14.3.1角的平分线的性质 课件-2025-2026学年 人教版（2024）八年级数学上册

该初中数学课件聚焦角的平分线的性质，通过“探究新知”引导学生动手画图比较垂线段，从具体操作到猜想再到证明，构建从画法到性质应用的学习支架，衔接自然。 其亮点是以探究式学习培养数学眼光，通过动手操作发现规律，以严格证明过程发展推理意识，用规范几何语言强化符号表达。如课堂练习中角平分线交点距离问题，结合多样题型，助学生巩固应用，教师可直接使用系统流程提升效率。

2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册 14.3.1角的平分线的性质 第十四章 全等三角形 授课教师： 阿老师 . 班 级： 托克逊县第一中学8（11）班 . 时 间： 2025.09 . 1.能用尺规作图作一个角的平分线，知道作图的理论依据. 2.探索并证明角的平分线的性质，能够利用该性质解决几何 问题； 3.熟练掌握证明几何命题的一般步骤. 学习目标 A B D C E 下图是一个平分角的仪器，其中AB= AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD 沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE 就是这个角的平分线，你能说明它的道理吗？ 情景导入 回顾导入 我们学过的角的平分线的概念是什么？ 一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线. 几何语言： 所以 OB 平分∠AOC. 如图，因为 情景导入 回顾导入 在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？ 方法一：用量角器度量 方法二：用折纸的方法 在黑板上画一个角，还能用对折的方法得到这个角的平分线吗？ 方法三：用角平分仪 探究新知 角的平分线上的点的特性是由其与角的两边的关系体现的. 我们先来看角的平分线上的点与角两边上的点所连线段的数量关系. 探究 如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是 OC 上的任意一点，M，N 分别是 OA，OB 上的点，我们研究 PM 与 PN 的关系. C A B O M N P 知识点1 角的平分线的作法 探究新知 研究几何图形的关系时，我们往往关注其中的一些特殊情况. 图中当 OM 与 ON 满足什么关系时，PM = PN？ C A B O M N P OP = OP，∠POM =∠PON， 在△OPM 和△OPN 中， 如果 OM = ON，那么△OPM ≌△OPN(SAS)， 就有 PM = PN. 探究新知 反过来，如图，M，N 分别是∠AOB 的边 OA，OB 上的点，OM = ON，点 P 在∠AOB 的内部，PM = PN. 连接 OP. A B O M N OP = OP，OM = ON，PM = PN， 在△OPM 和△OPN 中， ∴△OPM ≌△OPN(SSS)，就有 ∠POM =∠PON. P 即点 P 在∠AOB 的平分线上. 探究新知 思 考 由上述结论，你能想到如何作一个角的平分线吗？ 1 先在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两点. 2 在角的内部作出与这两点距离相等的点. 3 以角的顶点为端点，作过这个点的射线. 探究新知 作法：如图，已知∠AOB. (1) 以点 O 为圆心，适当长为半径作弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N. A B O (2) 分别以点 M，N 为圆心，大于 MN的长为半径作弧（想一想为什么），两弧在∠AOB 的内部相交于点 C. M N C (3) 作射线 OC. 射线 OC 即为∠AOB 的平分线. 探究新知 A B O M N 为什么以大于 MN的长为半径作弧： 知识点1 角的平分线的作法 以小于 MN的长为半径，两弧无交点； 以等于 MN的长为半径，不易操作. 探究新知 针对训练 已知：平角∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. A B O 【结论】作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法. 探究新知 如图，在△ABC中，∠B，∠C的平分线交于点O，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，则OD与OE的大小关系是(　　) A. OD>OE B．OD＝OE C. OD<OE D．不能确定 B 课堂练习 针对训练 已知：平角∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. A B O 【结论】作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法. 探究新知 探究 如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P1，P2，P3，···在 OC 上，过点 P1，P2，P3，···分别画 OA 与 OB 的垂线，垂足分别为 D1 与 E1、D2 与 E2、D3 与 E3······. 