专题4.2 两个三角形相似的判定（高效培优讲义）数学浙教版九年级上册

专题4.2 两个三角形相似的判定 教学目标 1. 理解相似三角形判定的基础关联 2.理解并熟记 “平行线判定法”，掌握 “三边成比例判定定理”“两边成比例且夹角相等判定定理”和“两角分别相等判定定理” 3.根据已知条件选择合适的判定定理，准确判断两个三角形是否相似，且能规范书写判定过程 4.能结合相似三角形判定定理，解决简单的线段比例计算，角的等量关系证明问题，初步建立 “判定→性质” 的应用逻辑。 教学重难点 1.重点 （1）核心判定定理的理解与应用 （2）相似三角形对应关系的准确识别 2.难点 （1）定理的推导逻辑 （2）定理应用的细节突破 （3）判定定理的选择策略 知识点01 相似三角形的判定 1．判定方法（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 2．判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　 3．判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 注意：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 注意：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 【即学即练】 1．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了相似三角形的判定，根据网格中的数据求出，，的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可． 【详解】解：根据题意得：，，， ∴， A、三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与相似； B、三边之比，图中的三角形（阴影部分）与不相似； C、三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与不相似； D、三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与不相似． 故选：A． 2．依据下列条件不能判断和的相似是（   ） A．，，， B．，，，， C．，，，， D．，，，，， 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据相似三角形的判定定理逐项分析即可． 【详解】选项A：，， ， ． 又， ，故此选项不符合题意； 选项B：，，，， ． 又， ，故此选项不符合题意； 选项C：，，，， ． 又，不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意； 选项D：，，，，，， ， ，故此选项不符合题意． 故选C． 3．如图，当的值为多少时，（　　） A．20 B．27 C．36 D．45 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．根据根据题意当时，即可求解． 【详解】解：根据题意可知，当时，， 由图可知，，，，，，， ∴， ∴， 故选：C． 4．如图，相交于点O，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理解答即可． 【详解】证明：∵交于点O， ∴， ∵， ∴． 5．如图，四个乡镇A，B，C，D之间建有公路，已知，．试判断AB与CD的位置关系，并说明理由． 【答案】．理由见解析 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键. 根据已知中各边的长易得，进而可得，结合相似三角形的性质可得，最后根据平行线的判定定理即可证明． 【详解】解：．理由如下： 由题意得， ， ， ， ． 故答案为：． 题型01利用平行判定相似 【典例1】如图，在中，点、在上，点、分别在、上，且 ， ，交于点图中与相似的三角形有多少个？把它们表示出来，并说明理由． 【答案】图中与相似的三角形有个，，， 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据相似三角形的判定推出答案即可． 【详解】解：图中与相似的三角形有个，，，， 理由：， ，， ， ， ． 【变式1】如图，中，已知、分别是、的中点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查考查相似三角形的判定，中位线的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．方法一：利用先得出，再结合即可证明；方法二：先证明是的中位线，得出，即可证明． 【详解】证明：方法一： 、分别是、的中点， ，， ， ， ； 方法二： 、分别是、的中点， ， ． 题型02利用两角对应相等判定相似 【典例2】如图，点、、分别在等边的三边、、上，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，相似三角形的性质与判定：先由等边三角形的性质得到，再由三角形内角和定理和平角的定义证明，即可证明． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ， ， ． 【变式1】 如图，在等边三角形中，点E、D分别在，上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定、等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．根据等边三角形的性质得到，则，由得到，推出，再根据相似三角形的判定即可证明． 【详解】证明：∵等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【变式2】如图，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理即可证明． 【详解】证明：， ， ， 又， ． 【变式3】如图，已知，，，两个三角形重叠部分为，请你找出一个与相似的三角形，并说明理由．    【答案】；理由见解析（或；理由见解析） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握三角形相似的判定方法，是解题的关键． 根据两个角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可． 【详解】解：；理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴； ；理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型03利用三边对应成比例判定相似 【典例3】如图，点，分别在的边，上，且，，，．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了相似三角形的判定，由，，，得，，所以，然后通过相似三角形的判定方法即可求证，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【变式1】在Rt中，．若在Rt中，，则Rt与Rt （填“相似”或“不相似”）． 【答案】相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定、勾股定理，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键. 【详解】解：∵在Rt中，． ∴ ∴， ∴， ∵， ∴. 故答案为：相似 ． 【变式2】如图，在正方形中，是的中点，点在上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 设正方形的边长为．则，，再利用正方形的性质与勾股定理求得，．即可根据相似三角形的判定定理得出结论． 【详解】证明：法一：设正方形的边长为． 是的中点， ． ． 四边形为正方形， ． 在Rt中，， ． 又， ． 同理． ． ． 在和中，， ． 法二：设正方形的边长为． 是的中点， ． ． 四边形为正方形， ． 在Rt中，， ． 又， ． 同理． 在中，， ． ． 又， ． 在和中， ， ． 法三： ． 四边形为正方形， ． 是的中点， ， ． 在和中， ， ． ． ， ， ． 在和中， ， ． 题型04利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【典例4】如图，在正方形中，P为中点，Q为上一点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，正方形的性质，由正方形的性质得出，，结合已知条件得出，进而即可得出． 【详解】证明：∵四边形是正方形，P为中点， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴． 【变式1】如图，在中，点在上，连接．已知，求证，． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．通过计算可得，加上为公共角，则根据相似三角形的判定方法可判断． 【详解】证明：，，， ，， ， ， 【变式2】如图，在四边形中，，，E 是的中点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，由题意可得，再结合即可得证，熟练掌握相似三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】证明：∵E 是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 题型05相似三角形的判定综合 【典例5】如图，点E在的对角线上，当平分，且时． 求证： (1)四边形是菱形； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义及平行线的性质得，，从而即可得证； （2）由菱形的性质可得，．则．由，，证明三角形相似即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等角对等边，菱形的判定及性质，相似三角形的判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【变式1】已知：在中，为的平分线．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 如图，过点做的平行线与的延长线交于点，可证，得到，根据角平分线的性质，等腰三角形的定义得到，由此即可求解． 【详解】证明：如图，过点做的平行线与的延长线交于点，   ， ，， ， ， 又为的角平分线， ， ， ∴． 【变式2】如图，在中，点、分别在边、上，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，比的利用等知识．熟练掌握相似三角形的判定是解此题的关键． （1）首先得到，然后结合即可证明； （2）由已知条件可得出，，根据等高三角形面积比等于三角形的底比可得出：，，进一步即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴． （2）解：，，，， ∴，， ∴，， 根据等高三角形面积比等于三角形的底比可得出：，， ∴， ∴ 【变式3】如图，在中，，是边上高，若，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）通过寻找两个三角形中相等的角，利用两角分别相等来证明相似． （2）先利用勾股定理求出斜边的长度，再根据三角形面积的两种不同表示方法，建立等式求出的长． 本题主要考查了相似三角形的判定、勾股定理以及三角形面积公式，熟练掌握相似三角形的判定定理和利用面积法求高是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴ ， ∵， ∴ ． 题型06选择或补充条件使两个三角形相似 【典例6】如图，，添加一个条件能判定的是（　　） ①； ②； ③； ④． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 先证出，再由相似三角形的判定方法即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 添加，利用两角对应相等可判定，故①符合题意； 添加，利用两角对应相等可判定，故②符合题意； 添加，无法判定，故③不符合题意； 添加，利用两边对应成比例及其夹角相等可判定，故④符合题意； 故选：B． 【变式1】如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键．根据求出，再根据相似三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， A项：若，则，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； B项：∵，若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； C项：∵，若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； D项：∵，若，不符合相似三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式2】如图，点在的边上，要判定与相似，添加一个条件，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的判定．由是公共角，利用有两角分别相等的两个三角形相似，即可得A与B正确；又由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得D正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用． 【详解】解：∵是公共角， ∴当或时，（有两角分别相等的两个三角形相似）； 故A与B正确； 当时，（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）； 故D正确； 当时，因为由所给比例涉及的两个三角形根本不是与，而是与，故不能证明， 故C错误． 故选：C． 【变式3】如图，是的边上一点，下列条件：①；②；③；④，其中一定使的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定． 和有公共角，然后根据相似三角形的判定方法对各个条件进行判断，从而得到答案． 【详解】∵， ∴当或，可根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断，故①正确，④不正确； 当时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断，故②正确； 当＝时，虽但不是夹角，所以与不一定相似，故③不正确． 因此有2个正确． 故选：B． 一、单选题 1．如图，下列四个三角形中，相似的三角形是（   ） A．①和② B．①和④ C．③和④ D．①和④、②和③ 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理． 根据相似三角形的判定方法来分析图形，通过观察和计算发现三角形①和④的两边比例相同， 且夹角相等，进而得到它们相似．排除A，C．再去判断②和③，发现不符，从而得到答案． 【详解】解：通过观察和计算发现三角形①和④的两边比例相同，即． 并且它们的夹角都为． 所以两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.排除A和C． 而②有一条边不知道，无法确定与③的三条边是否比例相同，不一定相似． 故选：B． 2．下列图形中，一定是相似图形的是（   ） A．两个直角三角形B．两个等腰三角形 C．任意两个三角形 D．两个等腰直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查三角形相似的判定，熟练掌握三角形相似的判定方法是解题关键． 根据相似三角形的判定方法，分析各选项即可． 【详解】解：A、假设两个直角三角形其中一个它的两锐角分别为30度和60度，另一个两锐角分别为20度和70度，那它们不相似． B、可设两个等腰三角形的三个角分别为80度、50度、50度，70度、55度、55度，显然角度不相等，那么它们也不相似； C、任意两个三角形，形状和大小差异大，无法保证相似． D、不管三角形的边长是多少，等腰直角三角形的三个内角都是90度、45度、45度，所以两个等腰直角三角形一定相似． 故选：D 3．如图，线段交于点O，由下列条件，不能得出的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：由，结合条件，可以根据两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似得到，故A不符合题意； 由即，结合条件，可以根据两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似得到，故B不符合题意； 由，结合条件不可以得到，故C符合题意； 由可得，结合条件，可以根据两组角对应相等的两个三角形相似得到，故D不符合题意； 故选：C． 4．已知两个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别为2，4和3，6，则这两个直角三角形（   ） A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定方法以及勾股定理的应用，熟练掌握相似三角形的判定方法 是解题的关键． 根据勾股定理分别求出两个直角三角形的另一条直角边，再判断对应边是否成比例． 【详解】解：对于第一个直角三角形，已知一条直角边为，斜边为， 另一条直角边为： 其三条边分别为、、． 对于第二个直角三角形，已知一条直角边为，斜边为， 另一条直角边为： 其三条边分别为、、． 所有对应边的比例均为，满足相似三角形的条件， 这两个直角三角形一定相似． 故选：A 5．如图，在中，的平分线交于点D，过点D作的平行线交于点E．若，则图中的相似三角形共有（   ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理证明即可得解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵，， ∴，， ∵，， ∴； ∵，， ∴； ∵，， ∴， ∵，， ∴； 综上所述，共有对相似三角形， 故选：C． 二、填空题 6．如图，中，是上一点，连接．请你补充一个条件 ，使． 【答案】（或或或）（答案不唯一） 【分析】本题考查两个相似三角形的判定定理，涉及两角分别相等的两个三角形相似、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似判定即可得到答案．熟记两个相似三角形的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：在和中，， 是的一个外角， ， 即，且， ， 当时，；或当时，；或当时，； 故答案为：（或或或）（答案不唯一）． 7．如图，线段交于点O，请你添加一个条件： ，使． 【答案】．（答案不唯一） 【分析】本题考查相似三角形的判定方法，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 有一对对顶角与，添加，即得结论． 【详解】解： ∵（对顶角相等），， ∴． 故答案为：．(答案不唯一) 8．如图所示，三个边长为1的正方形ABCD，ABEF，EFHG拼在一起，则，，这三个角的度数之和等于 ． 【答案】 【分析】先通过两边对应成比例且夹角相等证明，得到，然后利用三角形外角性质可得，即可求解． 【详解】解：四边形，，都是边长为1的正方形， ，，，， ，， ． 又， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是正方形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形外角定理，勾股定理的应用，掌握以上基础知识是解本题的关键． 9．如图，在矩形中，点E在上，于点F，于点G．若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键．先利用勾股定理求出，然后证明，求出，再证明，求出，即可进一步求得答案． 【详解】解：，，， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题 10．如图，在中，．请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】作图见解析 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，作已知角的角平分线，先作的平分线，交于，再证明，可得，可得即为所求． 【详解】解：如图，即为所求； 理由如下： ∵，平分， ∴， ∵， ∴． 11．如图，在平行四边形中，过点B作，垂足为E，连接，F为上一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定，含直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）由平行的性质结合条件可得到和，可证得结论； （2）由平行可知，在中，由含直角三角形的性质结合勾股定理可求得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理得：． 12．如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数是． 【分析】此题重点考查角平分线的定义、相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识． （1）由，得，由平分，得，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明； （2）由相似三角形的性质得，则，所以． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是． 13．如图所示，在矩形中，E是上的一点，过点E作交于点F，交的延长线于点G，且． (1)求证：； (2)若，矩形的周长为48，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)19.5 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键； （1）由矩形的性质得出，再根据角的互余关系证出，根据证明，得出对应边相等即可； （2）设，则，根据矩形的周长列出方程，解方程求出、，得出、，再证明，得出比例式求出，即可得出． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， （2）解：设，则， 矩形的周长为48， ， 解得：， ，，， ， 四边形是矩形， ， ， ， 即， ， ． 14．如图，沿折叠矩形纸片，使点D落在边的点F处； (1)求证：； (2)若是中点，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定、矩形与折叠问题、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和折叠的性质是解题关键． （1）先根据矩形的性质可得，再根据折叠的性质可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定即可得证； （2）设，则，再根据折叠的性质可得，然后利用勾股定理可得，由此即可得． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， 设， ∵是中点， ∴， 由折叠的性质得：， 在中，， ∴． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题4.2两个三角形相似的判定 内容概览 教学目标，教学重难点 知识清单 两个相似三角形相似的判定 【题型1】利用平行判定相似 两个三角形 【题型2】利用两角对应相等判定相似 相似的判定 【题型3】利用三边对应成比例判定相似！ 题型精讲 【题型4】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【题型5】相似三角形的判定综合 【题型6】选择或补充条件使两个三角形相似 强化训练 教学目标、教学重难点 1. 理解相似三角形判定的基础关联 2.理解并熟记“平行线判定法”，掌握“三边成比例判定定理”“两边成比例且夹 角相等判定定理”和“两角分别相等判定定理” 教学目标 3.根据已知条件选择合适的判定定理，准确判断两个三角形是否相似，且能规范书写 判定过程 4能结合相似三角形判定定理，解决简单的线段比例计算，角的等量关系证明问题， 初步建立“判定→性质”的应用逻辑。 1.重点 (1)核心判定定理的理解与应用 (2)相似三角形对应关系的准确识别 教学重难点 2.难点 (1)定理的推导逻辑 (2)定理应用的细节突破 1/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)判定定理的选择策略 知识清单 知识点01相似三角形的判定 1.判定方法(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 2.判定方法(2)：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似 3.判定方法(3)：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形 相似. 注意：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两 边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的 判定方法(4)：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似 注意：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言， 若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似 平行型 (a) 特珠 旋转 一斜交型 平移 特珠 (b) 垂直型 平移特殊 (d) 【即学即练】 1.如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是() D 2.依据下列条件不能判断△ABC和△DEF的相似是() 2/12 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.∠A=40°，∠B=80°，∠E=80°，∠F=60° B.∠A=∠E=45°，AB=12cm,AC=15cm,ED=20cm,EF=16cm C.∠A=∠D=45°，AB=12cm,AC=15cm,ED=16cm,EF=20cm D.AB=1cm,BC=2 cm,CA=1.5 cm,DE=6cm,EF=4 cm,FD=8 cm 3.如图，当x的值为多少时，△ABC∽△A1B1C1() 27 15/ 20 25 C B 45 A.20 B.27 C.36 D.45 4.如图，AC,BD相交于点O,∠A=∠D,求证：△A0B∽△D0C. B 5.如图，四个乡镇A,B,C,D之间建有公路，已知 AB=12km,BC=33km,CD=27km,AD=22km,BD=18km.试判断AB与CD的位置关系， 并说明理由. 题型精讲 3/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型01利用平行判定相似 【典例1】如图，在△ABC中，点D、M在AB上，点E、N分别在BC、AC上，且DE‖AC,MN‖ BC,DE交MN于点O.图中与△ABC相似的三角形有多少个？把它们表示出来，并说明理由. D M 0 B 【变式1】如图，△ABC中，己知D、E分别是AB、AC的中点，求证：△ADE△ABC 题型02利用两角对应相等判定相似 【典例2】如图，点D、E、F分别在等边△ABC的三边AB、AC、BC上，且DE⊥EF,∠DFE=60°， 求证：△DBF∽△FCE. 【变式1】如图，在等边三角形ABC中，点E、D分别在BC,AB上，且∠AED=60°.求证： △AECM△EDB· 4/12 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】如图，∠B=∠D,∠1=∠2.求证：△ABC∽△ADE, B 【变式3】如图，已知△ABC兰△DAE,∠BAC=90°，AB=AC,两个三角形重叠部分为△AFG, 请你找出一个与△AFG相似的三角形，并说明理由. G D 题型03利用三边对应成比例判定相似 【典例3】如图，点B,C分别在△ADE的边AD,AE上，且AC=3,AB=2.5,EC=2,DB=3.5.求 证：△ABC~△AED. 【变式1】在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10,BC=8.若在Rt△ABC中， 5/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠C=90°，BC=4,AC=3,则Rt△ABC与Rt△ABC (填“相似”或“不相似”)· 【变式2】如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，点F在CD上，且CF=3FD.求证： △ABEM△EBF. B 题型04利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【典例4】如图，在正方形ABCD中，P为CD中点，Q为BC上一点，且PC=2CQ.求证： △PCQ∽△ADP. p B 【变式1】如图，在△ABC中，点D在AB上，连接CD.己知AC=6,AD=4,BD=5,求证， △ACD△ABC. D 【变式2】如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠A=∠D,E是AD的中点，CD=壹DE.求证： △ABEM△DEC. 6/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型05相似三角形的判定综合 【典例5】如图，点E在☐ABCD的对角线AC上，当AC平分∠BCD,且∠E=∠ABC时. 求证： (1)四边形ABCD是菱形： (2)△ACD△BAE. 【变式1】已知：在△ABC中，AD为∠BAC的平分线.求证：是=罂. D 【变式2】如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，AB=2AD,AC=2AE 4 B (1)求证：△ADE∽△ABC: 2若AD=3,AB=2,求铝的长. 7/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上高，若AC=12,BC=5. B (1)求证：△ABC△CBD; (2)求CD的长. 题型06选择或补充条件使两个三角形相似 【典例6】如图，∠1=∠2，添加一个条件能判定△ABC∽△ADE的是() ①∠C=∠E: ②∠B=∠ADE; ③能=噩： ④鼎=脂. D A.①②③ B.①②④ C.②③4④ D.①②③④ 【变式1】如图，已知∠1=∠2，添加下列条件后，仍无法判定△ABC~△ADE的是() A.是=是 B.∠B=∠D C.∠C=∠AEDD.器=脂 【变式2】如图，点D在△ABC的边AC上，要判定△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是 8/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 () A.∠ABD=∠C B.∠ADB=∠ABC c.器=器 D.器=是 【变式3】如图，D是△ABC的边AB上一点，下列条件：①∠ACD=∠B;②AC2=AD·AB;③ 器=器；④∠B=∠ACB,其中一定使△ABC△ACD的有() D B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 强化训练 一、单选题 1.如图，下列四个三角形中，相似的三角形是() 12 20 15 45 1450 16 24 30 20 ① ② ③ ④ A.①和② B.①和④ C.③和④ D.①和④、②和③ 2.下列图形中，一定是相似图形的是() A.两个直角三角形B.两个等腰三角形C.任意两个三角形D.两个等腰直角三角形 3.如图，线段AD,BC交于点O,由下列条件，不能得出△AOB~△DOC的是() A.咒=器B.器=光 c,器=铝 D.ABICD 4.己知两个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别为2,4和3,6，则这两个直角三角形() A.一定相似B.一定不相似 C.不一定相似 D.以上都不对 5.如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D,过点D作AB的平行线交AC于点E.若 9/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠BAD=∠C,则图中的相似三角形共有() B D A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 二、填空题 6.如图，△ABC中，P是AB上一点，连接CP.请你补充一个条件一，使△ABC∽△ACP. P B 7.如图，线段AC、BD交于点O,请你添加一个条件： ,使△AOB△C0D. D B 8.如图所示，三个边长为1的正方形ABCD,ABEF,EFHG拼在一起，则∠1，∠2，∠3这三个角的度数之 和等于一 B 9.如图，在矩形ABCD中，点E在AB上，AF⊥DE于点F,CG⊥DE于点G.若AD=6,CG=8, CD=10,则EF的长为 D G B E 10/12