九年级数学上学期期中模拟卷01（北京版第1～3章相似形+二次函数与反比例函数+解直角三角形）

………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北京版九年级数学上册第1~3章（相似形+二次函数与反比例函数+解直角三角形）。 第一部分（选择题 共16分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．已知，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 3．已知点是线段的黄金分割点，且，，则的长为（    ） A． B． C． D．0.618 4．抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 5．设，，是抛物线上的三点，则、、的大小关系为（　　） A． B． C． D． 6．若反比例函数的图像在某象限内y随x的增大而减小，则k的值可以是（   ） A． B．3 C．0 D． 7．如图，点在的边上，要判定与相似，添加一个条件，不正确的是（    ） A． B． C． D． 8．二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） ①；②；③；④若有两个实数根，则；⑤． A．②③④⑤ B．①②③④ C．③④⑤ D．①②④⑤ 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分） 9．若一个二次函数的图象开口向下，顶点坐标为，那么这个二次函数的解析式可以为 ．（只需写一个） 10．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和．则的值为 ． 11．将二次函数用配方法化成的形式为 ． 12．“准、绳、规、矩”是我国古代使用的测量工具．一个简单结构的“矩”指两条边成直角的曲尺（如图1），它的两条边长分别为a、b．中国古老的天文和数学著作（周髀算经）中简明扼要地阐述了“矩”的功能，如“偃矩以望高”就是把“矩”仰立放置可以测量物体的高度．如图2，从“矩”的一端E处望向一根杆子的顶端B处，使视线通过“矩”的另一端G处，测得米，米，若“矩”的边米，米，则这根杆子的长为 米． 13．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为 ． 14．某宾馆有若干间标准房，该宾馆规定每间标准房的价格不低于180元，且不高于250元．经市场调查表明，每天入住的房间数（单位：间）与每间标准房的价格（单位：元）之间满足函数关系式：，则当该宾馆每间标准房的价格 元时，标准房日营业额（单位：元）最大，最大营业额为 元． 15．如图，直线，直线分别交，，于点A，B，C，直线分别交，，于点D，E，F，若，，，则线段 ． 16．如图所示的二次函数的图象中，观察得出下面五条信息：①；②；③；④；⑤．其中正确的是 ． 三、解答题（本大题共12小题，满分68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．二次函数的图象是一条抛物线，自变量与函数的部分对应值如下表： 0 1 2 3 0 0 求该抛物线表示的二次函数解析式． 18．已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)该函数的图象与y轴的交点坐标是________，与x轴的交点坐标是________； (3)在坐标系中画出该函数的图象； (4)结合图象直接写出不等式的解集是________________． 19．如图，小明欲测量一座信号发射塔的高度．他站在该塔的影子上前后移动，到他自己影子的顶端正好与塔的影子的顶端重合，此时他与该塔的距离米．已知小明的身高为米，他的影长为2米．求信号发射塔的高度． 20．如图，在平面直角坐标系中，直线与函数的图象的两个交点分别为和． (1)求直线的解析式； (2)过点作x轴的垂线，与直线l：和函数的图象的交点分别为点M，N，当点M在点N下方时，直接写出n的取值范围． 21．如图，四边形是平行四边形，于点于点． (1)求证： (2)当时，求的长． 22．如图是某抛物线形拱桥的截面图．某数学小组对这座拱桥很感兴趣，他们利用测量工具测出水面AB的宽为8米．设AB上的点E到点A的距离米，点E到拱桥顶面的垂直距离米． 通过取点、测量，数学小组的同学得到了x与y的几组值，如下表： x（米） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y（米） 0 1.75 3 3.75 4 3.75 3 1.75 0 (1)拱桥顶面离水面AB的最大高度为______米； (2)请你帮助该数学小组建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接； (3)测量后的某一天，由于降雨原因，水面比测量时上升1米．现有一游船（截面为矩形）宽度为4米，船顶到水面的高度为2米．要求游船从拱桥下面通过时，船顶到拱桥顶面的距离应大于0.5米．结合所画图象，请判断该游船是否能安全通过：______（填写“能”或“不能”）． 23．已知二次函数图象的顶点为A，与y轴交于点B． (1)求顶点A的坐标； (2)求点B的纵坐标（用含a的代数式表示）； (3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．当二次函数的图象与直线围成的封闭区域内（不包含边界）只有2个整点时．直接写出a的取值范围． 24．如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过18米，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为32米．设边的长度为米，矩形的面积为平方米．    (1)求与之间的函数表达式及自变量的取值范围； (2)如果矩形的面积为96平方米，求边的长． 25．某公园在人工湖里建造一道喷泉拱门，工人在垂直于湖面的立柱上安装喷头，从喷头喷出的水柱的形状可以看作是抛物线的一部分．安装后，通过测量获得如下数据，喷头高出湖面3米，在距立柱水平距离为米的地点，水柱距离湖面高度为米． （米） 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 （米） 3.75 4.00 3.75 3.00 1.75 0 请解决以下问题： (1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接； (2)结合表中所给数据或所画图象，直接写出水柱最高点距离湖面的高度； (3)求关于的函数表达式； (4)公园希望游船能从喷泉拱门下穿过，已知游船的宽度约为2米，游船的平顶棚到湖面的高度约为1米，从安全的角度考虑，要求游船到立柱的水平距离不小于1米，顶棚到水柱的竖直距离也不小于1米．工人想只通过调整喷头距离湖面的高度（不考虑其他因素）就能满足上述要求，调整高度至少______米． 26．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴（用含有的式子表示）； (2)已知点在抛物线上，若，求的取值范围． 27．定义：两个相似三角形共边且位于一个角的平分线两侧，则称这样的两个相似三角形为叠似三角形． (1)如图1，四边形中，对角线平分，，求证：和为叠似三角形； (2)如图2，和为叠似三角形，若，，求四边形的周长； (3)如图3，在中，D是上一点，连接，点E在上，且，F为中点，且，若，求的值． 28．定义：在平面直角坐标系中，当点在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“和谐点”． (1)如图，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“和谐点”的是 ； (2)点是反比例函数图象上的一个“和谐点”，则该函数图象上的另一个“和谐点”的坐标是 ，直线的表达式是 ； (3)已知点，是抛物线上的“和谐点”，直接写出点，的坐标 ， ． 第3页 共8页 ◎ 第4页 共8页 第1页 共8页 ◎ 第2页 共8页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北京版九年级数学上册第1~3章（相似形+二次函数与反比例函数+解直角三角形）。 第一部分（选择题 共16分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．已知，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 比例的性质：内项之积等于外项之积，依此即可求解． 【详解】解：A、由可得，与已知条件相符，故该选项正确，符合题意； B、由可得，与不相符，故选项错误，不符合题意； C、由可得，与不相符，故选项错误，不符合题意； D、由可得，与不相符，故选项错误，不符合题意． 故选：A． 2．一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是确定抛物线的解析式，已知抛物线的形状和开口方向由二次项系数决定，顶点坐标确定顶点式；原抛物线的二次项系数为，故新抛物线的二次项系数也为；顶点为，代入顶点式即可求解. 【详解】解：原抛物线的二次项系数为，因此新抛物线的解析式可设为顶点式： 其中顶点为，代入得： ； 故选C 3．已知点是线段的黄金分割点，且，，则的长为（    ） A． B． C． D．0.618 【答案】B 【分析】根据黄金分割的定义，知为较长线段，则，代入数据即可得出的值． 【详解】解：是线段的黄金分割点，且，为较长线段， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了黄金分割，用到的知识点是把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比． 4．抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象的平移，准确掌握平移方法是解题的关键．根据函数图象平移的方法：左加右减，上加下减，可得答案． 【详解】解：抛物线向左平移个单位可得，再向下平移个单位可得， 故选：B． 5．设，，是抛物线上的三点，则、、的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，先求出抛物线的对称轴为直线，再根据点到对称轴的距离从小到大为A，B，C，依据抛物线开口向上，则点到对称轴的距离越小，对应的y值越小，即可得到、、的大小关系． 【详解】解： ∴抛物线对称轴为直线， ∵，， ∴到对称轴的距离从小到大为A，B，C， ∵抛物线开口向上， ∴到对称轴的距离越小，对应的y值越小， ∴、、的大小关系为 故选：C． 6．若反比例函数的图像在某象限内y随x的增大而减小，则k的值可以是（   ） A． B．3 C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题的关键．根据反比例函数的增减性列出不等式，解出的范围，即可判断． 【详解】解：反比例函数的图像在某象限内y随x的增大而减小， ，即， 故四个选项中k的值只有数值3符合， 故选：B． 7．如图，点在的边上，要判定与相似，添加一个条件，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的判定．由是公共角，利用有两角分别相等的两个三角形相似，即可得A与B正确；又由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得D正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用． 【详解】解：∵是公共角， ∴当或时，（有两角分别相等的两个三角形相似）； 故A与B正确； 当时，（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）； 故D正确； 当时，因为由所给比例涉及的两个三角形根本不是与，而是与，故不能证明， 故C错误． 故选：C． 8．二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） ①；②；③；④若有两个实数根，则；⑤． A．②③④⑤ B．①②③④ C．③④⑤ D．①②④⑤ 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由二次函数的图象可得，，，即得，即可判断①；由对称性可得抛物线与轴的另一个交点坐标为，即可判断②；由对称轴可判断③；由有两个实数根，可知抛物线与直线相交，结合图象可判断④；由顶点坐标可判断⑤，综上即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与轴相交于正半轴上， ∴，， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∴，故②正确； ∵对称轴， ∴，故③正确； 若有两个实数根，则抛物线与直线相交， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴，故④正确； ∵抛物线的顶点坐标为，开口向下， ∴当时，取最大值， ∴， 即，故⑤正确； 综上，说法正确的是②③④⑤， 故选：． 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分） 9．若一个二次函数的图象开口向下，顶点坐标为，那么这个二次函数的解析式可以为 ．（只需写一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，掌握顶点式的特点是解决问题的关键． 由二次函数的图象开口向下，可知为负数，可取，再由顶点坐标为，即可得出二次函数的解析式． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， 可知为负数，可取， 顶点坐标为， 二次函数的解析式为：， 故答案为：（答案不唯一）． 10．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和．则的值为 ． 【答案】0 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式是解决问题的关键．将点和代入之中得，，由此可得的值． 【详解】解：函数的图象经过点和， ，， ，， ． 故答案为：0． 11．将二次函数用配方法化成的形式为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是将二次函数一般式化为顶点式，正确利用配方法把二次函数一般式化为顶点式是解题的关键．利用配方法把二次函数一般式化为顶点式即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 12．“准、绳、规、矩”是我国古代使用的测量工具．一个简单结构的“矩”指两条边成直角的曲尺（如图1），它的两条边长分别为a、b．中国古老的天文和数学著作（周髀算经）中简明扼要地阐述了“矩”的功能，如“偃矩以望高”就是把“矩”仰立放置可以测量物体的高度．如图2，从“矩”的一端E处望向一根杆子的顶端B处，使视线通过“矩”的另一端G处，测得米，米，若“矩”的边米，米，则这根杆子的长为 米． 【答案】3 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质．由矩形的性质可得出，，利用相似三角形的判定和性质，即可求出答案． 【详解】解：由题意可得：为矩形，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴(米)， 故答案为：3． 13．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查二次函数的图象性质，二次函数与一元二次方程的关系，由图知，抛物线与x轴交于，代入求出m的值，再解方程即可． 【详解】解：由图知，抛物线与x轴交于点， 将代入，得， ∴， ∴原方程为， 解得：，． 故答案为：，． 14．某宾馆有若干间标准房，该宾馆规定每间标准房的价格不低于180元，且不高于250元．经市场调查表明，每天入住的房间数（单位：间）与每间标准房的价格（单位：元）之间满足函数关系式：，则当该宾馆每间标准房的价格 元时，标准房日营业额（单位：元）最大，最大营业额为 元． 【答案】 180 14400 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意可得，标准房日营业额，从而可得当时，随的增大而减小，又，进而可以判断得解． 【详解】解：由题意可得，标准房日营业额． ， 当时，随的增大而减小． 又， 当时，最大，最大值为． 答：当该宾馆每间标准房的价格元时，标准房日营业额最大，最大营业额为14400元． 故答案为：180，14400． 15．如图，直线，直线分别交，，于点A，B，C，直线分别交，，于点D，E，F，若，，，则线段 ． 【答案】8 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，根据，，，得出的长，即可得出答案． 【详解】解：， ， ，，， ， ． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 16．如图所示的二次函数的图象中，观察得出下面五条信息：①；②；③；④；⑤．其中正确的是 ． 【答案】①⑤/⑤① 【分析】本题考查根据二次函数图象判断式子的符号，根据二次函数图象与系数的关系、二次函数与一元二次方程的关系，逐项判断，即可得出答案． 【详解】解：∵对称轴为直线， ∴， ∴． ∴， 由抛物线开口向下知， ∴． 又∵抛物线与y轴交点在y轴正半轴上， ∴． ∴，故①正确，②错误． 如图所示，抛物线与x轴有两个交点，则，故③错误； ∴当时，，故④错误． ∵对称轴为直线，且取得最大值， ∴， ∴，故⑤正确． 综上所述，正确的结论有：①⑤． 故答案为：①⑤． 三、解答题（本大题共12小题，满分68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分）二次函数的图象是一条抛物线，自变量与函数的部分对应值如下表： 0 1 2 3 0 0 求该抛物线表示的二次函数解析式． 【答案】 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式．将相关各点坐标代入，求出未知系数，即可求得二次函数的解析式． 【详解】解：由图表可知，二次函数的图象经过， 代入得，………………………………….1分 ， 解得，…………………………….4分 则二次函数解析式为．…………………………….5分 18．（7分）已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)该函数的图象与y轴的交点坐标是________，与x轴的交点坐标是________； (3)在坐标系中画出该函数的图象； (4)结合图象直接写出不等式的解集是________________． 【答案】(1) (2)；， (3)见解析 (4)或 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的图象与性质，二次函数与不等式等知识． （1）利用配方法将一次项和二次项组合，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式． （2）将已知方程转化为两点式方程即可得到该抛物线与x轴的交点坐标；令即可得到该抛物线与轴交点的纵坐标； （3）先列表，然后在平面直角坐标系中找出这些点，连接起来即可； （4）结合图象可以直接得到答案． 【详解】（1）解：， 即；…………………………….2分 （2）令，则，即该抛物线与y轴的交点坐标是， 又， 所以该抛物线与x轴的交点坐标是，． 故答案为：；，；…………………………….5分 （3）列表： x … y … 图象如图所示： …………………………….6分 （4）如图所示，不等式的解集是或． 故答案为：或．．…………………………….7分 19．（5分）如图，小明欲测量一座信号发射塔的高度．他站在该塔的影子上前后移动，到他自己影子的顶端正好与塔的影子的顶端重合，此时他与该塔的距离米．已知小明的身高为米，他的影长为2米．求信号发射塔的高度． 【答案】信号发射塔的高度为19.8米 【分析】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，先证明，利用三角形相似的性质即可求解． 【详解】解：，， ， ∴，…………………………….2分 ， ，，， ， ， （米）， ∴信号发射塔的高度为米．…………………………….5分 20．（5分）如图，在平面直角坐标系中，直线与函数的图象的两个交点分别为和． (1)求直线的解析式； (2)过点作x轴的垂线，与直线l：和函数的图象的交点分别为点M，N，当点M在点N下方时，直接写出n的取值范围． 【答案】(1) (2)或者 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用图象法解决问题． （1）利用待定系数法即可解决问题； （2）利用图象法即可解决问题． 【详解】（1）解：∵直线与函数的图象的两个交点分别为和．…………………………….1分 ∴把和代入，得 解得…………………………….2分 ∴直线的解析式为；…………………………….3分 （2）解：∵直线与函数的图象的两个交点分别为和． 观察图象可知，满足条件的的值为：或者．…………………………….5分 21．（5分）如图，四边形是平行四边形，于点于点． (1)求证： (2)当时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定： （1）先由平行四边形的性质得到，，再由垂直的定义得到，据此可证明得到，即； （2）根据相似三角形的性质可得，据此代值计算即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴，…………………………….1分 ∴， ∵， ∴；…………………………….2分 （2）解：∵， ∴，即， ∴．…………………………….5分 22．（5分）如图是某抛物线形拱桥的截面图．某数学小组对这座拱桥很感兴趣，他们利用测量工具测出水面AB的宽为8米．设AB上的点E到点A的距离米，点E到拱桥顶面的垂直距离米． 通过取点、测量，数学小组的同学得到了x与y的几组值，如下表： x（米） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y（米） 0 1.75 3 3.75 4 3.75 3 1.75 0 (1)拱桥顶面离水面AB的最大高度为______米； (2)请你帮助该数学小组建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接； (3)测量后的某一天，由于降雨原因，水面比测量时上升1米．现有一游船（截面为矩形）宽度为4米，船顶到水面的高度为2米．要求游船从拱桥下面通过时，船顶到拱桥顶面的距离应大于0.5米．结合所画图象，请判断该游船是否能安全通过：______（填写“能”或“不能”）． 【答案】(1)4 (2)见解析 (3)不能，理由见解析 【分析】（1）根据表格数据即可求解； （2）根据描点法画二次函数解析式； （3）根据题意求得船顶到拱桥顶面的距离即可求解． 【详解】（1）由表格可知当时，， 拱桥顶面离水面AB的最大高度为4米．…………………………….2分 （2）以为原点，所在直线为轴，建立坐标系如图， …………………………….3分 （3）不能，理由如下， 根据表格可知对称轴为，顶点坐标为，设抛物线解析式为，将代入得 ， 解得， 抛物线解析式为， 根据题意时，， ， 游船不能安全通过．…………………………….5分 【点睛】本题考查了二次函数的应用，描点法画二次函数图象，掌握二次函数图象与性质是解题的关键． 23．（5分）已知二次函数图象的顶点为A，与y轴交于点B． (1)求顶点A的坐标； (2)求点B的纵坐标（用含a的代数式表示）； (3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．当二次函数的图象与直线围成的封闭区域内（不包含边界）只有2个整点时．直接写出a的取值范围． 【答案】(1)（1，1） (2)a+1 (3)， 【分析】（1）将二次函数化为顶点式即可得． （2）二次函数与y轴交于点B，故将x=0代入即可求得B点纵坐标． （3）由题意可作出图象见解析，当和时满足条件，即可解得a的取值范围． 【详解】（1）∵ ∴ ∴ 故顶点坐标为（1，1）．…………………………….2分 （2）将x=0代入有 故B点纵坐标为a+1…………………………….3分 （3）二次函数中a=a，b=-2a，c=a+1 对称轴 联立二次函数与直线有 ∴ ∴ ∴ 解得x=0或2 故二次函数与直线交点的横坐标为0和2 则有二次函数与直线的图象如图所示 当a＞0时，直线在二次函数上方且围成的封闭区域 内（不包含边界）只有2个整点需要令x=1时，即可． 将x=1代入有 化简得 故 当a＜0时，直线在二次函数上方且围成的封闭区域 内（不包含边界）只有2个整点需要令x=1时，即可． 故 综上所述，当，时满足函数的图象与直线围成的封闭区域内（不包含边界）只有2个整点．…………………………….5分 【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，第三问结合函数的图象和性质作图运用数形结合思想判断是解题的关键． 24．（5分）如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过18米，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为32米．设边的长度为米，矩形的面积为平方米．    (1)求与之间的函数表达式及自变量的取值范围； (2)如果矩形的面积为96平方米，求边的长． 【答案】(1) (2)12米 【分析】（1）由题意得，米，则，即可求解； （2）由题意得：，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，米， 则， 解得：， 则；…………………………….3分 （2）由题意得：， 解得：（舍去）或12（米）， 即长为12米．…………………………….5分 【点睛】本题考查一元二次方程、二次函数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 25．（6分）某公园在人工湖里建造一道喷泉拱门，工人在垂直于湖面的立柱上安装喷头，从喷头喷出的水柱的形状可以看作是抛物线的一部分．安装后，通过测量获得如下数据，喷头高出湖面3米，在距立柱水平距离为米的地点，水柱距离湖面高度为米． （米） 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 （米） 3.75 4.00 3.75 3.00 1.75 0 请解决以下问题： (1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接； (2)结合表中所给数据或所画图象，直接写出水柱最高点距离湖面的高度； (3)求关于的函数表达式； (4)公园希望游船能从喷泉拱门下穿过，已知游船的宽度约为2米，游船的平顶棚到湖面的高度约为1米，从安全的角度考虑，要求游船到立柱的水平距离不小于1米，顶棚到水柱的竖直距离也不小于1米．工人想只通过调整喷头距离湖面的高度（不考虑其他因素）就能满足上述要求，调整高度至少______米． 【答案】(1)图见解析； (2)4米 (3) (4)向上调整2 【分析】本题考查二次函数喷泉的应用，二次函数解析式，二次函数图象的平移，解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象建立二次函数模型． （1）建立坐标系，描点，用平滑的曲线连线即可； （2）结合图象，得出最高点坐标为，进而得出结论； （3）利用顶点式和点即可求出h关于d的函数表达式； （4）设平移后的解析式为，根据题意求解即可. 【详解】（1）解：如图所示： ；…………………………….1分 （2）解：由图象得， 最高点坐标为， ∴水柱最高点距离湖面的高度为4米；…………………………….2分 （3）解：由题意，得 设顶点式为， 又图象过点， ∴， 解得， ∴函数解析式；…………………………….4分 （4）解：设水枪高度向上调整m米时，游船恰好能从喷泉拱门下穿过， 则平移后的解析式为， 当横坐标为时，纵坐标的值大于等于， ∴， 解得， ∴水枪高度至少向上调整2米， 故答案为：向上调整2. …………………………….6分 26．（6分）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴（用含有的式子表示）； (2)已知点在抛物线上，若，求的取值范围． 【答案】(1)直线 (2)或 【分析】本题考查了二次函数的性质，分类讨论是解答本题的关键． （1）根据二次函数的性质即可求解； （2）根据题意分，两种情况讨论，根据二次函数的性质结合题意列出关于不等式，解不等式，即可求解． 【详解】（1）解：对称轴为直线；…………………………….2分 （2）解：， ∴对称轴为直线，当时，． 当时，抛物线开口向上，函数有最小值， ∴， ∵， ∴，即， 或， 解得，…………………………….4分 当时，抛物线开口向下，函数有最大值， ∴， ∵， ∴，即， 或， 解得， 的取值范围是或．…………………………….6分 27．（7分）定义：两个相似三角形共边且位于一个角的平分线两侧，则称这样的两个相似三角形为叠似三角形． (1)如图1，四边形中，对角线平分，，求证：和为叠似三角形； (2)如图2，和为叠似三角形，若，，求四边形的周长； (3)如图3，在中，D是上一点，连接，点E在上，且，F为中点，且，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，熟记定理内容进行几何推理是解题关键． （1）根据，结合条件，可得；再由可得，即可求证； （2）由条件可推出，；再根据相似三角形的性质求出的长度即可求解； （3）作，证得出；再证得出，．即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴和为叠似三角形…………………………….2分 （2）解：∵， ∴ 由（1）得： ∴ ∴ ∵和为叠似三角形， ∴，， ∴， ∴，， ∴…………………………….3分 四边形的周长为：…………………………4分 （3）解：作，如图所示： ∵， ∴ ∵ ∵， …………………………….5分 ∵F为中点， 又， 即： ∴ ∴…………………………….7分 28．（7分）定义：在平面直角坐标系中，当点在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“和谐点”． (1)如图，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“和谐点”的是 ； (2)点是反比例函数图象上的一个“和谐点”，则该函数图象上的另一个“和谐点”的坐标是 ，直线的表达式是 ； (3)已知点，是抛物线上的“和谐点”，直接写出点，的坐标 ， ． 【答案】(1) (2)， (3)，或， 【分析】本题是二次函数的综合题，考查了一次函数，反比例函数，二次函数，理解坐标与图形性质，熟练掌握两点间的距离公式，理解新定义是解题的关键． （1）根据“和谐点”的定义判断这几个点是否在矩形的边上； （2）把代入求出解析式，再求于的交点即为； （3）根据“和谐点”的定义求出点，的坐标即可． 【详解】（1）解：矩形的顶点坐标分别是，，，， 当“和谐点”在或上时，“和谐点” 应满足且或， 当“和谐点”在或上时，“和谐点”应满足且或， 点是矩形的“和谐点”，点、不是矩形的“和谐点”， 故答案为： ；…………………………….1分 （2）解：点是反比例函数图象上的一个“和谐点”， 把代入得， ∴， “和谐点”的横坐标和纵坐标相等， “和谐点”都在的图象上，联立得：， 解得或， ， 直线的解析式为， 故答案为：，；…………………………….3分 （3）解：点，是抛物线上的“和谐点”， ， 即， 解得，， 当时，，当时，， ∴点，的坐标为，或，， 故答案为：，或，．…………………………….7分 28/29 29/29 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北京版九年级数学上册第1~3章（相似形+二次函数与反比例函数+解直角三角形）。 第一部分（选择题 共16分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．已知，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 3．已知点是线段的黄金分割点，且，，则的长为（    ） A． B． C． D．0.618 4．抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 5．设，，是抛物线上的三点，则、、的大小关系为（　　） A． B． C． D． 6．若反比例函数的图像在某象限内y随x的增大而减小，则k的值可以是（   ） A． B．3 C．0 D． 7．如图，点在的边上，要判定与相似，添加一个条件，不正确的是（    ） A． B． C． D． 8．二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） ①；②；③；④若有两个实数根，则；⑤． A．②③④⑤ B．①②③④ C．③④⑤ D．①②④⑤ 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分） 9．若一个二次函数的图象开口向下，顶点坐标为，那么这个二次函数的解析式可以为 ．（只需写一个） 10．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和．则的值为 ． 11．将二次函数用配方法化成的形式为 ． 12．“准、绳、规、矩”是我国古代使用的测量工具．一个简单结构的“矩”指两条边成直角的曲尺（如图1），它的两条边长分别为a、b．中国古老的天文和数学著作（周髀算经）中简明扼要地阐述了“矩”的功能，如“偃矩以望高”就是把“矩”仰立放置可以测量物体的高度．如图2，从“矩”的一端E处望向一根杆子的顶端B处，使视线通过“矩”的另一端G处，测得米，米，若“矩”的边米，米，则这根杆子的长为 米． 13．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为 ． 14．某宾馆有若干间标准房，该宾馆规定每间标准房的价格不低于180元，且不高于250元．经市场调查表明，每天入住的房间数（单位：间）与每间标准房的价格（单位：元）之间满足函数关系式：，则当该宾馆每间标准房的价格 元时，标准房日营业额（单位：元）最大，最大营业额为 元． 15．如图，直线，直线分别交，，于点A，B，C，直线分别交，，于点D，E，F，若，，，则线段 ． 16．如图所示的二次函数的图象中，观察得出下面五条信息：①；②；③；④；⑤．其中正确的是 ． 三、解答题（本大题共12小题，满分68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分）二次函数的图象是一条抛物线，自变量与函数的部分对应值如下表： 0 1 2 3 0 0 求该抛物线表示的二次函数解析式． 18．（7分）已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)该函数的图象与y轴的交点坐标是________，与x轴的交点坐标是________； (3)在坐标系中画出该函数的图象； (4)结合图象直接写出不等式的解集是________________． 19．（5分）如图，小明欲测量一座信号发射塔的高度．他站在该塔的影子上前后移动，到他自己影子的顶端正好与塔的影子的顶端重合，此时他与该塔的距离米．已知小明的身高为米，他的影长为2米．求信号发射塔的高度． 20．（5分）如图，在平面直角坐标系中，直线与函数的图象的两个交点分别为和． (1)求直线的解析式； (2)过点作x轴的垂线，与直线l：和函数的图象的交点分别为点M，N，当点M在点N下方时，直接写出n的取值范围． 21．（5分）如图，四边形是平行四边形，于点于点． (1)求证： (2)当时，求的长． 22．（5分）如图是某抛物线形拱桥的截面图．某数学小组对这座拱桥很感兴趣，他们利用测量工具测出水面AB的宽为8米．设AB上的点E到点A的距离米，点E到拱桥顶面的垂直距离米． 通过取点、测量，数学小组的同学得到了x与y的几组值，如下表： x（米） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y（米） 0 1.75 3 3.75 4 3.75 3 1.75 0 (1)拱桥顶面离水面AB的最大高度为______米； (2)请你帮助该数学小组建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接； (3)测量后的某一天，由于降雨原因，水面比测量时上升1米．现有一游船（截面为矩形）宽度为4米，船顶到水面的高度为2米．要求游船从拱桥下面通过时，船顶到拱桥顶面的距离应大于0.5米．结合所画图象，请判断该游船是否能安全通过：______（填写“能”或“不能”）． 23．（5分）已知二次函数图象的顶点为A，与y轴交于点B． (1)求顶点A的坐标； (2)求点B的纵坐标（用含a的代数式表示）； (3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．当二次函数的图象与直线围成的封闭区域内（不包含边界）只有2个整点时．直接写出a的取值范围． 24．（5分）如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过18米，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为32米．设边的长度为米，矩形的面积为平方米．    (1)求与之间的函数表达式及自变量的取值范围； (2)如果矩形的面积为96平方米，求边的长． 25．（6分）某公园在人工湖里建造一道喷泉拱门，工人在垂直于湖面的立柱上安装喷头，从喷头喷出的水柱的形状可以看作是抛物线的一部分．安装后，通过测量获得如下数据，喷头高出湖面3米，在距立柱水平距离为米的地点，水柱距离湖面高度为米． （米） 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 （米） 3.75 4.00 3.75 3.00 1.75 0 请解决以下问题： (1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接； (2)结合表中所给数据或所画图象，直接写出水柱最高点距离湖面的高度； (3)求关于的函数表达式； (4)公园希望游船能从喷泉拱门下穿过，已知游船的宽度约为2米，游船的平顶棚到湖面的高度约为1米，从安全的角度考虑，要求游船到立柱的水平距离不小于1米，顶棚到水柱的竖直距离也不小于1米．工人想只通过调整喷头距离湖面的高度（不考虑其他因素）就能满足上述要求，调整高度至少______米． 26．（6分）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴（用含有的式子表示）； (2)已知点在抛物线上，若，求的取值范围． 27．（7分）定义：两个相似三角形共边且位于一个角的平分线两侧，则称这样的两个相似三角形为叠似三角形． (1)如图1，四边形中，对角线平分，，求证：和为叠似三角形； (2)如图2，和为叠似三角形，若，，求四边形的周长； (3)如图3，在中，D是上一点，连接，点E在上，且，F为中点，且，若，求的值． 28．（7分）定义：在平面直角坐标系中，当点在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“和谐点”． (1)如图，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“和谐点”的是 ； (2)点是反比例函数图象上的一个“和谐点”，则该函数图象上的另一个“和谐点”的坐标是 ，直线的表达式是 ； (3)已知点，是抛物线上的“和谐点”，直接写出点，的坐标 ， ． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C B B C B C A 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分） 9．（答案不唯一） 10．0 11． 12．3 13．， 14．180 14400 15．8 16．①⑤/⑤① 三、解答题（本大题共12小题，满分68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17． 【详解】解：由图表可知，二次函数的图象经过， 代入得，…………………………….1分 ， 解得，…………………………….4分 则二次函数解析式为．…………………………….5分 18．（7分）(1) (2)；， (3)见解析 (4)或 【详解】（1）解：， 即；…………………………….2分 （2）令，则，即该抛物线与y轴的交点坐标是， 又， 所以该抛物线与x轴的交点坐标是，． 故答案为：；，；…………………………….5分 （3）列表： x … y … 图象如图所示： …………………………….6分 （4）如图所示，不等式的解集是或．…………………………7分 故答案为：或． 19．（5分）信号发射塔的高度为19.8米 【详解】解：，， ， ∴，…………………………….2分 ， ，，， ， ， （米）， ∴信号发射塔的高度为米．…………………………….5分 20．（5分）(1) (2)或者 【详解】（1）解：∵直线与函数的图象的两个交点分别为和．…………………………….1分 ∴把和代入，得 解得…………………………….2分 ∴直线的解析式为；…………………………….3分 （2）解：∵直线与函数的图象的两个交点分别为和． 观察图象可知，满足条件的的值为：或者．…………………………….5分 21．（5分）(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴，…………………………….1分 ∴， ∵， ∴；…………………………….2分 （2）解：∵， ∴，即， ∴．…………………………….5分 22．（5分）(1)4 (2)见解析 (3)不能，理由见解析 【详解】（1）由表格可知当时，， 拱桥顶面离水面AB的最大高度为4米．…………………………….2分 （2）以为原点，所在直线为轴，建立坐标系如图， …………………………….3分 （3）不能，理由如下， 根据表格可知对称轴为，顶点坐标为，设抛物线解析式为，将代入得 ， 解得， 抛物线解析式为， 根据题意时，， ， 游船不能安全通过．…………………………….5分 23．（5分）(1)（1，1） (2)a+1 (3)， 【详解】（1）∵ ∴ ∴ 故顶点坐标为（1，1）．…………………………….2分 （2）将x=0代入有 故B点纵坐标为a+1…………………………….3分 （3）二次函数中a=a，b=-2a，c=a+1 对称轴 联立二次函数与直线有 ∴ ∴ ∴ 解得x=0或2 故二次函数与直线交点的横坐标为0和2 则有二次函数与直线的图象如图所示 当a＞0时，直线在二次函数上方且围成的封闭区域 内（不包含边界）只有2个整点需要令x=1时，即可． 将x=1代入有 化简得 故 当a＜0时，直线在二次函数上方且围成的封闭区域 内（不包含边界）只有2个整点需要令x=1时，即可． 故 综上所述，当，时满足函数的图象与直线围成的封闭区域内（不包含边界）只有2个整点．…………………………….5分 24．（5分）(1) (2)12米 【详解】（1）解：由题意得，米， 则， 解得：， 则；…………………………….3分 （2）由题意得：， 解得：（舍去）或12（米）， 即长为12米．…………………………….5分 25．（6分）(1)图见解析； (2)4米 (3) (4)向上调整2 【详解】（1）解：如图所示： ；…………………………….1分 （2）解：由图象得， 最高点坐标为， ∴水柱最高点距离湖面的高度为4米；…………………………….2分 （3）解：由题意，得 设顶点式为， 又图象过点， ∴， 解得， ∴函数解析式；…………………………….4分 （4）解：设水枪高度向上调整m米时，游船恰好能从喷泉拱门下穿过， 则平移后的解析式为， 当横坐标为时，纵坐标的值大于等于， ∴， 解得， ∴水枪高度至少向上调整2米， 故答案为：向上调整2. …………………………….6分 26．（6分）(1)直线 (2)或 【详解】（1）解：对称轴为直线；…………………………….2分 （2）解：， ∴对称轴为直线，当时，． 当时，抛物线开口向上，函数有最小值， ∴， ∵， ∴，即， 或， 解得，…………………………….4分 当时，抛物线开口向下，函数有最大值， ∴， ∵， ∴，即， 或， 解得， 的取值范围是或．…………………………….6分 27．（7分）(1)见解析 (2) (3) 【详解】（1）证明：∵平分， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴和为叠似三角形…………………………….2分 （2）解：∵， ∴ 由（1）得： ∴ ∴ ∵和为叠似三角形， ∴，， ∴， ∴，， ∴…………………………….3分 四边形的周长为：…………………………4分 （3）解：作，如图所示： ∵， ∴ ∵ ∵， …………………………….5分 ∵F为中点， 又， 即： ∴ ∴…………………………….7分 28．（7分）(1) (2)， (3)，或， 【详解】（1）解：矩形的顶点坐标分别是，，，， 当“和谐点”在或上时，“和谐点” 应满足且或， 当“和谐点”在或上时，“和谐点”应满足且或， 点是矩形的“和谐点”，点、不是矩形的“和谐点”， 故答案为： ；…………………………….1分 （2）解：点是反比例函数图象上的一个“和谐点”， 把代入得， ∴， “和谐点”的横坐标和纵坐标相等， “和谐点”都在的图象上，联立得：， 解得或， ， 直线的解析式为， 故答案为：，；…………………………….3分 （3）解：点，是抛物线上的“和谐点”， ， 即， 解得，， 当时，，当时，， ∴点，的坐标为，或，， 故答案为：，或，．…………………………….7分 2/11 1/11 学科网（北京）股份有限公司 $