专题02 一次函数（期中复习讲义）八年级数学上学期新教材沪科版

专题02 一次函数（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 函数的相关概念 能准确区分变量与常量，理解函数定义，掌握函数的三种表示方法及描点法画函数图象的步骤 基础必考点，多在小题中考查对概念的理解，是后续函数学习的基础 正比例函数的图象与性质 能熟练掌握正比例函数的定义、图象特征（过原点的直线）及性质（k 对图象象限、增减性的影响） 重要基础考点，常结合一次函数考查，在小题中涉及图象、性质分析 一次函数的图象与性质 能掌握一次函数的定义、图象画法（两点法）、性质（k 对增减性的影响），理解图象与系数 k、b 的关系，以及图象的平移规律 核心考点，各类题型均有涉及，是函数部分的重点，常与应用、方程不等式结合考查 一次函数的应用 能将实际问题抽象为一次函数模型，利用函数性质解决问题，熟练掌握实际问题的解题步骤（审题、设未知数、列解析式、解决问题、得出结果） 高频应用型考点，多以实际场景（如行程、销售、工程等）为背景，以解答题形式考查，难度中等 一次函数与方程、不等式的关系 能从 “数” 和 “形” 两个角度，理解一次函数与一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式（组）的联系，解决相关问题 重要综合考点，常与方程、不等式综合，在中档题中考查，体现函数与代数的联系 知识点01 函数的相关概念 1、变量与常量 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量. 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做常量. 2、函数 函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与y，如果对于 x在它允许取值范围内的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么我们就说y 是 x 的函数，其中 x是自变量.如果当 x = a 时 y = b，那么 b 叫做当自变量的值为 a时的函数值. 3、函数的表示方法 （1）列表法：通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法. （2）解析法：用数学式子表示函数关系的方法叫解析法，其中的数学式子叫做函数表达式（或函数解析式） （3）图象法：一般地,对于一个函数,如果把自变量x与函数y的每对对应值作为点的横坐标与纵坐标,在坐标平面内描出相应的点,这些点所组成的图形,就是这个函数的图象:用图象来表示两个变量问的函数关系的方法,叫作图象法. 4、描点法画函数图象的一般步骤如下： 第一步：列表——表中给出一些自变量的值及其对应的函数值； 第二步：描点——在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点； 第三步：连线——按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来. 知识点02 正比函数的图象与性质 1、正比例函数的定义： 一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 2、正比例函数的图象： 正比例函数y=k x(k≠0)的图象是经过原点（0,0）和点(1，k)的一条直线. 3、正比例函数的性质： 正比例函数y＝k x（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝k x． 当k＞0时，直线y＝k x依次经过第一、三象限，从左向右上升，y随x的增大而增大； 当k＜0时，直线y＝k x依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小． 越大,y随x的增大而增大( 或减小)的速度越快. 知识点03 一次函数的图象与性质 1、一次函数的概念：一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． 2、一次函数图象的画法： 两点法：经过两点（0，b）、（，0）或（1，k+b）作直线y＝k x+b． 注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确． ②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． 3、一次函数的性质： 当k＞0时，y随x的增大而增大，函数从左到右上升； 当k＜0时，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 越大,y随x的增大而增大( 或减小)的速度越快. 4、一次函数图象与系数的关系 直线y＝k x+b（k≠0）的位置由k和b的符号决定．其中k决定直线从左到右呈上升还是下降趋势；b决定直线与y轴的交点的位置是正半轴，负半轴，还是原点. 当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴； 当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． ①k＞0，b＞0⇔y＝k x+b的图象在一、二、三象限； ②k＞0，b＜0⇔y＝k x+b的图象在一、三、四象限； ③k＜0，b＞0⇔y＝k x+b的图象在一、二、四象限； 5、一次函数图象的平移 将直线y＝k x（k≠0）沿着y轴平移|b|个单位得到直线y＝k x+b．当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移． 知识点04 一次函数的应用 1、利用一次函数解决实际问题，关键是分析题中的数量关系，联系实际生活及以前学过的内容，将实际问题抽象、升华为一次函数模型，即建模，再利用函数的性质解决问题. 2、在研究有关一次函数的实际问题时的解题步骤： 审题：认真读题，分析题中各个量之间的关系； 设未知数：根据各个量之间的关系设满足题意的自变量； 列函数解析式：根据各个量之间的关系列出函数解析式； 解决问题：利用函数解析式或图象的性质解决问题； 得出结果. 知识点05 一次函数的方程、不等式的关系 1、一次函数与一元一次方程的关系 从“数”的角度看: 求ax+b＝0（a≠0）的解就是函数y＝ax+b（a≠0）中，y=0时，x的值. 从“形”的角度看：求ax+b＝0（a≠0）的解就是直线y＝ax+b（a≠0）与x轴交点的横坐标. 2、一次函数与二元一次方程（组）的关系 从“数”的角度看：解方程组，相当于当求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看：解方程组，相当于确定的两条直线的交点坐标. 3、一次函数与一元一次不等式（组）的关系 从“数”的角度看：就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从“形”的角度看：就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 题型一 根据一次函数的定义求参数 解｜题｜技｜巧 1.认准形式：标准式 y=kx+b，两参数待定。 2.单点代入：已知一点坐标，直接代数建模。 3.两点联立：用两组对应值解二元一次方程组。 【典例1】表示一次函数，则m等于 ． 【变式1】已知函数是关于x的一次函数，则 ． 【变式2】若为一次函数，则 ． 题型二 根据一次函数解析式判断其经过的象限 解｜题｜技｜巧 直线y＝k x+b（k≠0）的位置由k和b的符号决定．其中k决定直线从左到右呈上升还是下降趋势；b决定直线与y轴的交点的位置是正半轴，负半轴，还是原点. 当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴； 当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． ①k＞0，b＞0⇔y＝k x+b的图象在一、二、三象限； ②k＞0，b＜0⇔y＝k x+b的图象在一、三、四象限； ③k＜0，b＞0⇔y＝k x+b的图象在一、二、四象限； 【典例1】一次函数的图象经过（   ） A．一、二、三象限B．一、二、四象限 C．一、三、四象限 D．二、三、四象限 【变式1】若点在第二象限，则一次函数的图象经过的象限为（   ） A．第一、三、四象限 B．第二、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、二、三象限 【变式2】一次函数的图象不可能是（   ） A．B． C． D． 题型三 一次函数图象与坐标轴的交点问题 解｜题｜技｜巧 1. 求 x 轴交点（横截距） 令 y=0，解方程 kx+b=0 → 得交点坐标 。 注意：当直线过原点时，此点即原点 (0,0)。 2. 求 y 轴交点（纵截距** 直接取 x=0，代入得 y=b → 交点为 (0, b)。 【典例1】直线与轴交点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，点在一次函数的图象上，图象与轴的交点为点，试解决下面的问题： (1)求直线的函数表达式； (2)试求的面积． 【变式2】已知一次函数的图象经过，两点，且与x轴交于点C，求： (1)一次函数的表达式； (2)求出点C的坐标； (3)画出一次函数的图象，并求的面积． 题型四 根据一次函数增减性求参数 解｜题｜技｜巧 当k＞0时，y随x的增大而增大，函数从左到右上升； 当k＜0时，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 【典例1】已知一次函数的图像经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【变式1】在平面直角坐标系中，一次函数和，无论x取何值始终有，则m的取值范围是 ． 【变式2】已知y关于x的一次函数． (1)若y随x的增大而减小，求m的取值范围； (2)若y是x的正比例函数，求m的值． 题型五 一次函数的应用 解｜题｜技｜巧 一次函数的实际问题解题步骤： 审题：认真读题，分析题中各个量之间的关系； 设未知数：根据各个量之间的关系设满足题意的自变量； 列函数解析式：根据各个量之间的关系列出函数解析式； 解决问题：利用函数解析式或图象的性质解决问题； 得出结果. 【典例1】随着信息技术的快速发展，“互联网+”渗透到我们日常生活的各个领域，网上在线学习交流已不再是梦，现有某教学网站策划了A，B两种上网学习的月收费方式： 收费方式 月使用费/元 包时上网时间 超时费/（元） A 12 40 0.5 B m n 0.6 设每月上网学习时间为x小时，方案A，B的收费金额分别为 (1)如图是与x之间函数关系的图象，请根据图象填： ； ． (2)求出与之间的函数关系式 ． (3)如果每月上网时间60小时，选择哪种方式上网学习合算，为什么？ 【变式1】某超市销售两款保温杯，已知款保温杯的销售单价比款保温杯多10元，用1200元购买款保温杯的数量与用960元购买款保温杯的数量相同． (1)、两款保温杯销售单价各是多少元？ (2)由于需求量大，、两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且款保温杯的数量不少于款保温杯数量的一半，款保温杯的进价为每个30元，款保温杯的进价为每个35元，若两款保温杯的销售单价不变，应如何进货才使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？ 【变式2】甲、乙两地相距，一列快车和一列慢车都从甲地驶往乙地，慢车先行驶1小时后，快车才开始行驶．已知快车的速度是，以快车开始行驶时开始计时（两车都到乙站停止计时），设时间为，两车之间的距离为，图中的折线是与之间的函数关系的一部分图象． 根据函数图像回答下列问题： (1)求慢车的速度； (2)求两车相遇，到快车到达乙站时，与的函数关系式；并指出取值范围； (3)试在图中补全点以后的图象． 题型六 已知直线与坐标轴交点求方程的解 解｜题｜技｜巧 从“数”的角度看: 求ax+b＝0（a≠0）的解就是函数y＝ax+b（a≠0）中，y=0时，x的值. 从“形”的角度看：求ax+b＝0（a≠0）的解就是直线y＝ax+b（a≠0）与x轴交点的横坐标. 【典例1】已知一次函数的图象如图所示，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，若一次函数的图象经过两点，则关于x的方程的解为 ． 【变式2】已知一次函数的图象如图所示，利用图象回答下列问题： （1）关于的方程的解为 ； （2）关于的方程的解为 ； （3）关于的方程的解为 ． 题型七 根据两条直线的交点求不等式的解集 解｜题｜技｜巧 1. 确定两条直线对应的方程。 2. 联立求解交点坐标，解二元一次方程组找到两直线的交点 。 3. 分析不等式的符号方向。 4. 结合图像绘制辅助判断，画出草图标注交点及区域范围，尤其注意边界线的虚实（实线含等号，虚线不含）。 5. 处理特殊情形，若两直线平行无交点，则需单独讨论每条直线对应的不等式解集；若重合则合并为同一条件。此时不存在传统意义上的“交点”。 6. 写出最终解集形式。 【典例1】如图，一次函数与的图象交点横坐标为，则不等式的解集为 ． 【变式1】同一平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（　　　） A． B． C． D． 【变式2】直线与直线 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为 ． 题型八 求直线围成的图形面积 解｜题｜技｜巧 1. 明确边界：确定所有参与围成的直线方程 。 2. 求交点坐标：找出所有顶点位置。 3. 绘制草图：直观判断图形形状。 4. 选择合适的面积公式进行计算。 【典例1】如图，直线的解析式为，且与轴交于点，直线经过点、，直线，交于点． (1)求点的坐标； (2)求直线的解析式； (3)求的面积； (4)在直线上存在异于点的另一点，使得是的面积的倍，求点的坐标． 【变式1】已知一次函数的图象经过点和． (1)求和的值； (2)画出函数图象（需标出坐标轴及关键点）； (3)当时，求的值； (4)求该函数与坐标轴围成的三角形面积． 【变式2】已知直线经过点． (1)求直线的解析式； (2)若直线与轴交于点D，与直线相交于点C，求的面积； (3)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级下·上海·期中）若是一次函数，则的值为（   ） A．1 B． C． D．无法确定 2．（25-26八年级上·全国·期中）正比例函数的图象如图所示，则的图象大致是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·全国·期中）一次函数的与的部分对应值如下表所示，根据表中数值分析，下列结论错误的是（   ） … 0 1 2 … … 5 2 … A．是方程的解 B．随的增大而减小 C．一次函数的图象经过第一、二、四象限 D．一次函数的图象与轴交于点 4．（25-26八年级上·全国·期中）在平面直角坐标系中，函数的图像与x轴交于A，B两点(点A位于点B左侧)． (1)点A坐标为__________，点B坐标为__________． (2)若点在函数图像上，求n的值． (3)点P是函数图像上一动点，其横坐标为m，点P不与点A重合，将图像上P，A之间的部分(包括点P、点A)记作图像G，图像G的最高点和最低点的纵坐标差为h，当时，求h关于m的函数表达式． 5．（25-26八年级上·全国·期中）已知一次函数． (1)在图中画出该函数的图象； (2)若和是一次函数图象上的两点，比较和的大小，并说明理由． 6．如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点、． (1)求直线l所对应的函数表达式． (2)若过点B，交y轴于点C，求的面积． 7．（25-26八年级上·全国·期中）应用意识 某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下： 方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠； 方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠． 设某学生暑期健身次数为x，按照方案一所需费用为（单位：元），且；按照方案二所需费用为（单位：元），且与x的函数图象如下图所示。 (1)________， ________； (2)求打折前的每次健身费用和的值． (3)八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，选择哪种方案所需费用较少？请说明理由． 8．“菊润初经雨，橙香独占秋”，橙子是一种甘甜爽口的水果，富含维生素．某水果商城购进了一批质量相等的“果冻橙”和“脐橙”，其中购买“果冻橙”用了元，“脐橙”用了元，已知每千克“果冻橙”进价比每千克“脐橙”贵元． (1)问每千克“果冻橙”和“脐橙”进价各是多少元？ (2)若该水果商城决定再次购买同种“果冻橙”和“脐橙”共千克，再次购买的费用不超过元，且每种橙子进价保持不变．若每千克“果冻橙”的售价为元，每千克“脐橙”的售价为元，则该水果商城应如何进货，使得第二批的“果冻橙”和“脐橙”售完后获得利润最大？最大利润是多少？ 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·江苏扬州·中考真题）已知，则一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·安徽·中考真题）已知一次函数的图象经过点M，且y随x的增大而增大．若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·山东济南·中考真题）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． (1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． (2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 6．（2025·西藏·中考真题）2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： (1)列方程（组）解应用题 若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ (2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？ 7．（2025·黑龙江·中考真题）一条公路上依次有A、B、C三地，一辆轿车从A地出发途经B地接人，停留一段时间后原速驶往C地；一辆货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地（卸货时间忽略不计）．两车同时出发，轿车比货车晚到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和货车距各自出发地的距离y（单位：）与轿车的行驶时间x（单位：h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)图中a的值是_______，b的值是_______； (2)在货车从B地返回C地的过程中，求货车距出发地的距离y（单位：）与行驶时间x（单位：h）之间的函数解析式； (3)直接写出轿车出发多长时间与货车相距40． 8．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，直接写出m的取值范围． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一次函数（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 函数的相关概念 能准确区分变量与常量，理解函数定义，掌握函数的三种表示方法及描点法画函数图象的步骤 基础必考点，多在小题中考查对概念的理解，是后续函数学习的基础 正比例函数的图象与性质 能熟练掌握正比例函数的定义、图象特征（过原点的直线）及性质（k 对图象象限、增减性的影响） 重要基础考点，常结合一次函数考查，在小题中涉及图象、性质分析 一次函数的图象与性质 能掌握一次函数的定义、图象画法（两点法）、性质（k 对增减性的影响），理解图象与系数 k、b 的关系，以及图象的平移规律 核心考点，各类题型均有涉及，是函数部分的重点，常与应用、方程不等式结合考查 一次函数的应用 能将实际问题抽象为一次函数模型，利用函数性质解决问题，熟练掌握实际问题的解题步骤（审题、设未知数、列解析式、解决问题、得出结果） 高频应用型考点，多以实际场景（如行程、销售、工程等）为背景，以解答题形式考查，难度中等 一次函数与方程、不等式的关系 能从 “数” 和 “形” 两个角度，理解一次函数与一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式（组）的联系，解决相关问题 重要综合考点，常与方程、不等式综合，在中档题中考查，体现函数与代数的联系 知识点01 函数的相关概念 1、变量与常量 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量. 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做常量. 2、函数 函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与y，如果对于 x在它允许取值范围内的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么我们就说y 是 x 的函数，其中 x是自变量.如果当 x = a 时 y = b，那么 b 叫做当自变量的值为 a时的函数值. 3、函数的表示方法 （1）列表法：通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法. （2）解析法：用数学式子表示函数关系的方法叫解析法，其中的数学式子叫做函数表达式（或函数解析式） （3）图象法：一般地,对于一个函数,如果把自变量x与函数y的每对对应值作为点的横坐标与纵坐标,在坐标平面内描出相应的点,这些点所组成的图形,就是这个函数的图象:用图象来表示两个变量问的函数关系的方法,叫作图象法. 4、描点法画函数图象的一般步骤如下： 第一步：列表——表中给出一些自变量的值及其对应的函数值； 第二步：描点——在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点； 第三步：连线——按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来. 知识点02 正比函数的图象与性质 1、正比例函数的定义： 一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 2、正比例函数的图象： 正比例函数y=k x(k≠0)的图象是经过原点（0,0）和点(1，k)的一条直线. 3、正比例函数的性质： 正比例函数y＝k x（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝k x． 当k＞0时，直线y＝k x依次经过第一、三象限，从左向右上升，y随x的增大而增大； 当k＜0时，直线y＝k x依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小． 越大,y随x的增大而增大( 或减小)的速度越快. 知识点03 一次函数的图象与性质 1、一次函数的概念：一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． 2、一次函数图象的画法： 两点法：经过两点（0，b）、（，0）或（1，k+b）作直线y＝k x+b． 注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确． ②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． 3、一次函数的性质： 当k＞0时，y随x的增大而增大，函数从左到右上升； 当k＜0时，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 越大,y随x的增大而增大( 或减小)的速度越快. 4、一次函数图象与系数的关系 直线y＝k x+b（k≠0）的位置由k和b的符号决定．其中k决定直线从左到右呈上升还是下降趋势；b决定直线与y轴的交点的位置是正半轴，负半轴，还是原点. 当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴； 当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． ①k＞0，b＞0⇔y＝k x+b的图象在一、二、三象限； ②k＞0，b＜0⇔y＝k x+b的图象在一、三、四象限； ③k＜0，b＞0⇔y＝k x+b的图象在一、二、四象限； 5、一次函数图象的平移 将直线y＝k x（k≠0）沿着y轴平移|b|个单位得到直线y＝k x+b．当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移． 知识点04 一次函数的应用 1、利用一次函数解决实际问题，关键是分析题中的数量关系，联系实际生活及以前学过的内容，将实际问题抽象、升华为一次函数模型，即建模，再利用函数的性质解决问题. 2、在研究有关一次函数的实际问题时的解题步骤： 审题：认真读题，分析题中各个量之间的关系； 设未知数：根据各个量之间的关系设满足题意的自变量； 列函数解析式：根据各个量之间的关系列出函数解析式； 解决问题：利用函数解析式或图象的性质解决问题； 得出结果. 知识点05 一次函数的方程、不等式的关系 1、一次函数与一元一次方程的关系 从“数”的角度看: 求ax+b＝0（a≠0）的解就是函数y＝ax+b（a≠0）中，y=0时，x的值. 从“形”的角度看：求ax+b＝0（a≠0）的解就是直线y＝ax+b（a≠0）与x轴交点的横坐标. 2、一次函数与二元一次方程（组）的关系 从“数”的角度看：解方程组，相当于当求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看：解方程组，相当于确定的两条直线的交点坐标. 3、一次函数与一元一次不等式（组）的关系 从“数”的角度看：就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从“形”的角度看：就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 题型一 根据一次函数的定义求参数 解｜题｜技｜巧 1.认准形式：标准式 y=kx+b，两参数待定。 2.单点代入：已知一点坐标，直接代数建模。 3.两点联立：用两组对应值解二元一次方程组。 【典例1】表示一次函数，则m等于 ． 【答案】 【详解】解：∵表示一次函数， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 【变式1】已知函数是关于x的一次函数，则 ． 【答案】 【详解】解：函数是关于x的一次函数， 则，且， 解得， 故答案为：． 【变式2】若为一次函数，则 ． 【答案】0 【详解】解：为一次函数， ，， 解得：， 故答案为：0． 题型二 根据一次函数解析式判断其经过的象限 解｜题｜技｜巧 直线y＝k x+b（k≠0）的位置由k和b的符号决定．其中k决定直线从左到右呈上升还是下降趋势；b决定直线与y轴的交点的位置是正半轴，负半轴，还是原点. 当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴； 当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． ①k＞0，b＞0⇔y＝k x+b的图象在一、二、三象限； ②k＞0，b＜0⇔y＝k x+b的图象在一、三、四象限； ③k＜0，b＞0⇔y＝k x+b的图象在一、二、四象限； 【典例1】一次函数的图象经过（   ） A．一、二、三象限 B．一、二、四象限 C．一、三、四象限 D．二、三、四象限 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴一次函数的图象经过第二、三、四象限， 故选：D． 【变式1】若点在第二象限，则一次函数的图象经过的象限为（   ） A．第一、三、四象限 B．第二、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、二、三象限 【答案】B 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， 则一次函数的图象经过的象限为第二、三、四象限， 故选：B． 【变式2】一次函数的图象不可能是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【详解】解：当时，， 该函数图象可能经过第一、三、四象限或第一、二、三象限或第一、三象限，所以选项不符合题意， 当时，，该函数图象经过第一、二、四象限，所以 A 选项不符合题意，B选项符合题意． 故选：B． 题型三 一次函数图象与坐标轴的交点问题 解｜题｜技｜巧 1. 求 x 轴交点（横截距） 令 y=0，解方程 kx+b=0 → 得交点坐标 。 注意：当直线过原点时，此点即原点 (0,0)。 2. 求 y 轴交点（纵截距** 直接取 x=0，代入得 y=b → 交点为 (0, b)。 【典例1】直线与轴交点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在中，当时，， 则直线与轴的交点坐标是， 故选：A． 【变式1】如图，点在一次函数的图象上，图象与轴的交点为点，试解决下面的问题： (1)求直线的函数表达式； (2)试求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题图可设直线的函数表达式为， 将点代入表达式，得， 解得， ∴直线的函数表达式为． （2）解：在中，令，得， ∴， ∴， ∴． 【变式2】已知一次函数的图象经过，两点，且与x轴交于点C，求： (1)一次函数的表达式； (2)求出点C的坐标； (3)画出一次函数的图象，并求的面积． 【答案】(1) (2) (3)图见解析，4 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴一次函数的解析式为：； （2）解：令得， 解得， ． （3）解：列表： x 0 y 2 0 画图如下： ， ， ． 题型四 根据一次函数增减性求参数 解｜题｜技｜巧 当k＞0时，y随x的增大而增大，函数从左到右上升； 当k＜0时，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 【典例1】已知一次函数的图像经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A．把代入，可得，移项可得，不满足y随x的增大而减小，故本选项不符合题意； B．把代入，可得，移项可得，满足y随x的增大而减小，故本选项符合题意； C．把代入，可得，移项可得 ，解得，不满足y随x的增大而减小，故本选项不符合题意； D．把代入，可得，移项可得，解得，不满足y随x的增大而减小，故本选项不符合题意． 故选：B． 【变式1】在平面直角坐标系中，一次函数和，无论x取何值始终有，则m的取值范围是 ． 【答案】/ 【详解】解：，． ， ， 整理得． 因为无论取何值，该不等式始终成立，所以一次项系数，即， 此时不等式变为， ， ， ． 故答案为：． 【变式2】已知y关于x的一次函数． (1)若y随x的增大而减小，求m的取值范围； (2)若y是x的正比例函数，求m的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：随x的增大而减小， ，解得：， 的取值范围是． （2）解：是x的正比例函数， ，解得， ． 题型五 一次函数的应用 解｜题｜技｜巧 一次函数的实际问题解题步骤： 审题：认真读题，分析题中各个量之间的关系； 设未知数：根据各个量之间的关系设满足题意的自变量； 列函数解析式：根据各个量之间的关系列出函数解析式； 解决问题：利用函数解析式或图象的性质解决问题； 得出结果. 【典例1】随着信息技术的快速发展，“互联网+”渗透到我们日常生活的各个领域，网上在线学习交流已不再是梦，现有某教学网站策划了A，B两种上网学习的月收费方式： 收费方式 月使用费/元 包时上网时间 超时费/（元） A 12 40 0.5 B m n 0.6 设每月上网学习时间为x小时，方案A，B的收费金额分别为 (1)如图是与x之间函数关系的图象，请根据图象填： ； ． (2)求出与之间的函数关系式 ． (3)如果每月上网时间60小时，选择哪种方式上网学习合算，为什么？ 【答案】(1)10，50 (2) (3)如果每月上网时间60小时，选择B方式上网学习合算，理由见解析 【详解】（1）解：由函数图象可知，，， 故答案为：10，50； （2）解：由图象知：，，超时费（元/h）； 当时，， 故答案为：； （3）解：如果每月上网时间60小时，选择B方式上网学习合算，理由如下： 依题意，当时，， ， ∵， ∴如果每月上网时间60小时，选择B方式上网学习合算． 【变式1】某超市销售两款保温杯，已知款保温杯的销售单价比款保温杯多10元，用1200元购买款保温杯的数量与用960元购买款保温杯的数量相同． (1)、两款保温杯销售单价各是多少元？ (2)由于需求量大，、两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且款保温杯的数量不少于款保温杯数量的一半，款保温杯的进价为每个30元，款保温杯的进价为每个35元，若两款保温杯的销售单价不变，应如何进货才使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)款保温杯销售单价是40元，款保温杯销售单价是50元； (2)购进款保温杯40个，款保温杯80个，最大利润是1600元． 【详解】（1）解：设款保温杯销售单价是元，则款保温杯销售单价是元， 依题意，得 解得， 经检验，是原方程的解， ∴（元） 答：款保温杯销售单价是40元，款保温杯销售单价是50元； （2）解：设这批保温杯的销售利润是元，购进款保温杯个，则购进款保温杯个， 款保温杯的数量不少于款保温杯数量的一半， ． 解得， 依题意，得． ， 随的增大而减小． 时，取最大值，最大值是（元）． 此时， 答：购进款保温杯40个，款保温杯80个，才使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是1600元． 【变式2】甲、乙两地相距，一列快车和一列慢车都从甲地驶往乙地，慢车先行驶1小时后，快车才开始行驶．已知快车的速度是，以快车开始行驶时开始计时（两车都到乙站停止计时），设时间为，两车之间的距离为，图中的折线是与之间的函数关系的一部分图象． 根据函数图像回答下列问题： (1)求慢车的速度； (2)求两车相遇，到快车到达乙站时，与的函数关系式；并指出取值范围； (3)试在图中补全点以后的图象． 【答案】(1)80千米/小时 (2) (3)见解析 【详解】（1）解：∵一列快车和一列慢车都从甲地驶往乙地，慢车先行驶1小时后，快车才开始行驶．以快车开始行驶时开始计时（两车都到乙站停止计时）， ∴由图象知：慢车速度为80千米/小时； （2）解：两车相遇时是A点，快车行驶的时间为6小时 ∴由图象可知，A点的坐标是，快车到达乙站时是B点， ∴慢车行驶的路程为，快车出发6小时行驶的路程为， ∴B点的纵坐标是， ∴B点坐标为， 设， 得 解得， ∴ （3）解：由（2）可知，快车到达乙站时，慢车还需行驶小时到达乙站， ∴图象与轴还有一个交点为， ∴连接B和点的线段即可补全图象， 如图： 题型六 已知直线与坐标轴交点求方程的解 解｜题｜技｜巧 从“数”的角度看: 求ax+b＝0（a≠0）的解就是函数y＝ax+b（a≠0）中，y=0时，x的值. 从“形”的角度看：求ax+b＝0（a≠0）的解就是直线y＝ax+b（a≠0）与x轴交点的横坐标. 【典例1】已知一次函数的图象如图所示，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由图可知，一次函数的图象与x轴的交点为， 所以关于x的方程的解为． 故选：C． 【变式1】如图，若一次函数的图象经过两点，则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【详解】解：由图象可知一次函数与x轴的交点坐标为， ∴关于x的方程的解为； 故答案为． 【变式2】已知一次函数的图象如图所示，利用图象回答下列问题： （1）关于的方程的解为 ； （2）关于的方程的解为 ； （3）关于的方程的解为 ． 【答案】 【详解】解：由图知，一次函数过点， 则（1）关于的方程的解为； （2）关于的方程的解为； （3）关于的方程的解为． 故答案为：；；． 题型七 根据两条直线的交点求不等式的解集 解｜题｜技｜巧 1. 确定两条直线对应的方程。 2. 联立求解交点坐标，解二元一次方程组找到两直线的交点 。 3. 分析不等式的符号方向。 4. 结合图像绘制辅助判断，画出草图标注交点及区域范围，尤其注意边界线的虚实（实线含等号，虚线不含）。 5. 处理特殊情形，若两直线平行无交点，则需单独讨论每条直线对应的不等式解集；若重合则合并为同一条件。此时不存在传统意义上的“交点”。 6. 写出最终解集形式。 【典例1】如图，一次函数与的图象交点横坐标为，则不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】解：∵一次函数与的图象交点横坐标为， ∴关于x的不等式的解集为， 故答案为：． 【变式1】同一平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：观察一次函数与正比例函数的图象， 得出这两直线的交点的横坐标为, 运用数形结合思想得关于的不等式的解集是， 故选：C． 【变式2】直线与直线 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】解：由图象可知，两直线相交于点， 当时，， 故答案为：． 题型八 求直线围成的图形面积 解｜题｜技｜巧 1. 明确边界：确定所有参与围成的直线方程 。 2. 求交点坐标：找出所有顶点位置。 3. 绘制草图：直观判断图形形状。 4. 选择合适的面积公式进行计算。 【典例1】如图，直线的解析式为，且与轴交于点，直线经过点、，直线，交于点． (1)求点的坐标； (2)求直线的解析式； (3)求的面积； (4)在直线上存在异于点的另一点，使得是的面积的倍，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) (4)的坐标为或 【详解】（1）解：由，令，得， ， ； （2）解：设直线的解析式表达式为， 把，；， 代入表达式得， 解得， 直线的解析式表达式为； （3）解：由， 解得， ， ， ； （4）解：与底边都是，的面积是面积的倍， 高就是点到直线的距离的倍， 即纵坐标的绝对值，则到距离， 点纵坐标是， ，， ， 解得， ， ，， ， 解得， ， 综上所述，的坐标为或． 【变式1】已知一次函数的图象经过点和． (1)求和的值； (2)画出函数图象（需标出坐标轴及关键点）； (3)当时，求的值； (4)求该函数与坐标轴围成的三角形面积． 【答案】(1)， (2)画图见解析 (3) (4) 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点和， ∴， 解得， 即，； （2）解：∵，； ∴一次函数解析式为， 当时，；当时，， 过点和画函数图象如下： （3）解：当时，； （4）解：由（）可知，，， ∴，， ∴． 【变式2】已知直线经过点． (1)求直线的解析式； (2)若直线与轴交于点D，与直线相交于点C，求的面积； (3)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1) (2)3 (3) 【详解】（1）解：把坐标代入中， 得：，解得：， ∴， 即直线的解析式为； （2）解：解，得：， 即； 令，得， 即， ∵， ∴； （3）解：当时，表明直线在直线的上方， 由图象知，此时， ∴的解集为． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级下·上海·期中）若是一次函数，则的值为（   ） A．1 B． C． D．无法确定 【答案】C 【详解】解：∵是一次函数， ∴， 解得， 故选：C． 2．（25-26八年级上·全国·期中）正比例函数的图象如图所示，则的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：正比例函数的图象，得出k的取值范围；再根据k的取值范围，判断，即可解答． 图象在第二、四象限， ， 一次函数经过第一、二、四象限， 故选B． 3．（25-26八年级上·全国·期中）一次函数的与的部分对应值如下表所示，根据表中数值分析，下列结论错误的是（   ） … 0 1 2 … … 5 2 … A．是方程的解 B．随的增大而减小 C．一次函数的图象经过第一、二、四象限 D．一次函数的图象与轴交于点 【答案】A 【详解】解：∵当时，；当时，． 将，代入，得 ． 将，，代入，得 ， 解得． ∴一次函数的表达式为． A．当时，，所以不是方程的解，该选项错误，符合题意； B．在一次函数中，，根据一次函数的性质，当时，随的增大而减小，该选项正确，不符合题意； C．在一次函数中，，，根据一次函数的性质，当，时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，该选项正确，不符合题意； D．当时，，所以一次函数的图象与轴交于点，该选项正确，不符合题意； 故选：A． 4．（25-26八年级上·全国·期中）在平面直角坐标系中，函数的图像与x轴交于A，B两点(点A位于点B左侧)． (1)点A坐标为__________，点B坐标为__________． (2)若点在函数图像上，求n的值． (3)点P是函数图像上一动点，其横坐标为m，点P不与点A重合，将图像上P，A之间的部分(包括点P、点A)记作图像G，图像G的最高点和最低点的纵坐标差为h，当时，求h关于m的函数表达式． 【答案】(1) (2)2 (3) 【详解】（1）解：因为函数的图像与x轴交于A，B两点， 所以当时，， 解得． 因为点A位于点B左侧， 所以． 故答案为：． （2）解：因为点在函数图像上， ∵， 所以，即， 所以n的值为2． （3）解：设， 当时，点P在线段上，， 此时图象G的函数表达式为， y随x的增大而减小，点是最低点，点A是最高点， ∴； 当时，点P在线段上， 此时图象G的函数表达式为 点是最低点，点A是最高点， ∴； 当时，点P在射线上，， 此时图象G的函数表达式为 点是最低点，点是最高点， ∴． 综上所述， 5．（25-26八年级上·全国·期中）已知一次函数． (1)在图中画出该函数的图象； (2)若和是一次函数图象上的两点，比较和的大小，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析． 【详解】（1）解：因为， 所以当时，； 当时，． 描点，该函数的图象如下： （2）解：因为，所以y随x的增大而增大, 因为， 所以． 6．如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点、． (1)求直线l所对应的函数表达式． (2)若过点B，交y轴于点C，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设直线的解析式为． 由题意得 直线的表达式为：． （2）解：过点， ． ． ． 当时，． ． ，，， ，． ． 7．（25-26八年级上·全国·期中）应用意识 某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下： 方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠； 方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠． 设某学生暑期健身次数为x，按照方案一所需费用为（单位：元），且；按照方案二所需费用为（单位：元），且与x的函数图象如下图所示。 (1)________， ________； (2)求打折前的每次健身费用和的值． (3)八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，选择哪种方案所需费用较少？请说明理由． 【答案】(1)15；30 (2)25元， (3)方案一，见解析 【详解】（1）将和带入， ， 解得：，故答案为：15，30. （2）由题意，得打折前的每次健身费用为（元），则． （3）选择方案一所需费用较少．理由如下： 由题意可知，． 当健身8次时，选择方案一所需费用为（元）； 选择方案二所需费用为（元）． 因为，所以选择方案一所需费用较少． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用，用待定系数法求解函数关系式并结合题意计算出原价是解题的关键． 8．“菊润初经雨，橙香独占秋”，橙子是一种甘甜爽口的水果，富含维生素．某水果商城购进了一批质量相等的“果冻橙”和“脐橙”，其中购买“果冻橙”用了元，“脐橙”用了元，已知每千克“果冻橙”进价比每千克“脐橙”贵元． (1)问每千克“果冻橙”和“脐橙”进价各是多少元？ (2)若该水果商城决定再次购买同种“果冻橙”和“脐橙”共千克，再次购买的费用不超过元，且每种橙子进价保持不变．若每千克“果冻橙”的售价为元，每千克“脐橙”的售价为元，则该水果商城应如何进货，使得第二批的“果冻橙”和“脐橙”售完后获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)每千克“果冻橙”的进价是元，每千克“脐橙”的进价是元 (2)该水果商城再次购买千克“果冻橙”，千克“脐橙”时，获得的利润最大，最大利润是元 【详解】（1）解：设每千克“脐橙”的进价是元，则每千克“果冻橙”的进价是元， 根据题意，得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解且符合题意， ∴（元）， 答：每千克“果冻橙”的进价是元，每千克“脐橙”的进价是元； （2）设再次购买千克“果冻橙”，则购买千克“脐橙”， 根据题意得：， 解得：， 设第二批购进的“果冻橙”和“脐橙”售完后获得的总利润为元， 依题意，得：， 即， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为（元），此时（千克）． 答：该水果商城再次购买千克“果冻橙”，千克“脐橙”时，获得的利润最大，最大利润是元． 【点睛】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·江苏扬州·中考真题）已知，则一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， 当时，，，与矛盾， 当时，，  ，与矛盾， 当时，，，与矛盾， 当时，，，与矛盾， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 故选：D． 2．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：把一次函数的图象向右平移3个单位得的图象， ∴向右平移3个单位得， ∴函数与轴的交点坐标为， ∵， ∴结合图象可得：， 故选：C． 3．（2025·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设直线的解析式为，代入 ∴ ∴ ∴直线的解析式为 ∵， A. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时经过原点，对应的经过整点，符合题意， B. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时原点在下方，对应的在整点上方，不符合题意， C. 当为时，平移方式为向右平移个单位，， ∴直线平移后的解析式为，此时点在正方形内部，不符合题意， D. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时点和在正方形边上或内部，不符合题意， 故选：A． 4．（2025·安徽·中考真题）已知一次函数的图象经过点M，且y随x的增大而增大．若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵一次函数过， 把代入得，即． 又随的增大而增大， ． 选项A：点，代入得， 把代入得， 化简得，解得，不满足，舍去． 选项B：点，代入得， 把代入得， 化简得，不满足，舍去． 选项C：点，代入得， 把代入得， 化简得，解得，不满足，舍去． 选项D：点，代入得， 把代入得， 化简得，解得，满足． 综上，只有选项D符合条件， 故选：． 5．（2025·山东济南·中考真题）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． (1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． (2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【答案】(1)甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元 (2)购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元． 【详解】（1）解：设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根． 此时， 答：甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元． （2）解：根据题意，甲型健身器材买了个，则购买乙型健身器材数量为个，且即，且a为正整数， 根据题意，得， 由，得随a的增大而减小， 故当时，取得最小值，且最小值为（元）， 故购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元． 6．（2025·西藏·中考真题）2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： (1)列方程（组）解应用题 若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ (2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？ 【答案】(1)生产甲、乙两款服装分别为件，件； (2)生产甲款服装件，生产乙款服装件，可获得最大利润． 【详解】（1）解：设生产甲、乙两款服装分别为件，件， 根据题意得， 解得：， 答：生产甲、乙两款服装分别为件，件； （2）解：设生产甲款服装件，则生产乙款服装件， 根据题意得， 解得， 设获得的总利润为元， ∴， ∵，且为正整数， ∴当时，最大利润为（元）， 则（件）， 答：生产甲款服装件，生产乙款服装件，可获得最大利润． 7．（2025·黑龙江·中考真题）一条公路上依次有A、B、C三地，一辆轿车从A地出发途经B地接人，停留一段时间后原速驶往C地；一辆货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地（卸货时间忽略不计）．两车同时出发，轿车比货车晚到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和货车距各自出发地的距离y（单位：）与轿车的行驶时间x（单位：h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)图中a的值是_______，b的值是_______； (2)在货车从B地返回C地的过程中，求货车距出发地的距离y（单位：）与行驶时间x（单位：h）之间的函数解析式； (3)直接写出轿车出发多长时间与货车相距40． 【答案】(1)300，2 (2) (3)或或 【详解】（1）解：由图象可知，B、C两地的距离为，A、B两地的距离为， ∴， ∵轿车的速度为：， ∴轿车从开往地所需的时间为：， ∴； 故答案为：300，2； （2）∵轿车比货车晚到达终点， ∴货车到达地所用时间为：， ∴， ∵货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地， ∴， 设， ∴，解得：， ∴； （3）由（2）可知，货车的速度为：， ∴当轿车到达地之前，，解得：； 当轿车到达地，货车离地时，，则：符合题意； 当货车到达地时，此时轿车离点的距离为：，恰好满足题意，此时； 综上：轿车出发或或时与货车相距40． 8．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和， ∴， 解得； （2）解：由（1）可得函数的解析式为，函数的解析式为， 当时，则， 当时，则， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值， ∴，且， ∴， 当，时，和恒成立，故符合题意； 当时，则且， 当时，则， 解不等式得，解不等式， ∴； 当时，则， 解不等式得，解不等式得，此时不符合题意； 综上所述，． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $