专题4.1 比例线段（高效培优讲义）数学浙教版九年级上册

专题4.1 比例线段 教学目标 1.回顾线段的比、比例线段的概念，熟练运用比例的基本性质合，比性质与等比性质进行比例变形和未知线段长度计算，强化 “单位统一” 的计算规范 2.理解 “平行线分线段成比例基本事实”，能准确识别 “对应线段” 3.掌握 “平行线分线段成比例推论”，能在三角形图形中快速定位截线与被截边 4.能运用比例线段性质和平行线分线段成比例基本事实、推论，解决线段长度计算，线段成比例证明等问题。 教学重难点 1.重点 （1）比例基本性质的灵活运用 （2）理解 “一组平行线截两条直线，对应线段成比例” 的本质，能准确识别不同位置下的 “对应线段” （3）掌握 “平行于三角形一边截其他两边，对应线段成比例” 的结论，能在三角形图形中快速应用该推论解决计算与证明问题 2.难点 （1）“对应线段” 的识别 （2）基本事实与推论的灵活迁移 （3）在同时涉及 “比例线段性质” 和 “平行线分线段成比例” 的综合题中，难以梳理逻辑关系，找不到解题突破口； （4）部分学生难以意识到 “平行线分线段成比例” 是 “比例线段” 在特定图形（含平行线）中的应用，无法建立两个知识点的内在联系，导致知识碎片化。 知识点01 比例线段 1．线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成． 2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质： （1）若a:b=c:d ，则ad=bc； （2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）． 【即学即练】 1．下列长度的四组线段中，成比例的一组是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．cm，，， 2．已知，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知线段，，线段是线段、的比例中项，那么线段的长是 ． 4．已知，则的值是 ． 知识点02 黄金分割比 1.黄金分割的定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 注意：≈0.618AB(叫做黄金分割值) 2.作一条线段的黄金分割点： 如图，已知线段AB，按照如下方法作图： （1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB. （2）连接AD，在DA上截取DE=DB. （3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点. 注意：一条线段的黄金分割点有两个. 【即学即练】 1．善，从言从羊，本义“吉祥”．借助如图的正方形习字格书写的汉字“善”端庄稳重．舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“善”字的笔画“．”的位置在AB的黄金分割点C处，且，若，则的长为 cm． 知识点03 平行线分线段成比例 类型1 平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等. 几何语言： 图一 拓展： 1） .如果一组等距的平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等； 2） .经过三角形一边中点且平行于另一边的直线平分第三边； 图二 3）经过梯形一腰中点并平行于底边的直线必过另一腰中点并等于两底和的一半。 图三 类型2 平行线分线段成比例定理 （1）定理1：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,截得的对应线段成比例. 图四 图五 （2）定理2：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应线段成比例 【即学即练】 1．如图所示，已知，下列比例式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知直线，直线与分别交于点，，则的值是（   ） A．7 B． C． D． 题型01比例线段 【典例1】若线段，，则线段，的比例中项为（    ） A． B． C．6 D． 【变式1】下列线段能成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【变式2】已知：，那么 ． 题型02比例的性质 【典例2】点在线段上，若，则 ． 【变式1】若，则分式 ． 【变式2】若，则 ． 【变式3】已知，且，则a的值为 ． 题型03黄金分割 【典例3】如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，支撑点C和D分别放在琴弦的黄金分割点上，则C、D之间距离为 （保留根号）． 【变式1】大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是 ． 【变式2】达芬奇的著名画作《蒙娜丽莎》被誉为艺术史上的经典，这幅画的构图巧妙地运用了黄金分割的比例．图画中头顶到手的长度为cm，下巴的位置点是头顶点到手部点的黄金分割点，则蒙娜丽莎的头顶到下巴的长度为 cm（结果保留根号，黄金比为）． 题型04由平行判断成比例的线段 【典例4】如图，在平行四边形中，E是上一点，连接并延长交的延长线于点F，则下列结论错误的是 （   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，已知，，那么下列比例式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图所示，已知，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 题型05由平行截线求相关线段的长或比值 【典例5】如图，，，，，则的长为（ ）. A．5 B．7 C．10 D．无法确定 【变式1】如图，在中，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】如图，是中位线，M是中点，连结并延长，与相交于点N，则（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．如果，，，按顺序是成比例线段，其中，，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 2．若，则下列等式错误的是 （   ） A． B． C． D． 3．勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比珠玉，后者堪称黄金，生活中到处可见黄金分割的美．如图是一种贝壳的俯视图，点C为线段的黄金分割点（），已知，则长为（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，在中，，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，的平分线交于点E，F是线段上的一点，，连接，交于点G．若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知四条线段a，b，c，d满足，则下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 8．古希腊的帕特农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术的最高水平，它的平面图可看作“黄金矩形”（宽与长的比等于）．如图，帕特农神庙平面图的长约为30m，则它的宽约为（   ） A．12.36m B．18.54m C．21.21m D．48.54m 二、填空题 10．若且，则 ． 11．如图，是的中线，点是边上一点，交于点，若，则 ． 12.玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音阶．实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金比（约等于0.618）时，可以敲击出音阶“sol”．如图，若瓶高，且敲击时发出音阶“sol”，则液面高度约为 ． 三、解答题 13．如图，在中，，交于，交于，为上的一点，交于，，，求： (1)； (2)的长． 14．如图，． (1)直接填空；的值为______，的值为______； (2)若，求和的长． 15．如图，在中，点为上一点，且，过点作交于点，连接，过点作交于点．若． (1)求的长． (2)求的长． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.1 比例线段 教学目标 1.回顾线段的比、比例线段的概念，熟练运用比例的基本性质合，比性质与等比性质进行比例变形和未知线段长度计算，强化 “单位统一” 的计算规范 2.理解 “平行线分线段成比例基本事实”，能准确识别 “对应线段” 3.掌握 “平行线分线段成比例推论”，能在三角形图形中快速定位截线与被截边 4.能运用比例线段性质和平行线分线段成比例基本事实、推论，解决线段长度计算，线段成比例证明等问题。 教学重难点 1.重点 （1）比例基本性质的灵活运用 （2）理解 “一组平行线截两条直线，对应线段成比例” 的本质，能准确识别不同位置下的 “对应线段” （3）掌握 “平行于三角形一边截其他两边，对应线段成比例” 的结论，能在三角形图形中快速应用该推论解决计算与证明问题 2.难点 （1）“对应线段” 的识别 （2）基本事实与推论的灵活迁移 （3）在同时涉及 “比例线段性质” 和 “平行线分线段成比例” 的综合题中，难以梳理逻辑关系，找不到解题突破口； （4）部分学生难以意识到 “平行线分线段成比例” 是 “比例线段” 在特定图形（含平行线）中的应用，无法建立两个知识点的内在联系，导致知识碎片化。 知识点01 比例线段 1．线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成． 2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质： （1）若a:b=c:d ，则ad=bc； （2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）． 【即学即练】 1．下列长度的四组线段中，成比例的一组是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．cm，，， 【答案】D 【分析】此题考查了比例线段，掌握比例的性质是解题的关键； 根据成比例线段的定义，若四条线段满足最大与最小的乘积等于中间两段的乘积，则它们成比例，逐项判定即可． 【详解】解：A．，，因为，所以这四条线段不成比例，故此选项不符合题意； B．，，因为，所以这四条线段不成比例，故此选项不符合题意； C．，，因为，所以这四条线段成比例，故此选项不符合题意； D．，，因为，所以这四条线段成比例，故此选项符合题意； 故选：D． 2．已知，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质逐项判断即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴， 即，故选项错误，不符合题意； 、∵， ∴， ∴，故选项正确，符合题意； 、∵， ∴，故选项错误，不符合题意； 、∵， ∴，故选项错误，不符合题意； 故选：． 3．已知线段，，线段是线段、的比例中项，那么线段的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查比例中项的定义，解题的关键是掌握比例中项的定义：如果、，三个量成连比例，即，叫做和的比例中项．（内项要相等时才称为比例中项），比例中项又称“等比中项”或“几何中项”，即可． 【详解】解：∵线段，，线段是线段、的比例中项， ∴， ∴，（舍）， ∴线段的值为． 故答案为：． 4．已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，用表示出是解题的关键．先利用比例的内项之积等于外项之积得到，然后把代入代数式中进行分式的计算即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为： ． 知识点02 黄金分割比 1.黄金分割的定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 注意：≈0.618AB(叫做黄金分割值) 2.作一条线段的黄金分割点： 如图，已知线段AB，按照如下方法作图： （1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB. （2）连接AD，在DA上截取DE=DB. （3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点. 注意：一条线段的黄金分割点有两个. 【即学即练】 1．善，从言从羊，本义“吉祥”．借助如图的正方形习字格书写的汉字“善”端庄稳重．舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“善”字的笔画“．”的位置在AB的黄金分割点C处，且，若，则的长为 cm． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，正方形的性质，理解黄金分割知识是解题的关键， 根据矩形的性质求出的长度，再代入即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， 又∵， ∴, ∴, ∴四边形是矩形， ∵， ∵， ∴． 故答案为：． 知识点03 平行线分线段成比例 类型1 平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等. 几何语言： 图一 拓展： 1） .如果一组等距的平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等； 2） .经过三角形一边中点且平行于另一边的直线平分第三边； 图二 3）经过梯形一腰中点并平行于底边的直线必过另一腰中点并等于两底和的一半。 图三 类型2 平行线分线段成比例定理 （1）定理1：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,截得的对应线段成比例. 图四 图五 （2）定理2：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应线段成比例 【即学即练】 1．如图所示，已知，下列比例式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例， 根据平行线分线段成比例定理即可得出结论． 【详解】解：， ， 故选：B. 2．如图，已知直线，直线与分别交于点，，则的值是（   ） A．7 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，直接根据平行线分线段成比例定理即可得出结论，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答此题的关键． 【详解】解：， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 题型01比例线段 【典例1】若线段，，则线段，的比例中项为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查比例线段的定义，根据成比例线段的定义解得即可． 【详解】设线段，的比例中项为， 则， 解得： 又因为为线段， 所以． 故选：C． 【变式1】下列线段能成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】本题考查线段成比例的应用，熟练掌握该知识点是解题的关键．依次对每组的四条线段长度按从小到大顺序排列好，然后分别计算前两项的比值和后两项的比值，如果两个比值相等，则说明四条线段成比例，否则不成比例． 【详解】解：A、，故四条线段不成比例，不符合题意； B、，故四条线段成比例，符合题意； C、，故四条线段不成比例，不符合题意； D、，故四条线段不成比例，不符合题意； 故选：B． 【变式2】已知：，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题考查线段的比，交叉相乘求出a和b的关系是解题关键．根据题意可求出，从而即得出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 题型02比例的性质 【典例2】点在线段上，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的比，解题关键是根据题意作出图形，结合比例的性质求解．根据题意，可设，则，进而即可求解． 【详解】解：如下图， ∵， 设， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1】若，则分式 ． 【答案】 【分析】本题考查等式性质、分式求值，根据已知可得，从而可得，然后代入式子中进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【变式2】若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质，得到，代入计算即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 【变式3】已知，且，则a的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了比例的性质，设，根据比例的性质可得，，进而得到，解方程解答即可． 【详解】解：设， 则，， ， ， 解得， 故答案为： 题型03黄金分割 【典例3】如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，支撑点C和D分别放在琴弦的黄金分割点上，则C、D之间距离为 （保留根号）． 【答案】/ 【分析】本题主要考查黄金分割；根据黄金分割的定义得到，再把代入计算即可． 【详解】解：∵点C，点D是的黄金分割点， ∴ ， ∴， 故答案为：． 【变式1】大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查黄金分割，掌握黄金分割的定义是解题的关键．设，则，根据黄金分割得到，代入即可求解． 【详解】解：设，则， ∵点P为的黄金分割点（）， ∴， ∴，即， 解得，（不合题意，舍去）， ∴． 故答案为：． 【变式2】达芬奇的著名画作《蒙娜丽莎》被誉为艺术史上的经典，这幅画的构图巧妙地运用了黄金分割的比例．图画中头顶到手的长度为cm，下巴的位置点是头顶点到手部点的黄金分割点，则蒙娜丽莎的头顶到下巴的长度为 cm（结果保留根号，黄金比为）． 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．因为点是线段的黄金分割点，根据黄金分割的定义，可求出长度，再进行计算即可． 【详解】解：由题知， ∵点是线段的黄金分割点， ∴． ∵， ， 故答案为： ． 题型04由平行判断成比例的线段 【典例4】如图，在平行四边形中，E是上一点，连接并延长交的延长线于点F，则下列结论错误的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用平行线分线段成比例定理． 根据平行四边形的性质得出，，，，利用平行线分线段成比例定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A．∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，故A正确，不符合题意； B．∵， ∴， ∵， ∴，故B正确，不符合题意； C．∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴，故C错误，符合题意． D．∵， ∴，故D正确，不符合题意； 故选：C． 【变式1】如图，已知，，那么下列比例式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理的推论，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例，由此可解． 【详解】解： ，， ，． ． 故选D． 【变式2】如图所示，已知，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， 故选项A正确，符合题意，选项B错误，不符合题意； ，故选项C错误，不符合题意； ，故选项D错误，不符合题意． 故选：A 题型05由平行截线求相关线段的长或比值 【典例5】如图，，，，，则的长为（ ）. A．5 B．7 C．10 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用平行线分线段成比例定理列比例式成为解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理得出，然后代入相关数据计算即可解答． 【详解】解： ， ， ，，， ， ， ． 故选B． 【变式1】如图，在中，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【变式2】如图，是中位线，M是中点，连结并延长，与相交于点N，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中位线的判定和性质，平行线的性质，取的中点F，连接，则是中位线，根据中位线的性质得，再根据平行线的性质得，则，，，进而可得答案． 【详解】解：如图，取的中点F，连接， ∵是中位线， ∴、分别是、的中点， ∴是中位线， ∴，即， ∴， ∵M是中点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故选：C． 一、单选题 1．如果，，，按顺序是成比例线段，其中，，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例线段，根据线段成比例，可以列出方程，代入数值求解即可． 【详解】解：∵线段a、b、c、d是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故选：B． 2．若，则下列等式错误的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例的性质．熟练掌握内项之积等于外项之积是解题的关键．根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：， ， 、，变形正确，故本选项不符合题意； 、由得，变形不正确，故本选项符合题意； 、由得，变形正确，故本选项不符合题意； 、由得，变形正确，故本选项不符合题意； 故选：． 3．勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比珠玉，后者堪称黄金，生活中到处可见黄金分割的美．如图是一种贝壳的俯视图，点C为线段的黄金分割点（），已知，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了黄金分割，理解和熟练掌握黄金分割定理是解决本题的关键； 根据题意，得到比例关系，将代入，即可解决本题． 【详解】解：∵点C为线段的黄金分割点（），， ∴， ∴的长为． 故选：D． 4．如图，已知，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选项B，C，D错误， 故选：A． 5．如图，在中，，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理确定对应比例关系是解答本题的关键． 根据平行线分线段成比例定理得到比例式即可解答． 【详解】解：∵， ∴ ∴的值为． 故选：B． 6．如图，在中，的平分线交于点E，F是线段上的一点，，连接，交于点G．若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质以及平行线分线段成比例定理．先根据平行四边形性质得到，，再利用平行线分线段成比例定理得出，设，则，求出x的值，最后通过角平分线的定义及平行线的性质证明． 【详解】解：在中，，，， ， 设，则， ， ， 解得， ， 平分， ， ， ， ， ， 故选C． 7．已知四条线段a，b，c，d满足，则下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例线段，比例的性质，熟练掌握比例线段的定义是解题的关键． 已知比例式，利用比例的基本性质和合比定理分析各选项是否成立． 【详解】解：A、， 交叉相乘得，但原式交叉相乘为，两者不一定相等，故A不成立，不符合题意； B、， 若，设，则，，代入得，等式成立，故B正确，符合题意； C、， 需满足，即或，但原式无法推出，故C不成立，不符合题意； D、， 若，假设，，，，得，故D不成立，不符合题意； 故选：B． 8．古希腊的帕特农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术的最高水平，它的平面图可看作“黄金矩形”（宽与长的比等于）．如图，帕特农神庙平面图的长约为30m，则它的宽约为（   ） A．12.36m B．18.54m C．21.21m D．48.54m 【答案】B 【分析】已知长约为30m，根据黄金矩形的概念宽与长的比等于，求出的宽的值即可． 本题考查了黄金分割的概念以及黄金矩形，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设它的宽约为m， 由题意得： 解得：≈ ∴它的宽约为m ． 故选：B． 二、填空题 10．若且，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了比例的性质．设，根据比例的性质得出，，再代入，求出答案即可． 【详解】解：设，则，， ， 故答案为：． 11．如图，是的中线，点是边上一点，交于点，若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．如图，过点作交于点．利用平行线等分线段定理，证明即可． 【详解】解：如图，过点作交于点． ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12.玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音阶．实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金比（约等于0.618）时，可以敲击出音阶“sol”．如图，若瓶高，且敲击时发出音阶“sol”，则液面高度约为 ． 【答案】6.18 【分析】根据黄金分割的定义即可列式求解． 【详解】由题知，， 因为， 所以． 故答案为：6.18． 三、解答题 13．如图，在中，，交于，交于，为上的一点，交于，，，求： (1)； (2)的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是找准对应线段． （1）已知，，根据平行线分线段成比例定理即可得到答案； （2）根据平行线分线段成比例定理得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ， 即； （2），， ， ， ． 14．如图，． (1)直接填空；的值为______，的值为______； (2)若，求和的长． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例： （1）根据平行线分线段成比例即可求解； （2）根据（1）中的结论，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 15．如图，在中，点为上一点，且，过点作交于点，连接，过点作交于点．若． (1)求的长． (2)求的长． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握定理内容并熟练运用是关键； （1）由得，即可求得； （2）由得，再结合即可求得的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； ∵ ∴， ∴． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $