学易金卷：高一数学上学期期中考试卷（上海专用）（基础卷）【测试范围：沪教版必修第一册第一章～第四章】

■■■ 2025-2026学年高一上学期期中考试 基础卷数学·答题卡 姓名： 贴条形码区 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 ! 2. 选择题必须用2B铅笔填涂；非选 准考证号 择题必须用0.5mm黑色签字笔答 注意事 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 O ! 3.请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 2 2 23 23 23 123 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 4 4 4 1231 1234 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 5 5 破。 5 5 6 5. 正确填涂 6789 78 78 7 78 678 5678q 789 0123456789 8 8 缺考标记 9 9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12 题每题5分) 3 6 1! 10. 11. 12 舸 二、选择题（本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16 题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13[A[B][C][D] 14[A][B][C][D] 15[A]B][C][D] 16[A][B][C][D] 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、 21题每题18分) 17.(14分) 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(14分) 数学第3页（共6页） 学校 班级 姓名 准考证号 密 封 线 1I11 1e.140) 友华集工工(k6乐) ■■■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(18分) 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(18分) 数学第6页（共6页）2025-2026学年高一上学期期中考试 基础卷 数 学·答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 19． （14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（18分） 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页）1 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一上学期数学期中考试卷 数学·答案及评分参考 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020必修第一册第一章~第四章。 5．难度系数：0.65。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．{0，2，4，6，8}； 2．[﹣1，5] ； 3．M>N； 4．(－2，3]； 5．（－2，2] ； 6．； 7．f(c)<f(a)<f(b)； 8．∪(1，＋∞)； 9．{m|m<－1或m>4}； 10．6； 11．(3，4)； 12．(0，＋∞)； 2、 选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．C 14．A 15．C 16．D 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．【解析】（1） 因为x∈A是x∈B的必要不充分条件，所以B是A的真子集．①当B＝∅时，由2a－1＞a＋1，解得a＞2；②当B≠∅时，由解得－＜a≤0.综上，实数a的取值范围为∪(2，＋∞)【7分】 （2）由A∩B＝∅，则①当B＝∅时，由2a－1＞a＋1，解得a＞2； ②当B≠∅时，或解得a≤－3或1＜a≤2； 综上，实数a的取值范围为(－∞，－3]∪(1，＋∞). 【14分】 【考点】集合的表示，充要条件的判别与不等式组的解法 18．【解析】（1） 因为当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，所以Δ＝a2－4(3－a)≤0， 即a2＋4a－12≤0，解得－6≤a≤2，所以实数a的取值范围是[－6，2]；【4分】 （2）由题意知原不等式可转化为x2＋ax＋3－a≥0在x∈[－2，2]上恒成立， 则(x2＋ax＋3－a)min≥0(x∈[－2，2]).令g(x)＝x2＋ax＋3－a，x∈[－2，2]， 函数图象的对称轴方程为x＝－.当－＜－2，即a＞4时，g(x)min＝g(－2)＝7－3a≥0， 解得a≤，舍去；当－2≤－≤2，即－4≤a≤4时，g(x)min＝g＝－－a＋3≥0，解得－6≤a≤2，所以－4≤a≤2；当－＞2，即a＜－4时，g(x)min＝g(2)＝7＋a≥0，解得a≥－7， 所以－7≤a＜－4.综上可得，满足条件的实数a的取值范围是[－7，2]. 【10分】 （4）令h(a)＝xa＋x2＋3.