专题11 等腰三角形中易漏解或多解问题的五类综合题型（压轴题专项训练）数学华东师大版2024八年级上册

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题11等腰三角形中易漏解或多解问题的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错 类型二、当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错 类型三、求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错 类型四、三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错 类型五、等腰三角形中与新定义型问题的多解题没有分类讨论产生易错 压轴专练 典例详解 类型一、求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错 1.忽略腰长与底边长的合理性：计算时若己知两边长，需分“己知边为腰”和“已知边为底”两种情况 讨论。例如两边为3和6，若3为腰，3+3=6，不满足“两边之和大于第三边”，故只能6为腰，周长15。 2.忽视周长计算的前提条件：无论按哪种情况假设，都需验证三边是否满足“任意两边之和大于第三边” 若忽略验证，直接相加会导致错误，如误将2、2、5当作等腰三角形，实际无法构成三角形。 例1.(25-26八年级上·黑龙江哈尔滨阶段练习)若等腰三角形中有两条边的长分别为3和7，则此等腰三 角形的周长为。 【变式1-1】(25-26八年级上云南昆明·阶段练习)若等腰三角形的两边长分别为5和6，则它的周长 为 【变式1-2】(25-26八年级上山东淄博·阶段练习)已知等腰ABC的两条边长α，b满足 a2-6a+9+b-6=0,则等腰ABC的周长为一· 【变式1-3】(25-26八年级上·全国·课后作业)(1)等腰三角形的两条边长分别为9和12，则这个等腰三角 形的周长是 (2)若等腰三角形的周长为22cm,一条边长为4cm,则这个等腰三角形的底边长为 1/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型二、当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错 1.未明确已知角为顶角或底角：己知等腰三角形的一个内角，需分情况讨论该角是顶角还是底角。若已 知角为钝角或直角，只能是顶角；若为锐角，可能是顶角或底角。例如已知内角为0°，当它是顶角时， 底角为(180°-70°)÷2=55°；当它是底角时，另一个底角也为70°，顶角为40° 2.未考虑三角形内角和定理：分类讨论后，要确保每种情况所得的三个内角之和为180°，符合三角形的 基本性质，避免因逻辑不完整出现错误。 例2.（25-26八年级上·湖北武汉阶段练习)一个等腰三角形的一个角为80°，则它的顶角的度数 是 【变式2-1】(24-25八年级上陕西咸阳·开学考试)若等腰三角形的一个角为52°，则这个等腰三角形的顶 角度数为】 【变式2-2】(24-25七年级上浙江绍兴开学考试)等腰三角形其中两个角的比是1：4，这个三角形的顶角 可能是」 度或度。 【变式2-3】(24-25七年级下·上海松江期末)在ABC中，∠B=30°，∠A=100°，点P是ABC三边上 的动点，当△PAC为等腰三角形时，其顶角的度数是 类型三、求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错 1.边与角的不确定性分类缺失：等腰三角形边的问题中，未区分腰与底，如己知两边求周长未验证三边 关系；角的问题里，未明确己知角是顶角或底角，像己知一个锐角未分情况计算其他角。 2.图形位置与条件组合漏解：涉及高、中线等辅助线时，未考虑高在形内或形外，中线分割后的边长关 系等多种位置情形，同时对题目条件的不同组合未全面分析，导致遗漏多种可能情况。 例3.(24-25七年级下河南郑州·期末)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=3,D为斜边AB 上不与端点A、B重合的一动点，过点D作DE⊥AC,垂足为E,将ADE沿DE翻折，点A的对应点为 点F,连接BF,若△BFC为等腰三角形，则AE的长为」 【变式3-1】(24-25七年级下江苏苏州期中)如图，在三角形纸片ABC中，∠C=90°，∠B=58°，将三 角形纸片折叠，使点B的对应点B落在AC上，折痕与BC,AB分别相交于点E、F,当△AFB'为等腰三 角形时，∠BEF的度数为 2/8 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A F ⊙ B-- E 【变式3-2】(24-25八年级下-山东青岛期中)如图，在四边形ABCD中，BC=CD,∠ADB=∠ACB=90° ,∠CAB=∠CBD=18°，P为AB上一动点，在运动过程中，DP与AC相交于点M,当CDM为等腰三 角形时，∠PDC的度数为 M P 【变式3-3】(24-25八年级下河南郑州，期末)如图，ABC为等腰三角形，AB=BC,AC=16,B0是AC边 上的高，B0=6,动点P,Q分别在边AC,AB上（点P不与点A,C重合），满足∠BPQ=∠BAO.当△PQB为 等腰三角形时，CP的长为一， B 【变式3-3】(24-25八年级下山西晋中期中)如图，在ABC中，AB=AC,BC=6,∠B=30°，点D 在边BC上，且BD=2,点E是边AB上的一个动点（不与点A,B,重合），连接DE,当BDE是等腰三 角形时，线段AE的长度为」 A E B D 3/8 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型四、三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错 1.三角形形状与高线位置关系不清：锐角三角形的三条高均在形内；直角三角形两条直角边的高为另一 条直角边；钝角三角形有两条高在形外。若未根据三角形形状讨论高的位置，在计算边长、面积或角度 时易出错，如求钝角三角形面积，忽略高在形外的情况会导致错误。 2.多种线段组合的情形遗漏：当三角形存在高线、中线、角平分线等多种线段时，未考虑不同形状下这 些线段的位置组合，如等腰三角形底边上的高与中线重合，但非等腰三角形不重合，不分类讨论易漏解。 例4.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则顶角的度数是一 【变式4-1】(24-25八年级上安微马鞍山期中)等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15m和 11cm两部分，则此三角形的底边长为 【变式4-2】等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为6cm和15cm两部分，那么这个等腰三 角形的底边长是 【变式4-3】(24-25八年级下陕西西安期中)在ABC中，AB=AC,过点A的一条直线将该三角形分成 的两个小三角形均为等腰三角形，则∠B的度数为 【变式4-4】(24-25八年级上江苏盐城期中)在ABC中，∠ABC=120°，点D在边AC上，若直线BD将 ABC分割成一个直角三角形和一个等腰三角形，则∠CDB的度数是」 类型五、等腰三角形中与新定义型问题的多解题没有分类讨论产生易错 1.新定义规则下的等腰属性分类缺失：未依据新定义明确等腰三角形的边、角对应关系，如定义“特殊 等腰三角形”对腰长与底边存在特殊限制，未分情况讨论腰与底是否满足新规则，易漏解。 2.新定义与等腰性质组合的多解遗漏：忽略新定义条件与等腰三角形三线合一、内角和等性质的多种组 合情形，如定义“关联等腰三角形”涉及角度计算，未考虑顶角与底角在新规则下的不同取值范围，导 致错解。 例5.等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”.若等腰。ABC的周长为20，其 中一边长为8，则它的"优美比”为() d. B.3 C. D. 【变式5-1】定义：若三角形满足其中两边之和等于第三边的三倍，则称该三角形为“三倍三角形”，若等腰 4/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 三角形ABC是三倍三角形，且其中一边长为3，则ABC的周长为 【变式5-2】定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”.若等腰 ABC是“倍长三角形”，它一边长为3，则等腰ABC的腰为 【变式5-3】(23-24九年级下·辽宁沈阳·期中)经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角 形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”，在 ABC中，∠BAC=20°，若存在过点C的“钻石分割线”，使ABC是“钻石三角形”，则满足条件的∠B的 度数为 压轴专练 一、单选题 1.(25-26八年级上新疆阶段练习)已知等腰三角形的一边长为3，周长为13，则它的底边长为() A.7 B.3 C.7或3 D.5 2.(24-25八年级上·全国·期中)若等腰三角形的顶角为80°，则它的底角度数为() A.50° B.80°或20° C.80°或50° D.209 3.(25-26七年级上·辽宁鞍山·开学考试)一个等腰三角形的两条边长分别是3厘米和4厘米，它的周长是 () A.7厘米 B.10厘米 C.11厘米 D.10厘米或11厘米 4.(2025八年级上·全国专题练习)若等腰三角形一条腰上的高与另一条腰的夹角为30°，则它的底角是() A.36 B.60° C.72°或369 D.30°或609 5.(25-26八年级上·全国.单元测试)己知等腰三角形的底边长为7cm,一边上的中线把其周长分成两部分， 这两部分的差为3cm,则腰长为() A.20cm B.10cm C.10cm或4cm D.4cm 6.(25-26八年级上·全国·期中)在等腰三角形ABC中，AB=AC,D是AB边上任意一点（点D不与A、B 两点重合)，过点D作AB的垂线，与直线AC交于点E,若LAED=50°，则∠B的度数为() A.60° B.70° C.70°或20 D.60°或309 7.(25-26八年级上江苏无锡阶段练习)如图，∠B0C=60°，点A是B0延长线上的一点，0A=12cm, 动点P从点A出发沿AB以3cms的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，如果点P、Q 5/8 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 同时出发，用(s)表示移动的时间，当t等于多少时，△POQ是等腰三角形？() C P 60° A A.3 B.3或6 C.6 D.6或12 二、填空题 8.(25-26八年级上·河南信阳·阶段练习)等腰三角形两边长分别是5和12，则这个等腰三角形的周长 是一 9.(24-25八年级上·广东汕头期中)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为35°，则顶角的度数为」 35 则顶角为90°+35°=125°； 如图，当顶角为锐角时， 则顶角为180°-90°-35°=55°； 35 10.(23-24八年级下·四川眉山期中)在直角坐标系中有A(3,0)和B(0,4两点，在坐标轴上有一点C,使 以A,B,C为顶点的三角形是等腰三角形，则这样的C点有 个 11.(24-25七年级下·河南开封期末)如图，LA0B=30°，在直线OB上有一点C且使得△AOC是以OA为 腰的等腰三角形，则∠ACO度数应该是_， A B 12.(24-25八年级上河南信阳期末)在ABC中，∠ACB=60,AC=3,BC=11,以AB为边，作等边 6/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 △ABD,过点D作DE⊥BC于E,则BE的长为 13.(24-25八年级下四川南充阶段练习)如图，已知△A0B为等腰直角三角形，其中0A=0B=3, AB=3√2，点C在线段AB上运动（不与点A、点B重合），当以点C、O、B为顶点的三角形为等腰三角 形时，则AC的长为一 A Bx 14.(21-22八年级上浙江宁波·期中)如图，在ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，点D是AC边上一动点 (不与A、C重合)，过点D作DE⊥AB于点E,连接BD,将△EBD沿直线BD翻折，点E落在点E处， 直线BE'与直线AC相交于点M,当aBDM为等腰三角形时，则∠ABD=_ 三、解答题 15.(2025八年级上·内蒙古·专题练习)用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形. (①)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？ (2)能围成有一边长是4cm的等腰三角形吗？为什么？ 16.(25-26八年级上全国·单元测试)如图，在ABC中，AB=AC=1,∠B=∠C=45°，D是BC边上 的一个动点（不与点B,C重合），作LADE=45°，DE交AC于点E. (1)当∠BDA=110°时，LEDC=_°，LDEC=_°； (②)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE?请说明理由； (3)在点D的运动过程中，当ADE是等腰三角形时，求∠BDA的度数. 7/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 17.(24-25八年级下.甘肃临夏阶段练习)如图，点0是等边ABC内一点，D是ABC外的一点，已知 ∠A0B=110°，∠B0C=a,△B0C≌△ADC,∠0CD=60°，连接0D. 1102 0 B (I)求证：△OCD是等边三角形： (2)当a=150°时，求∠0AD的度数； (3)探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形 18.(24-25九年级上·黑龙江七台河·期末)ABC是等边三角形，边AB在射线0M上，点D是射线OM上 的动点，当点D在线段OA上移动且不与点A重合时如图1，点D在线段AB上移动时如图2，将△ACD绕 点C逆时针方向旋转60°得到△BCE,连接DE. 图1 图2 (①)任选其中一个图形证明△CDE是等边三角形. (2)若ABC的边长为4，且OA=6,设OD=t,是否存在t值，使△DEB是直角三角形？若存在，求出t值： 若不存在，请说明理由. 8/8 专题11 等腰三角形中易漏解或多解问题的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错 类型二、当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错 类型三、求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错 类型四、三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错 类型五、等腰三角形中与新定义型问题的多解题没有分类讨论产生易错 压轴专练 类型一、求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错 1.忽略腰长与底边长的合理性：计算时若已知两边长，需分“已知边为腰”和“已知边为底”两种情况讨论。例如两边为3和6，若3为腰，3+3=6，不满足“两边之和大于第三边”，故只能6为腰，周长15。 2.忽视周长计算的前提条件：无论按哪种情况假设，都需验证三边是否满足“任意两边之和大于第三边”。若忽略验证，直接相加会导致错误，如误将2、2、5当作等腰三角形，实际无法构成三角形。 例1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若等腰三角形中有两条边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为 ． 【答案】17 【分析】本题考查了等腰三角形的定义及构成三角形的三边关系，注意分类讨论．分两种情况考虑，但要注意是否符合三角形三边的关系． 【详解】解：当7为腰时，此等腰三角形的周长为； 当3为腰时，，不能构成三角形，故不符合题意； 故答案为：17． 【变式1-1】（25-26八年级上·云南昆明·阶段练习）若等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于分情况讨论．分6是腰长与底边两种情况分情况讨论，再利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形． 【详解】解：若是腰长，则三角形的三边分别为、、， ，能组成三角形， 则周长， 若是底边长，则三角形的三边分别为、、， ，能组成三角形， 则周长， 综上所述，三角形的周长为或． 故答案为：或． 【变式1-2】（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）已知等腰的两条边长a，b满足，则等腰的周长为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了完全平方公式，非负数的性质，等腰三角形，利用完全平方公式进行化简，根据非负数的性质求出a、b，分类讨论a为腰和b为腰即可． 【详解】解：， ， ∵，， ， 解得． 当腰是3时，由，不能构成三角形， 当腰是6时，由，能构成三角形， 故等腰的周长为：． 故答案为：15． 【变式1-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）等腰三角形的两条边长分别为9和12，则这个等腰三角形的周长是 ． （2）若等腰三角形的周长为，一条边长为，则这个等腰三角形的底边长为 ． 【答案】 30或33 【分析】本题考查了等腰三角形的构成条件、三角形的三边关系，分类讨论是解答的关键： （1）分9为腰和12为腰两种情况讨论即可； （2）分的边为腰和为底边两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：①当9为腰时，满足构成三角形的条件， 故此三角形的周长； ②当12为腰时，满足构成三角形的条件， 故此三角形的周长， 故这个等腰三角形的周长是30或33； （2）解：①当4为腰时，底边长为，，不符合三角形三边关系； ②当4为底边时，腰长为，，符合三角形三边关系． 故这个等腰三角形的底边长为． 故答案为：30或33；． 类型二、当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错 1.未明确已知角为顶角或底角：已知等腰三角形的一个内角，需分情况讨论该角是顶角还是底角。若已知角为钝角或直角，只能是顶角；若为锐角，可能是顶角或底角。例如已知内角为70°，当它是顶角时，底角为(180° - 70°)÷2 = 55°；当它是底角时，另一个底角也为70°，顶角为40° 。 2.未考虑三角形内角和定理：分类讨论后，要确保每种情况所得的三个内角之和为180°，符合三角形的基本性质，避免因逻辑不完整出现错误。 例2．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）一个等腰三角形的一个角为，则它的顶角的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，将角分顶角或底角讨论是解题的关键； 当角为顶角时，顶角度数即为；当角为底角时，利用等腰三角形的性质求顶角，综合可得结果． 【详解】当角为顶角时，顶角度数即为； 当角为底角时，顶角等于． 综上可知，顶角的度数是或． 故答案为：或． 【变式2-1】（24-25八年级上·陕西咸阳·开学考试）若等腰三角形的一个角为，则这个等腰三角形的顶角度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理，不确定的角是等腰三角形的底角还是顶角，则分两种情况分析；等腰三角形的底角是，两个底角都是，结合三角形内角和是计算顶角的度数；另一种情况是就是顶角的度数． 【详解】解：（1）是等腰三角形的底角时，顶角的度数为； （2）就是顶角的度数． 综上，这个等腰三角形的顶角是或． 故答案为：或． 【变式2-2】（24-25七年级上·浙江绍兴·开学考试）等腰三角形其中两个角的比是，这个三角形的顶角可能是 度或 度． 【答案】 20 120 【分析】本题考查了等腰三角形， 分为当顶角较小时和当顶角较大时两种情况，然后根据等腰三角形的性质两底角相等求解． 【详解】解：当顶角较小时，顶角度数是：（度） 当顶角较大时，顶角度数为：（度） 答：这个等腰三角形的顶角是20度或120度． 故答案为：20，120． 【变式2-3】（24-25七年级下·上海松江·期末）在中，，，点是三边上的动点．当为等腰三角形时，其顶角的度数是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形．熟练掌握等腰三角形的性质，分情况讨论，作出图形，是解题的关键． 作出图形，然后分点P在上与上两种情况讨论求解． 【详解】解：①如图1，点P在上时， ， 顶角为； ②点P在上时， ∵， ∴， 如图2，若为顶角， 则顶角； 如图3，若为底角， 取， 则顶角为， 综上所述，顶角为或或． 故答案为: 或或． 类型三、求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错 1. 边与角的不确定性分类缺失：等腰三角形边的问题中，未区分腰与底，如已知两边求周长未验证三边关系；角的问题里，未明确已知角是顶角或底角，像已知一个锐角未分情况计算其他角。 2. 图形位置与条件组合漏解：涉及高、中线等辅助线时，未考虑高在形内或形外，中线分割后的边长关系等多种位置情形，同时对题目条件的不同组合未全面分析，导致遗漏多种可能情况。 例3．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，中，，，，D为斜边上不与端点A、B重合的一动点，过点D作，垂足为E，将沿翻折，点A的对应点为点F，连接．若为等腰三角形，则的长为 ． 【答案】或． 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一的性质是解题关键．由题意可知，是等腰直角三角形，则，由折叠的性质可知，，根据等腰三角形三线合一的性质，得到，再根据点的分为分两种情况分别求解即可． 【详解】解：，为等腰三角形， 是等腰直角三角形， ， 由折叠的性质可知，， ， ， 如图1，当点在上时，，则； 如图2，当点在的延长线上时，，则； 综上可知，的长为或 故答案为：或． 【变式3-1】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，在三角形纸片中，，，将三角形纸片折叠，使点的对应点落在上，折痕与，分别相交于点、，当为等腰三角形时，的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，等腰三角形的性质，折叠性质，熟练相关性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点和易错点．先求出，由折叠的性质得出，再分三种情况：①当时；②当时；③当时分别进行求解即可． 【详解】解：在中，， ， 由折叠的性质得：， 当为等腰三角形时，有以下三种情况： ①当时，如图1所示： ， ， ， ； ②当时，此时点与点C重合，如图2所示： ， ， ， ； ； ③当时，如图3所示： ， ， ， ， 综上所述：的度数为或或， 故答案为：或或． 【变式3-2】（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，在四边形中，，，，为上一动点，在运动过程中，与相交于点，当为等腰三角形时，的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理．根据等边对等角可得：，再由三角形内角和定理求得，求得，然后分三种况讨论即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 当为等腰三角形时， ①当时，， ②当时，， ③当时，， 故答案为：或或． 【变式3-3】（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，为等腰三角形，是边上的高，，动点分别在边上（点不与点重合），满足．当为等腰三角形时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用；分为三种情况：①，②，③，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解． 【详解】解：分为3种情况： ①当时， ∵为等腰三角形，是边上的高，， ∴， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴， ； ②当时， 则， ， ， 根据三角形外角性质得：， 这种情况不存在； ③如图所示，当时， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ∴， ∴， 当为等腰三角形时，或． 故答案为：或． 【变式3-3】（24-25八年级下·山西晋中·期中）如图，在中，，，，点D在边上，且，点E是边上的一个动点（不与点A，B，重合），连接，当是等腰三角形时，线段的长度为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握分类讨论是关键． 分类讨论，根据勾股定理、等腰三角形性质、含30度角的直角三角形的性质进行解答即可． 【详解】解：过点作交于点， ∵，，， ， 设，则， 在中，， 即， ，（负值已舍去）， ； 当时， ∵， ∴； 当时， 过点作交于点， ， ∵，， ， ， ， ∴点A与点E重合，不符合题意； 当时， 过点作交于点， ， 设，则， 在中，， 即， 解得：，（负值舍去）， ， ∴； 综上分析，线段的长度为或； 故答案为：或． 类型四、三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错 1.三角形形状与高线位置关系不清：锐角三角形的三条高均在形内；直角三角形两条直角边的高为另一条直角边；钝角三角形有两条高在形外。若未根据三角形形状讨论高的位置，在计算边长、面积或角度时易出错，如求钝角三角形面积，忽略高在形外的情况会导致错误。 2.多种线段组合的情形遗漏：当三角形存在高线、中线、角平分线等多种线段时，未考虑不同形状下这些线段的位置组合，如等腰三角形底边上的高与中线重合，但非等腰三角形不重合，不分类讨论易漏解。 例4．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数是 ． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，三角形的内角和定理，正确画出图形是解题的关键．根据题意画出图形，根据三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】解：①等腰三角形为锐角三角形， ， ； ②等腰三角形为钝角三角形， ， 故答案为：或． 【变式4-1】（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15和11两部分，则此三角形的底边长为 ． 【答案】或 【知识点】加减消元法、三角形三边关系的应用、根据三角形中线求长度、等腰三角形的定义 【分析】本题考查三角形三边关系，等腰三角形的定义，三角形中线的性质．利用分类讨论的思想是解题关键． 根据题意作出图形，设，然后分两种情况列出方程组求解，再根据三角形的三边关系判断即可求解． 【详解】解：如图所示， 根据等腰三角形的定义和三角形中线的性质得：． 可设， ∴． 由题意得：或， 解得：或． 当时，即此时等腰三角形的三边为，符合三角形的三边关系， 当时，即此时等腰三角形的三边为，符合三角形的三边关系， 综上可知这个等腰三角形的底边长是或． 故答案为：或． 【变式4-2】等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为和两部分，那么这个等腰三角形的底边长是 ． 【答案】/厘米 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的定义（至少有两边等长或相等的三角形）、二元一次方程组的几何应用、三角形的三边关系定理；依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．如图（见解析），分①；②两种情况，再分别根据等腰三角形的定义建立二元一次方程组，解方程组可得等腰三角形的三边长，然后利用三角形的三边关系定理进行检验即可得． 【详解】解：如图，是等腰三角形，是腰上的中线， 设，则， 由题意，分以下两种情况： ①当时， 则， 解得， 此时等腰三角形的三边长分别为，不满足三角形的三边关系定理，舍去； ②当时， 则， 解得， 此时等腰三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系定理， 因此，这个等腰三角形的底边长为． 故答案为：． 【变式4-3】（24-25八年级下·陕西西安·期中）在中，，过点A的一条直线将该三角形分成的两个小三角形均为等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了三角形内角和定理、分类讨论的思想、等腰三角形的性质、三角形外角定理．解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质．分两种情况：一种情况是把分成两个等腰三角形，且、；另一种情况是把分成两个等腰三角形，且、，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：如下图所示，当过的顶点A把分成两个等腰三角形，且、时， 设，则， ， 三角形内角和为， ， ， 解得：， ； 如下图所示，当过的顶点A把分成两个等腰三角形，且、时， 设， 则，， 三角形内角和为， ， ， 解得：， ； 综上所述，的度数可以是或． 故答案为： 或． 【变式4-4】（24-25八年级上·江苏盐城·期中）在中，，点D在边上，若直线将分割成一个直角三角形和一个等腰三角形，则的度数是 ． 【答案】或或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键． 分三种情形，分别画出图形，利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图1中，当，时，满足条件． 如图2中，当，时，可得， ∴． 如图3中，当，时，， ∴， 故答案为：或或． 类型五、等腰三角形中与新定义型问题的多解题没有分类讨论产生易错 1.新定义规则下的等腰属性分类缺失：未依据新定义明确等腰三角形的边、角对应关系，如定义“特殊等腰三角形”对腰长与底边存在特殊限制，未分情况讨论腰与底是否满足新规则，易漏解。 2.新定义与等腰性质组合的多解遗漏：忽略新定义条件与等腰三角形三线合一、内角和等性质的多种组合情形，如定义“关联等腰三角形”涉及角度计算，未考虑顶角与底角在新规则下的不同取值范围，导致错解。 例5．等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（    ） A． B． C．或2 D．或 【答案】D 【分析】分为腰长和底边长，两种情况进行讨论即可． 【详解】解：当为腰长时， ∵等腰的周长为20， ∴的底边长为：， ∴“优美比”为； 当为底边长时， 的腰长为：， ∴“优美比”为； 故选D． 【点睛】本题考查等腰三角形的定义．熟练掌握等腰三角形的两腰相等，是解题的关键．注意，分类讨论． 【变式5-1】定义：若三角形满足其中两边之和等于第三边的三倍，则称该三角形为“三倍三角形”．若等腰三角形是三倍三角形，且其中一边长为，则的周长为 ． 【答案】或 【知识点】等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系，设等腰三角形的腰长为，底长为，分两种情况讨论：当时；当时． 【详解】设等腰三角形的腰长为，底长为． （1）当时，分两种情况： ①若，解得． 则三角形的三边长为，，，不符合题意． ②若，解得， 则的三边长为，，，符合题意． 的周长为． （2）当时，分两种情况： ①若，解得， 则三角形的三边长为，，，不符合题意． ②若，解得， 则的三边长为，，，符合题意． 的周长为． 综上所述，的周长为或． 【变式5-2】定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，它一边长为3，则等腰的腰为 ． 【答案】6或3 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】分两种情况讨论：①当时，则底边为，此时符合题意；②当时，，此时符合题意，从而可得到答案． 【详解】解：是等腰三角形， ∴设， 是“倍长三角形”，且有一边为3； ①当时，则底边为，此时符合题意； ②当时，，此时符合题意， 所以，若等腰是“倍长三角形”， 且有一边为3；，则腰的长为3或6， 故答案为：3或6． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，利用分类讨论思想，熟练掌握三角形三边关系是解题关键． 【变式5-3】（23-24九年级下·辽宁沈阳·期中）经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”，在中，，若存在过点C的“钻石分割线”，使是“钻石三角形”，则满足条件的的度数为 ． 【答案】或或或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是注意进行分类讨论．分五种情况进行讨论，当，时，当，时，当，时，当，时，当，时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：当，时，如图所示：    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即此时． 当，时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即此时． 当，时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即此时． 当，时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即此时． 当，时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即此时． 综上分析可知：的度数为：或或或． 故答案为：或或或． 一、单选题 1．（25-26八年级上·新疆·阶段练习）已知等腰三角形的一边长为3，周长为13，则它的底边长为（   ） A．7 B．3 C．7或3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形，三角形三边关系．这个边长可能为底边长也可能为腰长，分类讨论求解即可． 【详解】解：当底边为3时，腰长，符合题意； 当腰长为3时，底边，而3，3，7不能构成三角形，不符合题意； 综上所述，它的底边长为5． 故选：B． 2．（24-25八年级上·全国·期中）若等腰三角形的顶角为，则它的底角度数为（　　） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形内角和定理和等腰三角形的性质．理解三角形内角和等于和等腰三角形的两个底角相等是解决此题的关键． 根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：该三角形底角的度数为． 故选：A． 3．（25-26七年级上·辽宁鞍山·开学考试）一个等腰三角形的两条边长分别是3厘米和4厘米，它的周长是（   ） A．7厘米 B．10厘米 C．11厘米 D．10厘米或11厘米 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形三边关系，根据等腰三角形的性质，分两种情况讨论即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：当3为腰时，等腰三角形的三边为：3，3，4，因为，符合三角形三边关系； 当4为腰时，等腰三角形的三边为：4，4，3，因为，符合三角形三边关系； ∴等腰三角形的周长为：（厘米）或（厘米）， 故选：D． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）若等腰三角形一条腰上的高与另一条腰的夹角为，则它的底角是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，合理分析图形是解题的关键． 分类讨论等腰三角形的形状，再利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：分两种情况，如图①，，： ∴， ∴； 如图②，，， ∴，， ∴； 故选：D． 5．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知等腰三角形的底边长为，一边上的中线把其周长分成两部分，这两部分的差为，则腰长为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】题目主要考查等腰三角形的定义，理解题意，结合图形分情况分析求解即可． 【详解】解：是边的中点， ． （1）如图①，当时， 即当时，； （2）如图②，当， 即时，． 综上所述，腰长为或． 故选C． 6．（25-26八年级上·全国·期中）在等腰三角形中，，是边上任意一点(点不与、两点重合)，过点作的垂线，与直线交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了垂线的定义，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，以及三角形外角的性质， 根据垂线的定义得到，从而求得，根据等腰三角形的性质计算即可，注意分两种情况进行讨论．掌握这些相关知识点是解题的关键． 【详解】解：依题意，①如图1， ∵， ∴． 又∵， ∴． ∵是等腰三角形， ∴； ②如图2， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∵是等腰三角形， ∴； 综上所述：或 故选：C． 7．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t等于多少时，是等腰三角形？（） A．3 B．3或6 C．6 D．6或12 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质,等边三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复． 根据是等腰三角形，分两种情况进行讨论：①点P在上，②点P在上，然后根据等腰三角形的性质列出方程求解即可． 【详解】解：①如图，当点P在上，时，是等腰三角形， ∵，， ∴当时，，解得； ②如图，当P在上时，由，是等腰三角形，得 是等边三角形，则， ∵，， ∴当时，，解得； 综上可得：当或6秒时，是等腰三角形， 故选B． 二、填空题 8．（25-26八年级上·河南信阳·阶段练习）等腰三角形两边长分别是5和12，则这个等腰三角形的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是等腰三角形的定义，三角形的三边关系的应用，分腰长为5和12两种情况，再结合三角形的三边关系进行验证，再求其周长即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 当5是腰时，三边为5，5，12，且，所以等腰三角形不存在； 当12是腰时，三边为5，12，12且，所以等腰三角形周长是； ∴等腰三角形周长是29． 故答案为： 9．（24-25八年级上·广东汕头·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，三角形外角的性质，分顶角为钝角和顶角为锐角两种情况，分别求解即可得出答案，熟练掌握三角形内角和定理，三角形外角的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图，当顶角为钝角时， 则顶角为； 如图，当顶角为锐角时， 则顶角为； 综上所述，底角的度数为或． 故答案为：或． 10．（23-24八年级下·四川眉山·期中）在直角坐标系中有和两点，在坐标轴上有一点C， 使以A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则这样的C点有 个 【答案】8 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，分别讨论当、和时三种情况下，坐标轴上有几个这样的C点即可． 【详解】解：如图， 若，则有，，共3个点， 若，则有点，，共3个点， 若，则有、共2个点， ∴以A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，这样的C点有8个， 故答案为：8 11．（24-25七年级下·河南开封·期末）如图，，在直线上有一点且使得是以为腰的等腰三角形，则度数应该是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质分三种情况讨论即可． 根据题意分三种情况讨论：如图，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可得到结论． 【详解】解：∵ ①如图：当时，连接， ∵， ∴ ②如图：当时，连接， ∵， ∴ ③如图：当时，连接， ∵， 故答案为：或或. 12．（24-25八年级上·河南信阳·期末）在中，，，，以为边，作等边，过点D作于E，则的长为 ． 【答案】7或 【分析】此题重点考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 分两种情况讨论，一是顶点D与顶点C在直线同侧，在上截取，连接，因为，所以是等边三角形，则，，所以，由是等边三角形，得，，可证明≌，得，，求得，因为，所以，则，求得；二是顶点D与顶点C在直线异侧，在BC上截取，连接，可证明≌，得，，推导出，因为，所以，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1，顶点D与顶点C在直线同侧，在上截取，连接、， ，， 是等边三角形，， ，， ， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 于E， ， ， ， ； 如图2，顶点D与顶点C在直线异侧，在上截取，连接， 和都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ≌， ，， ， 于E， ， ， ， ， 综上所述，的长为7或， 故答案为：7或． 13．（24-25八年级下·四川南充·阶段练习）如图，已知为等腰直角三角形，其中，，点C在线段AB上运动（不与点A、点B重合），当以点C、O、B为顶点的三角形为等腰三角形时，则AC的长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质以及等腰直角三角形的相关知识，解题关键是分情况讨论等腰三角形的不同情况．分情况讨论以点C、O、B为顶点的三角形为等腰三角形的情况，即三种情况，然后根据等腰直角三角形的性质和勾股定理等知识求解的长度． 【详解】解：当时， ，， ∴， 当时， ， ， ， ， ， ， 当时，C与A或B重合，此种情况不成立． ∴当以点C、O、B为顶点的三角形为等腰三角形时，的长为或． 故答案为：或． 14．（21-22八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，点是边上一动点（不与重合），过点作于点，连接，将沿直线翻折，点落在点处，直线与直线相交于点，当为等腰三角形时，则 ． 【答案】或或． 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出，根据折叠得，，再结合为等腰三角形，进行分类讨论，且逐个情况作图，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵过点作于点，将沿直线翻折， ∴，， ∵为等腰三角形， ∴当时， 则 ∵， 即 ∵ ∴ 解得 ∴ 即； ∴当时， 则 ∵， 即 ∵， ∴， ∵， ∴， 即； ∴当时，在的延长线上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故， ∴， 即， 综上：或或， 故答案为：或或． 三、解答题 15．（2025八年级上·内蒙古·专题练习）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形． (1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？ (2)能围成有一边长是的等腰三角形吗？为什么？ 【答案】(1)，， (2)能构成有一边长为的等腰三角形，另两边长为， 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形的三边关系，解一元一次方程等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）设底边长为，则腰长为，则，求解即可； （2）分已知当为底时，当为腰时，两种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：设底边长为， 腰长是底边的2倍， 腰长为， ， 解得， ， 各边长为：，，． （2）解：①当为底时，腰长； ②当为腰时，底边， ， 不能构成三角形，故舍去； 能构成有一边长为的等腰三角形，另两边长为，． 16．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，D 是 边上的一个动点(不与点 B，C重合)，作，交于点 E． (1)当时， ， ； (2)当 等于多少时，？请说明理由； (3)在点 D的运动过程中，当是等腰三角形时，求的度数． 【答案】(1)25；110 (2)，见解析 (3)或 【分析】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用． （1）由平角的定义求出，进而求出的度数，最后根据三角形内角和定理求出即可； （2）当时，由“”可证； （3）根据题意，分当时；当时；当时．进行分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 故答案为：25，110； （2）解：当时，，理由如下： ，，， ， ， ∴当时， ， ； （3）解：， ， 当是等腰三角形时，分情况讨论： 当时，有， ， 点E和点C重合，不符合题意，舍去； 当时， ， ， ， ∴； 当时，有， ， , 综上所述：的度数为或． 17．（24-25八年级下·甘肃临夏·阶段练习）如图，点是等边内一点，是外的一点，已知，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，求的度数； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题关键是掌握全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质． （1）先利用全等三角形的性质得出，再根据证得结论成立； （2）先等边三角形的性质得出，再求出，然后利用全等三角形的性质求得，从而可求得，进而求得； （3）先利用等腰三角形的性质求得，从而可求得，，进而求得，再分、、三种情况，分别求得． 【详解】（1）证明：， ． ， 是等边三角形； （2）是等边三角形， ． ． ， ， ， ； （3）是等边三角形， ． ， ， ， ． ①当时，， ． ②当时，， ． ③当时，， ． 综上所述，当或或时，是等腰三角形． 18．（24-25九年级上·黑龙江七台河·期末）是等边三角形，边在射线上，点D是射线上的动点，当点D在线段上移动且不与点A重合时如图1，点D在线段上移动时如图2，将绕点C逆时针方向旋转得到，连接． (1)任选其中一个图形证明是等边三角形． (2)若的边长为4，且，设，是否存在t值，使是直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)存在，或14 【分析】（1）由旋转的性质可得，，由等边三角形的判定可得结论； （2）分四种情况，由旋转的性质和直角三角形的性质可求解． 【详解】（1）证明：∵将绕点C逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形； （2）解：存在， ①当时， 根据解析（1）可知：是等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 由旋转可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，此时只能， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； ②当时，根据旋转可知：， ∴， ∴此时可能是直角三角形； ③时，点D与点B重合， ∴此时D、B、E不能构成三角形； ④ 当时，由旋转的性质可知，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴中只能是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 综上所述：当或14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $