×106， （2）∵1.45×102019＝14.5×102018， 14.5×102018＞9.8×102018， ∴14.5×102018＞9.8×102018． 题型三 有理数的大小比较 答｜题｜模｜板 1.数轴法：在数轴上，右边的数总是比左边的数大. 2.运用法则：正数 > 0 > 负数；两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的反而小. 3.作差法：设a、b为任意两个有理数，若 a － b > 0，则 a > b；若 a － b < 0，则 a < b. 4.转化法：对于分数和小数、分数和分数之间的比较，通常统一化为小数或通分后比较. 易｜错｜点｜拨 1.比较负数时遗忘法则：两个负数，绝对值大的反而小. 2.混淆“－a”的正负：－a不一定是负数，当a本身是负数时，－a就是正数。比较时需根据a的具体数值判断。 3.不同形式数比较时的转换错误：分数化小数时计算错误，或通分时找不准最简公分母。 【典例1】把下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序排列起来． －（－2），3，+（－1），0，|－1.5| 【解答】解：如图所示： ， +（－1）＜0＜|－1.5|＜－（－2）＜3． 【典例2】如图，数轴上有3个点，它们所表示的数分别用a，b，c． （1）在数轴上标出a，b，c的相反数－a，－b，－c； （2）把a，b，c和它们的相反数用“＜”连接起来； （3）如果将表示数a的点向左移动3个单位长度，同时将表示数b的点向右移动5个单位长度，表示数c的点保持在原来的位置，则移动后的a，b，c三个数的大小关系如何？ 【解答】解：（1）－a，－b，－c，如图所示， （2）由数轴得出：－a＜b＜－c＜c＜－b＜a， （3）如图1，根据题意标出数a，b移动后的数a'，b'的位置如图所示， 根据数轴得出，a'＜c＜b'，即：移动后的a，b，c三个数的大小为a＜c＜b． 【变式1】（1）当a＞0时，a　 　 －a；当a＝0时，a　 　 －a；当a＜0时，a　 　 －a．（填“＞”“＜”或“＝”） （2）请仿照（1）的方法，当a＞0时，比较a和的大小关系． 【解答】解：（1）当a＞0时，a＞－a；当a＝0时，a＝－a；当a＜0时，a＜－a． （2）当0＜a＜1时，a；当a＝1时，a；当a＞l时，a．故答案为：＞；＝；＜． 题型三 有理数的实际应用题 答｜题｜模｜板 1.明确实际问题中的正负意义 2.建立有理数运算模型 3.计算结果并结合实际解释 易｜错｜点｜拨 实际问题中要特别注意单位的统一和结果的合理性。 【典例1】乐高侧重于培养孩子的解决问题能力，沟通表达能力，自我学习能力和创新实践能力．某线上文具店计划每天销售100套乐高，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：套）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 +4 －3 －5 +14 －8 +21 －6 （1）根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售　 　 套； （2）本周实际销售量是否达到了计划量？试说明理由； （3）若每套乐高按80元售卖，平均每套乐高需要线上文具店支付的运费是10元，那么该线上文具店本周销售乐高实际收入多少元？ 【解答】解：（1）21－（－8）＝21+8＝29（套）， （2）本周实际销售总量达到了计划数量，+4－3－5+14－8+21－6+100×7＝39－22+700＝717（套）， 100×7＝700（套）， 717＞700， ∴本周实际销售总量达到了计划数量； （3）717×（80－10）＝717×70＝50190（元）， 答：该线上文具店本周销售乐高实际收入50190元． 【典例2】如图，A，B两点在数轴上对应的数分别为a，b，且点A在点B的左边，|a|＝10，a+b＝80，ab＜0． （1）求出a，b的值； （2）现有一只电子蚂蚁P从点A出发，以3个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q从点B出发，以2个单位长度/秒的速度向左运动． ①设两只电子蚂蚁在数轴上的点C相遇，求出点C对应的数是多少？ ②经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度？ 【解答】解：（1）∵A，B两点在数轴上对应的数分别为a，b，且点A在点B的左边，|a|＝10，a+b＝80，ab＜0，∴a＝－10，b＝90，即a的值是－10，b的值是90； （2）①由题意可得，点C对应的数是：90－[90－（－10）]÷（3+2）×2＝90－100÷5×2＝90－40＝50， 即点C对应的数为：50； ②设相遇前，经过m秒时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度， [90－（－10）－20]÷（3+2）＝80÷5＝16（秒）， 设相遇后，经过n秒时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度， [90－（－10）+20]÷（3+2）＝120÷5＝24（秒）， 由上可得，经过16秒或24秒的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度． 【变式1】如图，电子宠物狗在6×6的网格（每个小网格的边长表示10米距离）图上沿着网格线运动．电子宠物狗从点A处出发，规定：向上、向右走为正，向下、向左走为负．例如从点A到点B记为A→B（+1，+3），从点B到点A记为B→A（－1，－3），其中第一个数表示左右方向的移动情况，第二个数表示上下方向的移动情况． （1）填空：从点C到点D记为C→D 　 　 ； （2）若电子宠物狗从点A处出发，行走路线依次为（+2，+1），（+2，+3），（+1，－1），（－2，0），（－1，+2），请在图中标出电子宠物狗运动停止的位置点E； （3）在（2）中，若电子宠物狗每走1米消耗0.5焦耳的能量，则电子宠物狗运动过程共消耗多少焦耳的能量？ 【解答】解：（1）由题意得，点C到点D为先向左2格再向上3格，则从点C到点D记为C→D（－2，+3），故答案为：（－2，+3）． （2）如图所示， （3）2+1+2+3+1+1+2+0+1+2＝15，15×10×0.5＝75（焦耳）． 答：电子宠物狗运动过程共消耗75焦耳的能量． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1.已知有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　） A． a+b＜0 B．1－a＜0 C．－a＞b D．a－b＜0 【解答】∵从数轴图示可知：－1＜a＜0＜1，a＜1，1＜b＜2，|a|＜|b|， ∴a+b＞0，1－a＞0，－a＜b，a－b＜0，∴D符合题意，故选D. 2.－3的相反数是（　　） A．－3 B． C． D．3 【解答】解：－3的相反数是3．故选D． 3. 5G是第五代移动通信技术的简称，5G网络理论下载速度可以达到每秒1300000KB以上，这意味着下载一部高清电影只需要1秒．将1300000用科学记数法表示为（　　） A．1.3×106 B．1.3×105 C．13×105 D．1.3×107 【解答】解：1300000＝1.3×106．故选A． 4.计算：（1）； （2）． 【解答】解：（1）原式 ＝－4+27－8 ＝15； （2）原式 ＝－3． 5.已知：a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为2． 求：mcd的值． 【解答】解：∵a，b互为相反数，∴a+b＝0，∵c，d互为倒数，∴cd＝1，∵m的绝对值为2，∴m＝±2， 当m＝2时，mcd＝2+0+1＝3， 当m＝－2时，mcd＝－2+0+1＝－1， 综上所述，mcd的值为3或－1． 6.小明做了如下一道有理数混合运算，在检查时发现有错误． －34[（－2）2]2 解：原式＝－81（）2……第一步 ＝－6第二步 第三步 （1）小明在第 　 　 步开始出现错误； （2）请给出该题的正确解答． 【解答】解：（1）小明在第二步开始出现错误，故答案为二； （2）原式＝－81（＝－6． 7.最近几年，全球新能源汽车发展非常迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车的产销量都大幅度增加．小明家新换了一辆新能源纯电动汽车，他连续7天记录每天行驶的路程（如表）．以60km为标准，超过60km记为“+”，不足60km记为“－”，刚好60km记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） －6 －10 －15 0 +45 +36 +30 （1）小明家这7天里行驶路程最多的一天比最少的一天多　 　 km． （2）请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ （3）已知汽油车每行驶100km需用汽油6.5升，汽油价8.2元/升，而新能源汽车每行驶100km耗电量为15度，每度电为0.5元，小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省了多少钱？ 【解答】解：（1）由条件可知45－（－15）＝60（km），故答案为60； （2）运用有理数的混合运算计算可得：60×7+（－6－10－15+0+45+36+30）＝420+80＝500（km）， ∴这七天一共行驶了500千米； （3）汽油的费用为：（元），电费为：（元）， ∴266.5－37.5＝229（元）， ∴小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省了229元钱． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1.若一个数的绝对值是4，则这个数是（　　） A．4 B．或 C．4或－4 D． 【解答】解：若一个数的绝对值是4，则这个数是4或－4，故选C． 2. 数轴上A，B，C三点依次从左向右排列，表示的数分别为－2－x，2x－3和1，则x可能是（　　） A． －2 B．－1 C．0 D．1 【解答】解：将－2代入得0，－7，1，不符题意；将－1代入得－1，－5，1，不符题意，将0代入得－2，－3，1，不符题意；将1代入得－3，－1，1，符合题意，故选D． 3.《孙子算经》中记载：“量之所起，起于粟．六粟为一圭，十圭为一撮，十撮为一抄，十抄为一勺，十勺为一合…”可知：6粟＝1圭，10圭＝1撮，10撮＝1抄，10抄＝1勺，10勺＝1合，则8合为（　　） A．4.8×104粟 B．4.8×105粟 C．8×104粟 D．8×105粟 【解答】解：6粟＝1圭，10圭＝1撮，10撮＝1抄，10抄＝1勺，10勺＝1合，则8合为： 8×6×10×10×10×10＝4.8×105．故选B． 4.电影《哈利•波特》中，小哈利波特穿越墙进入“站台”的镜头（如示意图的Q站台），构思奇妙，能给观众留下深刻的印象．若A、B站台分别位于，处，AP＝2PB，则P站台用类似电影的方法可称为“　 　 站台”． 【解答】解：由题意得：AB（），如图，点P在A与B之间，且AP＝2PB， ∴AP，P：1．故P站台用类似电影的方法可称为“1站台”． 5.对于任意有理数m，n定义一种新运算：m⊕n＝（n－m）－|m+n|． （1）若a＝－6，b＝7，求a⊕b的值； （2）已知点A，点B在数轴上表示的数分别为－1，x，且A，B两点的距离是7，y是－[－（－5）]的相反数，求[x⊕y]⊕（－1）的值． 【解答】解：（1）∵m⊕n＝（n－m）－|m+n|，∴a⊕b＝（－6）⊕7＝[7－（－6]－|－6+7|＝13－1＝12，即a⊕b＝12； （2）∵点A，点B在数轴上表示的数分别为－1，x，且A，B两点的距离是7，∴点B表示的数为－8或6， ∴x＝－8或6，∵y是－[－（－5）]的相反数，∴y＝5， 当x＝－8时，x⊕y＝（－8）⊕5＝（5+8）－|－8+5|＝13－3＝10， ∴[x⊕y]⊕（－1）＝10⊕（－1）＝（－1－10）－|10+（－1）|＝－11－9＝－20， 当x＝6时，x⊕y＝6⊕5＝（5－6）－|6+5|＝－1－11＝－12， ∴[x⊕y]⊕（－1）＝（－12）⊕（－1）＝（－1+12）－|－12+（－1）|＝11－13＝－2， 综上所述，[x⊕y]⊕（－1）＝－20或－2． 6.【定义新知】我们知道：式子|x－3|的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离AB＝|a－b|．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： （1）式子|x+2|在数轴上的几何意义是　 　 ，当|x+2|+|x－3|＝7，则x的值为　 　 ； （2）当x＝　 　 时，|x+2|+|x+6|+|x－1|的值最小，最小值为　 　 ； 【解决问题】 （3）如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧5千米，右侧1千米，右侧3千米，A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人，现因垃圾分类需要，需要在该公路上建一个垃圾中转站P，用于接收这3个小区的所有垃圾．若小区垃圾的运输和处理总成本为每千米1元/千份，那么垃圾中转站P建在何处才能使总运输和处理总成本最低，最低成本是多少？ 【解答】（1）由题可知式子|x+2|在数轴上的几何意义数轴上表示有理数x的点与表示有理数－2的点之间的距离；∵|x+2|表示有理数x的点与表示有理数－2的点之间的距离，|x－3|表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，∴|x+2|+|x－3|＝7表示数轴上x到－2的距离加上x到3的距离等于7， ∵3－（－2）＝5，∴当x在3右侧时，x＝4，当x在－2左侧时，x＝－3，综上，x＝－3或4； （2）根据题意可得，当x＝－2时，|x+2|+|x+6|+|x－1|的值最小，最小值为7； （3）设垃圾中转站P在x处，根据题意可得，垃圾的运输距离为：|x+5|+2|x－1|+3|x－3|， 显然，当1≤x≤3时，|x+5|+2|x－1|+3|x－3|取得最小值，此时最低成本12（元）， ∴垃圾中转站P建在点B，点C之间才能使总运输和处理成本最低，最低成本是12元． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.如图所示，数轴上点A，M，B分别表示数a+b，a，2a，若AM＞BM，则下列运算结果一定是正数的是（　　） A． a+b B．a－b C．ab D．|a|+b 【解答】解：AM＝a－（a+b）＝－b＞0，BM＝2a－a＝a＞0，∵AM＞BM，∴－b＞a， ∴－b－a＞0，即－（a+b）＞0，∴a+b＜0，∴A不符合题意； ∵－b＞a，∴a－b＞2a，∵a＞0，∴a－b＞0，∴B正确，符合题意； ∵－b＞0，∴b＜0，∵a＞0，∴ab＜0，∴C不符合题意； ∵a＞0，∴|a|+b＝a+b，∵a+b＜0，∴|a|+b＜0，∴D不符合题意． 故选B． 2.－2025的相反数是（　　） A．2025 B． C．－2025 D． 【解答】解：－2025的相反数是2025．故选A． 3.若有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则的值为（　　） A． －2 B．－3 C．2 D．1 【解答】解：先由数轴得a＜0，b＜0，c＞0，∴＝－1+（－1）－1＝－3，故选B． 4.“天河二号”是由国防科学技术大学研制的超级计算机系统，持续计算速度可达每秒3.39×1016次，若连续运行5分钟，则总计算次数用科学记数法表示为（　　） A．1017×1013次 B．1.017×1019次 C．16.95×1016次 D．1.695×1017次 【解答】解：根据科学记数法表示形式可得：5分钟＝300秒，3.39×1016×300＝1.017×1019（次）．故选B． 5.从特殊到一般，是我们学习和认知新事物经常运用的方法． （1）比较大小： 　 　 ，　 　 ，　 　 ，　 　 （横线上填“＞”，“＜”或“＝”） （2）请你根据上面的材料，利用字母a、b、c（a＞b＞0，c＞0）归纳出一个数学关系式； （3）运用所学知识，证明你归纳的数学关系式． 【解答】解：（1）∵，，，， 故答案为：＜，＜，＜，＜； （2）（a＞b＞0，c＞0）； （3）证明：方法一：∵a＞b＞0，c＞0，∴ac＞bc，∴ac+ab＞bc+ab，∴a（b+c）＞b（a+c）， ∴，即． 方法二： ， ∵a＞b＞0，c＞0，∴a+c＞0，b－a＜0，∴0，∴． 6.分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简|a|时，可以这样分类：当a＞0时，|a|＝a；当a＝0时，|a|＝0；当a＜0时，|a|＝－a．用这种方法解决下列问题： （1）当a＝5时，求的值． （2）当a＝－2时，求的值． （3）已知a，b是有理数，当ab＞0时，试求的值． （4）已知a，b是有理数，当abc＜0时，试求的值． 【解答】解：（1）当a＝5时，1； （2）当a＝－2时，1； （3）若a，b是有理数，当ab＞0时，分两种情况：当a＞0，b＞0时，1+1＝2， 当a＜0，b＜0时，1－1＝－2∴当ab＞0时，的值为±2； （4）若a，b是有理数，当abc＜0时，分2种情况： ①当a，b，c三个字母中有一个字母小于0，其它两个字母大于0时，1+1+1－1＝0， ②当a＜0，b＜0，c＜0时，1－1－1－1＝－4， 综上所述，的所有可能的值为0，－4． 7.【概念学习】 规定：求n个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如2÷2÷2，（－3）÷（－3）÷（－3）÷（－3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的3次商”，（－3）÷（－3）÷（－3）÷（－3）写作（－3）④，读作“－3的4次商”，一般地，把写作aⓝ，读作“a的n次商”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：5②＝ 　 　 ， 　 　 ； （2）下列关于除方说法中，错误的是 　 　 （只有一个正确答案）． A．当m≠0时，m②＝1 B．当m≠0时， C．正数的n次商结果是正数，负数的n次商结果是负数 D．n次商等于它本身的数是1 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方乘方（幂）的形式 （3）归纳：请把有理数a的n次商（a≠0，n≥3），写成乘方（幂）的形式为：aⓝ＝ 　 　 ； （4）比较：（－2）⑧　 　 4⑤；（填“＞”“＜”或“＝”） （5）计算：． 【解答】解：（1）5②＝ 5÷5＝1，， 故答案为1，； （2）A．当m≠0时，m②＝m÷m＝1，故选项A正确，不符合题意； B．当m≠0时，（）③＝（）÷（）÷（）＝1÷（）＝－m，故选项B正确，不符合题意； C．正数的n次商结果是正数，但n为偶数时，负数的n次商结果是正数，故选项C错误，符合题意； D．n次商等于它本身的数是1，正确，故选项D正确，不符合题意． 故答案为C； （3）由除方的定义，知aⓝ＝（）n－2，故答案为（）n－2； （4）∵（－2）⑧＝（）6，4⑤＝（）3，∴（－2）⑧，故答案为＝； （5）＝12+1÷23×（）4+48÷42＝1248÷16 ＝123＝15． 17 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