14.3.2角的平分线的判定 课件-2025-2026学年 人教版（2024）八年级数学上册

2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册 14.3.2角的平分线的判定 第十四章 全等三角形 授课教师： 阿老师 . 班 级： 托克逊县第一中学8（11）班 . 时 间： 2025.09 . 1.探索并证明角的平分线的判定定理，感受互逆的数学思想，发展推理能力和解题能力； 2.能够运用角的平分线的判定定理解决相关问题. 学习目标 O D P P到OA的距离PD P到OB的距离PE. P是角平分线上的点 几何语言描述： ∵ OC平分∠AOB，且PD⊥OA， PE⊥OB. ∴ PD= PE. A C B 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 叙述角平分线的性质定理. 不必再证全等 E 复习引入 情景导入 情境导入 如图，要在 S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路和铁路的交叉处 500 m. 这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置)？ 即求：∠AOB 内是否存在一点到 OA、OB 的距离相等，且距离 O 点 500 m. 转化 A O B 0 200m 情景导入 探究新知 交换“角的平分线上的点到角两边的距离相等” 这个性质的题设和结论，得到的命题还成立吗？ 知识点1 角的平分线的判定 C A B O D E P 猜想：到角两边距离相等的点一定在角的平分线上 已知： 角的内部的一个点到这个角两边的距离相等. 求证： 验证 这个点在这个角的平分线上. 探究新知 知识点1 角的平分线的判定 如图，P 为∠AOB 内部一点，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，且 PD = PE. 求证：点 P 在∠AOB 的平分线上. 可以通过添加辅助线，构造三角形来证明. A B O D E P C 探究新知 证明：如图，经过点 P 作射线 OC. ∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴ ∠PDO =∠PEO = 90°. 在 Rt△OPD 和 Rt△OPE 中， OP = OP， PD = PE， ∴ △OPD ≌ △OPE（HL） ∴∠AOC =∠BOC A B O D E P C ∴点 P 在∠AOB 的平分线上. 探究新知 如图，∵P 为∠AOB 内部一点，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，且 PD = PE，∴点 P 在∠AOB 的平分线上，即 OP 平分∠AOB. 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 角的平分线的判定定理 几何语言： A B O D E P C 位置关系 数量关系 探究新知 归纳总结 所有到角两边距离相等的点组成这个角的平分线 1 角的平分线的性质及判定的关系 点在角的平分线上 角的内部，点到角两边距离相等 性质 判定 2 角的平分线（顶点除外）可以看成到角两边距离相等的所有点的集合. 探究新知 针对训练 1. 导入问题：在 S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路和铁路交叉处 500 m. 这个集贸市场应建于何处？ 0 200m 答：集贸市场应建在 S 区内，公路和铁路夹角的平分线上，具体位置如图中点 P 所示. P 探究新知 针对训练 2. 如图，AB⊥CD，CE⊥AD，垂足分别为 B，E，AB = CE，AB，CE 相交于点 F，连接 DF. 求证：FD 平分∠BFE. 教材P51练习 第1题 C A B D E F 探究新知 教材P51练习 第1题 C A B D E F 证明：∵AB⊥CD，CE⊥AD，∴∠ABD =∠CED = 90°. 在△ABD 和△CED 中， ∠ADB =∠CDE， ∠ABD =∠CED， AB = CE， ∴△ABD ≌△CED（AAS） ∴BD = ED. 又 AB⊥CD，CE⊥AD， ∴FD 平分∠BFE. 探究新知 例 如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P. 求证： 点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等； △ABC 的三条角平分线交于一点. C A B M N P 点 P 到边 AB，BC 的距离相等，点 P 到边AC，BC 的距离相等 要证△ABC 的三条角平分线交于一点，只要证点 P 也在∠A 的平分线上． 探究新知 C A B M N P 教材P51 例题 证明：(1) 过点 P 作 PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分别为 D，E，F. ∵BM 是△ABC 的角平分线， 点 P 在 BM 上， ∴PD = PE. 同理 PE = PF. ∴ PD = PE = PF. 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等 . E F D 探究新知 C A B M N P 教材P51 例题 (2) 由 (1) 得，点 P 到边 AB，CA 的距离相等， ∴点 P 在∠A 的平分线上 . ∴△ABC 的三条角平分线交于一点 . E F D 探究新知 知识点2 三角形三条角平分线的关系 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这点到三条边的距离相等. 三角形内部到三边距离相等的点是 三条角平分线的交点. 探究新知 拓展探究 到三角形三边所在直线距离相等的点一共有几个？ 4个 P1 P4 P2 P3 三角形三个内角的平分线的交点 P1； 三角形一个内角与另外两个角的外角的平分线的交点 P2，P3，P4. 探究新知 教材P51练习 第2题 如图，已知△ABC ，BF 是△ABC的外角∠CBD 的平分线，CG 是△ABC 的外角∠BCE 的平分线，BF，CG 相交于点 P. 求证： 点 P 到三边 AB，BC，CA 所在直线的距离相等； 点 P 在∠A 的平分线上. C A B D E F G P 课堂练习 针对训练 教材P51练习 第2题 C A B D E F G P J I H 证明：(1) 如图，过点 P 分别作 PJ，PI，PH 垂直于三边 AB，BC，AC 所在的直线，垂足分别为 J，I，H. ∵BF 是∠CBD 的平分线，点 P 在 BF 上，∴PI = PJ. 同理，PH = PI， ∴PJ = PI = PH， 即点 P 到三边 AB，BC，CA 所在直线的距离相等. 课堂练习 针对训练 教材P51练习 第2题 C A B D E F G P J I H (2) 由(1)知 PH⊥AE，PJ⊥AD，且 PH = PJ， ∴点 P 在∠A 的平分线上. 课堂练习 提炼归纳 角平分线的性质 角平分线的判定 图示 已知条件 结论 OP 平分∠AOB PD⊥OA于点 D PE⊥OB于点 E PD = PE PD⊥OA 于点D PE⊥OB 于点E PD = PE OP 平分∠AOB 课堂练习 知识点1 角的平分线的判定 1.如图，于点，于点，，当 ___时， 点在 的平分线上. 2 （第1题） 返回 考试考法 22 （第2题） 2.［2025广州越秀区月考］如图，于点 ， 于点，若，且 ，则 的度数是( ) C A. B. C. D. 3.将两个完全相同的直角三角板按如图所示的方式放置， 使得顶点重合， ，若 ，则 的度数是( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 23 4.［教材习题 变式］［2025武汉月考］如图，已 知，，垂足分别为，，， 相交于点，连接.若，求证： 平分 . 考试考法 24 证明：, ， . 在与 中， ,是 的平分线. 返回 考试考法 1.如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且 BD = CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F. 求证 EB = FC. 【教材P52习题14.3 第1题】 复习巩固 证明：∵AD 是△ABC 的角平分线， DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE = DF. BD = CD， DE = DF， 在Rt△DEB 和 Rt△DFC 中， ∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）. ∴EB = FC. 课堂练习 2. 如图，在△ABC 中，AB = AC，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为 D，E，BD，CE 相交于点 F. 求证：FA 平分∠DFE. 【教材P52习题14.3 第2题】 课堂练习 证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠ADB =∠AEC = 90°. 在△ADB 和 △AEC 中， ∠ADB =∠AEC， ∠BAD = ∠CAE， AB = AC， ∴△ADB≌△AEC（AAS）. ∴AD = AE. 又 AB⊥CE，AC⊥BD，∴ FA 平分∠DFE. 课堂练习 3. 如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD 相交于点 O，OB = OC. 求证∠1 = ∠2. 【教材P52习题14.3 第3题】 课堂练习 证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠BDO =∠CEO = 90°. 在△BDO 和△CEO 中， ∠BDO =∠CEO， ∠DOB =∠EOC， OB = OC， ∴△BDO≌△CEO（AAS）. ∴OD = OE. ∴AO 是∠BAC 的平分线. ∴∠1 =∠2. 课堂练习 4. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，在边 AC 上求作一点 P，使点 P 到边 BC 和边 AB 的距离相等 . 【教材P52习题14.3 第4题】 解：如图所示. 课堂练习 5. 如图，在△ABC中，AD 是它的角平分线，P 是 AD 上一点，PE // AB，交 BC 于点 E，PF // AC，交 BC 于点 F. 求证：点 D 到 PE 和 PF 的距离相等 . 综合运用 【教材P53习题14.3 第5题】 课堂练习 证明：如图，过点 D 分别作 DM⊥PE，DN⊥PF，垂足分别为 M，N. ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠1 =∠2. 又 PE∥AB，PF∥AC， ∴∠3 =∠1，∠4 =∠2. ∴∠3 =∠4，即 PD 是∠EPF 的平分线. ∴DM = DN，即点 D 到 PE 和 PF 的距离相等. 课堂练习 6. 如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是 OC 上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，F 是 OC 上的另一点，连接 DF，EF，求证 DF = EF. 【教材P53习题14.3 第6题】 课堂练习 证明：∵OC 是∠AOB 的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD = PE，∠PDO =∠PEO = 90°. 在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中， OP = OP， PD = PE， ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）. ∴∠OPD =∠OPE. 课堂练习 ∴∠DPF =∠EPF（等角的补角相等）. PD = PE， ∠DPF =∠EPF， PF = PF， ∴△DPF≌△EPF（SAS）. ∴DF = EF. 在 △DPF 和△EPF 中， 课堂练习 7. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，连接 EF，EF 与 AD 相交于点 G. AD 与 EF 垂直吗？证明你的结论 . 拓广探索 【教材P53习题14.3 第7题】 课堂练习 解：AD⊥EF. 证明：∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠EAD =∠FAD. 又 DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE = DF，∠DEA =∠DFA = 90°. 在 Rt△ADE 和 Rt△ADF 中， AD = AD， DE = DF， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）.∴AE = AF. 课堂练习 在△AEG 和△AFG 中， AE = AF， ∠EAG = ∠FAG， AG = AG， ∴△AEG≌△AFG（SAS）. ∴∠AGE =∠AGF. ∵∠AGE +∠AGF = 180°， ∴∠AGE =∠AGF = 90°，∴AD⊥EF. 课堂练习 8. 如图，∠B =∠C = 90°，E 是 BC 的中点，DE 平分∠ADC. 求证：AE 平分∠DAB.（提示：过点 E 作 EF⊥AD，垂足为 F.） 【教材P53习题14.3 第8题】 课堂练习 证明：如图，过点 E 作 EF⊥AD，垂足为 F. ∵DE 平分∠ADC，EF⊥AD，∠C=90°， ∴EF = CE. ∵E 是 BC 的中点， ∴CE = BE， ∴EF = BE. 又 EF⊥AD，∠B = 90°， ∴AE 平分∠DAB. 课堂练习 角的平分线 判定定理 三角形的角平分线交于一点. 角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上. 内容 作用 结论 判断一个点是否在角的平分线上. 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看！ $