专题02 第24题 几何的坐标应用（高效培优期中专项训练）数学沪教版五四制九年级上册

专题02 第24题 几何的坐标应用 考点01-考点02 角度问题、锐角的三角比及其综合 考点03 存在性问题—相似问题+其他 考点04 反比例函数的几何应用 考点05 动态问题 考点06 新定义题 考点01-考点02 角度问题、锐角的三角比及其综合 1．（23-24九年级上·上海黄浦·期中）已知：如图，各顶点的坐标分别是．    (1)求的余切值； (2)若点在轴的正半轴，且与相似，请直接写出点的坐标； (3)已知点在轴上，如果，求点的坐标． 2．（23-24九年级上·上海虹口·期中）已知在平面直角坐标系中，线段与x轴交于点C，经过点B的直线与x轴交于点D．    (1)求点C、D的坐标； (2)连接，求的面积； (3)点P在x轴上且在点D的右侧，如果，求点P的坐标． 3．（23-24九年级上·上海·期中）如图，直线经过点，与轴、轴分别交于两点，点坐标为． (1)求点坐标； (2)在轴上找一点（在的左边），使得，求点的坐标； (3)直线交轴于点，若线段上存在一点，使，求点的坐标； 4．（2023·上海金山·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点，直线与轴交于点，与抛物线的对称轴直线交于点． (1)求抛物线的表达式及对称轴； (2)如果该抛物线平移后经过点，其顶点在原抛物线上，且点在直线的右侧，求点的坐标； (3)点在直线上，若，求点的坐标． 5．（23-24九年级上·上海崇明·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在x轴负半轴上，且．    (1)求的长及的正弦值． (2)若点C在x轴正半轴上，且．点D是x轴上的动点，当时，求点D坐标． 6．（24-25九年级上·上海闵行·期中）如图在平面直角坐标系内，已知点，，，，点在轴的负半轴上，且． (1)求直线的表达式； (2)点是直线在第三象限上的点，连结，且，求的值； (3)在（2）的条件下，连结，在直线上是否存在点，使得．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（24-25九年级上·上海金山·期中）已知的顶点、的坐标分别是、、点在轴正半轴，的面积为12． (1)求点的坐标； (2)若点在轴的正半轴，且是等腰三角形，请直接写出点的坐标； (3)已知点在轴上，如果，求点的坐标． 8．（24-25九年级上·上海·期中）在平面直角坐标系中（如图），一次函数图像与反比例函数图像相交于点和，点是该反比例函数图像上的一个动点，连接，与y轴的正半轴交于点D．    (1)求一次函数解析式及的面积； (2)当时，求点C到x轴的距离； (3)当与x轴夹角与相等时，求m的值． 考点03 存在性问题—相似问题+其他 9．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点和点，点． (1)求直线的表达式和线段的长度； (2)连接线段，求的值； (3)设线段与x轴交于点 P，如果点C在x轴上，且 与 相似，求点C的坐标． 10．（23-24九年级上·上海嘉定·期中）已知，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴相交于A、B两点，且点C的坐标为，连接，与y轴相交于点D    (1)求线段的长度； (2)求点D的坐标； (3)点E在x轴上，如果和相似，求点E的坐标． 11．（22-23九年级上·上海徐汇·期中）如图，在直角坐标系中，，点B绕着点A顺时针旋转得到 (1)求直线的表达式 (2)求直线的表达式 (3)若平面内有一点C，使是以为腰的等腰三角形且与相似，求点C的坐标 12．（23-24九年级上·上海宝山·期中）如图，在直角坐标平面内，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、B，将该直线向上平移，使点A落在点P处，平移后所得直线与x轴交于点C．    (1)求的正切值； (2)如果四边形是等腰梯形，求平移后的直线表达式； (3)如果与相似，求这时四边形的面积． 13．（22-23九年级上·上海·期中）如图，在等腰直角中，，已知、，M为中点． (1)求点的坐标： (2)求的大小； (3)在x轴上是否存在点，使得以为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 14．（23-24九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，平行四边形在平面直角坐标系中，，若、的长是关于x的一元二次方程的两个根，且．    (1)求的值． (2)若E为x轴上的点，且，求点E的坐标，并判断与是否相似？ (3)平面内是否存在点M，使得以点A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形？如果有请直接写出点M的坐标． 考点04 反比例函数的几何应用 15．（2024·上海静安·三模）已知：如图，第一象限内的点在反比例函数的图像上，点在轴上，轴，点的坐标为，且．求： (1)反比例函数的解析式； (2)点的坐标； (3)的余弦值． 16．（24-25九年级上·上海·期中）如图，平面直角坐标系中中，在反比例函数的图象上取点，连接，与的图象交于点，点纵坐标为过点作轴交函数的图象于点，连接、． (1)用含的代数式表示点坐标； (2)若与相似，求出此时的值． (3)过点作轴交函数的图象于点，连接，与交于点与面积的比值是否会发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个的比值． 考点05 动态问题 17．（24-25九年级上·上海宝山·期中）已知：直线与轴交于点，与直线交于点． (1)求的值； (2)若点在轴负半轴上，，求点的坐标； (3)在（）的条件下：将直线绕点旋转，求旋转后直线的解析式． 18．（22-23九年级上·江苏扬州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标为、、，点D是线段的一动点，它以每秒2个单位速度从A点向O点运动，连接过点D作的垂线交于E点，设D点的运动时间为t秒（）． (1)当D点到达的中点时，________； (2)请用t的代数式表示的长度，并求出t为何值时，有最小值，是多少？ (3)若已知F点在直线上，，P为x轴上一点且于点P，请直接写出满足此条件的P点坐标． 考点06 新定义题 19．（24-25九年级上·上海宝山·期中）在平面直角坐标系中，放置一个矩形，使矩形的一个顶点和坐标原点重合，点和点分别在第一和第四象限内，若点和点的纵坐标满足“”，则称矩形具有“条件”．如图，矩形中，，． (1)当矩形具有“条件0”，求此时点坐标； (2)当矩形具有“条件1”，求此时与轴正半轴所夹角的正弦值； (3)若矩形具有“条件”，当点在第一象限内，连接并延长交轴正半轴于点，连接，，若与相似，直接写出此时的值． 20．（24-25九年级上·上海黄浦·期中）在平面直角坐标系中，把一条线段绕其一个端点顺时针旋转，并把这条线段伸长或缩短，称这样的运动叫作线段的“旋似”，经“旋似”运动后新线段和原线段的夹角为“旋似角”，新线段长和原线段长比值为“旋似比”．平面直角坐标系中有一点，把线段绕点做“旋似”运动，点的对应点是点，若“旋似角”为：    (1)当“旋似比”为时，直接写出点的坐标； (2)过点作轴，点为垂足，连接，若与相似，求此时点的坐标； (3)当“旋似比”为时，设线段与轴交于点，点是轴上一点，且满足，求点的坐标． 21．（23-24九年级上·上海静安·期中）在平面直角坐标系中，对于直线l及点P给出如下定义：过点P作y轴的垂线交直线l于点Q，若，则称点P为直线l的关联点，当时，称点P为直线l的最佳关联点，当点P与点Q重合时，记．例如，点是直线的最佳关联点．根据阅读材料，解决下列问题．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线：，：．    (1)已知点，，上述各点是直线的关联点是_______； (2)若点是直线的最佳关联点，求m的值； (3)点E在x轴的正半轴上，点，以、为边作正方形，若直线与正方形相交，且交点中至少有一个是直线的关联点，求b的取值范围． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 第24题 几何的坐标应用 考点01-考点02 角度问题、锐角的三角比及其综合 考点03 存在性问题—相似问题+其他 考点04 反比例函数的几何应用 考点05 动态问题 考点06 新定义题 考点01-考点02 角度问题、锐角的三角比及其综合 1．（23-24九年级上·上海黄浦·期中）已知：如图，各顶点的坐标分别是．    (1)求的余切值； (2)若点在轴的正半轴，且与相似，请直接写出点的坐标； (3)已知点在轴上，如果，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）由两点距离公式可求，，由直角三角形的性质可求的长，即可求解； （2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解； （3）根据题意可得，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 如图1，过点B作于H，    ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵点P在y轴正半轴上， ∴， 当时，则， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； 当时，则， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； 综上所述：当点P的坐标为或时，与相似； （3）解：∵，， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴， ∴， 此时点M的坐标为或．    【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质是解题的关键． 2．（23-24九年级上·上海虹口·期中）已知在平面直角坐标系中，线段与x轴交于点C，经过点B的直线与x轴交于点D．    (1)求点C、D的坐标； (2)连接，求的面积； (3)点P在x轴上且在点D的右侧，如果，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)3 (3) 【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解； （2）证明为直角三角形，即可求解； （3）证明，得到，即可求解． 【详解】（1）解：将点B的坐标代入得：，则， 则直线的表达式为：，则点； 设直线的表达式为：， 将点A的坐标代入上式得：， 则， 则直线解析式：， 令，则， 故点； （2）由点A、B、D的坐标得：， ， 则，则为直角三角形， 则的面积； （3）由点B、D的坐标知， ， ， ， ， ， ， ∴， ，    则， 则， ， 点P在轴上且在点D的右侧， 则点P的坐标为：． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到求一次函数解析式，一次函数与坐标轴交点问题，三角形相似、勾股定理的运用、面积的计算等，综合性强，难度适中． 3．（23-24九年级上·上海·期中）如图，直线经过点，与轴、轴分别交于两点，点坐标为． (1)求点坐标； (2)在轴上找一点（在的左边），使得，求点的坐标； (3)直线交轴于点，若线段上存在一点，使，求点的坐标； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据直线经过点，求得，得到，令，则，即得； （2）设直线解析式为，把，代入，解方程组得到，根据，得到，求出，得到直线解析式为，当时，，即得； （3）过点C作于点G，过点P作于点H，得到，得到，求出，，, ，根据勾股定理得到，设，得到，根据得到，求得，得到，求得，得到，得到，得到，即得． 【详解】（1）∵直线经过点， ∴， ∴， ∴， 令，则， ∴， ∴； （2）根据题意作图如下， 设直线解析式为， 把，代入， 得，， 解得，， ∴， 设和的边上的高分别为和， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵中，当时，， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴； （3）过点C作于点G，过点P作于点H， 则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴轴， ∴， ∵，， ∴，，, ， ∴， 设， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合．熟练掌握待定系数法求函数解析式，一次函数图象和性质，同底等积三角形性质，勾股定理解直角三角形，相似三角形的判断和性质，是解决问题的关键． 4．（2023·上海金山·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点，直线与轴交于点，与抛物线的对称轴直线交于点． (1)求抛物线的表达式及对称轴； (2)如果该抛物线平移后经过点，其顶点在原抛物线上，且点在直线的右侧，求点的坐标； (3)点在直线上，若，求点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式，进一步即可求出抛物线的对称轴； （2）求出直线的解析式，进而求出C点坐标，设平移后的顶点坐标为，则有平移后的解析式为，把点C坐标代入求出解题即可； （3）分点E在点D的上方时和点E在点D的下方两种情况解题，过E作于点F，利用正切求出与的关系进行解题． 【详解】（1）解：把点和点代入得： ， 解得， ∴ 对称轴为直线， （2）设直线的解析式为,代入得： ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴C点坐标为， 设平移后的顶点坐标为， 则解析式为， 把代入得：或（舍）， ∴， （3）∵, ∴， 对于，当时，， ∴点D的坐标为， ∴， 当点E在点D的上方时，过E作于点F， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 当点E在点D的下方时，过E作于点F， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题考查三角函数，待定系数法求解析式，平移，二次函数的图象和性质，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 5．（23-24九年级上·上海崇明·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在x轴负半轴上，且．    (1)求的长及的正弦值． (2)若点C在x轴正半轴上，且．点D是x轴上的动点，当时，求点D坐标． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查勾股定理，三角函数以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意得到的长，再求出，结合勾股定理以及三角函数即可求解； （2）连接，设，当点D在C左侧时以及当点D在点C右侧时两种情况分情况讨论． 【详解】（1）解：， ． 在中， ， ，， ，． （2）解：联结，设． 在中， ，， ， ①当点D在C左侧时，，． ，， ， ， ， ，． ②当点D在点C右侧时，，． ， ． 在中，， ， ，．    综上所述，，． 6．（24-25九年级上·上海闵行·期中）如图在平面直角坐标系内，已知点，，，，点在轴的负半轴上，且． (1)求直线的表达式； (2)点是直线在第三象限上的点，连结，且，求的值； (3)在（2）的条件下，连结，在直线上是否存在点，使得．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由，结合点在轴的负半轴上，求出点P的坐标，设直线的表达式为，把P、D两点代入为，求得k，b的值即可； （2）由，得到，结合为的公共角，由两边对应成比例且夹角相等的三角形相似，可得，由此，过M作轴于H，设点，由由，解直角三角形的性质易得，得到，求出，即可求； （3）分两种情况：点E在C左侧和点E在C右侧讨论即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴ ， ∵，点在轴的负半轴上，即， ∴， 设直线的表达式为，把P、D两点代入为， 则，解得：， ∴直线的表达式为； （2）解：如图，连接，过M作轴于H， ， ∴， ∵为的公共角， ∴， ∴， 设点，则， ∵，， ∴， ∴， ， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵ ， 又 ∵ ， ∴ 轴 ， 当点E在C左侧， 则， ∵ ， ∴ ， ∴， ∵， ∴. ∴， ∴； 过点A作于点N，则， 当点E在C右侧时，记为点， ∵ ， ∴ 点与E关于直线对称，则 综上所述，E的坐标为或． 【点睛】本题主要考查一次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，正确作出辅助线，构造三角形相似是解题的关键． 7．（24-25九年级上·上海金山·期中）已知的顶点、的坐标分别是、、点在轴正半轴，的面积为12． (1)求点的坐标； (2)若点在轴的正半轴，且是等腰三角形，请直接写出点的坐标； (3)已知点在轴上，如果，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3)，点的坐标为或 【分析】（1）根据题意，设，可得，由三角形的面积的计算方法即可求解； （2）根据勾股定理可得，根据等腰三角形的判定和性质分类讨论：当时；当时；当时；结合等腰三角形的性质，坐标与图形的特点分析即可求解； （3）根据题意可得，在上取的中点，可得，由此分类讨论：第一种情况，点在点的位置，可证，可得点；第二种情况，点在点的位置，根据题意可得，点关于轴对称，可得；由此即可求解． 【详解】（1）解：∵点在轴正半轴， ∴设， ∵、，的面积为12， ∴， ∴，即， 解得，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 当时，是等腰三角形， ∴， ∴； 当时，是等腰三角形， ∵， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴此时点与点重合，不符合题意，舍去； ∴点的坐标为或； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在上取的中点，如图所示， ∴， ∴， ∴，，， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， 第一种情况，点在点的位置， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 第二种情况，点在点的位置， ∵， ∴， ∴点关于轴对称， ∴； ∴，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查坐标与图形，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质，理解坐标与图形的关系，掌握等腰三角形的判定和性质，勾股定理的运用，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质是解题的关键． 8．（24-25九年级上·上海·期中）在平面直角坐标系中（如图），一次函数图像与反比例函数图像相交于点和，点是该反比例函数图像上的一个动点，连接，与y轴的正半轴交于点D．    (1)求一次函数解析式及的面积； (2)当时，求点C到x轴的距离； (3)当与x轴夹角与相等时，求m的值． 【答案】(1)，4 (2) (3) 【分析】（1）根据一次函数图像与反比例函数图像相交于点和，确定，，代入解析式计算即可．设直线与y轴的交点为N，利用直线解析式计算，结合计算即可． （2）过点A作轴于点Q，过点C作轴于点R，根据三角形相似，反比例函数的性质，结合，求点C的纵坐标，再计算其绝对值即可得到与x轴的距离； （3）过点O作于点S，计算，， 过点C作轴于点T，利用等角的三角函数值相等，建立方程，结合反比例函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：根据一次函数图像与反比例函数图像相交于点和， 设反比例函数的解析式为． 则， 解得， 则反比例函数的解析式为． 当时， 故点， 设一次函数解析式为， ∴， 解得， 故解析式为；． 设直线与y轴的交点为N， 则， 故， ∴．    （2）解：过点A作轴于点Q，过点C作轴于点R， 则， 故， ∴， ∵，， ∴， 解得， 故， ∴， ∴点C到x轴的距离为；    （3）解：过点O作于点S， ∵点和， ∴，， ∴， ∴， ∵点是该反比例函数图像上的一个动点， ∴，， 过点C作轴于点T， 根据题意，得， ∴， 整理，得（舍去）， ∴， 解得（舍去）， ∴．    【点睛】本题考查了待定系数法，三角函数的应用，勾股定理，反比例函数的性质，解方程，熟练掌握待定系数法，三角函数的应用是解题的关键． 考点03 存在性问题—相似问题+其他 9．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点和点，点． (1)求直线的表达式和线段的长度； (2)连接线段，求的值； (3)设线段与x轴交于点 P，如果点C在x轴上，且 与 相似，求点C的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求直线的表达式，利用两点间距离公式求线段的长度； （2）先求出的长度，利用勾股定理的逆定理判定是直角三角形，则； （3）分两种情况，当时，，过点B作轴于点Q，根据求解；当时，，此时点C与点P重合． 【详解】（1）解：设直线的表达式为， 将和代入，得：， 解得， 设直线的表达式为， ，， ； （2）解：如图， ，， ， ，， ， ， 是直角三角形， ； （3）解：由（1）知直线的表达式为， 令，得，解得， ， 当时，，如图，过点B作轴于点Q， ， ，， ， ， 由（2）知，即， ，即， ， ， ； 当时，，此时点C与点P重合， ； 综上所述，点C的坐标为或． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，两点间距离公式，求角的正切值，勾股定理的逆定理，相似三角形的性质等，能够综合应用上述知识点，以及分类讨论思想是解题的关键． 10．（23-24九年级上·上海嘉定·期中）已知，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴相交于A、B两点，且点C的坐标为，连接，与y轴相交于点D    (1)求线段的长度； (2)求点D的坐标； (3)点E在x轴上，如果和相似，求点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3)的坐标为或． 【分析】（1）先求解A，B的坐标，再利用勾股定理计算的长度即可； （2）先求解直线的解析式，再求解直线与轴的交点坐标即可； （3）如图：连接，利用瑞三角函数证明，过作，而，证明四边形为平行四边形，，再证明，可得，再结合平行四边形的性质可得答案，当时，可得，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：令，则， ， ， 令，则， ， ， ； （2）如图，设直线的解析式为，   ， 解得， ， 令，则， ； （3）如图：连接， ， 轴，， ， ， ， ， ， ，    过作，而， ∴四边形为平行四边形，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，而， ∴，即， 当时， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，即， ∴，即， 综上：的坐标为或． 【点睛】本题考查的是一次函数与坐标轴的交点坐标问题，利用待定系数法求解一次函数的解析式，勾股定理的应用，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 11．（22-23九年级上·上海徐汇·期中）如图，在直角坐标系中，，点B绕着点A顺时针旋转得到 (1)求直线的表达式 (2)求直线的表达式 (3)若平面内有一点C，使是以为腰的等腰三角形且与相似，求点C的坐标 【答案】(1)直线为 (2)直线为 (3)或或或 【分析】（1）设直线为，把代入建立方程组，再解方程组即可； （2）过作轴于交于  过作轴于 在上取点 使，证明，可得 设 则 求解 可得 再利用待定系数法求解函数解析式即可； （3）由为等腰三角形， 而是以为腰的等腰三角形且与相似，则或 再分两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：设直线为，把代入得： ，解得：， ∴直线为 （2）如图，由题意可得 过作轴于交于  过作轴于 在上取点 使， ∴， ∴ 设 则 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 设直线为 ∴ 解得： ∴直线为 （3）由题意可得：为等腰三角形， 而是以为腰的等腰三角形且与相似， ∴或 如图，当 此时满足条件； ∴ 过作轴于 ∴ 由 设 则 ∴ 解得：（负根舍去）， ∴ ∴ 当与重合时，显然满足条件， 此时同理可得： ∴ 此时 当时，满足条件； 过作 交轴于 过作于 ∴ ∴ 同理可得： ∴ ∴ 如图，当时，满足条件； 过作轴，过作于 同理可得： ∴ ∴ 综上的坐标为：或或或 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，二次根式的运算，本题综合程度高，难度较大，对学生的计算能力要求高． 12．（23-24九年级上·上海宝山·期中）如图，在直角坐标平面内，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、B，将该直线向上平移，使点A落在点P处，平移后所得直线与x轴交于点C．    (1)求的正切值； (2)如果四边形是等腰梯形，求平移后的直线表达式； (3)如果与相似，求这时四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出的坐标，设向上平移个单位，得到直线的解析式，进而得到点坐标，根据正切的定义，进行求解即可； （2）根据平移，得到，进而得到当四边形是等腰梯形时，，过点作轴，在中，利用勾股定理，求出的值，即可； （3）分和两种情况进行讨论求解． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，， ∴，， 设直线向上平移个单位，则点平移后的对应点为，平移后直线的解析式为， ∴当时，， ∴， ∴轴，，    ∴； （2）如图，    ∵平移， ∴， ∴当四边形是等腰梯形时，， 由（1）知：，， ∴， 过点作轴于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 即：， 解得：（不合题意，舍去）或； ∴直线的解析式为：； （3）①当时，如图：    则：， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴轴， ∵， ∴， ∴，， ∴四边形的面积为； 当时，如图：    则：，， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为； 综上：四边形的面积为或． 【点睛】本题考查一次函数图象的平移，解直角三角形，勾股定理，等腰梯形的性质，相似三角形的判定和性质．解题的关键是读懂题意，正确的画出图象，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，属于压轴题． 13．（22-23九年级上·上海·期中）如图，在等腰直角中，，已知、，M为中点． (1)求点的坐标： (2)求的大小； (3)在x轴上是否存在点，使得以为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，， 【分析】（1）作轴于．证明，利用全等三角形的性质即可解决问题； （2）过点作轴，垂足为点．根据平行线等分线段定理证得是中点，再求出坐标即可解决问题； （3）在中，，得，证得平分，再由与相似，根据相似的性质求出点坐标即可； 【详解】（1）过点作轴，垂足为点．    ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 又 ∴， ∵， ∴． ∴，， ∴ （2）设点的坐标为， 过点作轴，垂足为点．    ∵，． ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ （3）存在点，分两种情况：    ∵在中， ∵， ∴ 当点在轴时， ∵， ∴当与相似．有或 ∴或 ∴， 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 14．（23-24九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，平行四边形在平面直角坐标系中，，若、的长是关于x的一元二次方程的两个根，且．    (1)求的值． (2)若E为x轴上的点，且，求点E的坐标，并判断与是否相似？ (3)平面内是否存在点M，使得以点A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形？如果有请直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2)点E的坐标为或；，理由见解析 (3)存在，点M的坐标为或或 【分析】（1）解一元二次方程求出、的长度，再根据正弦定义求解即可； （2）根据求出和长，即可求解； （3）分三种情况：①、为邻边，、为对角线时，即，②、为邻边，、为对角线时，即，、为邻边，、为对角线时，即，然后根据平移的坐标变换规律求解即可． 【详解】（1）解： ， ， ，或， ∵， ，， ∴， ∴． （2）解：， ， 当点E在x正半轴上时， ， 当点E在x负半轴上时， ， ∴点E的坐标为或； 此时； 理由如下： ，， ， 又， ； （3）解：①、为邻边，、为对角线时，即， 此时点M与点D重合， ∴； ②、为邻边，、为对角线时，即， 则， ∴将点A向左平移6个单位得到点M， ∴， ③、为邻边，、为对角线时，即， 则，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴向右平移3个单位，向下平移4个单位，与重合， ∴； 综上，存在，点M的坐标为或或． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法、平行四边形的性质、三角形面积的计算、相似三角形的判定、平移和坐标变换；本题难度较大，综合性强，特别注意分类讨论，以免漏解． 考点04 反比例函数的几何应用 15．（2024·上海静安·三模）已知：如图，第一象限内的点在反比例函数的图像上，点在轴上，轴，点的坐标为，且．求： (1)反比例函数的解析式； (2)点的坐标； (3)的余弦值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的应用，涉及待定系数法求函数解析式、图形与坐标、锐角三角函数，数形结合思想的运用是解答的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）过A作于D，则，设，根据坐标与图形性质得到，，进而列方程求解t值即可； （3）先求得，再根据勾股定理求解，再根据余弦定义求解即可． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， ∵第一象限内的点在反比例函数的图像上，点的坐标为， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：过A作于D，则， 设， ∵轴， ∴，， ∴， 解得，经检验，符合所列方程， 故点C坐标为； （3）解：∵轴， ∴点B的纵坐标为1， 将代入中，得，则， ∴， 又，， ∴， ∴． 16．（24-25九年级上·上海·期中）如图，平面直角坐标系中中，在反比例函数的图象上取点，连接，与的图象交于点，点纵坐标为过点作轴交函数的图象于点，连接、． (1)用含的代数式表示点坐标； (2)若与相似，求出此时的值． (3)过点作轴交函数的图象于点，连接，与交于点与面积的比值是否会发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个的比值． 【答案】(1) (2) (3)不变；比值为 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合运用，相似三角形的性质与判定； （1）先求得，进而求得直线的解析式为，联立反比例函数与正比例函数，即可求解； （2）根据题意得出，，，则，进而根据相似三角形的性质可得，勾股定理建立方程，即可求解； （3）设点的坐标为则求出，，的坐标，从而得出，的长度，得出直线，直线的解析式，进而求出直线的解析式，然后求出点的坐标，将直线的解析式与反比例函数联立方程组，求出点的坐标，从而计算，，即可计算出比值． 【详解】（1）解：∵点纵坐标为，点在上， ∴点的横坐标为， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：（舍去）或 ∴； （2）∵轴，点纵坐标为， ∴点的纵坐标为， 又∵点在上， ∴点的横坐标为 ∴， ∵，， ∴是的中点， ∴ ∵轴 ∴， ∴当与相似，只有一种情况 ∴，即 ∴ 解得：（负值舍去） （3）解：设的坐标为， 由轴，可知点，点的横坐标相等， 则点的坐标为，的坐标为 ∴，， 设直线的解析式为，将点，代入得， 所以直线的解析式为①， 设直线的解析式为，将点代入得， 所以直线的解析式为③， 设直线的坐标为，将，的坐标代入得， ，解得 , ∴， 联立①②，得，解得：， ， 将③与联立得，， 解得：，，则， 所以 考点05 动态问题 17．（24-25九年级上·上海宝山·期中）已知：直线与轴交于点，与直线交于点． (1)求的值； (2)若点在轴负半轴上，，求点的坐标； (3)在（）的条件下：将直线绕点旋转，求旋转后直线的解析式． 【答案】(1)，； (2)点； (3)旋转后直线的解析式为或． 【分析】（）将点的坐标代入得，即点，将点的坐标代入一次函数表达式得，即可求解； （）证明得到即可求解； （）设，则，则，则，得到点，即可求解；当直线逆时针旋转时和上述直线夹角为，利用相似三角形的判定与性质和待定系数法求出此时直线的表达式为，即可求解； 本题考查了一次函数，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等，勾股定理，掌握知识点的应用是题解题的关键． 【详解】（1）解：将点代入得：， ∴ ，即点， ∴将点代入一次函数表达式得：，则； （2）解：由（）得，， ∴一次函数的表达式为， 当时，， ∴点， 由点得，， ∵直线和轴负半轴的夹角为， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴则， ∴点； （3）解：如图，设顺时针旋转交轴于点，过点作交于点， 设的表达式为，将点的坐标代入上式得，则， ∴直线的表达式为， 设交轴于点， 令，则， 则点，则， 由点的坐标得， ∵，， 设，则，则， 则， 解得：， 则，则点， 由（2）可知，， 由直线的表达式为，把，，代入解析式得， 解得：, 直线的表达式为， 由上可得点，，绕点逆时针旋转后如图，设直线与轴交于点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设表达式为， ∴，解得， ∴直线的表达式为， 综上，旋转后直线的解析式为或． 18．（22-23九年级上·江苏扬州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标为、、，点D是线段的一动点，它以每秒2个单位速度从A点向O点运动，连接过点D作的垂线交于E点，设D点的运动时间为t秒（）． (1)当D点到达的中点时，________； (2)请用t的代数式表示的长度，并求出t为何值时，有最小值，是多少？ (3)若已知F点在直线上，，P为x轴上一点且于点P，请直接写出满足此条件的P点坐标． 【答案】(1) (2)6 (3)或或 【分析】（1）先证明，再根据相似三角形的性质即可求解； （2）证明，根据相似三角形的性质即可求解，然后得出，由，根据二次函数的性质即可求解； （3）分点F在线段上，在的延长线上，在的延长线上，进行分类讨论，结合根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵A、B、C三点的坐标为、、， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∴， 解得：， ∴． （2）解：∵， ∴ ∴， ∴ ∵， 所以当时，有最大值，最大值为2 此时的值最小，最小值为6； （3）解：设，则． 如图，当点F在线段上时， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 当点F在的延长线上时，即为，连接，， 因为， 所以， 则, 即， 所以这种情况不符合条件， 当点F在的延长线上时，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（如图中的点）， 即或 综上所述，满足条件的点的坐标为或或． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，正方形的性质与判定，坐标与图形，根据题意分类讨论是解题的关键． 考点06 新定义题 19．（24-25九年级上·上海宝山·期中）在平面直角坐标系中，放置一个矩形，使矩形的一个顶点和坐标原点重合，点和点分别在第一和第四象限内，若点和点的纵坐标满足“”，则称矩形具有“条件”．如图，矩形中，，． (1)当矩形具有“条件0”，求此时点坐标； (2)当矩形具有“条件1”，求此时与轴正半轴所夹角的正弦值； (3)若矩形具有“条件”，当点在第一象限内，连接并延长交轴正半轴于点，连接，，若与相似，直接写出此时的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）过点作轴，过点作轴，可证得，得，由题意可知，即，则，令，，由勾股定理即可求解； （2）由题意可得，即，则，设，则，由勾股定理可得，解得（舍去），即，再根据正弦的定义即可求解； （3）由题意可知，分别两种情况：当时，则，，当时，则，分别求出即可求解． 【详解】（1）解：过点作轴，过点作轴，则， 在矩形中，，，， 则，而， ∴， ∴， ∴，即：， 当矩形具有“条件0”时，即：， ∴，即， 则，令，， 由勾股定理可得：，即：， 解得：（负值舍去）， ∴，， 则此时点的坐标为； （2）当矩形具有“条件1”时，即：， ∴，即，则， 设，则， 由勾股定理可得：，即：， 解得：（舍去），即， ∴， 则此时与轴正半轴所夹角的正弦值为； （3）由题意可知：， 当时，则，， 此时，则， ∴，则， ∴，则， ∵， ∴，则， ∴， ∴； 当时，则， 此时，则， ∴，则， ∴，则， ∵， ∴，则， ∴， ∴； 综上，当与时，或． 【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，解直角三角形，勾股定理，解一元二次方程，添加辅助线构造相似三角形和直角三角形是解决问题的关键． 20．（24-25九年级上·上海黄浦·期中）在平面直角坐标系中，把一条线段绕其一个端点顺时针旋转，并把这条线段伸长或缩短，称这样的运动叫作线段的“旋似”，经“旋似”运动后新线段和原线段的夹角为“旋似角”，新线段长和原线段长比值为“旋似比”．平面直角坐标系中有一点，把线段绕点做“旋似”运动，点的对应点是点，若“旋似角”为：    (1)当“旋似比”为时，直接写出点的坐标； (2)过点作轴，点为垂足，连接，若与相似，求此时点的坐标； (3)当“旋似比”为时，设线段与轴交于点，点是轴上一点，且满足，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3)点的坐标为或 【分析】（1）作轴于，轴于，则，由题意可得：，， ，，证明，由相似三角形的性质可得，，即可得解； （2）作轴于，轴于，由（1）可得：，再由相似三角形的性质可得，由，得出若与相似，则有或，再分情况求解即可； （3）当“旋似比”为时，由（1）可得点的坐标为，延长交轴于点，待定系数法求出直线的解析式为，从而得出，进而得出，证明，在轴负半轴取点，证明，求出，即可得出点的坐标为；在轴正半轴取点，同理可证，求出，即可得出点的坐标为． 【详解】（1）解：如图，作轴于，轴于，则，   ， 由题意可得：，， ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴； （2）解：如图，作轴于，轴于，   ， 由（1）可得：， ∴， ∵， ∴若与相似，则有或， 当时，则说明“旋似比”为，从而根据可得，，此时的坐标为； 当时，则说明“旋似比”为3，从而根据可得，，此时的坐标为； 综上所述，点的坐标为或； （3）解：当“旋似比”为时，由（1）可得点的坐标为， 如图，延长交轴于点，   ， 设直线的解析式为， 代入、两点坐标可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，即， 当时，，解得，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在轴负半轴取点， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， 则点的坐标为； 在轴正半轴取点，同理可证， ∴， ∴，即， 解得：， 则点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，一次函数等知识，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 21．（23-24九年级上·上海静安·期中）在平面直角坐标系中，对于直线l及点P给出如下定义：过点P作y轴的垂线交直线l于点Q，若，则称点P为直线l的关联点，当时，称点P为直线l的最佳关联点，当点P与点Q重合时，记．例如，点是直线的最佳关联点．根据阅读材料，解决下列问题．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线：，：．    (1)已知点，，上述各点是直线的关联点是_______； (2)若点是直线的最佳关联点，求m的值； (3)点E在x轴的正半轴上，点，以、为边作正方形，若直线与正方形相交，且交点中至少有一个是直线的关联点，求b的取值范围． 【答案】(1)A； (2)3或5； (3)或． 【分析】（1）根据定义分别判断即可； （2）由题意可知，求出m的值即可； （3）画出图象，当直线经过时，，当直线经过时，，则时，交点中至少有一个是直线的关联点；当直线经过时，，当直线经过时，，当时，可得交点中至少有一个是直线l1的关联点． 【详解】（1）解：如图，      当时，，则， ∴， ∴A点是直线的关联点； 当时，则，解得：， ∴， ∴B点不是直线的关联点； 故答案为：A； （2）解：设过点D的垂直于y轴的直线交于点Q，      当时，，解得：， ∴， ∵点是直线的最佳关联点， ∴， ∴或， 故答案为：3或5； （3）解：∵四边形是正方形，， ∴，E点在x轴正半轴， ∴， 如图，当直线在和之间，在和之间时，符合条件；      当时，对于，，此时A是直线的最佳关联点，当直线经过时，； 当时，对于，，此时是直线的最佳关联点，当直线经过时，， ∴时，交点中至少有一个是直线的关联点； 当时，对于，，，此时是直线的最佳关联点，当直线经过时，， 当时，对于，，，此时E是直线的最佳关联点，当直线经过时，， ∴当时，交点中至少有一个是直线的关联点； 综上所述：或时，交点中至少有一个是直线的关联点． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，一次函数与坐标轴的交点，一次函数与几何综合等知识，熟练掌握一次函数的图象及性质，理解定义，数形结合讨论是解题的关键． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $