15.1 图形的轴对称 课件 2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册

第十五章 轴对称 图形的轴对称 第十五章 轴对称 图形的轴对称(1) 　　知识点1 轴对称图形 　　 观察右边图形有什么共同的特点？ 　　答： ⁠． 　　 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够 互相 ，这个图形就叫作 ⁠，这条直线就是它 的 ⁠． 对折后与图形的另一半完全重合 重合 轴对称图形 对称轴 　　1.例1下列是轴对称图形的请打“√”，并画出对称轴，不是的请 打“×”． 　　2.(广东中考)下列出版社的商标图案中，是轴对称图形的是 （　A　） A． B． C． D． A 　　知识点2 两个图形成轴对称 　　3． 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图 形 ，那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称．这条直线 叫作 ，折叠后重合的点是对应点，叫作 ⁠． 　　4. 例2视力表中的字母“E”有各种不同的摆放方向，下面每种组合 中的两个字母“E”不关于直线l对称的是（　D　） A． B． C． D． 重合 对称轴 对称点 D 　　5.观察下列各组图形，其中两个图形成轴对称的有（　C　） 　　 A． 1组 B． 2组 C． 3组 D． 4组 C 　　 轴对称图形和两个图形成轴对称的区别 轴对称图形 两个图形成轴对称 相同点 对折重合 不同点 是一个图形本身具有的特性 是两个图形之间的关系 　　知识点3 轴对称的性质 　　6. 轴对称的性质： 　　(1)成轴对称的两个图形全等； 　　(2)对称轴都是其任意一对对称点所连线段的 ⁠． 　　如图，在正五边形中，直线l 线段AA′，BB′. 垂直平分线 垂直平分 　　7.例3如图，若△ABC与△A1B1C1关于直线MN对称，BB1交MN于 点O，则下列说法不一定正确的是（　D　） A． AC＝A1C1 B． BO＝B1O C． CC1⊥MN D． AB∥B1C1 D 　　8.如图，△ABC与△ADE关于直线l对称，下列结论：① △ABC≌△ADE；②∠B＝∠D；③BC＝DE；④l垂直平分CE；⑤BC 与DE的延长线的交点一定在直线l上．其中正确的有 ⁠． (填序号) ①②③④⑤ 　　1． 下列地铁标志图形中，属于轴对称图形的是（　B　） A． ①④ B． ①② C． ③④ D． ①②③ B 　　2．(人教八上P64练习T2改编)下列两个电子数字成轴对称的是 （　D　） A． B． C． D． 　　3． 下列说法正确的是（　D　） A． 能够完全重合的两个图形成轴对称 B． 全等的两个图形成轴对称 C． 形状相同的两个图形成轴对称 D． 沿一条直线对折后能够重合的两个图形成轴对称 D D 　　4．(人教八上P64练习T1改编)图中的图形为轴对称图形，该图形的 对称轴的条数为（　D　） A． 1 B． 2 C． 3 D． 5 D 　　5．(人教八上P65练习T3改编)如图，△ABC与△DEF关于直线l对 称，若∠A＝65°，∠B＝80°，则∠F＝ ⁠． 35° 　　6． 如图，点D为△ABC的边AC上一点，点B，C关于DE对称，若 AC＝6，AD＝2，则线段BD的长度为 ⁠. 4 　　7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°， AD⊥BC，垂足为点D，△ADB与△ADB′关于直线AD对称，点B的对 称点是点B′，则∠CAB′的度数为（　A　） A． 10° B． 20° C． 30° D． 40° A 　　8．如图，△ABC是轴对称图形，且直线AD是△ABC的对称轴， E，F是线段AD上的任意两点．若△ABC的面积为18 cm2，则图中阴影 部分的面积为 cm2. 9 　　9．(逻辑推理)如图，每一个正方形的方格纸中有三个涂有阴影的 小正方形，请把其中一个空白小正方形再涂上阴影，使得每个图形中的 四个涂有阴影的小正方形构成一个轴对称图形．(三种方法不能重复) 　　解：如图所示． 第十五章 轴对称 图形的轴对称(2) 　　知识点1 线段的垂直平分线的性质 　　1． 线段的垂直平分线 　　(1)定义：经过线段 并且 ⁠于这条线段的直线，叫 作这条线段的垂直平分线． 　　(2)性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离 ⁠． 　　几何语言：如图，∵CD垂直平分AB，∴ ⁠． 中点 垂直 相等 CA＝CB 　　2.例1如图，CD是AB的垂直平分线，垂足为点D. 　　(1)AD＝ ⁠， 　　∠ADC＝ °， 　　AC＝ ⁠； 　　(2)若AD＝4，AC＝5，则BC＝ ，AB＝ ⁠. BD 90 BC 5 8 　　3.如图，已知AC垂直平分BD，交BD于点E，下列结论正确的 是 ．(填序号) 　　①△ABE≌△ADE； 　　②AB＝AD； 　　③CA平分∠BCD； 　　④∠ABC＝∠ADC； 　　⑤∠BAD＝∠BCD. ①②③④ 　　4.例2如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AB＝3，BC＝ 7，则△ABD的周长为 ⁠． 　　小结：看到题目有垂直平分线，就在图中找出“弓箭模型”． 10 　　5.如图，在△ABC中，AC＝6 cm，线段AB的垂直平分线交AB于点 M、交AC于点N，△BCN的周长是11 cm，则BC的长为 ⁠． 5 cm 　　知识点2 线段的垂直平分线的判定 　　6． 线段的垂直平分线的判定： 　　与线段两个端点距离 ⁠的点在这条线段的垂直平分线上． 　　几何语言：如图，∵ ，∴点P在线段AB的垂直平 分线上． 相等 PA＝PB 　　证明：∵AB＝AC， 　　∴点A在BC的垂直平分线上． 　　∵MB＝MC， 　　∴点M在BC的垂直平分线上． 　　∴直线AM是线段BC的垂直平分线． 　　7.例3如图，AB＝AC，MB＝MC. 求证：直线AM是线段BC的垂直 平分线． 　　8.如图，AB＝AC，DB＝DC，点E是AD延长线上的一点．求证： BE＝CE. 　　证明：如图，连接BC. 　　∵AB＝AC，DB＝DC， 　　∴点A、点D均在线段BC的垂直平分线上，即AD是线段BC的垂直平分线． 　　∵点E在直线AD上，∴BE＝CE. 　　知识点3 互逆命题与定理 　　9. 例4写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立． 　　(1)原命题：若a＝b，则a2＝b2. 　　解：逆命题：若a2＝b2，则a＝b.逆命题不成立． 　　(2)原命题：全等三角形的对应边相等． 　　解：逆命题：对应边相等的三角形是全等三角形．逆命题 成立． 　　10.下列命题的逆命题不成立的是（　B　） A． 一个三角形两边的垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离 相等 B．对顶角相等 C．若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠A＝90°，则b2＋c2＝a2 D．在角的内部，到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上 B 　　1． 如图，在△ABC中，直线AD是BC的垂直平分线，下列表述错 误的是（　D　） A． AC＝AB B． DB＝DC C． EB＝EC，∠AEC＝90° D． DA＝DB D 　　2．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（　A　） A． AB垂直平分CD B． CD垂直平分AB C． AB与CD互相垂直平分 D． CD平分∠ACB A 　　3．命题“全等三角形的面积相等”，请写出它的逆命题 ⁠ ，这个逆命题 (填“成立”或 “不成立”)． 　　4． 如图，在△ABC中，DE是AB的垂直平分线，分别交AB，BC 于点E，D. 　　(1)若△ADC的周长为10，则AC＋BC＝ ⁠； 　　(2)若∠C＝90°，∠B＝36°，则∠DAC的度数为 ⁠． 面积相 等的三角形是全等三角形 不成立 10 18° 　　5． 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，交AC于 点E，DE垂直平分AB，交AB于点D. 求证：BE＋DE＝AC. 　　证明：∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC. 　　又∵DE⊥AB，BE平分∠ABC， 　　∴CE＝DE. 　　∵DE垂直平分AB， 　　∴AE＝BE. 　　∵AC＝AE＋CE， 　　∴BE＋DE＝AC. 　　6．(人教八上P71习题T13改编)如图，在△ABC中，边AB，AC的垂 直平分线交于点P. 　　(1)求证：PA＝PB＝PC； 　　证明：∵PD垂直平分AB，PE垂直平分AC， 　　∴PA＝PB，PA＝PC. 　　∴PA＝PB＝PC. 　　(2)求证：点P在BC的垂直平分线上． 　　证明：∵PB＝PC， 　　∴点P在BC的垂直平分线上． 第十五章 轴对称 图形的轴对称(3) 　　知识点1 作线段的垂直平分线 　　1. 例1如图，尺规作图：作线段AB的垂直平分线CD. 　　作法：(1)分别以 和 为圆心，大于 ⁠的长 为半径作弧，两弧相交于C，D两点；(2)作直线CD. 　　CD就是所求作的直线． 点A 点B AB 　　解：如图所示． 　　2.如图，已知△ABC，作AC边上的垂直平分线EF，交AC于点E， 交BC于点F. (保留作图痕迹，不写作法) 　　解：如图，EF就是所求作的直线． 　　知识点2 作对称轴 　　3. 例2如图，△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，你能作出这条 直线吗？(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) 　　解：如图，对称轴即为所求． 　　4.如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，请仅用无刻度的直尺， 在下面两个图中分别作出直线l. 　　解：如图，直线l即为所求． 　　知识点3 作线段的垂线 　　5. 例3尺规作图：如图，过点C作直线AB的垂线． 　　作法：(1)任意取一点K，使点K和点C在 ⁠的两旁； 　　(2)以点C为圆心， 长为半径作弧，交直线AB于点D和E； 　　(3)分别以 和 为圆心，大于 DE的长为半径作 弧，两弧相交于点F； 　　(4)作直线CF. 　　直线CF就是所求作的垂线． AB CK 点D 点E 　　解：如图所示． 　　6.如图，已知直线AB和AB上一点C，请用尺规作AB的垂线，使它 经过点C. (保留作图痕迹，不写作法) 　　解：如图，CD即为所求． 　　1． (2024河北改编)观察图中尺规作图的痕迹，可得线段BD一定是 △ABC的 ⁠． 高线 　　2．如图，在△ABC中，用尺规作图，分别以点A和点C为圆心，以 大于 AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N. 作直线MN交AC于 点D，交BC于点E，连接AE. 则下列结论不一定正确的是（　A　） A． AB＝AE B． AD＝CD C． AE＝CE D． ∠ADE＝∠CDE A 　　3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝54°，以点C为圆心， CA长为半径作弧交AB于点D，分别以点A和点D为圆心，大于 AD长 为半径作弧，两弧相交于点E，作直线CE，交AB于点F，则∠ACF的度 数是 ⁠． 18° 　　4．(人教八上P64练习T1变式)利用尺规作图，画出下列轴对称图形 的一条对称轴． 　　解：如图所示，对称轴即为所求．(答案不唯一) 　　5． 如图，A，B表示两个仓库，要在A，B一侧的河岸边建造一个 码头，使它到两个仓库的距离等，则码头应建造在什么位置？ 　　解：连接AB，码头应建在线段AB的垂直平分线与A，B一侧的河 岸边的交点处．如图，码头应建在点P的位置． 　　6．如图，已知△ABC，∠A＝90°. 　　(1)尺规作图：作AD⊥BC，垂足为点D；(保留作图痕迹，不写 作法) 　　解：如图，AD即为所求． 　　(2)求证：∠C＝∠BAD. 　　证明：∵∠BAC＝90°， 　　∴∠BAD＋∠CAD＝90°. 　　∵AD⊥BC， 　　∴∠CDA＝90°. 　　∴∠C＋∠CAD＝90°. 　　∴∠C＝∠BAD. $