13.2 与三角形有关的线段 讲义 2025-2026学年人教版数学八年级上册

13.2 与三角形有关的线段 学习目标 1. 知识与技能：理解三角形及其边、顶点、内角、外角等基本概念；掌握三角形三边之间的关系，并能运用该关系判断三条线段能否组成三角形；理解三角形的高、中线、角平分线的概念，能准确描述它们的特征；掌握三角形内角和定理，并能运用定理进行简单的角度计算；了解三角形外角的概念，掌握三角形外角的性质并能运用。 2. 过程与方法：通过对三角形基本概念和性质的探究，培养观察、分析、比较和归纳的能力；在运用三角形三边关系、内角和定理及外角性质解决问题的过程中，提高逻辑推理和计算能力。 3. 情感态度与价值观：感受数学与现实生活的密切联系，激发学习数学的兴趣；在探究活动中体验成功的喜悦，培养严谨的治学态度和合作交流的精神。 知识点讲解 一、三角形的边 1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2. 三角形的边、顶点、内角：组成三角形的三条线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。 3. 三角形的表示方法：三角形用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。△ABC的三边，有时也用a、b、c来表示，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示。 4. 三角形按边的分类： · 不等边三角形：三边都不相等的三角形。 · 等腰三角形：有两边相等的三角形。相等的两边叫做腰，另一边叫做底边。两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 · 等边三角形（或正三角形）：三边都相等的三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形。 5. 三角形三边的关系： · 三角形任意两边之和大于第三边。 对于△ABC，有 a + b > c，a + c > b，b + c > a。 · 三角形任意两边之差小于第三边。 对于△ABC，有 |a - b| < c，|a - c| < b，|b - c| < a。 · 作用：判断三条已知线段能否组成三角形；已知三角形的两边，求第三边的取值范围。 二、三角形的中线、角平分线、高 1. 三角形的中线： · 定义：在三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线。 · 几何语言描述（以△ABC为例，AD是BC边上的中线）： ∵ AD是△ABC的中线（或D是BC的中点）， ∴ BD = DC = 1/2 BC 或 BC = 2BD = 2DC。 · 性质：三角形的三条中线相交于一点，这个点叫做三角形的重心。三角形的重心到一个顶点的距离是它到这个顶点对边中点距离的两倍。三角形的一条中线把三角形分成两个面积相等的三角形。 2. 三角形的角平分线： · 定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 · 几何语言描述（以△ABC为例，AD是∠BAC的平分线）： ∵ AD是△ABC的角平分线， ∴ ∠BAD = ∠CAD = ∠BAC 或 ∠BAC = 2∠BAD = 2∠CAD。 · 性质：三角形的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心。三角形的内心到三角形三边的距离相等。 3. 三角形的高： · 定义：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。 · 几何语言描述（以△ABC为例，AD是BC边上的高）： ∵ AD是△ABC的高， ∴ AD ⊥ BC 或 ∠ADB = ∠ADC = 90°。 · 性质：三角形的三条高所在的直线相交于一点，这个点叫做三角形的垂心。 · 说明：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形的内部；钝角三角形有两条高在三角形的外部，一条高在三角形的内部。 三、三角形的内角与外角 1. 三角形的内角： · 定义：三角形相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。 · 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180°。 即在△ABC中，∠A + ∠B + ∠C = 180°。 · 推论：直角三角形的两个锐角互余。 即在Rt△ABC中，若∠C = 90°，则∠A + ∠B = 90°。 2. 三角形的外角： · 定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 · 性质： 1. 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 2. 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。 · 注意：一个三角形有六个外角，但通常每个顶点处只取一个外角（不相邻的那个），因此说三角形有三个外角。三角形的外角和为 360°（每个顶点处取一个外角）。 例题解析 例1判断下列长度的三条线段能否组成三角形，并说明理由。 （1）3，4，8 （2）5，6，11 （3）5，6，10 例2已知一个三角形的两边长分别为5和7，求第三边长x的取值范围。 例3在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，∠B = 40°，∠C = 60°，求∠BAD和∠ADC的度数。 例4在△ABC中，∠A = 70°，∠B = 50°，CE是AB边上的高，CD是∠ACB的平分线，求∠DCE的度数。 巩固练习 一、选择题（每题只有一个正确答案） 1. 下列关于三角形的说法中，正确的是 （ ） A. 由三条线段组成的图形叫做三角形 B. 三角形的角平分线是一条射线 C. 三角形的三条高一定在三角形内部 D. 三角形的中线一定在三角形内部 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是 （ ） A. 1，2，3 B. 3，4，5 C. 2，4，7 D. 3，3，6 3. 如果三角形的两边长分别是4和9，那么第三边长可能是 （ ） A. 1 B. 5 C. 8 D. 14 4. 在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB = 5，AC = 3，则△ABD与△ACD的周长之差是 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 三角形中，最大内角一定 （ ） A. 大于90° B. 大于60° C. 不小于60° D. 等于60° 6. 一个三角形的三个内角的度数之比为1:2:3，则这个三角形是 （ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断 7. 下列说法中错误的是 （ ） A. 三角形的内角和是180° B. 三角形的一个外角大于任何一个内角 C. 三角形的中线、角平分线、高都是线段 D. 直角三角形的两个锐角互余 二、填空题 1. 在△ABC中，AB = 7，BC = 3，并且AC为整数，则AC的长可能是_____________。 2. 等腰三角形的两边长分别为4和9，则它的周长为_____________。 3. 在△ABC中，AD是中线，若△ABD的面积是10，则△ABC的面积是_____________。 4. 在△ABC中，∠A = 60°，∠B = ∠C，则∠B = _____________度。 5. 一个三角形的两个内角分别是30°和50°，则它的第三个内角是_____________度，它的一个外角是_____________度（写出一个即可）。 6. 在Rt△ABC中，一个锐角为35°，则另一个锐角为_____________度。 7. 若一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，则这个三角形是_____________三角形。 三、解答题 1. 在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C = 2∶3∶4，求∠A、∠B、∠C的度数。 2. 已知一个等腰三角形的顶角是底角的4倍，求这个等腰三角形各内角的度数。 3. 在△ABC中，∠B = 40°，∠C = 60°，AD是∠BAC的平分线，AE是BC边上的高），求∠DAE的度数。 4. 在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点E，若∠A = 80°，求∠E的度数。 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.2 与三角形有关的线段 学习目标 1. 知识与技能：理解三角形及其边、顶点、内角、外角等基本概念；掌握三角形三边之间的关系，并能运用该关系判断三条线段能否组成三角形；理解三角形的高、中线、角平分线的概念，能准确描述它们的特征；掌握三角形内角和定理，并能运用定理进行简单的角度计算；了解三角形外角的概念，掌握三角形外角的性质并能运用。 2. 过程与方法：通过对三角形基本概念和性质的探究，培养观察、分析、比较和归纳的能力；在运用三角形三边关系、内角和定理及外角性质解决问题的过程中，提高逻辑推理和计算能力。 3. 情感态度与价值观：感受数学与现实生活的密切联系，激发学习数学的兴趣；在探究活动中体验成功的喜悦，培养严谨的治学态度和合作交流的精神。 知识点讲解 一、三角形的边 1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2. 三角形的边、顶点、内角：组成三角形的三条线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。 3. 三角形的表示方法：三角形用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。△ABC的三边，有时也用a、b、c来表示，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示。 4. 三角形按边的分类： · 不等边三角形：三边都不相等的三角形。 · 等腰三角形：有两边相等的三角形。相等的两边叫做腰，另一边叫做底边。两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 · 等边三角形（或正三角形）：三边都相等的三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形。 5. 三角形三边的关系： · 三角形任意两边之和大于第三边。 对于△ABC，有 a + b > c，a + c > b，b + c > a。 · 三角形任意两边之差小于第三边。 对于△ABC，有 |a - b| < c，|a - c| < b，|b - c| < a。 · 作用：判断三条已知线段能否组成三角形；已知三角形的两边，求第三边的取值范围。 二、三角形的中线、角平分线、高 1. 三角形的中线： · 定义：在三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线。 · 几何语言描述（以△ABC为例，AD是BC边上的中线）： ∵ AD是△ABC的中线（或D是BC的中点）， ∴ BD = DC = 1/2 BC 或 BC = 2BD = 2DC。 · 性质：三角形的三条中线相交于一点，这个点叫做三角形的重心。三角形的重心到一个顶点的距离是它到这个顶点对边中点距离的两倍。三角形的一条中线把三角形分成两个面积相等的三角形。 2. 三角形的角平分线： · 定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 · 几何语言描述（以△ABC为例，AD是∠BAC的平分线）： ∵ AD是△ABC的角平分线， ∴ ∠BAD = ∠CAD = ∠BAC 或 ∠BAC = 2∠BAD = 2∠CAD。 · 性质：三角形的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心。三角形的内心到三角形三边的距离相等。 3. 三角形的高： · 定义：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。 · 几何语言描述（以△ABC为例，AD是BC边上的高）： ∵ AD是△ABC的高， ∴ AD ⊥ BC 或 ∠ADB = ∠ADC = 90°。 · 性质：三角形的三条高所在的直线相交于一点，这个点叫做三角形的垂心。 · 说明：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形的内部；钝角三角形有两条高在三角形的外部，一条高在三角形的内部。 三、三角形的内角与外角 1. 三角形的内角： · 定义：三角形相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。 · 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180°。 即在△ABC中，∠A + ∠B + ∠C = 180°。 · 推论：直角三角形的两个锐角互余。 即在Rt△ABC中，若∠C = 90°，则∠A + ∠B = 90°。 2. 三角形的外角： · 定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 · 性质： 1. 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 2. 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。 · 注意：一个三角形有六个外角，但通常每个顶点处只取一个外角（不相邻的那个），因此说三角形有三个外角。三角形的外角和为 360°（每个顶点处取一个外角）。 例题解析 例1判断下列长度的三条线段能否组成三角形，并说明理由。 （1）3，4，8 （2）5，6，11 （3）5，6，10 分析：根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”进行判断。通常只需判断较短的两条线段之和是否大于最长的线段即可。 解答： （1）因为 3 + 4 = 7，7 < 8， 所以长度为3，4，8的三条线段不能组成三角形。 （2）因为 5 + 6 = 11，11 = 11， 所以长度为5，6，11的三条线段不能组成三角形。 （3）因为 5 + 6 = 11，11 > 10， 所以长度为5，6，10的三条线段能组成三角形。 例2已知一个三角形的两边长分别为5和7，求第三边长x的取值范围。 分析：根据三角形三边关系“任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边”，可列出不等式组求解。 解答： 因为三角形的两边长分别为5和7，第三边长为x， 所以 7 - 5 < x < 7 + 5， 即 2 < x < 12。 所以第三边长x的取值范围是2 < x < 12。 例3在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，∠B = 40°，∠C = 60°，求∠BAD和∠ADC的度数。 分析：首先利用三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求出∠BAD的度数。然后在△ABD中，利用三角形内角和定理求出∠ADB的度数，进而得到∠ADC的度数（邻补角）。 解答： 在△ABC中，∠B = 40°，∠C = 60°， 因为∠BAC + ∠B + ∠C = 180°， 所以∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 40° - 60° = 80°。 因为AD是∠BAC的角平分线， 所以∠BAD = ∠BAC = × 80° = 40°。 在△ABD中，∠B = 40°，∠BAD = 40°， 因为∠ADB + ∠B + ∠BAD = 180°， 所以∠ADB = 180° - ∠B - ∠BAD = 180° - 40° - 40° = 100°。 因为∠ADC + ∠ADB = 180°（邻补角定义）， 所以∠ADC = 180° - ∠ADB = 180° - 100° = 80°。 例4在△ABC中，∠A = 70°，∠B = 50°，CE是AB边上的高，CD是∠ACB的平分线，求∠DCE的度数。 分析：首先利用三角形内角和定理求出∠ACB的度数，再由角平分线定义求出∠ACD的度数。在Rt△AEC中，利用直角三角形两锐角互余求出∠ACE的度数，最后用∠ACE - ∠ACD即可得到∠DCE的度数。 解答： 在△ABC中，∠A = 70°，∠B = 50°， 因为∠A + ∠B + ∠ACB = 180°， 所以∠ACB = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 70° - 50° = 60°。 因为CD是∠ACB的平分线， 所以∠ACD = ∠ACB = × 60° = 30°。 因为CE是AB边上的高， 所以∠AEC = 90°（高的定义）。 在Rt△AEC中，∠A = 70°， 因为∠A + ∠ACE + ∠AEC = 180°， 所以∠ACE = 180° - ∠A - ∠AEC = 180° - 70° - 90° = 20°。 所以∠DCE = ∠ACD - ∠ACE = 30° - 20° = 10°。 巩固练习 一、选择题（每题只有一个正确答案） 1. 下列关于三角形的说法中，正确的是 （ ） A. 由三条线段组成的图形叫做三角形 B. 三角形的角平分线是一条射线 C. 三角形的三条高一定在三角形内部 D. 三角形的中线一定在三角形内部 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是 （ ） A. 1，2，3 B. 3，4，5 C. 2，4，7 D. 3，3，6 3. 如果三角形的两边长分别是4和9，那么第三边长可能是 （ ） A. 1 B. 5 C. 8 D. 14 4. 在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB = 5，AC = 3，则△ABD与△ACD的周长之差是 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 三角形中，最大内角一定 （ ） A. 大于90° B. 大于60° C. 不小于60° D. 等于60° 6. 一个三角形的三个内角的度数之比为1:2:3，则这个三角形是 （ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断 7. 下列说法中错误的是 （ ） A. 三角形的内角和是180° B. 三角形的一个外角大于任何一个内角 C. 三角形的中线、角平分线、高都是线段 D. 直角三角形的两个锐角互余 二、填空题 1. 在△ABC中，AB = 7，BC = 3，并且AC为整数，则AC的长可能是_____________。 2. 等腰三角形的两边长分别为4和9，则它的周长为_____________。 3. 在△ABC中，AD是中线，若△ABD的面积是10，则△ABC的面积是_____________。 4. 在△ABC中，∠A = 60°，∠B = ∠C，则∠B = _____________度。 5. 一个三角形的两个内角分别是30°和50°，则它的第三个内角是_____________度，它的一个外角是_____________度（写出一个即可）。 6. 在Rt△ABC中，一个锐角为35°，则另一个锐角为_____________度。 7. 若一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，则这个三角形是_____________三角形。 三、解答题 1. 在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C = 2∶3∶4，求∠A、∠B、∠C的度数。 2. 已知一个等腰三角形的顶角是底角的4倍，求这个等腰三角形各内角的度数。 3. 在△ABC中，∠B = 40°，∠C = 60°，AD是∠BAC的平分线，AE是BC边上的高），求∠DAE的度数。 4. 在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点E，若∠A = 80°，求∠E的度数。 巩固练习答案与解析 一、选择题 1. D 解析：A选项，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，故A错误；B选项，三角形的角平分线是一条线段，故B错误；C选项，钝角三角形有两条高在三角形外部，直角三角形有两条高是直角边，故C错误；D选项，三角形的中线一定在三角形内部，故D正确。 2. B 解析：A选项，1 + 2 = 3，不能组成三角形；B选项，3 + 4 > 5，4 + 5 > 3，3 + 5 > 4，能组成三角形；C选项，2 + 4 < 7，不能组成三角形；D选项，3 + 3 = 6，不能组成三角形。 3. C 解析：设第三边长为x，根据三角形三边关系可得9 - 4 < x < 9 + 4，即5 < x < 13。选项中只有8在此范围内。 4. A 解析：AD是BC边上的中线，所以BD = CD。△ABD的周长 = AB + BD + AD，△ACD的周长 = AC + CD + AD，两者之差为 (AB + BD + AD) - (AC + CD + AD) = AB - AC = 5 - 3 = 2。 5. C 解析：三角形的内角和为180°，平均每个角为60°，所以最大内角一定不小于60°（若都小于60°，则内角和小于180°）。 6. B 解析：设三个内角分别为x，2x，3x，则x + 2x + 3x = 180°，解得x = 30°，所以三个角分别为30°，60°，90°，是直角三角形。 7. B 解析：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角，故B选项错误。 二、填空题 1. 5，6，7，8，9 解析：根据三角形三边关系，AB - BC < AC < AB + BC，即7 - 3 < AC < 7 + 3，4 < AC < 10。因为AC为整数，所以AC的长可能是5，6，7，8，9。 2. 22 解析：等腰三角形两边长为4和9。若腰长为4，底边长为9，因为4 + 4 = 8 < 9，不能组成三角形。若腰长为9，底边长为4，则周长为9 + 9 + 4 = 22。 3. 20 解析：AD是△ABC的中线，所以BD = CD。△ABD和△ACD等底同高，面积相等，都为10。所以△ABC的面积 = 10 + 10 = 20。 4. 60 解析：在△ABC中，∠A + ∠B + ∠C = 180°，∠A = 60°，∠B = ∠C，所以60° + 2∠B = 180°，解得∠B = 60°。 5. 100，130（或80或150） 解析：第三个内角 = 180° - 30° - 50° = 100°。与30°角相邻的外角为180° - 30° = 150°，与50°角相邻的外角为180° - 50° = 130°，与100°角相邻的外角为180° - 100° = 80°，任写一个即可。 6. 55 解析：直角三角形两锐角互余，所以另一个锐角 = 90° - 35° = 55°。 7. 直角 解析：直角三角形的三条高的交点是直角顶点，锐角三角形三条高交点在内部，钝角三角形三条高交点在外部。 三、解答题 1. 解：设∠A = 2x，∠B = 3x，∠C = 4x。 因为在△ABC中，∠A + ∠B + ∠C = 180°， 所以 2x + 3x + 4x = 180°。 合并同类项，得 9x = 180°。 解得 x = 20°。 所以∠A = 2x = 40°， ∠B = 3x = 60°， ∠C = 4x = 80°。 答：∠A为40°，∠B为60°，∠C为80°。 2. 解：设等腰三角形的底角为x度，则顶角为4x度。 因为等腰三角形两底角相等，且三角形内角和为180°， 所以 x + x + 4x = 180°。 合并同类项，得 6x = 180°。 解得 x = 30°。 所以顶角为4x = 4*30° = 120°。 答：这个等腰三角形的三个内角分别为30°，30°，120°。 3. 解：在△ABC中，∠B = 40°，∠C = 60°， 因为∠BAC + ∠B + ∠C = 180°， 所以∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 40° - 60° = 80°。 因为AD是∠BAC的平分线， 所以∠BAD = ∠BAC = x 80° = 40°。 因为AE是BC边上的高， 所以∠AEB = 90°（高的定义）。 在Rt△ABE中，∠B = 40°， 因为∠BAE + ∠B + ∠AEB = 180°， 所以∠BAE = 180° - ∠B - ∠AEB = 180° - 40° - 90° = 50°。 所以∠DAE = ∠BAE - ∠BAD = 50° - 40° = 10°。 答：∠DAE的度数为10°。 4. 解：因为BE平分∠ABC，所以∠EBC = ∠ABC。 因为CE平分∠ACD，所以∠ECD = ∠ACD。 因为∠ACD是△ABC的外角， 所以∠ACD = ∠A + ∠ABC。 因为∠ECD是△EBC的外角， 所以∠ECD = ∠E + ∠EBC。 所以∠E = ∠ECD - ∠EBC = ∠ACD - ∠ABC = (∠ACD - ∠ABC) = (∠A + ∠ABC - ∠ABC) （因为∠ACD = ∠A + ∠ABC） = ∠A。 因为∠A = 80°， 所以∠E = x 80° = 40°。 答：∠E的度数为40°。 学科网（北京）股份有限公司 $