精品解析：新疆维吾尔自治区2025-2026学年高三上学期普通高考适应性检测月考试卷数学测试卷（一）

2025-2026学年自治区普通高考适应性检测月考试卷 数学测试卷（一） （考试时间：120分钟 满分：150分） 姓名：____________班级：____________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是定义在上的函数，那么“函数在区间上单调递减”是“函数在上的最大值为”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 如果，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 设实数，满足，则关于的不等式的解集为（ ） A. {或} B. {或} C. D. 5. 已知函数，则函数（ ） A. 既有极大值也有极小值 B. 有极大值无极小值 C. 有极小值无极大值 D. 有2个零点 6. 定义在上的奇函数满足，当时，，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 7. 已知函数（是自然对数的底数，），若关于的方程有且只有一个实根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数及其导函数的定义域为，是偶函数，其函数图象为连续不间断的曲线，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为9 11. 已知，则（ ） A. B. C. ，使 D. 既有极大值又有极小值 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在点处切线的斜率为3，则实数___________. 13. 设为奇函数，若在区间的最大值为3，则在区间的最小值为___________. 14. 已知函数，，若，则的最大值为___________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算： （1）； （2）已知，，，求的值. 16. 已知函数，， （1）若关于的不等式的解集为{或}，求实数，的值； （2）当（1）的情况下，，且满足时，有恒成立，求的取值范围； （3）当时，求关于的不等式的解集. 17. 已知函数在处取得极值. （1）求，的值与函数的单调区间； （2）若函数有三个不同的零点，求的取值范围； （3）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 18. 双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数，记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数具有如下性质： ①定义域均为，且在上是增函数； ②奇函数，为偶函数； ③. 利用上述性质，解决以下问题： （1）求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式，并证明对任意实数，为定值； （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）已知，记函数，的最小值为，求. 19. 已知函数． （1）当时，讨论函数的单调性． （2）若有两个极值点． ①求实数的取值范围； ②求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年自治区普通高考适应性检测月考试卷 数学测试卷（一） （考试时间：120分钟 满分：150分） 姓名：____________班级：____________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由根式的性质求函数的定义域，再由集合的交运算求集合. 【详解】由题意，则， 所以. 故选：D 2. 已知是定义在上的函数，那么“函数在区间上单调递减”是“函数在上的最大值为”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的单调性、充要条件的判定方法即可判断出结论． 【详解】解：函数的定义域为，则“函数在上单调递减”“函数在上的最大值为”，反之不成立． 函数在上单调递减”是“函数在上的最大值为”充分不必要条件． 故选：A． 3. 如果，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】举例判断AC；根据指数函数的性质判断B；根据不等式的性质判断D. 【详解】对于A，当时，满足，而，故A错误； 对于B，由，则，，故B正确； 对于C，当时，满足，而，故C错误； 对于D，由，则，所以，故D错误. 故选：B. 4. 设实数，满足，则关于的不等式的解集为（ ） A. {或} B. {或} C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先比较的大小，然后利用一元二次不等式和一元二次函数关系即可求解 【详解】由可得， ，可化为， 所以原不等式解集为， 故选：D. 5. 已知函数，则函数（ ） A. 既有极大值也有极小值 B. 有极大值无极小值 C. 有极小值无极大值 D. 有2个零点 【答案】B 【解析】 【分析】对函数求导判断其单调性，进而判断是否有极值，最后通过比较函数最值与0的大小，结合函数的单调性，判断零点个数. 【详解】函数，定义域为， 则. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 当时，，故此时有极大值，无极小值. 故选项和错误，选项正确. 结合函数的单调性，是函数的最大值， 若，即时，函数有2个零点； 若，即时，函数有1个零点； 若，即时，函数没有零点. 故选项错误. 故选： 6. 定义在上的奇函数满足，当时，，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇偶性和求出函数的周期，利用周期性即可得解. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以， 又， 所以， 所以是以4为周期的周期函数， 所以， 又当时，， 所以， 所以. 故选：C 7. 已知函数（是自然对数的底数，），若关于的方程有且只有一个实根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，问题可转化为与只有1个交点，求导得到其单调性，画出其函数的大致图象，进而数形结合即可得到答案． 【详解】令， 则有且只有一个实根，可转化为与只有1个交点， 当时，，则， 若时，，即在上单调递增， 若时，，即在上单调递减； 当时，，则恒成立， 故在上单调递减， 又，，则的图象大致如下： 所以要想与只有1个交点，则只需或， 故实数a的取值范围是． 故选：C 8. 已知函数及其导函数的定义域为，是偶函数，其函数图象为连续不间断的曲线，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对求导，结合题意分析的符号，可得的单调性，结合函数的单调性和偶函数性质求解不等式即可. 【详解】由，求导得， ，则，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得； 故在内单调递增，在内单调递减， 又是偶函数，其函数图象为连续不间断的曲线， 由，可得， 即，则， 故有，解得， 所以不等式的解集为. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据指数幂的运算性质，可判定A错误，C正确；根据不等式的基本性质，可判定B正确；根据对数的运算法则和对数的换底公式，可判定D正确. 【详解】对于A，由，平方得，解得，所以A错误； 对于B，由，可得，根据不等式的性质，可得，所以B正确； 对于C，由，可得，所以C正确； 对于D，由，可得，则， 所以，所以D正确. 故选：BCD. 10. 已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为9 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集得到且，，再由、及基本不等式求最值，判断各项的正误. 【详解】由题设的两个根分别为，结合对应一元二次不等式的解集， 所以，可得，则， 所以，，则，可得，，A对， 所以，故时取最大值为，B对， 由，故时取最小值为，C错， 由，当且仅当时取等号， 所以有最小值为9，D对. 故选：ABD 11. 已知，则（ ） A. B. C. ，使 D. 既有极大值又有极小值 【答案】ACD 【解析】 【分析】求解函数的定义域，代入求值判断A，求导研究函数的单调性，求出函数的极值并画出图象即可判断BCD. 【详解】要使函数有意义，则有，解得且， 所以定义域. 对于选项A：因为， 又因为，所以，故A正确； 对于选项BCD：因为， 构建，，则， 当时，；当时，； 可知在上单调递减，在上单调递增， 则，即， 构建，则在单调递增， 且，， 可知存在唯一，使得，此时， 当时，，当时，， 又因为当时，，当时，， 可得当时，，当时，， 可知在，上单调递增，在，上单调递减， 则的极大值为，极小值为， 作出函数的图象，如图： 所以CD正确，B错误. 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在点处切线的斜率为3，则实数___________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求解即可. 【详解】由，则， 所以，即， 又在曲线上，则. 故答案为：2. 13. 设为奇函数，若在区间的最大值为3，则在区间的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用为奇函数求出，根据条件构造函数，利用奇偶性定义判断其为奇函数，结合题意求出在区间的最大值，利用奇函数的对称性求出在区间的最小值，即得答案. 【详解】因为奇函数，则 ，解得， 即，则， 设，因，则是奇函数， 因在区间的最大值为3，则在区间的最大值为， 故在区间的最小值为，从而在区间的最小值为. 故答案为：. 14. 已知函数，，若，则的最大值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由，得到，所以，令，求得，得出函数的单调性和极大值，进而求得的最大值. 【详解】由函数，，， 可得，即（*）， 因是上的增函数，故由（*）可得且， 则，其中， 设函数，可得， 当时，，故在上单调递增； 当时，，故在上单调递减， 所以当时，函数取得极大值，也是最大值，即， 所以的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算： （1）； （2）已知，，，求的值. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）根据根式以及分数指数幂运算法则直接计算即可； （2）利用对数运算法则以及对数恒等式，再由换底公式分别求出的值，代入计算 【小问1详解】 易知原式 【小问2详解】 显然， 而， ， 所以可得. 16. 已知函数，， （1）若关于的不等式的解集为{或}，求实数，的值； （2）当（1）的情况下，，且满足时，有恒成立，求的取值范围； （3）当时，求关于的不等式的解集. 【答案】（1），； （2）； （3）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）先将代入，整理后得到，由题意得到的解集为或，从而得到方程 的两根为或及，将代入得到的值，再将代入，求解此方程得解； （2）先在上乘以，得到，再将去掉括号，利用基本不等式求解即可； （3）先将代入不等式，将其因式分解为，再根据，解出方程的根，按照根的大小分类讨论得到不等式的解集. 【小问1详解】 ，可化为， 移项整理得，不等式的解集为或， 或是方程的两个跟，且. 将代入方程，可得，解得. 把代入方程，得到，因式分解为， 即，故，. 【小问2详解】 由（1）知，，则，，，， 当且仅当时，即时，等号成立， ，恒成立， ，，， ，， 故的取值范围是. 【小问3详解】 不等式，即，因式分解为， ，的两根为，， ①当，即时，不等式，不等式的解集为； ②当，即时，不等式的解集为； ③当，即时，不等式的解集为. 综上可知，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 17. 已知函数在处取得极值. （1）求，的值与函数的单调区间； （2）若函数有三个不同的零点，求的取值范围； （3）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1），的单调递增区间为和，单调递减区间为； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导，根据题意可知，建立方程组求解，的值，再代入导函数，根据导数的符号确定单调区间； （2）由（1）可确定函数在处取得极大值，在处取得极小值，结合函数有三个不同的零点，所以，，解不等式即可； （3）分和进行讨论，确定最大值，结合恒成立，转化为，分别解不等式即可求解． 【小问1详解】 ， 又在处取得极值， 所以，解得， 则， ，令，解得， 所以当或时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在处取得极小值，符合题意， 综上，， 的单调递增区间为和，单调递减区间为． 【小问2详解】 由（1）知在处取得极大值，在处取得极小值， 又函数有三个不同的零点， 所以，解得； ，解得， 综上，． 【小问3详解】 ，， 当时，在上单调递减， 此时， 又恒成立，所以， 解得， 当时，单调递增，在单调递减， 所以，解得， 综上，的取值范围为． 18. 双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数，记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数具有如下性质： ①定义域均为，且在上是增函数； ②奇函数，为偶函数； ③. 利用上述性质，解决以下问题： （1）求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式，并证明对任意实数，为定值； （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）已知，记函数，的最小值为，求. 【答案】（1）， ， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性，利用方程组法求出函数解析式； （2）先把不等式转化为，根据端点效应先证明当在上单调递增时得出满足题意，然后再证明不满足题意，要想证明不满足题意，只需在上找到一点，使得即可. （3）设，将问题转化为二次函数的最值问题，分，，的三类进行讨论即可. 【小问1详解】 因为是奇函数，是偶函数，所以，， 又，所以， 两式相加可得，即，所以， 所以. 【小问2详解】 因为，不等式恒成立，即恒成立， 令，由于，所以当在上单调递增时，不等式显然成立， 此时有，即，而，所以满足题意； 当时，令，，所以在上单调递增， 且，当时，，所以函数在上必有唯一零点， 且当时，，当时，，所以函数， 所以不等式在上不恒成立，故时不合题意， 综上所述，. 【小问3详解】 函数， 设，由性质①可知，当时，， 所以原函数即，，设，， 当时，在上单调递减，此时， 当，，在上单调递减，此时， 当时，即时，在上单调递减，在上单调递增， 此时， 当时，即时，在上单调递减，此时. 综上所述，. 19. 已知函数． （1）当时，讨论函数的单调性． （2）若有两个极值点． ①求实数的取值范围； ②求证：． 【答案】（1）在上单调递增； （2）①； ②证明：由函数有两个零点，所以， 令，则等价于关于的方程有两个不相等的实数根， 只需证明， 不妨令，由得， 要证，只需证明， 即证， 即证，即证， 令，则，只需证明， 令，则， 所以在上单调递增，所以， 综上所述，原不等式成立． 【解析】 【分析】（1）求得，设，得到，再令，求得为上的增函数，且，进而求得单调区间； （2）①求得，令，解得，设，根据题意转化为直线与函数的图象有两个不同的交点，利用导数求得函数的单调性与极值，作出函数的图象，结合图象，即可求解； ②由函数有两个零点，得到，令，转化为证明，不妨令，只需证明，化简得到，令，转化为证明，令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解. 【小问1详解】 解：当时，可得，其中，则， 设，则， 令，可得恒成立， 所以为上的增函数，且， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以，所以，所以在上单调递增． 【小问2详解】 ①因为函数，可得， 令，解得， 设，可得， 因为有两个极值点，则直线与函数的图象有两个不同的交点， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以． 又当时，，故可作出的大致图象，如图所示， 结合图象可得，，即实数的取值范围为． ②略 【点睛】方法总结：利用导数证明或判定不等式问题： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3、适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4、构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $