14.3 角的平分线 讲义 2025-2026学年人教版数学八年级上册

14.3 角的平分线 学习目标 1. 理解角平分线的定义。 2. 掌握角平分线的性质定理，并能运用性质定理解决简单问题。 3. 掌握角平分线的判定定理，并能运用判定定理解决简单问题。 4. 能够综合运用角平分线的性质和判定解决几何问题。 知识点讲解 一、角平分线的定义 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 几何语言描述：若射线OC是∠AOB的平分线，则∠AOC = ∠COB = ∠AOB。 二、角平分线的性质定理 角平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何语言描述： ∵ OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E， ∴ PD = PE。 （注：“距离”指的是垂线段的长度） 三、角平分线的判定定理 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 几何语言描述： ∵ 点P在∠AOB的内部，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，且PD = PE， ∴ 点P在∠AOB的平分线上（或射线OP是∠AOB的平分线）。 四、角平分线性质与判定的联系与区别 · 性质定理：已知角平分线 → 得到点到两边距离相等。（由“线”推“距离”） · 判定定理：已知点到两边距离相等 → 得到点在角平分线上。（由“距离”推“线”） · 两者互为逆定理，常用于证明线段相等、角相等或点在角平分线上。 例题解析 例题1 已知∠AOB = 80°，OC是∠AOB的平分线，求∠AOC的度数。 例题2 在∠AOB的平分线上有一点P，点P到OA的距离为3cm，求点P到OB的距离。 例题3 已知：在△ABC中，∠C = 90°，AD是∠BAC的平分线，若BC = 10cm，BD = 6cm，求点D到AB的距离。 例题4 已知：点P到∠AOB两边OA、OB的距离分别为PD、PE，且PD = PE，PD⊥OA，PE⊥OB，求证：点P在∠AOB的平分线上。 。 巩固练习 一、选择题 1. 下列说法中，正确的是（ ） A. 一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫做这个角的平分线 B. 角平分线上的点到角的两边的距离相等 C. 到角的两边距离相等的点，不一定在这个角的平分线上 D. 角的平分线是一条线段 2. 已知OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，若PD = 3，则PE的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 在△ABC中，∠B = 90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BD = 2，AC = 5，则点D到AC的距离是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题 1. 若OC平分∠AOB，∠AOB = 70°，则∠AOC = ______度。 2. 点P在∠MON的平分线上，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，若PA = 5cm，则PB = ______cm。 3. 已知点Q到∠XOY的两边OX、OY的距离相等，且点Q在∠XOY的内部，则点Q在∠XOY的______上。 三、解答题 1. 已知：∠AOB = 60°，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E。若PD = 2cm，求PE的长度及∠DPE的度数。 2. 已知：在∠AOB的内部有两点P、Q，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，QF⊥OA于F，QG⊥OB于G，且PD = PE，QF = QG。求证：PQ所在的直线是∠AOB的平分线。 3. 已知：在△ABC中，∠B = ∠C，AD是△ABC的角平分线，点E在AD上。求证：EB = EC。 学科网（北京）股份有限公司 $ 14.3 角的平分线 学习目标 1. 理解角平分线的定义。 2. 掌握角平分线的性质定理，并能运用性质定理解决简单问题。 3. 掌握角平分线的判定定理，并能运用判定定理解决简单问题。 4. 能够综合运用角平分线的性质和判定解决几何问题。 知识点讲解 一、角平分线的定义 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 几何语言描述：若射线OC是∠AOB的平分线，则∠AOC = ∠COB = ∠AOB。 二、角平分线的性质定理 角平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何语言描述： ∵ OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E， ∴ PD = PE。 （注：“距离”指的是垂线段的长度） 三、角平分线的判定定理 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 几何语言描述： ∵ 点P在∠AOB的内部，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，且PD = PE， ∴ 点P在∠AOB的平分线上（或射线OP是∠AOB的平分线）。 四、角平分线性质与判定的联系与区别 · 性质定理：已知角平分线 → 得到点到两边距离相等。（由“线”推“距离”） · 判定定理：已知点到两边距离相等 → 得到点在角平分线上。（由“距离”推“线”） · 两者互为逆定理，常用于证明线段相等、角相等或点在角平分线上。 例题解析 例题1 已知∠AOB = 80°，OC是∠AOB的平分线，求∠AOC的度数。 答案 ∵ OC是∠AOB的平分线， ∴ ∠AOC = ∠AOB。 ∵ ∠AOB = 80°， ∴ ∠AOC = × 80° = 40°。 答：∠AOC的度数为40°。 例题2 在∠AOB的平分线上有一点P，点P到OA的距离为3cm，求点P到OB的距离。 答案 ∵ 点P在∠AOB的平分线上， 且点P到OA的距离为3cm， 根据角平分线的性质定理，角平分线上的点到角的两边的距离相等， ∴ 点P到OB的距离 = 点P到OA的距离 = 3cm。 答：点P到OB的距离为3cm。 例题3 已知：在△ABC中，∠C = 90°，AD是∠BAC的平分线，若BC = 10cm，BD = 6cm，求点D到AB的距离。 答案 过点D作DE⊥AB于点E。 ∵ ∠C = 90°， ∴ DC⊥AC。 ∵ AD是∠BAC的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB， 根据角平分线的性质定理， ∴ DE = DC。 ∵ BC = 10cm，BD = 6cm， ∴ DC = BC - BD = 10cm - 6cm = 4cm。 ∴ DE = DC = 4cm。 答：点D到AB的距离为4cm。 例题4 已知：点P到∠AOB两边OA、OB的距离分别为PD、PE，且PD = PE，PD⊥OA，PE⊥OB，求证：点P在∠AOB的平分线上。 答案 证明： 连接OP。 ∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ ∠PDO = ∠PEO = 90°。 在Rt△PDO和Rt△PEO中， OP = OP （公共边）， PD = PE （已知）， ∴ Rt△PDO ≌ Rt△PEO （HL）。 ∴ ∠POD = ∠POE （全等三角形的对应角相等）。 ∴ OP是∠AOB的平分线，即点P在∠AOB的平分线上。 巩固练习 一、选择题 1. 下列说法中，正确的是（ ） A. 一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫做这个角的平分线 B. 角平分线上的点到角的两边的距离相等 C. 到角的两边距离相等的点，不一定在这个角的平分线上 D. 角的平分线是一条线段 2. 已知OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，若PD = 3，则PE的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 在△ABC中，∠B = 90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BD = 2，AC = 5，则点D到AC的距离是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题 1. 若OC平分∠AOB，∠AOB = 70°，则∠AOC = ______度。 2. 点P在∠MON的平分线上，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，若PA = 5cm，则PB = ______cm。 3. 已知点Q到∠XOY的两边OX、OY的距离相等，且点Q在∠XOY的内部，则点Q在∠XOY的______上。 三、解答题 1. 已知：∠AOB = 60°，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E。若PD = 2cm，求PE的长度及∠DPE的度数。 2. 已知：在∠AOB的内部有两点P、Q，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，QF⊥OA于F，QG⊥OB于G，且PD = PE，QF = QG。求证：PQ所在的直线是∠AOB的平分线。 3. 已知：在△ABC中，∠B = ∠C，AD是△ABC的角平分线，点E在AD上。求证：EB = EC。 巩固练习答案 一、选择题 1. 答案：B 解析：A选项，必须是分成两个相等的角，故错误；B选项，符合角平分线性质定理，正确；C选项，根据角平分线判定定理，到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，故错误；D选项，角的平分线是一条射线，故错误。 2. 答案：B 解析：∵ OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，∴ 根据角平分线性质定理，PD = PE。∵ PD = 3，∴ PE = 3。 3. 答案：B 解析：过点D作DE⊥AC于点E。∵ ∠B = 90°，∴ DB⊥AB。∵ AD平分∠BAC，DB⊥AB，DE⊥AC，∴ 根据角平分线性质定理，DE = DB。∵ BD = 2，∴ DE = 2，即点D到AC的距离是2。 二、填空题 1. 答案：35 解析：∵ OC平分∠AOB，∠AOB = 70°，∴ ∠AOC = 1/2 ∠AOB = 1/2 × 70° = 35°。 2. 答案：5 解析：∵ 点P在∠MON的平分线上，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，∴ 根据角平分线性质定理，PA = PB。∵ PA = 5cm，∴ PB = 5cm。 3. 答案：平分线 解析：∵ 点Q到∠XOY的两边OX、OY的距离相等，且点Q在∠XOY的内部，∴ 根据角平分线判定定理，点Q在∠XOY的平分线上。 三、解答题 1. 答案：PE = 2cm，∠DPE = 120° 解析： ∵ OC是∠AOB的平分线，点P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E， ∴ 根据角平分线性质定理，PD = PE。 ∵ PD = 2cm， ∴ PE = 2cm。 ∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ ∠PDO = ∠PEO = 90°。 在四边形PDOE中，∠PDO + ∠DOE + ∠PEO + ∠DPE = 360°。 ∵ ∠AOB = ∠DOE = 60°，∠PDO = ∠PEO = 90°， ∴ 90° + 60° + 90° + ∠DPE = 360°。 240° + ∠DPE = 360°。 ∠DPE = 360° - 240°。 ∠DPE = 120°。 2. 答案：证明过程如下 解析： 证明： ∵ PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD = PE， ∴ 根据角平分线判定定理，点P在∠AOB的平分线上。 ∵ QF⊥OA于F，QG⊥OB于G，且QF = QG， ∴ 根据角平分线判定定理，点Q在∠AOB的平分线上。 ∵ 点P、Q都在∠AOB的平分线上， ∴ PQ所在的直线是∠AOB的平分线。 3. 答案：证明过程如下 解析： 证明： ∵ ∠B = ∠C， ∴ AB = AC （等角对等边）。 ∵ AD是△ABC的角平分线， ∴ ∠BAD = ∠CAD。 在△ABE和△ACE中， AB = AC （已证）， ∠BAD = ∠CAD （已证）， AE = AE （公共边）， ∴ △ABE ≌ △ACE （SAS）。 ∴ EB = EC （全等三角形的对应边相等）。 学科网（北京）股份有限公司 $