分别比较 P1D1 与 P1E1、 P2D2 与 P2E2、P3D3 与 P3E3 ······，你有什么发现？ C A B O D1 E1 P1 D2 E2 P2 D3 E3 P3 D4 E4 P4 P1D1 = P1E1，P2D2 = P2E2，P3D3 = P3E3······ 探究新知 C A B O D1 E1 P1 D2 E2 P2 D3 E3 P3 D4 E4 P4 P1D1 = P1E1，P2D2 = P2E2，P3D3 = P3E3······ 猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等 已知： 一个点在一个角的平分线上. 求证： 验证 这个点到这个角两边的距离相等. 探究新知 C A B O D E P 如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E. 求证 PD = PE. 可以通过证明△OPD≌△OPE得到 PD = PE. 探究新知 知识点2 角的平分线的性质 C A B O D E P 证明：∵OC 是∠AOB 的平分线，∴∠AOC =∠BOC. ∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴ ∠PDO =∠PEO = 90°. 在△OPD 和△OPE 中， ∠AOC = ∠BOC ， ∠PDO = ∠PEO ， OP = OP ， ∴ △OPD ≌ △OPE（AAS） ∴PD = PE 探究新知 1. 明确命题中的已知和求证； 2. 根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 3. 经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 必要时先将命题改写成“如果···那么···”的形式 注意可能存在不同情形 探究新知 如图，∵OC 是∠AOB 的平分线， P 是 OC 上一点， PD⊥OA 于点 D， PE⊥OB 于点 E， ∴PD = PE. 角平分线上的点到角两边的距离相等 角的平分线的性质 C A B O D E P 几何语言： 探究新知 角平分线上的点到角两边的距离相等 C A B O D E P 应用定理需具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等 探究新知 教材P50练习 第1题 3. 如图，在直线 MN 上求作一点 P，使点 P 在∠AOB 的内部，且点 P 到射线 OA 和 OB 的距离相等. 解：如图所示： 作∠AOB 的平分线与 MN 交于点 P，点 P 即为所求. A B O N M P 课堂练习 教材P50练习 第2题 4. 如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E. 点 F，G 分别在 OA，O B上，DF = EG，连接 PF，PG. 求证 PF = PG. C A B O G F D E P 课堂练习 在 △DPF 和 △EPG 中， 证明：∵OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ PD = PE，∠PDF = ∠PEG = 90°. PD = PE， ∠PDF = ∠PEG， DF = EG， ∴△DPF≌△EPG（SAS）. ∴PF =PG. 教材P50练习 第2题 C A B O G F D E P 课堂练习 知识点1 角的平分线的画法 1.如图，作已知的平分线 ，合理的顺序是( ) C （第1题） ① 作射线；②在，上分别截取，，使 ；③ 分别以，为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧在 内交 于点 . A.①②③ B.②①③ C.②③① D.③②① 返回 考试考法 25 （第2题） 2.如图，用直尺和圆规作 的平分线，根据作 图痕迹，下列结论不一定正确的是( ) C A. B. C. D. 返回 考试考法 26 3.如图，已知四边形，利用尺规作图法作的平分线交 于 点 .（不写作法，保留作图痕迹） 解：如图所示. 返回 考试考法 27 知识点2 角的平分线的性质 4.如图，是的平分线，点在 上， 于点，于点，若 ，则 的长为( ) B A.2 B.3 C.4 D.5 返回 考试考法 28 （第5题） 5.如图，平分，点是射线 上一点， 于点，点是射线 上的一个动点， 连接.若，则 的长度不可能是( ) D A.18 B.7.2 C.6 D.4.5 返回 考试考法 29 6.［2025南京期末］如图，在中， ，平分 ， 交于点,于点.若，，则 的长为___. 3 （第6题） 返回 考试考法 30 7.如图,，，垂足分别为,， 与 相交于点，且.求证： . 证明： , 为 的平分线. , ， , . 又 , , . 返回 考试考法 31 角平分线 尺规作图 属于基本作图，必须熟练掌握 性质定理 一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等 辅助线 添加 过角平分线上一点向两边作垂线段 为证明线段相等提供了又一途径 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看！ $