15.1图形的轴对称 讲义 2025-2026学年人教版数学八年级上册

15.1 图形的轴对称 学习目标 1. 理解轴对称图形和两个图形成轴对称的概念，能识别轴对称图形并找出其对称轴。 2. 掌握轴对称的基本性质：对称轴是对应点连线的垂直平分线；对应线段相等，对应角相等。 3. 理解线段垂直平分线的概念，掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆定理。 4. 能运用轴对称的性质和线段垂直平分线的性质解决简单的问题。 5. 通过对轴对称性质的探究和应用，培养逻辑思维能力和空间想象能力。 知识点讲解 一、轴对称的定义 1. 轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线叫做这个图形的对称轴。 2. 两个图形成轴对称：把一个平面图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 二、轴对称的性质 1. 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 2. 轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 3. 成轴对称的两个图形全等。 4. 成轴对称的两个图形中，对应线段相等，对应角相等。 5. 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。 三、线段的垂直平分线 1. 定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）。 2. 性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 符号语言：∵ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上 ∴ PA = PB 3. 判定定理（逆定理）：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 符号语言：∵ PA = PB ∴ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上 例题解析 例题1：判断下列说法是否正确，并说明理由。 (1) 轴对称图形必有对称轴。 (2) 两个全等的图形一定成轴对称。 (3) 若△ABC 与△A'B'C'关于直线 l 对称，则△ABC ≌ △A'B'C'。 (4) 线段是轴对称图形，它的对称轴是这条线段的垂直平分线。 分析：根据轴对称图形、两个图形成轴对称的定义以及轴对称的性质进行判断。 解答： (1) 正确。 理由：由轴对称图形的定义可知，轴对称图形是沿一条直线折叠后两旁部分能互相重合的图形，这条直线即为对称轴。所以轴对称图形必有对称轴。 (2) 错误。 理由：两个全等的图形只是形状和大小完全相同，但它们的位置关系不一定是沿某条直线折叠后能够重合。例如，将一个三角形平移得到的另一个三角形与原三角形全等，但它们不成轴对称。 (3) 正确。 理由：成轴对称的两个图形能够完全重合，根据全等形的定义，能够完全重合的两个图形是全等形。所以若△ABC 与△A'B'C'关于直线 l 对称，则△ABC ≌ △A'B'C'。 (4) 正确。 理由：线段沿其垂直平分线折叠，线段的两个端点能够重合，所以线段是轴对称图形，它的垂直平分线是它的一条对称轴。（注：线段本身所在的直线也是它的对称轴，但题目中未提及，此处仅根据所给说法判断其正确性，该说法本身是正确的。） 解析：本题主要考查轴对称的基本概念和性质。理解轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系是解题关键。全等是成轴对称的必要条件而非充分条件。 例题2：已知点 A(a, b) 关于 x 轴的对称点为 A'，求 a + b 的值。 分析：关于 x 轴对称的点，其横坐标相同，纵坐标互为相反数。 解答： ∵ 点 A(a, b) 关于 x 轴的对称点为 A' ∴ 根据关于 x 轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数。 可得 a = 3，b = -(-4) = 4 ∴ a + b = 3 + 4 = 7 解析：本题考查了平面直角坐标系中关于坐标轴对称的点的坐标规律。关于 x 轴对称，x 坐标相同，y 坐标相反；关于 y 轴对称，y 坐标相同，x 坐标相反。利用此规律可直接求出对称点的坐标或原坐标。 例题3：在△ABC 中，AB = AC，AB 的垂直平分线交 AC 于点 D，交 AB 于点 E。若 AC = 6 cm，BC = 4 cm，求△DBC 的周长。 分析：利用线段垂直平分线的性质，得到 AD = BD，将△DBC 的周长转化为 AC + BC。 解答： ∵ DE 是 AB 的垂直平分线 ∴ 根据线段垂直平分线的性质定理，可得 AD = BD ∵ AC = 6 cm ∴ AD + DC = AC = 6 cm ∴ BD + DC = 6 cm ∵ BC = 4 cm ∴ △DBC 的周长 = BD + DC + BC = 6 cm + 4 cm = 10 cm 解析：本题考查线段垂直平分线性质的应用。解题的关键是通过垂直平分线的性质将 BD 转化为 AD，从而实现线段的等量代换，简化周长的计算。 。 例题4：已知：在△ABC 中，∠A = 40°，AB = AC，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E。求∠EBC 的度数。 分析：首先根据等腰三角形的性质求出∠ABC 的度数，再利用线段垂直平分线的性质得到 EA = EB，进而求出∠ABE 的度数，最后用∠ABC 减去∠ABE 得到∠EBC 的度数。 解答： ∵ 在△ABC 中，AB = AC，∠A = 40° ∴ △ABC 是等腰三角形，∠ABC = ∠ACB ∵ 三角形内角和为 180° ∴ ∠ABC = (180° - ∠A) / 2 = / 2 = 140° / 2 = 70° ∵ DE 是 AB 的垂直平分线 ∴ 根据线段垂直平分线的性质，EA = EB ∴ ∠ABE = ∠A = 40° ∵ ∠EBC = ∠ABC - ∠ABE ∴ ∠EBC = 70° - 40° = 30° 解析：本题综合考查了等腰三角形的性质（等边对等角、三角形内角和定理）以及线段垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。通过等边对等角将线段关系转化为角的关系是解题的常用方法。 巩固练习 一、选择题（每小题只有一个正确选项） 1. 下列语句中，正确的是（ ） A. 任何一个图形都有对称轴 B. 角是轴对称图形，它的对称轴是角平分线 C. 关于某直线对称的两个图形一定全等 D. 若两个图形全等，则它们一定关于某直线对称 2. 点 P 关于 y 轴对称的点的坐标是（ ） A. B. (2, 3) C. D. () 3. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. 有两个角相等的三角形 B. 有一个角为 45°的直角三角形 C. 有一个角为 30°的直角三角形 D. 等边三角形 4. 线段垂直平分线的性质定理的逆定理是（ ） A. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 B. 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 C. 线段的垂直平分线是过线段中点的直线 D. 线段的垂直平分线是到线段两端点距离相等的点的集合 5. 已知，在△ABC 中，AB = AC，∠A = 50°，AB 的垂直平分线交 AC 于 D，则∠DBC 的度数是（ ） A. 15° B. 30° C. 50° D. 65° 二、填空题 1. 若点 M(1, 2) 与点 N 关于直线 x = -1 对称，则点 N 的坐标是______。 2. 等腰三角形的对称轴是______。 3. 在△ABC 中，边 AB 的垂直平分线交 AC 于点 D，若 AC = 5 cm，BC = 4 cm，则△DBC 的周长为______cm。 4. 已知点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，若 PA = 6 cm，则 PB = ______cm。 5. 一个角的对称轴上的点到这个角的两边的距离______。 三、解答题 1. 已知点 A，点 B(1, 4)。 (1) 求点 A 关于 y 轴的对称点 A'的坐标； (2) 求点 B 关于 x 轴的对称点 B'的坐标； (3) 计算线段 A'B'的长度（提示：可利用两点间距离公式）。 2. 已知：在△ABC 中，边 AC 的垂直平分线交 AC 于点 E，交 BC 于点 D，且 AB = 5 cm，BC = 8 cm，求△ABD 的周长。 3. 在△ABC 中，∠C = 90°，AD 平分∠CAB，交 BC 于点 D，DE 垂直平分 AB，垂足为 E。求证： (1) DE = DC； (2) ∠B = 30°。 4. 已知：在△ABC 中，AB = AC，∠BAC = 120°，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 BC 于点 E。求证：。 巩固练习参考答案与解析 一、选择题 1. 答案：C 解析：A 选项，并非所有图形都有对称轴，如一般的平行四边形，所以 A 错误；B 选项，角的对称轴是角平分线所在的直线，而非角平分线本身（角平分线是射线），所以 B 错误；C 选项，关于某直线对称的两个图形能够完全重合，因此一定全等，C 正确；D 选项，全等的图形不一定成轴对称，如平移得到的全等图形，所以 D 错误。故选 C。 2. 答案：A 解析：关于 y 轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数。点 P 关于 y 轴对称的点，横坐标为 -2，纵坐标为 -3，即 。故选 A。 3. 答案：C 解析：A 选项，有两个角相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形是轴对称图形；B 选项，有一个角为 45°的直角三角形是等腰直角三角形，是轴对称图形；C 选项，有一个角为 30°的直角三角形，三条边都不相等（除直角外，另两角为 30°和 60°），不是轴对称图形；D 选项，等边三角形是轴对称图形。故选 C。 4. 答案：B 解析：线段垂直平分线的性质定理是“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”，其逆定理是“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”。A 是性质定理本身，C、D 不是定理的规范表述。故选 B。 5. 答案：A 解析：在△ABC 中，AB = AC，∠A = 50°，所以∠ABC = ∠ACB = /2 = 65°。因为 DE 是 AB 的垂直平分线，所以 AD = BD，所以∠ABD = ∠A = 50°。因此∠DBC = ∠ABC - ∠ABD = 65° - 50° = 15°。故选 A。 二、填空题 1. 答案： 解析：直线 x = -1 是一条垂直于 x 轴的直线。点 M(1, 2) 到直线 x = -1 的距离为 1 - (-1) = 2 个单位长度。则其对称点 N 到直线 x = -1 的距离也应为 2 个单位长度，且在直线 x = -1 的左侧。所以点 N 的横坐标为 -1 - 2 = -3，纵坐标不变仍为 2。故点 N 的坐标是 。 2. 答案：顶角平分线所在的直线（或底边上的中线所在的直线，或底边上的高所在的直线） 解析：等腰三角形沿着顶角平分线所在的直线（或底边上的中线所在的直线，或底边上的高所在的直线）折叠，直线两旁的部分能够完全重合，所以其对称轴是顶角平分线所在的直线（或底边上的中线所在的直线，或底边上的高所在的直线）。 3. 答案：9 解析：因为边 AB 的垂直平分线交 AC 于点 D，所以 AD = BD。△DBC 的周长 = BD + DC + BC = AD + DC + BC = AC + BC。已知 AC = 5 cm，BC = 4 cm，所以周长为 5 + 4 = 9 cm。 4. 答案：6 解析：根据线段垂直平分线的性质定理，线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。因为点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，且 PA = 6 cm，所以 PB = PA = 6 cm。 5. 答案：相等 解析：角的对称轴是角平分线所在的直线。根据角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等。所以一个角的对称轴上的点到这个角的两边的距离相等。 三、解答题 1. 解答： (1) 点 A 关于 y 轴的对称点 A'，其横坐标为 -(-3) = 3，纵坐标不变，仍为 2。 所以 A'的坐标为 (3, 2)。 (2) 点 B(1, 4) 关于 x 轴的对称点 B'，其纵坐标为 -4，横坐标不变，仍为 1。 所以 B'的坐标为 。 (3) 已知 A'(3, 2)，B'。 根据两点间距离公式。 则 所以线段 A'B'的长度为。 2. 解答： ∵ DE 是 AC 的垂直平分线 ∴ 根据线段垂直平分线的性质，AD = CD ∵ △ABD 的周长 = AB + BD + AD ∴ △ABD 的周长 = AB + BD + CD = AB + BC ∵ AB = 5 cm，BC = 8 cm ∴ △ABD 的周长 = 5 + 8 = 13 cm 答：△ABD 的周长为 13 cm。 3. 解答： (1) 证明： ∵ AD 平分∠CAB，∠C = 90°（即 DC ⊥ AC），DE ⊥ AB ∴ 根据角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等。 ∴ DE = DC。 (2) 证明： ∵ DE 垂直平分 AB ∴ 根据线段垂直平分线的性质，AD = BD ∴ ∠B = ∠DAB ∵ AD 平分∠CAB ∴ ∠DAB = ∠∠CAB ∴ ∠∠CAB 在△ABC 中，∠C = 90° ∴ ∠CAB + ∠B = 90° 即 ∠∠∠CAB = 90° ∠CAB = 60° ∴ ∠。 4. 解答： 证明： 连接 AE ∵ 在△ABC 中，AB = AC，∠BAC = 120° ∴ ∠B = ∠C = (180° - ∠BAC) x = 30° ∵ DE 是 AB 的垂直平分线 ∴ 根据线段垂直平分线的性质，AE = BE ∴ ∠BAE = ∠B = 30° ∵ ∠EAC = ∠BAC - ∠BAE = 120° - 30° = 90° 在 Rt△AEC 中，∠C = 30° ∴ 根据直角三角形中 30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∴ ∵ AE = BE ∴。 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.1 图形的轴对称 学习目标 1. 理解轴对称图形和两个图形成轴对称的概念，能识别轴对称图形并找出其对称轴。 2. 掌握轴对称的基本性质：对称轴是对应点连线的垂直平分线；对应线段相等，对应角相等。 3. 理解线段垂直平分线的概念，掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆定理。 4. 能运用轴对称的性质和线段垂直平分线的性质解决简单的问题。 5. 通过对轴对称性质的探究和应用，培养逻辑思维能力和空间想象能力。 知识点讲解 一、轴对称的定义 1. 轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线叫做这个图形的对称轴。 2. 两个图形成轴对称：把一个平面图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 二、轴对称的性质 1. 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 2. 轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 3. 成轴对称的两个图形全等。 4. 成轴对称的两个图形中，对应线段相等，对应角相等。 5. 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。 三、线段的垂直平分线 1. 定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）。 2. 性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 符号语言：∵ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上 ∴ PA = PB 3. 判定定理（逆定理）：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 符号语言：∵ PA = PB ∴ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上 例题解析 例题1：判断下列说法是否正确，并说明理由。 (1) 轴对称图形必有对称轴。 (2) 两个全等的图形一定成轴对称。 (3) 若△ABC 与△A'B'C'关于直线 l 对称，则△ABC ≌ △A'B'C'。 (4) 线段是轴对称图形，它的对称轴是这条线段的垂直平分线。 例题2：已知点 A(a, b) 关于 x 轴的对称点为 A'，求 a + b 的值。 例题3：在△ABC 中，AB = AC，AB 的垂直平分线交 AC 于点 D，交 AB 于点 E。若 AC = 6 cm，BC = 4 cm，求△DBC 的周长。 例题4：已知：在△ABC 中，∠A = 40°，AB = AC，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E。求∠EBC 的度数。 巩固练习 一、选择题（每小题只有一个正确选项） 1. 下列语句中，正确的是（ ） A. 任何一个图形都有对称轴 B. 角是轴对称图形，它的对称轴是角平分线 C. 关于某直线对称的两个图形一定全等 D. 若两个图形全等，则它们一定关于某直线对称 2. 点 P 关于 y 轴对称的点的坐标是（ ） A. B. (2, 3) C. D. () 3. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. 有两个角相等的三角形 B. 有一个角为 45°的直角三角形 C. 有一个角为 30°的直角三角形 D. 等边三角形 4. 线段垂直平分线的性质定理的逆定理是（ ） A. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 B. 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 C. 线段的垂直平分线是过线段中点的直线 D. 线段的垂直平分线是到线段两端点距离相等的点的集合 5. 已知，在△ABC 中，AB = AC，∠A = 50°，AB 的垂直平分线交 AC 于 D，则∠DBC 的度数是（ ） A. 15° B. 30° C. 50° D. 65° 二、填空题 1. 若点 M(1, 2) 与点 N 关于直线 x = -1 对称，则点 N 的坐标是______。 2. 等腰三角形的对称轴是______。 3. 在△ABC 中，边 AB 的垂直平分线交 AC 于点 D，若 AC = 5 cm，BC = 4 cm，则△DBC 的周长为______cm。 4. 已知点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，若 PA = 6 cm，则 PB = ______cm。 5. 一个角的对称轴上的点到这个角的两边的距离______。 三、解答题 1. 已知点 A，点 B(1, 4)。 (1) 求点 A 关于 y 轴的对称点 A'的坐标； (2) 求点 B 关于 x 轴的对称点 B'的坐标； (3) 计算线段 A'B'的长度（提示：可利用两点间距离公式）。 2. 已知：在△ABC 中，边 AC 的垂直平分线交 AC 于点 E，交 BC 于点 D，且 AB = 5 cm，BC = 8 cm，求△ABD 的周长。 3. 在△ABC 中，∠C = 90°，AD 平分∠CAB，交 BC 于点 D，DE 垂直平分 AB，垂足为 E。求证： (1) DE = DC； (2) ∠B = 30°。 4. 已知：在△ABC 中，AB = AC，∠BAC = 120°，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 BC 于点 E。求证：。 学科网（北京）股份有限公司 $