专题04 函数的概念及其表示18大考点70题（高效培优期中专项训练）高一数学上学期北师大版

专题04 函数的概念及其表示 考点01 函数关系的判断（共4小题） 1 考点02 求函数的值（共4小题） 3 考点03 同一函数的判断（共3小题） 5 考点04求具体函数的定义域（共3小题）（重点） 7 考点05 抽象函数的定义域（共6小题）（难点） 8 考点06 由函数的定义域求参（共4小题） 10 考点07 一次、二次、反比例函数的值域（共5小题） 13 考点08 分式型函数的值域（共4小题）（难点） 14 考点09 根式型函数的值域（共5小题）（难点） 17 考点10 根据值域求参（共3小题）（难点） 19 考点11 抽象函数及复合函数的值域（共3小题）（难点） 20 考点12 列表法表示函数（共3小题） 22 考点13 图象法表示函数（共3小题） 23 考点14 待定系数法求函数解析式(共4小题)（重点） 25 考点15 换元法求函数解析式(共3小题) 27 考点16 解方程组法求函数的解析式(共5小题)（难点） 28 考点17分段函数问题(共3小题) 31 考点18 函数的新定义题及文化题(共5小题) 32 考点01 函数关系的判断（共4小题） 1．（多选）（24-25高一上·河南郑州·期中）下列图形中是以x为自变量，y为因变量的函数的图象是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·山西晋城·期中）已知集合，在下列四个图形中，能表示集合到的函数关系的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）已知集合，，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·山东潍坊·期中）已知集合，，若，，则下列对应关系为上的一个函数的是（   ） A． B． C． D． 考点02 求函数的值（共4小题） 5.（24-25高一上·辽宁丹东·期末）若函数的定义域为，且，，则（   ） A． B． C． D． 6.（24-25高一上·辽宁辽阳·期中）已知函数，且，则（   ） A． B．3 C． D．17 7.（24-25高一上·江苏镇江·阶段练习）已知数. (1)求函数的定义域 (2)求； (3)已知，求的值. 8.（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数． (1)求与与； (2)由（1）中求得结果，你能发现与有什么关系？并证明你的发现； (3)求 ． 考点03 同一函数的判断（共3小题） 9．（24-25高一上·广东江门·期中）函数的定义域为（      ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·全国·课前预习）下列四组函数中，能表示同一个函数的一组是（   ） A． B． C． D． 11．(多选)（25-26高一上·全国·课后作业）下列各组函数中是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 考点04求具体函数的定义域（共3小题） 12．（24-25高一上·山西·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 13．（24-25高一上·河南·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一上·云南曲靖·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 考点05 抽象函数的定义域（共6小题）（难点） 15．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高二下·黑龙江·期末）已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 18．（24-25高一上·福建三明·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 19．（24-25高一上·辽宁鞍山·阶段练习）已知的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高一上·广东珠海·期中）函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 考点06 由函数的定义域求参（共4小题） 21．（24-25高一上·四川成都·期中）函数的定义域为，则（    ） A．2 B．－2 C．－1 D．1 22．（24-25高一上·山东济宁·期中）“”是“函数的定义域为R”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 23．（24-25高一上·江苏常州·期中）若函数的定义域为R，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 24．（24-25高一上·河北衡水·期中）函数． (1)若的定义域为，求实数的值； (2)若的定义域为，求实数的取值范围． 考点07 一次、二次、反比例函数的值域（共5小题） 25．（25-26高一上·河南南阳·开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 26．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 27．（25-26高一上·全国·单元测试）函数在区间上的值域为 ． 28．（24-25高一上·福建漳州·月考）函数的值域 ． 29．（23-24高一上·北京东城·期中）有下列四个函数：①；②；③；④.其中值域为R的函数是 . 考点08 分式型函数的值域（共4小题）（难点） 30．（25-26高一上·全国·课前预习）函数的值域是 ． 31．（24-25高一上·安徽合肥·月考）函数的值域为 ． 32．函数的值域为 ． 33．（2025高一·全国·专题练习）求解下列问题： (1)函数在上的最大值； (2)的值域； (3)的最小值； (4)的值域． 考点09 根式型函数的值域（共5小题）（难点） 34．（24-25高一上·江苏无锡·月考）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 35．已知函数 ，则函数的值域为 ． 36．函数的最小值为 . 37．（23-24高一上·安徽淮南·期中）的值域是 38．已知函数，则的值域为 . 考点10 根据值域求参（共3小题）（难点） 39．（23-24高一上·四川广安·期中）若函数的值域为，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 40．（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 41．（23-24高一上·上海浦东新·期末）若函数的定义域是，值域是，则 ． 考点11 抽象函数及复合函数的值域（共3小题）（难点） 42．（21-22高一上·山东德州·期中）已知函数，则的值域为（ ） A． B． C． D． 43．（24-25高一上·北京·期中）定义域为的函数的值域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 44．（23-24高一上·浙江温州·期中）已知函数的定义域是，值域为，则下列函数的值域也为的是（    ） A． B． C． D． 考点12 列表法表示函数（共3小题） 45．（24-25高一上·北京通州·期中）若函数用列表法表示如下： 1 2 3 3 2 1 1 2 3 1 3 2 则满足的值为（    ） A．1 B．3 C．1或2 D．2或3 46．（24-25高一上·广东佛山·期中）已知函数列表法表示如下，则下列说法正确的是（    ） 1 2 3 4 2 3 4 1 1 2 3 4 2 4 1 3 A． B． C． D． 47．（24-25高一上·辽宁辽阳·期中）已知下列表格表示的是函数，则＝ ． x -2 -1 0 2 y 3 2 1 0 考点13 图象法表示函数（共3小题） 48．（24-25高一上·山西大同·期中）如图是某高一学生晨练时离家距离与行走时间之间的函数关系的图像.若用黑点表示该学生家的位置，则该同学散步行走的路线可能是（    ） A． B． C． D． 49．（24-25高一上·江苏苏州·期中）如图所示，正方体容器内放了一个圆柱形烧杯，向放在容器底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满正方体容器，则正方体容器中水面上升高度与注水时间之间的函数图象可能是（    ） A． B． C． D． 50．（24-25高一上·宁夏银川·期中）如图，是函数的图象上的三点，其中，则的值为（   ）    A． 0 B． 1 C．2 D．3 考点14 待定系数法求函数解析式(共4小题)（重点） 51．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知一次函数满足，，则的解析式为 . 52．（24-25高一上·河北保定·阶段练习）已知是一次函数，且，求的解析式 ． 53．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知是二次函数，且，若，则的解析式为 . 54．（23-24高一上·云南昭通·月考）（1）若二次函数满足，且图象过原点，求的解析式; （2）已知是一次函数，且满足，求的解析式. 考点15 换元法求函数解析式(共3小题) 55．（24-25高一上·广东东莞·阶段练习）已知函数，则的解析式为 . 56．（24-25高一上·四川成都·期中）已知函数，求 ． 57．（24-25高一上·福建泉州·期末）已知，则 ． 考点16 解方程组法求函数的解析式(共5小题)（难点） 58．（24-25高一上·贵州六盘水·月考）已知函数满足，则（   ）． A．3 B．4 C．5 D．6 59．（24-25高一上·广东·期中）的定义域为，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 60．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数满足，则（     ） A． B． C． D． 61．已知函数满足，则 . 62．（24-25高一上·四川眉山·期中）（1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知，求函数的解析式； （3）已知函数满足，求函数的解析式. 考点17分段函数问题(共3小题) 63．（24-25高一上·四川泸州·期中）已知函数，则（    ） A． B． C． D．4 64．（24-25高一上·福建龙岩·期中）函数，则函数的值域为 . 65．（24-25高一上·云南文山·期中）已知，则函数的值域为 ． 考点18 函数的新定义题及文化题(共5小题) 66．函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 67．设已知函数，则（   ） A． B．0 C．6 D．9 68．（多选）（24-25高一上·云南昆明·期末）德国数学家狄里克雷（Dirichlet，PeterGustavLejeune，）在年时提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的函数．”例如狄里克雷函数，即：当自变量取有理数时，函数值为；当自变量取无理数时，函数值为．下列关于狄里克雷函数的性质表述正确的是（   ）． A．值域为 B． C． D．图象关于直线对称 69.（多选）（24-25高一上·四川内江·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.若，，则下列说法正确的是（    ） A．， B．函数的值域为 C．当时，函数的值域为 D．若，使得，，，…，同时成立，则正整数的最大值是 70．若函数满足：对于任意是一个三角形的三边长，都有，，也是某个三角形的三边长，则称为“保三角形函数”. (1)判断，是否为“保三角形函数”，并说明理由； (2)如果是定义在上的周期函数，且值域为，判断是否为“保三角形函数”，并进行证明. 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 函数的概念及其表示 考点01 函数关系的判断（共4小题） 1 考点02 求函数的值（共4小题） 3 考点03 同一函数的判断（共3小题） 5 考点04求具体函数的定义域（共3小题）（重点） 7 考点05 抽象函数的定义域（共6小题）（难点） 8 考点06 由函数的定义域求参（共4小题） 10 考点07 一次、二次、反比例函数的值域（共5小题） 13 考点08 分式型函数的值域（共4小题）（难点） 14 考点09 根式型函数的值域（共5小题）（难点） 17 考点10 根据值域求参（共3小题）（难点） 19 考点11 抽象函数及复合函数的值域（共3小题）（难点） 20 考点12 列表法表示函数（共3小题） 22 考点13 图象法表示函数（共3小题） 23 考点14 待定系数法求函数解析式(共4小题)（重点） 25 考点15 换元法求函数解析式(共3小题) 27 考点16 解方程组法求函数的解析式(共5小题)（难点） 28 考点17分段函数问题(共3小题) 31 考点18 函数的新定义题及文化题(共5小题) 32 考点01 函数关系的判断（共4小题） 1．（多选）（24-25高一上·河南郑州·期中）下列图形中是以x为自变量，y为因变量的函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据函数定义，结合函数图象的性质逐一判断即可. 【详解】由函数的定义可知，只有选项C中，当时，有二个函数值与对应，不符合函数定义， 故选：ABD 2．（24-25高一上·山西晋城·期中）已知集合，在下列四个图形中，能表示集合到的函数关系的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据函数定义，结合题目条件，明确定义域与值域，可得答案. 【详解】由函数定义可知，符合中任意元素在中有唯一确定的元素与之相对应的图象是（2）（4）. 故选：C. 3．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）已知集合，，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的定义，逐项判断即可. 【详解】对于A，集合中的元素在集合中没有元素与之对应，A不是； 对于B，集合中的元素在集合中没有元素与之对应，B不是； 对于C，集合中的每个元素，按照，在集合中都有唯一元素与之对应，C是； 对于D，集合中的元素在集合中没有元素与之对应，D不是. 故选：C 4．（24-25高一上·山东潍坊·期中）已知集合，，若，，则下列对应关系为上的一个函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意，A中的任意一个数，通过对应关系在B中都有唯一的数与之对应，据此逐项检验即可． 【详解】由函数的定义可知，要使应关系能构成从A到B的函数， 须满足：对集合A中的任意一个数，通过对应关系在集合B中都有唯一的数与之对应， 对于A选项，当时，，故不能构成函数； 对于B选项，当时，，故不能构成函数； 对于C选项，当时，，故不能构成函数； 对于D选项，集合A中的任意一个数，通过对应关系在集合B中都有唯一的数与之对应，故能构成函数. 故选：D． 考点02 求函数的值（共4小题） 5.（24-25高一上·辽宁丹东·期末）若函数的定义域为，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，可求出的值，令可求出的值，令可求出的值. 【详解】令，可得，故， 令可得，即，解得， 令可得，即，解得. 故选：D. 6.（24-25高一上·辽宁辽阳·期中）已知函数，且，则（   ） A． B．3 C． D．17 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用赋值法代入计算得解. 【详解】函数，令，则，而， 所以. 故选：B. 7.（24-25高一上·江苏镇江·阶段练习）已知数. (1)求函数的定义域 (2)求； (3)已知，求的值. 【答案】(1)或 (2)， (3) 【分析】（1）根据函数定义域的求法求得正确答案. （2）根据函数的解析式求得正确答案. （3）根据已知条件解方程来求得. 【详解】（1）由解析式知：，可得且， 故定义域为或， （2）， . （3）由，， 所以，显然在定义域内， 所以. 8.（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数． (1)求与与； (2)由（1）中求得结果，你能发现与有什么关系？并证明你的发现； (3)求 ． 【答案】(1)， (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据解析式代入运算得解； （2），利用解析式代入运算证明； （3）利用，运算得解. 【详解】（1）因为， 所以， ． （2）由（1）发现． 证明如下： ． （3）． 由（2）知，， 所以原式 . 考点03 同一函数的判断（共3小题） 9．（24-25高一上·广东江门·期中）函数的定义域为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根式函数和分式函数的定义域求法求解. 【详解】由解得且， 所以的定义域为. 故选：D 10．（25-26高一上·全国·课前预习）下列四组函数中，能表示同一个函数的一组是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两函数的定义域相同，对应法则相同即可为同一个函数，分析判断即可. 【详解】A项：和的定义域均为，对应法则也相同，所以和是同一个函数； B项：的定义域为的定义域为，所以和不是同一个函数； C项：，其中，即，其中0，即， 所以和的定义域不同，故和不是同一个函数； D项：和的定义域均为，但， 而对应关系不同，所以和不是同一个函数． 故选：A 11．(多选)（25-26高一上·全国·课后作业）下列各组函数中是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据函数的定义判断，即判断定义域与对应法则是否相同可得答案. 【详解】由，得或，所以函数的定义域为或． 由得，所以函数的定义域为． 两函数的定义域不同，不是同一个函数，故A错误； 函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故B错误； 函数的定义域为， 函数的定义域为，是同一个函数，故C正确； 函数的定义域为，函数的定义域为，且对应关系也相同，是同一个函数，故D正确. 故选：CD 考点04求具体函数的定义域（共3小题） 12．（24-25高一上·山西·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分母不为及偶次方根的被开方数非负得到不等式组，解得即可. 【详解】对于函数，令，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A 13．（24-25高一上·河南·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数定义域的概念列不等式，可得解. 【详解】由函数有意义，得，解得且， 所以原函数的定义域是． 故选：B. 14．（24-25高一上·云南曲靖·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，列不等式组求解即可. 【详解】由题意可得，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：C. 考点05 抽象函数的定义域（共6小题）（难点） 15．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过中间函数过渡，即求出的定义域后可求． 【详解】在中，，∴， ∴的定义域是， 故在中，解得， ∴的定义域是. 故选：A. 16．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由的定义域得到，即可求出函数的定义域. 【详解】因为函数的定义域为， 所以， 即，解得， 即的定义域是. 故选：A. 17．（23-24高二下·黑龙江·期末）已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由根式和复合函数的定义域求解即可. 【详解】由题可知的定义域为， 则为使有意义必须且只需， 解得， 所以的定义域为. 故选：D 18．（24-25高一上·福建三明·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据偶次根式以及分式需满足的条件结合抽象函数定义域求解方法求出结果. 【详解】由题意可知，解得， 所以定义域为， 故选：D. 19．（24-25高一上·辽宁鞍山·阶段练习）已知的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于函数，根据函数的定义域可得出关于的不等式组，由此可解得所求函数的定义域. 【详解】因为函数的定义域为， 对于函数，有，解得， 故函数的定义域为， 故选：C. 20．（23-24高一上·广东珠海·期中）函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数定义域的性质，结合二次根式的性质及分母不为零进行求解即可． 【详解】由函数的定义域为，可得， ∴函数的定义域为， ∴由函数，可得，解得 ∴函数的定义域为. 故选：D. 考点06 由函数的定义域求参（共4小题） 21．（24-25高一上·四川成都·期中）函数的定义域为，则（    ） A．2 B．－2 C．－1 D．1 【答案】A 【分析】根据定义域知不等式的解集，再由不等式解集得出对应方程的根，即可得解. 【详解】因为的定义域为， 所以的解集为， 得 ，解得，，故. 22．（24-25高一上·山东济宁·期中）“”是“函数的定义域为R”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由题意得到在R上恒成立，分和两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出，由集合真包含关系得到答案. 【详解】由题意得在R上恒成立， 若，则，满足要求， 若，则只需，解得， 综上，， 由于为的真子集， 故“”是“函数的定义域为R”的充分不必要条件. 故选：A 23．（24-25高一上·江苏常州·期中）若函数的定义域为R，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】由题意可知不等式的解集为R，分情况讨论，即可求解. 【详解】当时，不等式恒成立. 当时，恒成立； 当时，则需满足， 综合可得的取值范围是. 故选：C 故选：A． 24．（24-25高一上·河北衡水·期中）函数． (1)若的定义域为，求实数的值； (2)若的定义域为，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或， 【分析】（1）根据的定义域为，可得和是一元二次方程的实数根，即可利用韦达定理求解， （2）将问题转化为对任意的均成立，对系数进行讨论，结合判别式即可求解. 【详解】（1）由于的定义域需要满足， 结合的定义域为，故和是一元二次方程的两个不相等实数根， 因此， 解得， （2）的定义域为，则对任意的均成立， 当时，，此时不等式为，则解不是全体实数，不符合，舍去， 当时，，此时不等式为，则解是全体实数，符合， 当且，此时，不等式为一元二次不等式， 要使解为全体实数，则， 解得或， 综上可得或， 考点07 一次、二次、反比例函数的值域（共5小题） 25．（25-26高一上·河南南阳·开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出集合B，再应用交集定义计算求解. 【详解】因为集合，， 则， 则. 故选：B. 26．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得，即，由，得，所以． 27．（25-26高一上·全国·单元测试）函数在区间上的值域为 ． 【答案】 【分析】根据函数在上的单调性求解即可. 【详解】因为函数在上恒正且单调递增，则在上单调递减， 所以，故的值域为． 故答案为：. 28．（24-25高一上·福建漳州·月考）函数的值域 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质求解即可. 【详解】函数的对称轴为，开口向下， 且时，；时，；时，， 则函数的最小值为0，最大值为4， 所以的值域为. 故答案为：. 29．（23-24高一上·北京东城·期中）有下列四个函数：①；②；③；④.其中值域为R的函数是 . 【答案】① 【分析】分别就四种函数，从定义域和函数式的结构组成考虑，探求其值域即得. 【详解】对于① ，函数的定义域为R，值域也是R，符合题意； 对于② ，函数的定义域为R，因， 则，即函数的值域为，不合题意； 对于③ ，函数的定义域为R， 因，则， 即函数的值域为，不合题意； 对于④ ，函数的定义域为， 当时，，当时，， 即函数的值域也是，不合题意. 故答案为：①. 考点08 分式型函数的值域（共4小题）（难点） 30．（25-26高一上·全国·课前预习）函数的值域是 ． 【答案】 【分析】分离常数后，即可求解. 【详解】因为，所以， 故所求值域为． 故答案为：. 31．（24-25高一上·安徽合肥·月考）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】化简函数为，根据其单调性求解即可． 【详解】由， 函数在上单调递减， 所以当时，， 当时，， 所以函数的值域为． 故答案为：． 32．函数的值域为 ． 【答案】 【分析】令，换元得，再求二次函数的值域即可. 【详解】， 令，则， 得， 当时，取得最小值为， 则函数的值域为 故答案为： 33．（2025高一·全国·专题练习）求解下列问题： (1)函数在上的最大值； (2)的值域； (3)的最小值； (4)的值域． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先分离常数，再由反比例函数图像平移即可； （2）利用基本不等式配凑，注意取等条件； （3）利用基本不等式求最值，注意添加负号调节； （4）先分离常数，再换元分母通过配方求得分母范围，结合反比例函数求得结果. 【详解】（1）． 其图象可由反比例函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图所示． 当时，当时，所以在上的最大值是． （2）因为，所以，所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故函数的值域为． （3）因为，所以， 令，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，则，故函数在上的最小值为. （4）， 设，则， 即，故所求函数的值域为． 考点09 根式型函数的值域（共5小题）（难点） 34．（24-25高一上·江苏无锡·月考）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换元法并根据二次函数性质计算可得结果. 【详解】令，则可得，即， 可得， 当时，取得最大值2，即； 所以其值域为. 故选：A 35．已知函数 ，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】根据二次函数以及根式可得，进而可得结果. 【详解】令，可得， 所以函数的定义域为 ， 因为，当且仅当时，等号成立， ，则， 所以函数的值域为. 故答案为：. 36．函数的最小值为 . 【答案】1 【分析】先求出函数的定义域，然后根据根式的性质和不等式的性质求解即可. 【详解】由，得，则函数的定义域为， 当时，，则， 所以，即， 所以的最小值为1. 故答案为：1 37．（23-24高一上·安徽淮南·期中）的值域是 【答案】 【分析】根据函数解析式，求得其定义域，结合值域的定义，可得答案. 【详解】由函数，则，解得， 所以函数的定义域为，由，则其值域为. 故答案为：. 38．已知函数，则的值域为 . 【答案】 【分析】令，求得，结合基本不等式，求得，进而求得函数的值域，得到答案. 【详解】由函数，可得且，解得， 又由，则，可得， 因为，则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以，可得， 所以函数的值域是. 故答案为：. 考点10 根据值域求参（共3小题）（难点） 39．（23-24高一上·四川广安·期中）若函数的值域为，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意由二次函数值域利用判别式即可求得实数m的取值范围. 【详解】因为函数的值域为， 所以能取遍所有大于或等于零的实数， 即方程在实数范围内有解． 所以，解得． 故选：B． 40．（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对分两种情况讨论，分别根据一次函数、二次函数的性质，结合值域求参数取值范围即可. 【详解】①时，，值域为，满足题意； ②时，若的值域为， 则，解得， 综上，. 故选：C. 41．（23-24高一上·上海浦东新·期末）若函数的定义域是，值域是，则 ． 【答案】或 【分析】由题意在定义域上单调，结合一次函数性质列方程求参数，即可得结果. 【详解】由题设，则在定义域上单调， 所以或，可得或， 所以或. 故答案为：或 考点11 抽象函数及复合函数的值域（共3小题）（难点） 42．（21-22高一上·山东德州·期中）已知函数，则的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得的值域，再来求的值域. 【详解】对于函数，，当且仅当时等号成立，所以. 令， 则， 由于时，递减，所以， 也即的值域为. 故选：D 43．（24-25高一上·北京·期中）定义域为的函数的值域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数图像的平移变换，即可得到结果. 【详解】因为函数是由函数向右或向左平移个单位得到，所以函数的值域与函数的值域相同. 故选：B 44．（23-24高一上·浙江温州·期中）已知函数的定义域是，值域为，则下列函数的值域也为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合题意逐个选项验证可得答案. 【详解】对于A，由可得，，故A错误； 对于B，，的图象可看作由的图象经过平移和横向伸缩变换得到，故值域不变，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：B. 考点12 列表法表示函数（共3小题） 45．（24-25高一上·北京通州·期中）若函数用列表法表示如下： 1 2 3 3 2 1 1 2 3 1 3 2 则满足的值为（    ） A．1 B．3 C．1或2 D．2或3 【答案】D 【分析】根据表格求函数值，逐项验证进行比较. 【详解】根据表格可知，， ， ， 所以满足条件的是或. 故选：D 46．（24-25高一上·广东佛山·期中）已知函数列表法表示如下，则下列说法正确的是（    ） 1 2 3 4 2 3 4 1 1 2 3 4 2 4 1 3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合表格中的数据，代入即可得到正确答案. 【详解】由表格得，，，， 则，， ，， 因此，只有C选项正确. 故选：C. 47．（24-25高一上·辽宁辽阳·期中）已知下列表格表示的是函数，则＝ ． x -2 -1 0 2 y 3 2 1 0 【答案】0 【分析】根据给定的数表，直接计算得解. 【详解】依题意，有. 故答案为：0. 考点13 图象法表示函数（共3小题） 48．（24-25高一上·山西大同·期中）如图是某高一学生晨练时离家距离与行走时间之间的函数关系的图像.若用黑点表示该学生家的位置，则该同学散步行走的路线可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定的图象，结合选项判断得解. 【详解】观察函数图象知，有一段时间该同学离家距离保持不变， 选项ABC中，路线上的点离家距离是变化的，选项D中的路线符合要求. 故选：D 49．（24-25高一上·江苏苏州·期中）如图所示，正方体容器内放了一个圆柱形烧杯，向放在容器底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满正方体容器，则正方体容器中水面上升高度与注水时间之间的函数图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析水槽内水面上升的高度的速度，可得问题答案. 【详解】开始注水时，水注入烧杯中，水槽内无水，高度不变； 烧杯内注满水后，继续注水，水槽内水面开始上升，且上升速度较快； 当水槽内水面和烧杯水面持平以后，继续注水，水槽内水面继续上升，且上升速度减慢. 故选：D 50．（24-25高一上·宁夏银川·期中）如图，是函数的图象上的三点，其中，则的值为（   ）    A． 0 B． 1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据图象先计算出的值，然后再计算出的值. 【详解】由图象可知，所以， 故选：D. 考点14 待定系数法求函数解析式(共4小题)（重点） 51．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知一次函数满足，，则的解析式为 . 【答案】 【分析】利用待定系数法求解即可. 【详解】设， 则，解得， 所以. 故答案为：. 52．（24-25高一上·河北保定·阶段练习）已知是一次函数，且，求的解析式 ． 【答案】或 【分析】设，得到，对照系数，得到方程组，求出答案. 【详解】设，则， 故，所以， 解得或， 故或. 故答案为：或. 53．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知是二次函数，且，若，则的解析式为 . 【答案】 【分析】设，结合已知条件利用待定系数法即可求解. 【详解】由已知设， 因为，所以， 因为， ， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 54．（23-24高一上·云南昭通·月考）（1）若二次函数满足，且图象过原点，求的解析式; （2）已知是一次函数，且满足，求的解析式. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据待定系数法即可求解， （2）根据待定系数法即可求解. 【详解】解：（1）设 , , 且图象过原点, 解得 （2）设 ， 则, , 即 不论为何值都成立, 解得 考点15 换元法求函数解析式(共3小题) 55．（24-25高一上·广东东莞·阶段练习）已知函数，则的解析式为 . 【答案】 【分析】依题换元，求出新元的范围和函数关于新元的表达式，再将新元改成即得. 【详解】令,因，故，且可得 故 所以. 故答案为：. 56．（24-25高一上·四川成都·期中）已知函数，求 ． 【答案】 【分析】令，求解代入计算可得，从而求出. 【详解】因为函数， 令，则， 因为，所以， 所以. 故答案为： 57．（24-25高一上·福建泉州·期末）已知，则 ． 【答案】3 【分析】利用换元法，结合题目的等量关系，求出解析式，即可求解． 【详解】令， ， ， ， ． 考点16 解方程组法求函数的解析式(共5小题)（难点） 58．（24-25高一上·贵州六盘水·月考）已知函数满足，则（   ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】分别令联立方程组，求得答案. 【详解】因为，分别令， 联立得，解得， 故选：C. 59．（24-25高一上·广东·期中）的定义域为，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立方程组求出的解析式，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，得，联立消去，得， 而，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故选：A 60．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，，解方程即可. 【详解】因①， 用代替①中的得：②， 则得：，解得. 故选：D. 61．已知函数满足，则 . 【答案】 【分析】通过两次赋值将替换成和将替换成，构造方程组求解即可； 【详解】由，① 将替换成，可得：，② 再将①中替换成：，可得：，③ ①②相减可得：，④ ③④相加可得：， 所以， 故答案为： 62．（24-25高一上·四川眉山·期中）（1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知，求函数的解析式； （3）已知函数满足，求函数的解析式. 【答案】（1）或；（2）；（3），. 【分析】（1）利用待定系数法求解析式，设，结合题意即可求解； （2）设，利用换元法求解析式即可； （3）由题意得，利用方程组法可得，再利用换元法求解析式即可. 【详解】（1）因为为一次函数，可设. 所以. 所以，解得或. 所以或. （2）设，则，，即， 所以， 所以． （3）由①， 用代替，得②， 得：， 即，. 令，则，. 则：，. 所以，. 考点17分段函数问题(共3小题) 63．（24-25高一上·四川泸州·期中）已知函数，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】根据给定的分段函数，依次判断代入计算得解. 【详解】函数，则， 所以. 故选：D 64．（24-25高一上·福建龙岩·期中）函数，则函数的值域为 . 【答案】 【分析】分段求解，结合二次函数的性质求出取值的范围即可. 【详解】当时，，对称轴为， 当时，取最小值0；当时，取最大值1， 所以； 当或时，， 综上，，则函数的值域为. 故答案为：. 65．（24-25高一上·云南文山·期中）已知，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】令找到关键点坐标，作出函数大致图像，由函数图像可以得到函数值域. 【详解】令，解得， 函数大致图像如下： 由图可知，函数， 故答案为：. 考点18 函数的新定义题及文化题(共5小题) 66．函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据取整函数的定义求函数的值域. 【详解】设，其中，为的小数部分，则， 则， 所以函数的值域为：. 故选：A 67．设已知函数，则（   ） A． B．0 C．6 D．9 【答案】D 【分析】依题意得，再根据分段函数求值即可. 【详解】令，解得，则 因此8，故． 故选：D. 68．（多选）（24-25高一上·云南昆明·期末）德国数学家狄里克雷（Dirichlet，PeterGustavLejeune，）在年时提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的函数．”例如狄里克雷函数，即：当自变量取有理数时，函数值为；当自变量取无理数时，函数值为．下列关于狄里克雷函数的性质表述正确的是（   ）． A．值域为 B． C． D．图象关于直线对称 【答案】ABD 【分析】结合函数的定义及函数值域的定义判断A，再证明判断B，证明判断C，证明函数为偶函数，结合偶函数性质判断D. 【详解】由已知可得， 所以函数的值域为，A正确； 当时，，，， 当时，，，， 所以，B正确； 当时，，，C错误； 函数的定义域为，定义域关于原点对称， 当时，，， 所以， 当时，，， 所以， 所以， 所以函数为偶函数，所以的图象关于对称， 所以函数的图象关于对称，D正确， 故选：ABD. 69.（多选）（24-25高一上·四川内江·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.若，，则下列说法正确的是（    ） A．， B．函数的值域为 C．当时，函数的值域为 D．若，使得，，，…，同时成立，则正整数的最大值是 【答案】BCD 【分析】对于A，利用取整函数的定义即可判断；对于B，利用取整函数定义得到即即可得解； 对于C，由题意结合取整函数的定义得且，代入解析式即可求解； 对于D，依据已知条件的结构特征得到，再由得到，从而得解. 【详解】对于A，表示不超过的最大整数，若，， 因为是整数，则，矛盾，故A错误； 对于B，由取整函数定义可得，所以， 所以函数的值域为，故B正确； 对于C，因为，所以且， 所以， 且，当且仅当时取等号， 所以当时，函数的值域为，故C正确； 对于D，若，使得，，，…，同时成立， 则，且，且，且，…，且， 因为，所以若，则不存在t满足和， 所以只有当时，存在满足题意. 所以满足题意的正整数的最大值是.故D正确. 故选：BCD. 70．若函数满足：对于任意是一个三角形的三边长，都有，，也是某个三角形的三边长，则称为“保三角形函数”. (1)判断，是否为“保三角形函数”，并说明理由； (2)如果是定义在上的周期函数，且值域为，判断是否为“保三角形函数”，并进行证明. 【分析】（1）给定的大小关系可得的大小关系，即可判断；取特值验证可判断； （2）取使得，取，取验证即可得证. 【详解】（1）为“保三角形函数”，不是“保三角形函数”，理由如下： 不妨设，则，即 因为是一个三角形的三边长，所以， 所以，即， 又，所以，，也是某个三角形的三边长， 所以为“保三角形函数”. 易知是一个三角形的三边长， 因为，且， 所以不满足定义，即不是“保三角形函数”. （2）不是“保三角形函数”，证明如下： 因为函数的值域为，所以不是常数函数， 所以函数的最小正周期，存在使得， 取正整数，则， 易知可以是一个三角形的三边长， 因为，， 所以不是任何三角形的三边， 即不是“保三角形函数”. 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $