专题02 对称图形—圆（期中复习讲义）九年级数学上学期苏科版

专题02 对称图形——圆（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 圆的基本概念与垂径定理 掌握弦、弧、圆心角的关系，能运用垂径定理解决问题 基础必考点，选择题、填空题中出现频率较高，垂径定理应用错误率较高 圆心角、圆周角定理 理解圆心角与圆周角的关系，能进行相关计算证明 核心考点，综合题的基础，定理应用 点、直线与圆的位置关系 会判断点、直线与圆的位置关系，掌握切线的性质与判定 高频考点，切线证明题必考，是拉开差距的关键 弧长、扇形面积计算 掌握弧长公式、扇形面积公式，能解决组合图形面积问题 计算类考点，公式记忆错误率高，实际应用能力薄弱 知识点01 圆的基本概念与垂径定理 1.圆的基本元素：圆心、半径、直径、弦、弧、圆心角 2.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 3.推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ·示例：1.“圆”是中国文化的重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞．如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，则该门洞的半径是（　　） A．1.3 B．1.4 C．1.5 D．1.6 【解答】设圆的半径为r m，由题意可知，， 在Rt△OFB中，， 所以， 解得r＝1.3，即该门洞的半径是1.3m．故选A． 2.下列语句中： ①直径是弦，弦是直径； ②平分弦的直径垂直于弦； ③长度相等的弧是等弧； ④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴； ⑤相等的圆心角所对的弧长相等． 其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】①直径是弦，但弦不一定是直径，说法错误； ②平分弦（非直径）的直径垂直于弦，说法错误； ③同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，说法错误； ④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，符合圆的性质，说法正确； ⑤弧长由圆心角和半径决定，相等的圆心角所对的弧长不一定相等，说法错误． 故选A． 3.．如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB于点C，AE为直径，AB＝8，CD＝2，则线段CE的长为 　 　 ． 【解答】连接BE，如图所示：∵OD⊥AB，AB＝8，∴ACAB＝4，设⊙O的半径OA＝r， ∴OC＝OD﹣CD＝r﹣2， 在Rt△OAC中，由勾股定理得：r2＝（r﹣2）2+42，解得：r＝5， ∴AE＝2r＝10；∵OD＝5，CD＝2，∴OC＝3， ∵AE是直径，∴∠ABE＝90°，∵OC是△ABE的中位线，∴BE＝2OC＝6， 在Rt△CBE中，CE2 4.如图，圆内接四边形ABDC，AB是⊙O的直径，OD⊥BC交BC于点E． （1）求证：点D为的中点； （2）若BE＝4，AC＝6，求DE． 【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，OD⊥BC，∴， 即点D为的中点； （2）解：∵AB是⊙O的直径，OD⊥BC，∴BE＝EC＝4，∴BC＝8， ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝6，∴，∴OD＝OB＝5， ∴，∴DE＝OD﹣OE＝5﹣3＝2． ·易错点：忽略"直径平分弦"时，弦不能是直径的条件；垂径定理应用中，忘记构造直角三角形；弧的表示方法不规范. 知识点02 圆心角、圆周角定理 1.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等 2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 3.推论： 同弧或等弧所对的圆周角相等 直径所对的圆周角是直角 圆内接四边形的对角互补 ·示例：1.如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，CA＝CE，若∠ACE＝52°，则∠CBD的大小为（　　） A．68° B．72° C．78° D．80° 【解答】∵CA＝CE，∠ACE＝52°，∴64°，∵， ∴∠ABD＝∠ACE＝52°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAE＝26°， ∴∠CBD＝∠ABD+∠ABC＝78°，故选C． 2.如图，BD是⊙O的直径，点A、C在同一半圆上，∠CBD＝27°，则∠A的度数为 　 　 ． 【解答】∵BD的直径，∴∠BCD＝90°，∵∠CBD＝27°，∴∠D＝90°﹣27°＝63°， ∵∠A+∠D＝180°，∴∠A＝180°﹣63°＝117°． 3.如图1，在⊙O中，直径AC垂直弦BD于点G，，连接AE交BD于点F． （1）若AG＝1，AE＝4，求OG的长； （2）连接OF，OE，如图2，若∠GOF＝20°，求∠COE的度数． 【解答】（1）如图1，连接OB，∵直径AC⊥弦BD，∴， ∵，∴，∴AE＝BD＝4，∴BG＝2． 设OG＝x，∵AG＝1，∴OA＝OB＝x+1．在Rt△OBG中， OG2+BG2＝OB2，即x2+22＝（x+1）2， 解得，即． （2）如图2，连接OB交AE于点H， 由（1）知AE＝BD，∴OH＝OG．∵AC⊥BD，OF＝OF，∴Rt△OHF≌Rt△OGF， ∴∠GOF＝∠HOF＝20°，∴∠AOH＝40°，∴∠A＝50°，∴∠COE＝2∠A＝100°． 4.如图，△ABC为⊙O的内接三角形，，以AB为边作矩形ABDE，使边DE过点C，AE交⊙O于点F，连接CF． （1）当AB＝AC时，求∠AFC的度数． （2）求证：CE＝CD． 【解答】（1）解：∵，∴AC＝BC，∵AB＝AC，∴AB＝AC＝BC，∴△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°，∵四边形AFCB为圆内接四边形，∴∠AFC＝180°﹣∠ABC＝120°； （2）证明：∵，∴∠ABC＝∠BAC，∵四边形ABDE是矩形， ∴∠AEC＝∠D＝90°，AE＝BD，∠EAB＝∠DBA，∵∠EAB＝∠EAC+BAC，∠DBA＝DBC+∠ABC， ∴∠EAC＝∠DBC， 在△AEC和△BDC中， ， ∴△AEC≌△BDC（AAS）， ∴CE＝CD． ·易错点：混淆圆心角与圆周角的概念；圆周角定理应用时找不准对应的弧；圆内接四边形性质应用不熟练. 知识点03 点、直线与圆的位置关系 1.点与圆的位置关系：设点到圆心的距离为d，半径为r d<r ⇔ 点在圆内；d=r ⇔ 点在圆上；d>r ⇔ 点在圆外 2.直线与圆的位置关系：设圆心到直线的距离为d，半径为r 相离：d>r；相切：d=r；相交：d<r 3.切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径 4.切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 ·示例：1.已知⊙O的半径是8，点P到圆心O的距离d为方程x2﹣4x﹣5＝0的一个根，则点P在（　　） A．⊙O的内部 B．⊙O的外部 C．⊙O上或⊙O的内部 D．⊙O上或⊙O的外部 【解答】解方程x2﹣4x﹣5＝0可得，x1＝5，x2＝﹣1， ∵点P到圆心O的距离d为方程x2﹣4x﹣5＝0的一个根，∴d＝5＜8， ∴点P在⊙O的内部，故选A． 2.如图，⊙O内切于正方形ABCD，边AD、CD分别与⊙O切于点E、F，点M、N分别在线段DE、DF上，且MN与⊙O相切．若△MBN的面积为4，则⊙O的半径为（　　） A． B． C． D．2 【解答】设⊙O与MN相切于点P，设正方形的边长为2a，∵AD、CD、MN是切线， ∴AE＝DE＝DF＝CF＝a，MP＝ME，NP＝NF，设MP＝ME＝x，NP＝NF＝y， 在Rt△DMN中，∵MN＝x+y，DN＝a﹣y，DM＝a﹣x，∴（x+y）2＝（a﹣y）2+（a﹣x）2， ∴ax+ay+xy＝a2，∵S△BMN＝S正方形ABCD﹣S△ABM﹣S△DMN﹣S△BCN＝4， ∴4a22a×（a+x）（a﹣x）（a﹣y）2a×（a+y）＝4， ∴a2（ax+ay+xy）＝4，∴a2＝4，∴a＝2（舍负），∴AB＝2a＝4，∴⊙O的半径为2，故选D． 3.如图，已知⊙O1为四边形ABCD的内接圆，恰好与三条边相切，半径为r1，⊙O2为四边形ABCD的外接圆，半径为r2，则的取值范围为　 　 ． 【解答】如图，不妨设⊙O2与四边形ABCD三边分别相切于E、F、H，连接BD，延长AD，BC交于点G，连接GO，OD， ∴OH⊥AB，OF⊥BC，OE⊥AD，∠BAO＝∠DAO，且OE＝OH＝OF， ∴AD＝BC，AH＝BH，∴，∴∠ABD＝∠BDC， ∴CD∥AB，而AD，BC不平行， ∴四边形ABCD是等腰梯形，∠GCD＝∠CBA，∠GDC＝∠DAB， ∴∠GDC＝∠GCD，∠DAB＝∠CBA，∴△ABG是等腰三角形． ∴GA＝GC，而OA＝OB，OH⊥AB，∴G，O，H共线， 而∠BAO＝∠DAO，，故只需求∠BAG的范围，考虑下面两种极端情况： 当C、D、G重合于一点G时，∵OH＝OE＝OF，OA＝OB＝OC， ∴结合勾股定理可得BF＝CF＝AE＝CE＝AH＝BH， ∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴； 当AD与BC平行时，同理可得等腰梯形ABCD是正方形， 此时．∵以上两种极限情况均取不到，∴． 4.如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且点D为的中点，过点D作DE⊥AC于点E，连接BD． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AC＝3，，求DE的长． 【解答】（1）证明：如图，连接AD．∵点D为的中点，∴，∴∠CAD＝∠DAB， ∵OA＝OD，∴∠DAB＝∠ODA．∴∠CAD＝∠ODA，∴AE∥OD． ∵DE⊥AE，∴DE⊥OD，∵OD为⊙O的半径，∴ED是⊙O的切线； （2）解：如图，连接BC交OC于F，∵，∴CD＝BD，OD⊥BC，∴CF＝BF， ∵AO＝OB．∴OFAC，设⊙O的半径为r，∴DF＝r， ∵OB2﹣OF2＝BD2﹣DF2，∴r2﹣（）2， 解得r（舍负），∴OB，∴2， ∵AB为⊙O的直径，∴∠BCA＝∠BCE＝90°， ∴∠FCE＝∠E＝∠CFD＝90°， ∴四边形DECF是矩形，∴DE＝CF＝BF＝2． ·易错点：切线判定时忽略"经过半径外端"的条件；切线性质应用时忘记垂直关系；位置关系判断时代入错误. 知识点04 弧长、扇形面积计算 1.弧长公式：l = （n为圆心角度数） 2.扇形面积公式：S == lr 3.圆锥侧面展开图：扇形，扇形半径 = 圆锥的母线 l，扇形弧长 = 圆锥底面周长 2πr 侧面积公式：S侧 = πrl，全面积公式：S全 = S侧 + S底 = πrl + πr² 4.弓形面积：扇形面积减去三角形面积 ·示例：1.半径为1的圆中，扇形AOB的圆心角为120°，则扇形AOB的面积为（　　） A． B． C． D．π 【解答】扇形AOB的面积，故选B． 2.如图1是博物馆屋顶的图片，屋顶由图2中的瓦片构成，瓦片横截面如图3所示，是以点O为圆心，18cm为半径的弧，弦AB的长为18cm，则的长是（　　） A．24πcm B．12πcm C．10πcm D．6πcm 【解答】∵OA＝OB＝18cm，且AB＝18cm，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB＝60°， ∴的长为：6π（cm）．故选D． 3.已知圆锥的侧面积为15π，母线长为5，则圆锥的底面半径是　 　 ． 【解答】设底面半径为R，则底面周长＝2πR，圆锥的侧面展开图的面积2πR×5＝15π，∴R＝3. 4.如图，AB是⊙O的直径，与弦CD交于点E，∠CAB＝30°，AC＝AE、CD＝2，则图中阴影部分的面积为 　 　 ． 【解答】连接OC、OD． ∵AC＝AE，∠CAB＝30°，∴∠ACE＝∠AEC＝（180°﹣∠CAB）÷2＝75°， ∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，∵OC＝OD， ∴∠OCD＝∠ODC＝∠ACE﹣∠OCA＝75°﹣30°＝45°， ∴∠COD＝180°﹣∠OCD﹣∠ODC＝90°， ∴OD＝CD•sin∠OCD＝2，∴SRt△CODOC•OD＝1，∵S扇形CODπOD2， ∴S阴影＝S扇形COD﹣SRt△COD1． 5.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问积及为米几何？”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一（如图），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，那么这个米堆遮挡的墙面面积是 　 　 平方尺．（结果用含π的式子表示） 【解答】设圆锥的底面半径为r尺，由米堆底部的弧长为8尺，可得2πr＝8，解得 r， ∴这个米堆遮挡的墙面面积是25（平方尺）． 6．如图所示，圆锥形容器中装有7升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，且水面半径也正好是圆锥底面半径的一半，则这个容器还能装水 　 　 升． 【解答】由图可知，水面半径是r分米，水面高度为h分米，则装满水时水面半径是r分米，圆锥的高为h分米，∴水的体积为：π×（r）2hπr2h，容器的容积为：πr2h， ∴水的体积与容积之比是：πr2h：πr2h＝1：8， ∵水的体积是7升，∴容器的容积是7×8＝56（升），∴56﹣7＝49（升），∴还能装下49升水． ·易错点：弧长公式与面积公式混淆；圆心角度数代入错误；组合图形面积计算时漏算或多算. 题型一 垂径定理的应用 解｜题｜技｜巧 1.见到弦的问题，考虑作弦心距构造直角三角形 2.利用勾股定理建立方程求解 3.注意直径所对的圆周角是直角 易｜错｜点｜拨 垂径定理应用中，最容易忽略的是“弦不能是直径”这一条件. 【典例1】把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝4，则球的半径长是（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．4 【解答】设球的平面投影圆心为O，过点O作ON⊥AD于点N，延长NO交BC于点M，连接OF，如图所示：则NF＝ENEF＝2， ∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，∴四边形CDNM是矩形， ∴MN＝CD＝4，设OF＝x，则OM＝OF，∴ON＝MN﹣OM＝4﹣x， 在Rt△ONF中，由勾股定理得：ON2+NF2＝OF2， 即：（4﹣x）2+22＝x2， 解得：x＝2.5，故选B． 【典例2】如图，在⊙O中，2且BD⊥OC，垂足为D．若AB＝8，CD＝2，则⊙O的半径为 　 　 ． 【解答】如图，过点O作AB的垂线交AB于点E，交于点F，连接OB． ∵OF⊥AB，AB＝8，∴，AE＝BEAB8＝4， ∵2，∴AB，∴∠BOC＝∠BOF，∴OB是∠COF的平分线， ∵BD⊥OC，∴BD＝BE＝4，设⊙O的半径为r，则OB＝OC＝r， ∵CD＝2，∴OD＝OC﹣CD＝r﹣2， 在Rt△BOD中利用勾股定理，得BD2+OD2＝OB2，∴42+（r﹣2）2＝r2，∴r＝5， ∴⊙O的半径为5． 【变式1】如图，AB是半径为2的⊙O的弦，将弧AB沿AB将翻折后，恰好经过圆心O，点P是翻折的弧AB上的一动点；连接BP并延长交⊙O于C，点Q为PC的中点，连接OQ，则OQ的最小值为 　 　 ． 【解答】连接OA、OB，AP，作OM⊥AB，如图1所示，由翻折可知OMAO＝1， ∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∠AOB＝120°，∴∠APB＝∠AOB＝120°，∠APC＝60°， 由圆周角定理可知∠C＝60°，∴△ACP为等边三角形，连接AQ， 又∵Q为CP中点，由三线合一性质可得AQ⊥CP， ∵OM⊥AB，由垂径定理可得M为AB中点， 在Rt△AQB中，QM为斜边AB上的中线，故有QMAM， ∵OQ≥QM﹣OM，当Q、O、M三点共线时取等号，即OQ，故答案为． 【变式2】如图1所示的圆弧形混凝土管片是构成圆形隧道的重要部件．管片的横截面（阴影部分）是同心圆环的一部分，左右两边沿的延长线交于圆心． （1）如图1，BA，CD的延长线交于圆心O，若甲组测得AB＝0.6m，AD＝3m，BC＝4m，求OB的长； （2）如图2，有一混凝土管片放置在水平地面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定，管片与地面的接触点L为弧MP的中点，若丙组测得MN＝PQ＝0.5m，NL＝LQ＝2m，求：该混凝土管片的外圆弧半径． 【解答】（1）由条件可知，∴△AOD∽△BOC， ∴，设OB＝x m，则OA＝（x﹣0.6）m，∴， 解得：x＝2.4，经检验，x＝2.4是原方程的根，即OB＝2.4m．答：OB的长为2.4m； （2）如图，设圆心为点O，连接OP、OM、OL、MP、OL与PM相交于点T， 则∠OTM＝90°，MT＝NL＝2m，设外半径为rm，则OT＝（r﹣0.5）m， 在Rt△OMT中，由勾股定理可得：r2＝（r﹣0.5）2+22，解得：r＝4.25， 答：该混凝土管片的外圆弧半径为4.25m． 题型二 切线的证明与计算 答｜题｜模｜板 1.证明切线： （1）连半径，证垂直 （2）作垂直，证半径 2.利用切线性质： （1）切线垂直于过切点的半径 （2）从圆外一点引的两条切线长相等 【典例1】如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，过点D作DE∥AB．交CB的延长线于点E． （1）求证：直线DE是⊙O的切线； （2）若∠BAC＝30°，，求CD的长． 【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD＝∠BCD， ∴∠AOD＝∠BOD，∵AB为⊙O的直径，∴∠AOD＝∠BOD180°＝90°， ∴OD⊥AB，∵DE∥AB，∴OD⊥DE，∵OD为⊙O的半径，∴直线DF是⊙O的切线； （2）解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∠ADB＝90°，∵∠BAC＝30°，， ∴AB＝2BC＝4．∵∠ACB的平分线CD交⊙O于点D， ∴∠ACD＝∠BCD，∴，∴AD＝BDAB＝4， 过点B作BF⊥CD于点F， ∵∠CDB＝∠CAB＝30°，∴BFBD＝2， ∴DF2， ∵△BFC为等腰直角三角形，∴CF＝BF＝2， ∴CD＝CF+DF＝22． 【典例2】如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，DE切⊙O于点P，与AB的延长线相交于点E，与AC的延长线相交于点D，且AD⊥DE． （1）若，AD＝10，求CD的长； （2）求证：P是的中点．（请用两种证法解答） 【解答】（1）解：连接OP，BC交于F，∵DE切⊙O于点P，∴OP⊥DE， 设⊙O的半径为r，则OP＝OB＝r，∵，∴BEr，∴EOr，AEr， ∵AD⊥DE，∴OP∥AD，∴△OPE∽△ADE，∴，，∴r＝6，∴OP＝6， ∵AB为⊙O的直径，∴AC⊥BC，∴OP⊥BC，∴BF＝CF，∵AO＝OB，∴OF， ∵∠D＝∠DPF＝PFC＝90°，∴四边形PDCF是矩形，∴PF＝CD， 设PF＝CD＝x，∴OF＝6﹣x，AC＝10﹣x，∴10﹣x＝2（6﹣x），∴x＝2，∴CD＝2； （2）方法一：由（1）知BF＝CF，PO⊥BC，∴，∴P是的中点； 方法二：连接AP，由（1）知，OP∥AD，∴∠DAP＝∠APO， ∵OA＝OP，∴∠PAO＝∠APO，∴∠DAP＝∠PAB，∴， ∴P是的中点． 【变式1】如图，在△ABC中，AB+ACBC，AD⊥BC于D，⊙O为△ABC的内切圆，设⊙O的半径为R，AD的长为h，则的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】如图，O为△ABC中∠ABC、∠ACB、∠BAC的角平分线交点，过点O分别作垂线相交于AB、AC、BC于点E、G、F， S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOCAB•RBC•RAC•RR（AB+AC+BC）， ∵AB+ACBC，∴S△ABCR（BC+BC）R•BC，∵AD的长为h， ∴S△ABCBC•h，∴R•BCBC•h，∴hR，∴，故选A． 【变式2】如图，直线AB与x轴、y轴分别相交于A、B两点，点A（﹣3，0），点，圆心P的坐标为（1，0），圆P与y轴相切于点O．若将圆P沿x轴向左移动，当圆P与线段AB有公共点时，令圆心P的横坐标为m，则m的取值范围是　 　 ． 【解答】∵点A（﹣3，0），点，∴， ∴，∴∠BAO＝30°， 当点P在点A右边，且⊙P与线段AB只有一个交点时，如图中P1： ∵⊙P与线段AB只有一个交点，∴P1N⊥AB，∴AP1＝2P1N＝2，则P1（﹣1，0）； 当点P在点A左边，且⊙P与线段AB只有一个交点时，如图中P2： ∵⊙P与线段AB只有一个交点，∴⊙P与线段AB相交于点A，∴P2A＝1，A（﹣3，0）， 则P2（﹣4，0）；综上：m的取值范围是﹣4≤m≤﹣1 【变式3】如图，已知⊙P的半径为4，且圆心P在边长为4的等边△ABC的三边上运动，点B的坐标为（1，1），BC∥x轴，当⊙P与x轴相切时，点P的坐标为 　 　 ． 【解答】当点P在AB上时，设切点为点F，连接PF与BC交于点E， 由题意得，PF⊥x轴，PF＝4，∵BC∥x轴，∴PF⊥BC，∵B（1，1），∴PE＝4﹣1＝3， ∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°（等边三角形的每个内角都等于60°）， ∴，∴； 当点P在AC上时，设切点为点F，连接PF与BC交于点E，同理可得， ∵BC∥x轴，点B的坐标为（1，1），等边△ABC的边长为4，∴， ∴，综上：当⊙P与x轴相切时，点P的坐标为或． 题型三 圆中的综合证明与计算 答｜题｜模｜板 1.分析图形中的基本关系（垂直、平行、相似等） 2.寻找合适的辅助线（弦心距、切线、直径等） 3.建立方程或比例关系求解 4.注意多解情况的讨论 易｜错｜点｜拨 圆中综合题往往需要添加多条辅助线，容易遗漏某些特殊情况. 【典例1】如图某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，并在门洞外侧沿圆弧形边缘装一条灯带．如图，已知矩形的宽为2m，高为，圆弧所在的圆外接于矩形，则震要的灯带的长度至少是（　　） A． B． C． D． 【解答】如图，连接AD，BC，交于O点，由条件可知BC是直径， ∴， ∵四边形ABDC是矩形，∴， ∵CD＝2，∴OC＝OD＝CD，∴∠COD＝60°， ∴门洞的圆弧所对的圆心角为360°﹣60°＝300°， ∴改建后门洞的圆弧长是，故选C． 【典例2】如图，⊙O1与⊙O2都经过A、B两点，且点O2在⊙O1上，点C是弧AO2B上的一动点（点C不与点A、B重合），连接AC并延长AC交⊙O2于点P，连接AB，BC，BP，当点C在弧AO2B上运动时，图中大小都不变的角的个数是（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【解答】连接AO1，AO2，BO1，BO2， 根据题意可知，整个图形中，点C是运动的，∴， ∵∠1，∠AO2B不变，∴∠ACB，∠APB保持不变， 由条件可知∠BCP＝180°﹣∠ACB，∴∠BCP也不变， ∵∠CBP+∠CPB+∠BCP＝180°，∴∠CBP＝180°﹣∠CPB﹣∠BCP， ∴∠CBP也不变，故不变的有四个角：∠ACB，∠APB，∠BCP，∠CBP，故选B． 【典例3】请阅读下列材料，并完成相应的任务． 战国时的《墨经》就有“圆，一中同长也”的记载．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数． 证明：如图①，AB与⊙O相切于点A．当圆心O在弦AC上时，容易得到∠CAB＝90°，在AC上任取一点E，连接EC，EA，则∠CEA＝∠CAB，所以弦切角∠BAC的度数等于它所夹半圆所对的圆周角度数． 如图②，AB与⊙O相切于点A，当圆心O在∠BAC的内部时，过点A作直径AD交⊙O于点D，在AC上任取一点E，连接EC，ED，EA，则∠CED＝∠CAD，所以∠CED+∠DEA＝∠CAD+∠DAB，即∠CEA＝∠CAB． 任务： （1）类比图②添加辅助线的方法，解决如图③的问题，AB与⊙O相切于点A．当圆心O在∠BAC的外部时，请写出弦切角定理的证明过程． （2）如图②，已知⊙O的半径为1，弦切角∠CAB＝130°，求的长． 【解答】（1）证明：如图③，过点A作直径AF交⊙O于点F，连接FC， ∵AF是直径，∴∠ACF＝90°，∴∠CFA+∠FAC＝90°， ∵AB与⊙O相切于点A，∴∠FAB＝90°，∴∠CAB+∠FAC＝90°， ∴∠CAB＝∠CFA，即弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数． （2）解：如图，连接CO，∵∠CAB＝130°，∴∠CAD＝130°﹣90°＝40°， ∴∠COA＝180°﹣2×40°＝100°，∴． 【典例4】如图，I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D． （1）求证：∠BAD＝∠CBD； （2）求证：BD＝ID； （3）连接BI、CI，求证：点D是△BIC的外心． 【解答】证明：（1）∵点I是△ABC的内心，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠CBD＝∠CAD， ∴∠BAD＝∠CBD； （2）如图，连接BI， ∵点I是△ABC的内心，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI， ∵∠CBD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CBD，∴∠BID＝∠ABI+∠BAD， ∴∠ABI＝∠CBI，∠BAD＝∠CAD＝∠CBD， ∵∠IBD＝∠CBI+∠CBD，∴∠BID＝∠IBD，∴ID＝BD； （3）如图，连接BI、CI，DC，∵∠BAD＝∠CAD，∴， ∴BD＝CD，∴BD＝CD＝ID， ∴点D是△BIC的外心． 【变式1】如图，一扇形纸片的圆心角为90°，半径为3．将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影部分为重叠部分，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【解答】如图，连接OD、AD． ∵根据折叠的性质，得AD＝OD，∴AD＝OD＝OA， ∴△AOD是等边三角形，∴∠AOD＝60°， ∵OA＝3，∴OCOA， 在Rt△COD中利用勾股定理，得CD， ∴S△CODCD•OC， ∵S扇形AODπ×32， ∴S阴影＝S扇形AOD﹣S△COD．故选A． 【变式2】如图，长方形ABCD的长AB＝14厘米，宽BC＝10厘米． （1）如图①，一个半径为1cm的圆沿着长方形的四边内侧滚动一周，求圆滚过的面积（π取3.14）； （2）如图②，E、F分别为AB、CD上的点，且，FC：DF＝2：5，一个半径为1厘米的圆在长方形外侧连续地从E经过点B，C滚动到点F，求圆滚过的面积（结果保留π）． 【解答】（1）如图1中， 空白部分的长＝14﹣4＝10（cm），宽＝10﹣4＝6（cm）， ∴阴影部分的面积； （2）如图2中，由题意，BE＝AB﹣AE＝14﹣2＝12（cm）， ，∴阴影部分的面积为： ． 【变式3】已知点A，B，C的位置如图所示，若它们分别是一个圆的内接三角形的三边的中点，用两种不同的方法求作该圆． 要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明． 【解答】如图⊙O即为所求． 方法一：①连接AB，BC，AC； ②分别过A，B，C作BC，AC，AB的平行线交于点D，E，F； ③作线段DE，DF的垂直平分线检验点O，连接OD； ④以O为圆心，OD为半径作⊙O即可； 方法二：①②步骤同上； ③过点A作AN⊥BC于点N；过点B作BM⊥AC于点M，AN，BM交于点O，连接OD； ④以O为圆心，OD为半径作⊙O即可. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，点O为AB的中点，若以点O为圆心，5为半径作⊙O，则下列判断正确的是（　　） A．点C在⊙O外 B．点C在⊙O上 C．点C在⊙O内 D．无法判断 【解答】连接OC，∵AB＝10，∠C＝90°，点O为AB的中点，∴OC5， ∵⊙O的半径为5，∴点C在⊙O上．故选B． 2.如图，点A，B，C，D都在圆O上，CD为圆O的直径，且CD∥AB，若CB＝4，AC＝2，则圆O的半径为（　　） A．10 B．2 C． D．5 【解答】由条件可知∠ABC＝∠BCD，∴，∴， ∵CD为⊙O的直径，∴∠CBD＝90°，∴， ∴⊙O的半径为．故选D． 3.如图，AB是圆的直径，∠1、∠2、∠3、∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1、∠4的一边分别经过点A、B，则∠1+∠2+∠3+∠4的度数为（　　） A．45° B．90° C．135° D．180° 【解答】如图，取圆心点O，连接OA、OD、OE、OF． ∵∠AOD＝2∠1，∠DOE＝2∠2，∠EOF＝2∠3，∠BOF＝2∠4， ∴∠AOD+∠DOE+∠EOF+∠BOF＝2（∠1+∠2+∠3+∠4）＝180°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝90°．故选B． 4.如图，四边形ABCD是正方形，AB＝1．执行下面操作：第一次操作以点A为圆心，以AD为半径顺时针作弧DE交BA的延长线于点E，得到扇形DAE；第二次操作以点B为圆心，以BE为半径顺时针作弧EF交CB的延长线于点F，得到扇形EBF；第三次操作以点C为圆心，以CF为半径顺时针作弧FG交DC的延长线于点G，得到扇形FCG，依此类推进行操作，其中，，…的圆心依次按A，B，C，D循环，所得曲线DEFGH…叫做“正方形的渐开线”，则经过四次操作后所得到的四个扇形的面积和为 　 　 ．（结果保留π） 【解答】∵四边形ABCD是正方形，AB＝1，∴第一次操作（扇形DAE）， 以点A为圆心，以AD为半径，∵AD＝1，圆心角n＝90°，∴S1π， 第二次操作（扇形EBF），以点B为圆心，以BE为半径， ∵BE＝2，圆心角n＝90°，∴S2π， 第三次操作（扇形FCG），点C为圆心，以CF为半径， ∵CF＝3，圆心角n＝90°，∴S3， 第四次操作（扇形GDH），点D为圆心，以DG为半径， ∵DG＝4，圆心角n＝90°，∴S44π，∴S1+S2+S3+S4π+ππ+4ππ． 5.如图，在矩形ABCD中，以点B为圆心，以BC的长为半径画弧，交AD边于点E，连接BE，作CF⊥BE于点F． （1）求证：DE＝EF； （2）若AB＝2，BC＝4，求四边形CDEF的面积． 【解答】（1）证明：连接CE，由题意得到：BE＝BC，∴∠FEC＝∠BCE， ∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠D＝90°，∴∠DEC＝∠BCE，∴∠DEC＝∠FEC， ∵CF⊥BE，∴∠EFC＝∠D＝90°，∵∠DEC＝∠∠FEC，CE＝CE， ∴△CDE≌△CFE（AAS），∴DE＝EF； （2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝4，DC＝AB＝2，∠A＝∠D＝90°， ∵BE＝BC＝4，∴AE2，∴DE＝AD﹣AE＝4﹣2， ∵△CDE≌△CFE（AAS），∴四边形CDEF的面积＝△CDE面积的2倍， ∵△CDE的面积CD•DE，∴四边形CDEF的面积＝CD•DE＝2×（4﹣2）＝8﹣4． 6.在车辆行驶过程中，大型车辆驾驶员会因为存在“视野盲区”——尤其是转弯时因内轮差产生的“死亡弯月”——而造成交通事故，根据相关数据的统计，大货车发生的交通事故中，约86%是在转弯时发生的，内轮差盲区是指车辆在转弯时，由前内轮与后内轮的转弯半径之差形成的司机无法看到的区域为进一步缓解交叉路口右转弯大型车辆与行人、非机动车冲突，减少因右转弯盲区导致的交通事故，奉贤公安交警已在多个路口漆画了“右转危险区”警示带，如南奉公路南桥路口、金海公路东方美谷大道口．某个路口“右转危险区”如下面图涂色部分所示（单位：m）．经过测量内轮转弯半径O1A＝O1D＝10米，前内轮转弯半径O2B＝O2C＝4米，圆心角∠DO1A＝∠CO2B＝90°，请问这个路口“右转危险区”的面积和周长是多少？（保留π） 【解答】由题意得：10×10﹣4×4+3.14×423.14×102＝100﹣16+3.14×16×﹣3.14×100 ＝100﹣16+12.56﹣78.5＝18.06（平方米） 3.14×10×2（10﹣4）×2+3.14×4×2＝3.14×5+6×2+3.14×4×2＝3.14×5+12+3.14×2 ＝21.98+12＝33.98（米） 答：“右转危险区”的面积是18.06平方米，周长是33.98米． 7.如图，已知△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，且线段AD、AC的长恰好是方程x2﹣9x+20＝0的两个实数根． （1）求线段CD的长； （2）若线段AB的长为10，求⊙O的半径． 【解答】解：（1）已知△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，且线段AD、AC的长恰好是方程x2﹣9x+20＝0的两个实数根，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，AD＜AC，解（x﹣5）（x﹣4）＝0得： x1＝4，x2＝5，∴AD＝4，AC＝5， 在直角三角形ACD中，由勾股定理得：； （2）连接AO并延长AO交⊙O于点E，则AE是⊙O的直径，连接BE， ∴∠ABE＝90°，∴∠ADC＝∠ABE＝90°， ∵∠AEB＝∠C，∴△ADC∽△ABE，∴， ∴，解得，∴⊙O的半径为． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1.东汉初年，我国的《周髀算经》里就有“径一周三”的古率，提出了圆的直径与周长之间存在一定的比例关系．将图中的半圆弧形铁丝（）向右水平拉直（保持M端不动），根据该古率，与拉直后铁丝N端的位置最接近的是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【解答】根据题意知，的长度为：π×13＝1.5，则与拉直后铁丝N端的位置最接近的是点A． 2.如图，AB为⊙O的直径，构造四边形OACD，且弦CD∥AB，若∠D＝40°，则∠C的度数是（　　） A．100° B．105° C．110° D．115° 【解答】连接BD，∵∠CDO＝40°，CD∥AB，∴∠CDO＝∠DOB＝40°， ∵OD＝OB，∴， ∵四边形ABDC是⊙O的内接四边形，∴∠ACD＝180°﹣∠OBD＝180°﹣70°＝110°，故选C． 3.如图，在半圆O中，AB为直径，点C，D为半圆O的三等分点，连接AC，BD，相交于点E，连接OD交AC于点F．若OD＝2，则AE＝（　　） A． B． C．1 D． 【解答】连接AD，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°， ∵点C，D为半圆O的三等分点，∴， ∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形， ∴OA＝OD＝AD＝2，∠DAO＝60°，∠ABD∠AOD60°＝30°， ∵，∴∠DAC＝∠CAB＝∠ABD＝30°， 在△AOF中，∠OAF＝30°，∠AOD＝60°，∴∠AFO＝90°，即AF⊥OD， 在△ADE中，∠DAE＝30°，∠ADE＝90°，AD＝2，∴AE＝2DE， ∵DE2+AD2＝AE2，∴DE2+4＝（2DE）2，即，解得， ∴，即AE的长度为，故选B． 4.如图，扇形OAB中，∠AOB＝90°，将扇形OAB沿OB方向平移得到扇形O′A′B′，当O′A′恰好经过的中点C，OA＝2时，图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【解答】如图，连接OC． ∵∠AOB＝90°，O′A′恰好经过的中点C， ∴∠AOC＝∠BOC∠AOB90°＝45°， ∵将扇形OAB沿OB方向平移得到扇形O′A′B′，∴∠A′O′B′＝90°， ∴OO′＝O′C＝OC•sin∠BOC＝2，∴S△OO′COO′•O′C1， ∵S扇形AOCπ×22，∴S阴影＝S△OO′C+S扇形AOC1．故选B． 5.如图，AB是半⊙O的直径，弦CD∥AB，点E，F分别在半径OD和弦CD上，且OE＝CF，连接AE，OF． （1）求证：AE＝OF； （2）若∠DOF＝90°，AB＝10，CD＝8，求DE的长． 【解答】（1）证明：连接OC，如图，∵CD∥AB，∴∠D＝∠AOD， ∵OC＝OD，∴∠C＝∠D，∴∠AOD＝∠C， 在△AOE和△OCF中， ， ∴△AOE≌△OCF（SAS），∴AE＝OF； （2）解：过O点作OH⊥CD于H点，如图，则CH＝DHCD＝4， ∵∠DOF＝90°，∴∠DHO＝∠DOF， ∵∠ODH＝∠FDO，∴△DOH∽△DFO， ∵DO：DF＝DH：DO，即5：DF＝4：5，解得DF， ∴CF＝CD﹣DF＝8，∴OE，∴DE＝DO﹣OE＝5． 6.如图所示，在平面直角坐标系中有△ABC，请在图中画出△ABC外接圆的圆心P． （1）圆心P的坐标是 　 　 ； （2）判断点M（6，5）是否在⊙P上？ 【解答】（1）如图所示：点P即为所求；所以点P的坐标为（5，2）． （2）点M在⊙P内，不在⊙P上；理由如下： ， 圆的半径， ∵， ∴点M在⊙P内，不在⊙P上． 7.实践与探究 探究课题：四点共圆的条件． 课题背景：过任意一个三角形的三个顶点都能作一个圆． （1）发现问题：某数学小组在课堂上经过测量四边形各个内角的度数，发现：如果过某个四边形的四个顶点能作一个圆，那么其相对的两个内角之和等于180°，结合图1，你认为这个小组发现的结论正确吗？如果该结论正确，请你说明理由． （2）如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆，那么其相对的两个内角之间有上述关系吗？试结合图2和图3说明其中的道理． （3）由上面的探究，请你归纳出判定过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件是什么？ 【解答】（1）解：结论正确，理由： ∵⊙经过四边形的四个顶点A、B、C、D， ∴∠A的度数等于度数的一半，∠C的度数等于度数的一半， ∵与是一个圆周， ∴∠BAD+∠BCD＝180°， ∴如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆，那么其相对的两个内角互补． （2）解：没有上述关系，理由： 如图2：连接BE， ∵∠BAD+∠E＝180°，∠BCD＞∠BED， ∴∠BAD+∠BCD＞180°； ∴如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆，那么其相对的两个内角之间不具备上述关系． 如图3，连接DE， ∵∠BAD+∠BED＝180°，∠BED＞∠C， ∴∠BAD+∠C＜180°． ∴如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆，那么其相对的两个内角之间不具备上述关系． （3）解：根据（1）（2）可得： 如图2：判定过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件是这个四边形相对的两个内角互补． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣6，2）都在⊙M上，则⊙M的半径为（　　） A． B．2 C． D． 【解答】分别作AB、BC的垂直平分线，其交点即为M点，M点的坐标为（﹣2，0）， ∴OM＝2，∵点A（0，4），∴AM， ∴⊙M的半径为2．故选C． 2.如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，且，连结CD．若弦CD＝3，则直径AB的长为（　　） A．3 B．6 C． D． 【解答】解：连接AC，BD，OC，OD， ∵，∴AC＝CD＝BD，∠AOC＝∠COD＝∠BOD， ∵∠AOC+∠BOD+∠COD＝180°，∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°， ∵OC＝OD（等角对等边），∴△COD是等边三角形， ∴OC＝CD＝3，∴AB＝2OC＝2×3＝6．则直径AB的长为6，故选B． 3.如图，在边长为的正八边形ABCDEFGH中，已知I，J，K，L分别是边AH，BC，DE，FG上的动点，且满足IA＝JC＝KE＝LG，则四边形IJKL面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：连接ⅠK，JL， ∵正八边形，IA＝JC＝KE＝LG，∴IJ＝JK＝KL＝LI，IK＝JL， ∴四边形IJKL为正方形，∴四边形IJKL的面积为IJ2， 当IJ最大时，四边形IJKL的面积最大，∴IJ＝AC即为正八边形的对角线时，四边形IJKG的面积最大， 如图2，连接AE，CG交于点O，连接OB，交AC于点M， 则△AOC为等腰直角三角形，O为正八边形的中心， ∴OC＝OB＝OA，OB垂直平分AC，∴， 设OM＝AM＝x，则，∴， 在Rt△AMB 中，AB2＝BM2+AM2，即 ， 解得： （舍负），∴， ∴四边形IJKL的最大面积为，故选A． 4.已知，平面直角坐标系中，A点坐标为（8，0），B点坐标为（0，6），C点坐标为（m，0）（0＜m＜8），D为线段BC上一点，以D为圆心，1.5为半径作⊙D．且⊙D与△OAB的两边相切，则m的值为　 　 ． 【解答】如图1，当圆与OB、AB相切时，根据圆的半径相等，点D满足了到角的两边的距离相等， ∴BC是∠OBA的角平分线， 过点C作CE⊥AB，垂足为E，则OC＝CE． ∵A点坐标为（8，0），B点坐标为（0，6），∴OA＝8，OB＝6， 由勾股定理得：AB．∵BC＝BC， 在Rt△OBC和Rt△EBC中， ， ∴Rt△OBC≌Rt△EBC（HL），∴BO＝BE＝6，AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝4， 设OC＝CE＝x，则AC＝8﹣x，在Rt△CAE中，根据勾股定理，得AC2＝AE2+CE2， ∴（8﹣x）2＝42+x2，解得x＝3，即OC＝3，∵C（m，0），故m＝3； 如图2，当圆与OB、OA相切时，根据圆的半径相等，点D满足了到角的两边的距离相等， ∴OD是∠BOA的角平分线，设圆与OB的切点为F，连接OD，DF，则∠DFO＝90°，∠FDO＝∠FOD＝45°，∴DF∥OC，DF＝FO，∴BF＝6，，∴， 解得OC＝2，∵C（m，0），故m＝2； 如图3，当圆与AB、OA相切时， 设切点分别是E、F，连接DE、DF，则DE＝DF，点D满足了到角的两边的距离相等， ∴OD是∠BAO的角平分线，连接AD，根据三角形的面积性质，得到S△ABC＝S△ABD+S△ADC， ∴，解得m， 综上所述，m的值为2或3或 5.如图，AB是⊙O的直径，点D在AB上（D与A，B不重合），CD⊥AB，连接CB，与⊙O交于点F，在CD上取一点E，使EF与⊙O相切． （1）求证：EF＝EC； （2）若⊙O的半径为6，EF＝3，BF＝8，求AD的长． 【解答】（1）证明：如图，连接OF， ∵EF与⊙O相切，∴∠OFE＝90°，∴∠EFC+∠OFB＝90°， ∵OB＝OF，∴∠OFB＝∠OBF， ∵CD⊥AB，∴∠C+∠ABC＝90°，∴∠C＝∠EFC，∴EF＝EC． （2）如图，连接AF， ∵AB是⊙O的直径，⊙O的半径为6，BF＝8， ∴∠AFB＝90°，，∴∠EFC+∠AFE＝90°， ∵∠OFE＝90，∴∠OFA+AFE＝90°，∵OF＝OA，∴∠EFC＝∠OFA＝∠BAF＝∠C， ∴△CEF∽△AOF，∴，即， ∴，， ∵∠C＝∠BAF，∠BDC＝∠AFB＝90°，∴△BCD∽△BAF， ∴，即，解得：， ∴． 6.如图，AB是⊙O的直径，D为弧AC的中点，连BC，过点C作CE∥AB交OD延长线于点E． （1）求证：四边形BOEC是平行四边形； （2）若C为弧AB的三等分点，AB＝4，求的值． 【解答】（1）证明：如图，连接BD，∵BO＝DO，∴∠BDO＝∠DBO， ∵D为弧AC中点，∴弧AD＝弧CD， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠BDO＝∠DBC，∴EO∥BC， ∵EC∥AB，∴四边形BOEC是平行四边形； （2）解：如图，连接AC、OC， ∵C为弧AB的三等分点，∴的度数180°＝60°，∴∠AOC＝60°， ∵OC＝OA，∴△AOC是等边三角形，∴∠BAC＝60°， ∵AB为直径，∴∠ACB＝90°， ∵sin∠BAC＝sin60°，∴BC＝2， ∵四边形BOEC为平行四边形，∴OE＝BC＝2， ∴DE＝OE﹣OD＝22， ∴1． 7.（1）如图1，在锐角△ABC的外部找一点D，使△DBC的面积与△ABC的面积相等且点D在以AB为直径的圆上，请用尺规作图的方法确定点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）中，如图2，若AD＝2，且∠ACB＝75°，求以AB为直径的圆覆盖△ABC的面积 　 　 ． 【解答】解：（1）如图， ①作AB的垂直平分线，交AB于点O， ②以O为圆心，作⊙O， ③作∠DAB＝∠ABC，交⊙O于点D，则有AD∥BC， ∴S△DBC＝S△ABC， ∴D即为所求； （2）如图，连接BD，设⊙O与AC、BC交于点E、F，连接OE， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵AD＝2，， ∴BD＝AD＝2， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∴∠ABD＝∠DAB＝∠ABC＝45°， ∴， ∵∠ACB＝75°， ∴∠BAC＝60°， ∴∠AOE＝60°，∠EOF＝30°， ∴以AB为直径的圆覆盖△ABC的面积为： S△BOF+S△AOE+S扇形EOF ， ＝1． 34 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 对称图形——圆（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 圆的基本概念与垂径定理 掌握弦、弧、圆心角的关系，能运用垂径定理解决问题 基础必考点，选择题、填空题中出现频率较高，垂径定理应用错误率较高 圆心角、圆周角定理 理解圆心角与圆周角的关系，能进行相关计算证明 核心考点，综合题的基础，定理应用 点、直线与圆的位置关系 会判断点、直线与圆的位置关系，掌握切线的性质与判定 高频考点，切线证明题必考，是拉开差距的关键 弧长、扇形面积计算 掌握弧长公式、扇形面积公式，能解决组合图形面积问题 计算类考点，公式记忆错误率高，实际应用能力薄弱 知识点01 圆的基本概念与垂径定理 1.圆的基本元素：圆心、半径、直径、弦、弧、圆心角 2.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 3.推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ·示例：1.“圆”是中国文化的重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞．如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，则该门洞的半径是（　　） A．1.3 B．1.4 C．1.5 D．1.6 2.下列语句中： ①直径是弦，弦是直径； ②平分弦的直径垂直于弦； ③长度相等的弧是等弧； ④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴； ⑤相等的圆心角所对的弧长相等． 其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.．如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB于点C，AE为直径，AB＝8，CD＝2，则线段CE的长为 　 　 ． 4.如图，圆内接四边形ABDC，AB是⊙O的直径，OD⊥BC交BC于点E． （1）求证：点D为的中点； （2）若BE＝4，AC＝6，求DE． ·易错点：忽略"直径平分弦"时，弦不能是直径的条件；垂径定理应用中，忘记构造直角三角形；弧的表示方法不规范. 知识点02 圆心角、圆周角定理 1.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等 2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 3.推论： 同弧或等弧所对的圆周角相等 直径所对的圆周角是直角 圆内接四边形的对角互补 ·示例：1.如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，CA＝CE，若∠ACE＝52°，则∠CBD的大小为（　　） A．68° B．72° C．78° D．80° 2.如图，BD是⊙O的直径，点A、C在同一半圆上，∠CBD＝27°，则∠A的度数为 　 　 ． 3.如图1，在⊙O中，直径AC垂直弦BD于点G，，连接AE交BD于点F． （1）若AG＝1，AE＝4，求OG的长； （2）连接OF，OE，如图2，若∠GOF＝20°，求∠COE的度数． 4.如图，△ABC为⊙O的内接三角形，，以AB为边作矩形ABDE，使边DE过点C，AE交⊙O于点F，连接CF． （1）当AB＝AC时，求∠AFC的度数． （2）求证：CE＝CD． ·易错点：混淆圆心角与圆周角的概念；圆周角定理应用时找不准对应的弧；圆内接四边形性质应用不熟练. 知识点03 点、直线与圆的位置关系 1.点与圆的位置关系：设点到圆心的距离为d，半径为r d<r ⇔ 点在圆内；d＝r ⇔ 点在圆上；d>r ⇔ 点在圆外 2.直线与圆的位置关系：设圆心到直线的距离为d，半径为r 相离：d>r；相切：d＝r；相交：d<r 3.切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径 4.切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 ·示例：1.已知⊙O的半径是8，点P到圆心O的距离d为方程x2﹣4x﹣5＝0的一个根，则点P在（　　） A．⊙O的内部 B．⊙O的外部 C．⊙O上或⊙O的内部 D．⊙O上或⊙O的外部 2.如图，⊙O内切于正方形ABCD，边AD、CD分别与⊙O切于点E、F，点M、N分别在线段DE、DF上，且MN与⊙O相切．若△MBN的面积为4，则⊙O的半径为（　　） A． B． C． D．2 3.如图，已知⊙O1为四边形ABCD的内接圆，恰好与三条边相切，半径为r1，⊙O2为四边形ABCD的外接圆，半径为r2，则的取值范围为　 　 ． 4.如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且点D为的中点，过点D作DE⊥AC于点E，连接BD． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AC＝3，，求DE的长． ·易错点：切线判定时忽略"经过半径外端"的条件；切线性质应用时忘记垂直关系；位置关系判断时代入错误. 知识点04 弧长、扇形面积计算 1.弧长公式：l ＝ （n为圆心角度数） 2.扇形面积公式：S ＝＝ lr 3.圆锥侧面展开图：扇形，扇形半径 ＝ 圆锥的母线 l，扇形弧长 ＝ 圆锥底面周长2πr 侧面积公式：S侧 ＝ πrl，全面积公式：S全 ＝ S侧 + S底 ＝ πrl + πr² 4.弓形面积：扇形面积减去三角形面积 ·示例：1.半径为1的圆中，扇形AOB的圆心角为120°，则扇形AOB的面积为（　　） A． B． C． D．π 2.如图1是博物馆屋顶的图片，屋顶由图2中的瓦片构成，瓦片横截面如图3所示，是以点O为圆心，18cm为半径的弧，弦AB的长为18cm，则的长是（　　） A．24πcm B．12πcm C．10πcm D．6πcm 3.已知圆锥的侧面积为15π，母线长为5，则圆锥的底面半径是　 　 ． 4.如图，AB是⊙O的直径，与弦CD交于点E，∠CAB＝30°，AC＝AE、CD＝2，则图中阴影部分的面积为 　 　 ． 5.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问积及为米几何？”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一（如图），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，那么这个米堆遮挡的墙面面积是 　 　 平方尺．（结果用含π的式子表示） 6．如图所示，圆锥形容器中装有7升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，且水面半径也正好是圆锥底面半径的一半，则这个容器还能装水 　 　 升． ·易错点：弧长公式与面积公式混淆；圆心角度数代入错误；组合图形面积计算时漏算或多算. 题型一 垂径定理的应用 解｜题｜技｜巧 1.见到弦的问题，考虑作弦心距构造直角三角形 2.利用勾股定理建立方程求解 3.注意直径所对的圆周角是直角 易｜错｜点｜拨 垂径定理应用中，最容易忽略的是“弦不能是直径”这一条件. 【典例1】把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝4，则球的半径长是（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．4 【典例2】如图，在⊙O中，2且BD⊥OC，垂足为D．若AB＝8，CD＝2，则⊙O的半径为 　 　 ． 【变式1】如图，AB是半径为2的⊙O的弦，将弧AB沿AB将翻折后，恰好经过圆心O，点P是翻折的弧AB上的一动点；连接BP并延长交⊙O于C，点Q为PC的中点，连接OQ，则OQ的最小值为 　 　 ． 【变式2】如图1所示的圆弧形混凝土管片是构成圆形隧道的重要部件．管片的横截面（阴影部分）是同心圆环的一部分，左右两边沿的延长线交于圆心． （1）如图1，BA，CD的延长线交于圆心O，若甲组测得AB＝0.6m，AD＝3m，BC＝4m，求OB的长； （2）如图2，有一混凝土管片放置在水平地面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定，管片与地面的接触点L为弧MP的中点，若丙组测得MN＝PQ＝0.5m，NL＝LQ＝2m，求：该混凝土管片的外圆弧半径． 题型二 切线的证明与计算 答｜题｜模｜板 1.证明切线： （1）连半径，证垂直 （2）作垂直，证半径 2.利用切线性质： （1）切线垂直于过切点的半径 （2）从圆外一点引的两条切线长相等 【典例1】如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，过点D作DE∥AB．交CB的延长线于点E． （1）求证：直线DE是⊙O的切线； （2）若∠BAC＝30°，，求CD的长． 【典例2】如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，DE切⊙O于点P，与AB的延长线相交于点E，与AC的延长线相交于点D，且AD⊥DE． （1）若，AD＝10，求CD的长； （2）求证：P是的中点．（请用两种证法解答） 【变式1】如图，在△ABC中，AB+ACBC，AD⊥BC于D，⊙O为△ABC的内切圆，设⊙O的半径为R，AD的长为h，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，直线AB与x轴、y轴分别相交于A、B两点，点A（﹣3，0），点，圆心P的坐标为（1，0），圆P与y轴相切于点O．若将圆P沿x轴向左移动，当圆P与线段AB有公共点时，令圆心P的横坐标为m，则m的取值范围是　 　 ． 【变式3】如图，已知⊙P的半径为4，且圆心P在边长为4的等边△ABC的三边上运动，点B的坐标为（1，1），BC∥x轴，当⊙P与x轴相切时，点P的坐标为 　 　 ． 题型三 圆中的综合证明与计算 答｜题｜模｜板 1.分析图形中的基本关系（垂直、平行、相似等） 2.寻找合适的辅助线（弦心距、切线、直径等） 3.建立方程或比例关系求解 4.注意多解情况的讨论 易｜错｜点｜拨 圆中综合题往往需要添加多条辅助线，容易遗漏某些特殊情况. 【典例1】如图某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，并在门洞外侧沿圆弧形边缘装一条灯带．如图，已知矩形的宽为2m，高为，圆弧所在的圆外接于矩形，则震要的灯带的长度至少是（　　） A． B． C． D． 【典例2】如图，⊙O1与⊙O2都经过A、B两点，且点O2在⊙O1上，点C是弧AO2B上的一动点（点C不与点A、B重合），连接AC并延长AC交⊙O2于点P，连接AB，BC，BP，当点C在弧AO2B上运动时，图中大小都不变的角的个数是（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【典例3】请阅读下列材料，并完成相应的任务． 战国时的《墨经》就有“圆，一中同长也”的记载．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数． 证明：如图①，AB与⊙O相切于点A．当圆心O在弦AC上时，容易得到∠CAB＝90°，在AC上任取一点E，连接EC，EA，则∠CEA＝∠CAB，所以弦切角∠BAC的度数等于它所夹半圆所对的圆周角度数． 如图②，AB与⊙O相切于点A，当圆心O在∠BAC的内部时，过点A作直径AD交⊙O于点D，在AC上任取一点E，连接EC，ED，EA，则∠CED＝∠CAD，所以∠CED+∠DEA＝∠CAD+∠DAB，即∠CEA＝∠CAB． 任务： （1）类比图②添加辅助线的方法，解决如图③的问题，AB与⊙O相切于点A．当圆心O在∠BAC的外部时，请写出弦切角定理的证明过程． （2）如图②，已知⊙O的半径为1，弦切角∠CAB＝130°，求的长． 【典例4】如图，I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D． （1）求证：∠BAD＝∠CBD； （2）求证：BD＝ID； （3）连接BI、CI，求证：点D是△BIC的外心． 【变式1】如图，一扇形纸片的圆心角为90°，半径为3．将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影部分为重叠部分，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，长方形ABCD的长AB＝14厘米，宽BC＝10厘米． （1）如图①，一个半径为1cm的圆沿着长方形的四边内侧滚动一周，求圆滚过的面积（π取3.14）； （2）如图②，E、F分别为AB、CD上的点，且，FC：DF＝2：5，一个半径为1厘米的圆在长方形外侧连续地从E经过点B，C滚动到点F，求圆滚过的面积（结果保留π）． 【变式3】已知点A，B，C的位置如图所示，若它们分别是一个圆的内接三角形的三边的中点，用两种不同的方法求作该圆． 要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，点O为AB的中点，若以点O为圆心，5为半径作⊙O，则下列判断正确的是（　　） A．点C在⊙O外 B．点C在⊙O上 C．点C在⊙O内 D．无法判断 2.如图，点A，B，C，D都在圆O上，CD为圆O的直径，且CD∥AB，若CB＝4，AC＝2，则圆O的半径为（　　） A．10 B．2 C． D．5 3.如图，AB是圆的直径，∠1、∠2、∠3、∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1、∠4的一边分别经过点A、B，则∠1+∠2+∠3+∠4的度数为（　　） A．45° B．90° C．135° D．180° 4.如图，四边形ABCD是正方形，AB＝1．执行下面操作：第一次操作以点A为圆心，以AD为半径顺时针作弧DE交BA的延长线于点E，得到扇形DAE；第二次操作以点B为圆心，以BE为半径顺时针作弧EF交CB的延长线于点F，得到扇形EBF；第三次操作以点C为圆心，以CF为半径顺时针作弧FG交DC的延长线于点G，得到扇形FCG，依此类推进行操作，其中，，…的圆心依次按A，B，C，D循环，所得曲线DEFGH…叫做“正方形的渐开线”，则经过四次操作后所得到的四个扇形的面积和为 　 　 ．（结果保留π） 5.如图，在矩形ABCD中，以点B为圆心，以BC的长为半径画弧，交AD边于点E，连接BE，作CF⊥BE于点F． （1）求证：DE＝EF； （2）若AB＝2，BC＝4，求四边形CDEF的面积． 6.在车辆行驶过程中，大型车辆驾驶员会因为存在“视野盲区”——尤其是转弯时因内轮差产生的“死亡弯月”——而造成交通事故，根据相关数据的统计，大货车发生的交通事故中，约86%是在转弯时发生的，内轮差盲区是指车辆在转弯时，由前内轮与后内轮的转弯半径之差形成的司机无法看到的区域为进一步缓解交叉路口右转弯大型车辆与行人、非机动车冲突，减少因右转弯盲区导致的交通事故，奉贤公安交警已在多个路口漆画了“右转危险区”警示带，如南奉公路南桥路口、金海公路东方美谷大道口．某个路口“右转危险区”如下面图涂色部分所示（单位：m）．经过测量内轮转弯半径O1A＝O1D＝10米，前内轮转弯半径O2B＝O2C＝4米，圆心角∠DO1A＝∠CO2B＝90°，请问这个路口“右转危险区”的面积和周长是多少？（保留π） 7.如图，已知△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，且线段AD、AC的长恰好是方程x2﹣9x+20＝0的两个实数根． （1）求线段CD的长； （2）若线段AB的长为10，求⊙O的半径． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1.东汉初年，我国的《周髀算经》里就有“径一周三”的古率，提出了圆的直径与周长之间存在一定的比例关系．将图中的半圆弧形铁丝（）向右水平拉直（保持M端不动），根据该古率，与拉直后铁丝N端的位置最接近的是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 2.如图，AB为⊙O的直径，构造四边形OACD，且弦CD∥AB，若∠D＝40°，则∠C的度数是（　　） A．100° B．105° C．110° D．115° 3.如图，在半圆O中，AB为直径，点C，D为半圆O的三等分点，连接AC，BD，相交于点E，连接OD交AC于点F．若OD＝2，则AE＝（　　） A． B． C．1 D． 4.如图，扇形OAB中，∠AOB＝90°，将扇形OAB沿OB方向平移得到扇形O′A′B′，当O′A′恰好经过的中点C，OA＝2时，图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 5.如图，AB是半⊙O的直径，弦CD∥AB，点E，F分别在半径OD和弦CD上，且OE＝CF，连接AE，OF． （1）求证：AE＝OF； （2）若∠DOF＝90°，AB＝10，CD＝8，求DE的长． 6.如图所示，在平面直角坐标系中有△ABC，请在图中画出△ABC外接圆的圆心P． （1）圆心P的坐标是 　 　 ； （2）判断点M（6，5）是否在⊙P上？ 7.实践与探究 探究课题：四点共圆的条件． 课题背景：过任意一个三角形的三个顶点都能作一个圆． （1）发现问题：某数学小组在课堂上经过测量四边形各个内角的度数，发现：如果过某个四边形的四个顶点能作一个圆，那么其相对的两个内角之和等于180°，结合图1，你认为这个小组发现的结论正确吗？如果该结论正确，请你说明理由． （2）如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆，那么其相对的两个内角之间有上述关系吗？试结合图2和图3说明其中的道理． （3）由上面的探究，请你归纳出判定过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件是什么？ 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣6，2）都在⊙M上，则⊙M的半径为（　　） A． B．2 C． D． 2.如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，且，连结CD．若弦CD＝3，则直径AB的长为（　　） A．3 B．6 C． D． 3.如图，在边长为的正八边形ABCDEFGH中，已知I，J，K，L分别是边AH，BC，DE，FG上的动点，且满足IA＝JC＝KE＝LG，则四边形IJKL面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 4.已知，平面直角坐标系中，A点坐标为（8，0），B点坐标为（0，6），C点坐标为（m，0）（0＜m＜8），D为线段BC上一点，以D为圆心，1.5为半径作⊙D．且⊙D与△OAB的两边相切，则m的值为　 　 ． 5.如图，AB是⊙O的直径，点D在AB上（D与A，B不重合），CD⊥AB，连接CB，与⊙O交于点F，在CD上取一点E，使EF与⊙O相切． （1）求证：EF＝EC； （2）若⊙O的半径为6，EF＝3，BF＝8，求AD的长． 6.如图，AB是⊙O的直径，D为弧AC的中点，连BC，过点C作CE∥AB交OD延长线于点E． （1）求证：四边形BOEC是平行四边形； （2）若C为弧AB的三等分点，AB＝4，求的值． 7.（1）如图1，在锐角△ABC的外部找一点D，使△DBC的面积与△ABC的面积相等且点D在以AB为直径的圆上，请用尺规作图的方法确定点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）中，如图2，若AD＝2，且∠ACB＝75°，求以AB为直径的圆覆盖△ABC的面积 　 　 ． 2 / 17 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