当a∈[4，6]时，h(a)≥0恒成立，只需即解得x≤－3－或x≥－3＋， 所以实数x的取值范围是（－∞，－3－]∪[－3＋，＋∞）【14分】 【考点】一元二次函数的图像特征与最值 19．【解析】（1）由f(x)<－1，a＝1，得log2(x＋1)<－1＝log2， 则0<x＋1<，得－1<x<－，即不等式的解集为.【6分】 （2）g(x)＝f(4x)＝log2(4x＋a)(a>0)， 因为对任意的x∈(0,2)，函数y＝f(x)的图象总在函数y＝g(x)图象的下方， 则f(x)<g(x)在(0,2)上恒成立， 即log2(x＋a)<log2(4x＋a)(a>0)在(0,2)上恒成立，2log2(x＋a)<log2(4x＋a)， log2(x＋a)2<log2(4x＋a)，(x＋a)2<4x＋a在(0,2)上恒成立， 整理得x2＋2(a－2)x＋a2－a<0在(0,2)上恒成立， 设m(x)＝x2＋2(a－2)x＋a2－a，x∈(0,2)， 则只需要即可，可得0≤a≤1, 又因为a>0， 所以0<a≤1，所以a的取值范围为(0,1]．【14分】 【考点】对数函数的图像特征与恒成立问题的等价； 20．【答案】（1）；（2）35（台），最大利润为2050（万元）． 【解析】（1）由题意可得， 所以．【8分】 （2）当时，，对称轴方程， 且二次函数开口向下，故当时，取最大值，（万元）； 当时， ， 当且仅当，即时，等号成立，即（万元）， 因为， 故当该产品的年产量为35（台）时所获利润最大，最大利润为2050（万元）【18分】 【考点】建立二次函数模型解决实际问题、分段函数模型的应用、利用给定函数模型解决实际问题、基本不等式求和的最小值 21．【提示】（1）先证明，，，再将三式相加结合基本不等式即可证明； （2）①移项通分化为整式不等式，解高次不等式即可得出答案；②由三元不等式求出在上的最小值，可以将题意转为在上恒成立，解不等式即可得出答案. 【答案】（1）证明见解析；（2）①；② 【解析】（1）当时， ，当且仅当时等号成立， 得证①的推理结果， 同理有，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 三式相加可得 ， 又，，， 所以，【4分】 得，当且仅当时等号成立. 【6分】 （2）①，由得，即， 得， 则有，解得或或， 所以不等式解集为.【12分】 ②因为当时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，， 对任意恒成立，则， 所以，解得. 所以实数的取值范围为.【18分】 【考点】作差法比较代数式的大小、高次不等式、由基本不等式证明不等关系、基本不等式求和的最小值 科网（北京）股份有限公司1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一上学期期中考试基础卷 （上海专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：沪教版2020必修第一册第一章~第四章 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．设全集＝{0，1，2，4，6，8}，集合＝{0，4，6}，＝{0，1，6}，则＝ 2．已知P＝{x|a﹣4＜x＜a+4}，Q＝{x|1＜x＜3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则实数a的取值范围是 3．设M＝2a(a－2)＋7，N＝(a－2)(a－3)，则M与N的大小关系是M N 4．不等式≤1的解集是 5．若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是 6．设矩形ABCD(AB>BC)的周长为12＋6，把它沿对角线AC对折后，设AB交DC于点P，此时点B记作B′，如图所示，设AD＝x，DP＝y，则△ADP的面积的最大值为 7．已知函数f(x)＝x－2 023x，a＝，b＝－3，c＝，则f(a)、f(b)、f(c)三者的大小关系 为 8．若loga<2，则a的取值范围是 9．若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋<m2－3m有解，则实数m的取值范围是 10．某校生物兴趣小组为开展课题研究，分得一块面积为32 m2的矩形空地，并计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区（如图所示）.要求试验区四周各空0.5 m，各试验区之间也空0.5 m．则每块试验区的面积的最大值为 m2. 11．若函数y＝loga(x－2)＋4(a>0，且a≠1)的图象恒过点A，则点A的坐标为 12．已知命题p：方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根，若p为真命题的一个必要不充分条件为a≤m＋1，则实数m的取值范围是 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．已知集合A＝{1，2}，B＝{2，4}，C＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，则集合C中元素的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．设x，y∈R，则“x<1且y<1”是“x＋y<2”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象大致是（ ） 16．《几何原本》卷的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ） A． B． C． D． 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．已知集合A＝{x|－2＜x≤1}，集合B＝{x|2a－1≤x≤a＋1}； （1）若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数a的取值范围； （2）若A∩B＝∅，求实数a的取值范围； 18．已知函数f(x)＝x2＋ax＋3. （1）当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围； （2）当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围； （3）当a∈[4，6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围； 19．已知函数f(x)＝log2(x＋a)(a>0)，设g(x)＝f(4x)． （1）当a＝1时，解不等式f(x)<－1； （2）对任意的x∈(0，2)，函数y＝f(x)的图象总在函数y＝g(x)的图象的下方，求a的取值范围． 20．随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．上饶市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台．每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大?最大利润是多少? 21．数学中有一种推理的方法叫“类比推理”，类比推理是根据两个对象有部分属性相同，从而推出其它属性也相同的推理.这是一种特殊到特殊的推理，推理的结果不一定正确，需要证明方可使用.比如：我们可以通过对二元二次不等式：的不同理解，推理出不同的结果： ①如果我们把不等式的右边看成的两个齐次式，那我们可以推理出二元三次不等式： ②如果我们把不等式的右边看成数字2与ab相乘，那我们可以推理出三元三次不等式： （1）请结合上文中①的推理结果，证明②中的“三元三次不等式”：． （2）已知函数． ①解不等式； ②利用（1）的结论，对任意恒成立，求实数的取值范围 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一上学期期中考试基础卷 （上海专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：沪教版2020必修第一册第一章~第四章 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．设全集＝{0，1，2，4，6，8}，集合＝{0，4，6}，＝{0，1，6}，则＝ 2．已知P＝{x|a﹣4＜x＜a+4}，Q＝{x|1＜x＜3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则实数a的取值范围是 3．设M＝2a(a－2)＋7，N＝(a－2)(a－3)，则M与N的大小关系是M N 4．不等式≤1的解集是 5．若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是 6．设矩形ABCD(AB>BC)的周长为12＋6，把它沿对角线AC对折后，设AB交DC于点P，此时点B记作B′，如图所示，设AD＝x，DP＝y，则△ADP的面积的最大值为 7．已知函数f(x)＝x－2 023x，a＝，b＝－3，c＝，则f(a)、f(b)、f(c)三者的大小关系 为 8．若loga<2，则a的取值范围是 9．若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋<m2－3m有解，则实数m的取值范围是 10．某校生物兴趣小组为开展课题研究，分得一块面积为32 m2的矩形空地，并计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区（如图所示）.要求试验区四周各空0.5 m，各试验区之间也空0.5 m．则每块试验区的面积的最大值为 m2. 11．若函数y＝loga(x－2)＋4(a>0，且a≠1)的图象恒过点A，则点A的坐标为 12．已知命题p：方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根，若p为真命题的一个必要不充分条件为a≤m＋1，则实数m的取值范围是 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正 确选项) 13．已知集合A＝{1，2}，B＝{2，4}，C＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，则集合C中元素的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．设x，y∈R，则“x<1且y<1”是“x＋y<2”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象大致是（ ） 16．《几何原本》卷的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ） A． B． C． D． 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．已知集合A＝{x|－2＜x≤1}，集合B＝{x|2a－1≤x≤a＋1}； （1）若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数a的取值范围； （2）若A∩B＝∅，求实数a的取值范围； 18．已知函数f(x)＝x2＋ax＋3. （1）当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围； （2）当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围； （3）当a∈[4，6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围； 19．已知函数f(x)＝log2(x＋a)(a>0)，设g(x)＝f(4x)． （1）当a＝1时，解不等式f(x)<－1； （2）对任意的x∈(0，2)，函数y＝f(x)的图象总在函数y＝g(x)的图象的下方，求a的取值范围． 20．随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．上饶市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台．每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大?最大利润是多少? 21．数学中有一种推理的方法叫“类比推理”，类比推理是根据两个对象有部分属性相同，从而推出其它属性也相同的推理.这是一种特殊到特殊的推理，推理的结果不一定正确，需要证明方可使用.比如：我们可以通过对二元二次不等式：的不同理解，推理出不同的结果： ①如果我们把不等式的右边看成的两个齐次式，那我们可以推理出二元三次不等式： ②如果我们把不等式的右边看成数字2与ab相乘，那我们可以推理出三元三次不等式： （1）请结合上文中①的推理结果，证明②中的“三元三次不等式”：． （2）已知函数． ①解不等式； ②利用（1）的结论，对任意恒成立，求实数的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期期中考试（基础卷）全解析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020必修第一册第一章~第四章。 5．难度系数：0.65。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．设全集＝{0，1，2，4，6，8}，集合＝{0，4，6}，＝{0，1，6}，则＝ 【答案】{0，2，4，6，8}； 【解析】　因为U＝{0，1，2，4，6，8}，M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，所以＝{2，4，8}， 所以＝{0，2，4，6，8}； 【考点】集合的运算； 2．已知P＝{x|a﹣4＜x＜a+4}，Q＝{x|1＜x＜3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则实数a的取值范围是 【提示】根据“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，可得P⊇Q，再建立a的不等式组可求解． 【答案】[﹣1，5] 【解析】因为，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以，P⊇Q， 所以，所以﹣1≤a≤5， 【考点】 充要条件与集合关系的等价 3．设M＝2a(a－2)＋7，N＝(a－2)(a－3)，则M与N的大小关系是M N 【答案】M>N 【解析】因为M＝2a(a－2)＋7，N＝(a－2)(a－3)， 所以M－N＝(2a2－4a＋7)－(a2－5a＋6)＝a2＋a＋1＝2＋>0， 所以M>N. 【考点】比较法 4．不等式≤1的解集是 【答案】(－2，3]. 【解析】 由不等式≤1，可得－1＝≤0，结合分式不等式的解法，可得－2＜x≤3， 即不等式≤1的解集为(－2，3]. 【考点】分式不等式的解法 5．若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是 【答案】（－2，2] ； 【解析】当a＝2时，原不等式化为－4<0，显然恒成立； 当a≠2时，不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立， 则有a－2<0且Δ<0， 即解得－2<a<2. 综上可得，－2<a≤2. 【考点】一元二次不等式的解法与含参数讨论； 6．设矩形ABCD(AB>BC)的周长为12＋6，把它沿对角线AC对折后，设AB交DC于点P，此时点B记作B′，如图所示，设AD＝x，DP＝y，则△ADP的面积的最大值为 【答案】； 【解析】由题意知△ADP≌△CB′P，而AD＝x，DP＝y，所以PC＝PA＝，而矩形ABCD(AB>BC)的周长为12＋6， 则AD＋DP＋PC＝x＋y＋＝6＋3≥2＋＝，当且仅当x＝y时等号成立， 又>0，可得0<≤3， 则0<xy≤9，而△ADP的面积S＝，故S的最大值为，此时x＝y＝3. 【考点】建模与基本不等式求最值 7．已知函数f(x)＝x－2 023x，a＝，b＝－3，c＝，则f(a)、f(b)、f(c)三者的大小关系 为 【答案】f(c)<f(a)<f(b)； 【解析】因为a＝＝－log332＝－2，b＝－3＝－33＝－27，c＝∈(1,2)，所以b<a<c. 因为f(x)＝x－2 023x是R上的减函数，所以f(c)<f(a)<f(b)． 【考点】指数、对数运算与指数函数、一次函数的单调性； 8．若loga<2，则a的取值范围是 【答案】∪(1，＋∞)； 【解析】因为loga<2，所以loga<logaa2， 当0<a<1时，y＝logax为减函数， 所以a2<，可得0<a<； 当a>1时，y＝logax为增函数， 所以a2>，可得a>1， 综上所述，a的取值范围为∪(1，＋∞)． 【考点】对数与对数函数； 9．若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋<m2－3m有解，则实数m的取值范围是 【答案】{m|m<－1或m>4}； 【解析】因为正实数x，y满足＋＝1， 所以x＋＝＝2＋＋≥2＋2＝4， 当且仅当＝，即y＝8，x＝2时等号成立，x＋取得最小值4， 由x＋<m2－3m有解，则m2－3m>4，解得m<－1或m>4. 故实数m的取值范围是{m|m<－1或m>4}． 【考点】基本不等式与恒成立问题 10．某校生物兴趣小组为开展课题研究，分得一块面积为32 m2的矩形空地，并计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区（如图所示）.要求试验区四周各空0.5 m，各试验区之间也空0.5 m．则每块试验区的面积的最大值为 m2. 【答案】6； 【解析】设矩形空地中仅与一块试验区相邻的一边的长为x m，则其邻边的长为 m，依题意可得，试验区的总面积S＝(x－0.5×4)－0.5×2＝34－x－≤34－2＝18，当且仅当x＝，即x＝8时等号成立，所以每块试验区的面积的最大值为＝6(m2). 【考点】建模与基本不等式 11．若函数y＝loga(x－2)＋4(a>0，且a≠1)的图象恒过点A，则点A的坐标为 【答案】(3，4)； 【解析】当x＝3时，y＝loga1＋4＝4，∴函数y＝loga(x－2)＋4的图象恒过点A(3，4). 【考点】对数函数的图像特征； 12．已知命题p：方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根，若p为真命题的一个必要不充分条件为a≤m＋1，则实数m的取值范围是 【答案】(0，＋∞)； 【解析】若命题p：方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根为真命题， 当a＝0时，2x＋1＝0，x＝－，符合题意； 当a<0时，Δ＝4－4a>0，且x1＋x2＝－>0，x1x2＝<0， 则此时方程ax2＋2x＋1＝0有一个正根和一个负根，符合题意； 当a>0时，由Δ＝4－4a＝0，解得a＝1， 此时方程为x2＋2x＋1＝(x＋1)2＝0，x＝－1，符合题意； 由Δ＝4－4a>0，解得0<a<1，此时x1＋x2＝－<0，x1x2＝>0， 则此时方程ax2＋2x＋1＝0有两个负根，符合题意． 综上所述，当p为真命题时，a的取值范围是(－∞，1]， 若p为真命题的一个必要不充分条件为a≤m＋1， 则m＋1>1，m>0. 【考点】一元二次方程的解法，命题的判断，充要条件； 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选 项) 13．已知集合A＝{1，2}，B＝{2，4}，C＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，则集合C中元素的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由题意，当x＝1时，z＝xy＝1， 当x＝2，y＝2时，z＝xy＝4， 当x＝2，y＝4时，z＝xy＝16， 即集合C中有三个元素． 【考点】集合的表示：列举法与描述法 14．设x，y∈R，则“x<1且y<1”是“x＋y<2”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由x<1且y<1，可得x＋y<2， 当x＝2，y＝－1时，满足x＋y<2，但不满足x<1且y<1， 则“x<1且y<1”是“x＋y<2”的充分不必要条件． 【考点】不等式性质与充要条件 15．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象大致是（ ） 【答案】C； 【解析】f(x)＝(x－a)(x－b)的图象与x轴的交点的横坐标为方程(x－a)(x－b)＝0的两个根， 由(x－a)(x－b)＝0可得两根为a，b， 又a>b，所以a>1，－1<b<0， 由a>1可知，y＝ax为增函数， 又由－1<b<0，得0<b＋1<1，所以g(x)的图象与y轴的交点在x轴上方， 分析选项可得C符合这两点． 【考点】一元二次函数的图像与指数函数的图像 16．《几何原本》卷的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ） A． B． C． D． 【提示】计算出和，由可得出合适的选项. 【答案】D 【解析】由图形可知，，， 由勾股定理可得， 在中，由可得. 故选：D. 【考点】基本不等式的内容及辨析，利用几何关系得出不等式，考查推理能力 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．已知集合A＝{x|－2＜x≤1}，集合B＝{x|2a－1≤x≤a＋1}； （1）若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数a的取值范围； （2）若A∩B＝∅，求实数a的取值范围； 【解析】（1） 因为x∈A是x∈B的必要不充分条件，所以B是A的真子集．①当B＝∅时，由2a－1＞a＋1，解得a＞2；②当B≠∅时，由解得－＜a≤0.综上，实数a的取值范围为∪(2，＋∞). （2）由A∩B＝∅，则①当B＝∅时，由2a－1＞a＋1，解得a＞2； ②当B≠∅时，或解得a≤－3或1＜a≤2； 综上，实数a的取值范围为(－∞，－3]∪(1，＋∞). 【考点】集合的表示，充要条件的判别与不等式组的解法 18．已知函数f(x)＝x2＋ax＋3. （1）当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围； （2）当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围； （3）当a∈[4，6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围； 【解析】（1） 因为当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，所以Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0， 解得－6≤a≤2，所以实数a的取值范围是[－6，2]； （2）由题意知原不等式可转化为x2＋ax＋3－a≥0在x∈[－2，2]上恒成立， 则(x2＋ax＋3－a)min≥0(x∈[－2，2]).令g(x)＝x2＋ax＋3－a，x∈[－2，2]， 函数图象的对称轴方程为x＝－.当－＜－2，即a＞4时，g(x)min＝g(－2)＝7－3a≥0，解得a≤，舍去；当－2≤－≤2，即－4≤a≤4时，g(x)min＝g＝－－a＋3≥0，解得－6≤a≤2，所以－4≤a≤2；当－＞2，即a＜－4时，g(x)min＝g(2)＝7＋a≥0，解得a≥－7，所以－7≤a＜－4.综上可得，满足条件的实数a的取值范围是[－7，2]. （4）令h(a)＝xa＋x2＋3.当a∈[4，6]时，h(a)≥0恒成立，只需即解得x≤－3－或x≥－3＋，所以实数x的取值范围是（－∞，－3－]∪[－3＋，＋∞）. 【考点】一元二次函数的图像特征与最值 19．已知函数f(x)＝log2(x＋a)(a>0)，设g(x)＝f(4x)． （1）当a＝1时，解不等式f(x)<－1； （2）对任意的x∈(0，2)，函数y＝f(x)的图象总在函数y＝g(x)的图象的下方，求a的取值范围． 【解析】（1）由f(x)<－1，a＝1，得log2(x＋1)<－1＝log2， 则0<x＋1<，得－1<x<－，即不等式的解集为. （2）g(x)＝f(4x)＝log2(4x＋a)(a>0)， 因为对任意的x∈(0,2)，函数y＝f(x)的图象总在函数y＝g(x)图象的下方， 则f(x)<g(x)在(0,2)上恒成立， 即log2(x＋a)<log2(4x＋a)(a>0)在(0,2)上恒成立，2log2(x＋a)<log2(4x＋a)， log2(x＋a)2<log2(4x＋a)，(x＋a)2<4x＋a在(0,2)上恒成立， 整理得x2＋2(a－2)x＋a2－a<0在(0,2)上恒成立， 设m(x)＝x2＋2(a－2)x＋a2－a，x∈(0,2)， 则只需要即可，可得0≤a≤1, 又因为a>0， 所以0<a≤1，所以a的取值范围为(0,1]． 【考点】对数函数的图像特征与恒成立问题的等价； 20．随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．上饶市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台．每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大?最大利润是多少? 【提示】（1）根据投入成本及销售收入写出利润函数即可； （2）根据（1）中所求的函数解析式，结合函数单调性和基本不等式，即可直接求得结果； 【答案】（1）；（2）35（台），最大利润为2050（万元）． 【解析】（1）由题意可得， 所以． （2）当时，，对称轴方程， 且二次函数开口向下，故当时，取最大值，（万元）； 当时， ， 当且仅当，即时，等号成立，即（万元）， 因为， 故当该产品的年产量为35（台）时所获利润最大，最大利润为2050（万元） 【考点】建立二次函数模型解决实际问题、分段函数模型的应用、利用给定函数模型解决实际问题、基本不等式求和的最小值 21．数学中有一种推理的方法叫“类比推理”，类比推理是根据两个对象有部分属性相同，从而推出其它属性也相同的推理.这是一种特殊到特殊的推理，推理的结果不一定正确，需要证明方可使用.比如：我们可以通过对二元二次不等式：的不同理解，推理出不同的结果： ①如果我们把不等式的右边看成的两个齐次式，那我们可以推理出二元三次不等式： ②如果我们把不等式的右边看成数字2与ab相乘，那我们可以推理出三元三次不等式： （1）请结合上文中①的推理结果，证明②中的“三元三次不等式”：． （2）已知函数． ①解不等式； ②利用（1）的结论，对任意恒成立，求实数的取值范围． 【提示】（1）先证明，，，再将三式相加结合基本不等式即可证明； （2）①移项通分化为整式不等式，解高次不等式即可得出答案；②由三元不等式求出在上的最小值，可以将题意转为在上恒成立，解不等式即可得出答案. 【答案】（1）证明见解析；（2）①；② 【解析】（1）当时， ，当且仅当时等号成立， 得证①的推理结果， 同理有，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 三式相加可得 ， 又，，， 所以， 得，当且仅当时等号成立. （2）①，由得，即， 得， 则有，解得或或， 所以不等式解集为. ②因为当时，，当且仅当，即时等号成立， 所以当时，， 对任意恒成立，则， 所以，解得. 所以实数的取值范围为. 【考点】作差法比较代数式的大小、高次不等式、由基本不等式证明不等关系、基本不等式求和的最小值 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $