专题05 平面向量的线性运算（期中真题汇编，上海专用）九年级数学上学期沪教版上海

专题05 平面向量的线性运算（期中真题汇编，上海专用） 3大高频考点概览 考点01 向量的相关概念 考点02 实数与向量相乘 考点03 向量的线性运算 地 城 考点01 向量的相关概念 一、单选题 1．(24-25九上·上海嘉定区部分学校联考·期中)如果，，且与反向，那么下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·上海浦东新区民办欣竹中学·期中)已知，是非零向量，下列判断错误的是（     ） A．如果，那么 B．如果为单位向量，且，那么 C．如果，那么 D．如果，那么或 3．(24-25九上·上海浦东新区多校联考·期中)已知  下列判断正确的是（　　） A．与，方向相同 B． C．与不平行 D． 4．(24-25九上·上海进才中学北校·期中)下列命题中正确的是（    ） A．若都是单位向量，则 B．若是相等向量，则它们的始点、终点都相同 C．若是相反向量，则 D．与是平行向量 5．(24-25九上·上海宝山中学·期中)下列说法中，错误的是（  ） A．长度为1的向量叫做单位向量 B．如果，且，那么的方向与的方向相同 C．如果是一个单位向量，是非零向量， D．如果，其中是非零向量，那么 6．(24-25九上·上海崇明区·期中)下列说法中，正确的是（   ） A． B．如果，那么 C．如果是单位向量，那么 D．如果是非零向量，且，那么 7．(24-25九上·上海静安区彭浦初级中学·期中)已知、为非零向量，下列判断错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果为单位向量，且，那么 二、填空题 8．(24-25九上·上海民办尚德实验中学·期中)若向量与单位向量的方向相反，且，则 （用表示） 9．(23-24九上·上海虹口区·期中)已知向量与单位向量方向相同，且，那么 ．（用向量的式子表示） 10．(24-25九·上海青浦区五浦汇实验学校·期中)下列说法：①如果（是实数），那么；②若，，则；③单位向量都相等；④一个向量与零相乘，乘积为零；其中正确的是 ． 三、解答题 11．(24-25九上·上海普陀区·期中)如图，已知两个不平行的向量、，求作，满足． （不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的向量．） 12．(24-25九上·上海崇明区·期中)在平行四边形中，点E是的中点，、相交于点F． (1)设，，试用向量、表示向量； (2)求作：向量分别在向量、方向上的分向量（写出结论，不要求写作法）． 一、单选题地 城 考点02 实数与向量相乘 1．(24-25九上·上海嘉定区部分学校·期中)已知，，且和的方向相反，那么下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·上海浦东新区·期中)已知一个单位向量，设是非零向量，那么下列等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·上海闵行区浦江第一中学·期中)下列说法错误的是（　　） A．如果与都是单位向量，那么 B．如果，那么或 C．如果（为非零向量），那么 D．如果，（为非零向量），那么与平行 4．(24-25九上·上海宝山实验中学·期中)已知，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．(24-25九上·上海黄浦区·期中)计算： ． 6．(22-23九上·上海浦东新区模范中学·期中)如果为单位向量，与方向相反，且长度是5，那么 ．（用示） 7．(24-25九上·上海浦东新区·期中)计算： ． 8．(23-24九上·上海嘉定区·期中)如果向量、、满足关系式，那么 （用向量、表示）. 9．(23-24九上·上海奉贤区·期中)计算： ． 10．(24-25九上·上海奉贤区·期中)计算： ． 11．(24-25九上·上海静安区继续教育学校附属学校·期中)计算： ． 三、解答题 12．(24-25九上·上海·期中)如图，已知向量、，求作向量并求作向量在向量、向量方向上的分向量． 13．(24-25九上·上海闵行区多校·期中)如图，在梯形中，，，点E是边的中点，，． (1)填空：____________，____________（用向量、表示） (2)先化简，再求作： 地 城 考点03 向量的线性运算 一、单选题 1．(24-25九上·上海杨浦区·期中)已知向量与非零向量方向相同，且其长度为长度的3倍；向量与方向相反，且其长度为长度的6倍，那么下列等式中成立的是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·上海奉贤区·期中)点在线段上，如果，，那么等于（      ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·上海宋庆龄学校·期中)已知非零向量与，如果满足，那么下列四个选项中错误的是（    ） A． B．向量与的方向相反 C． D． 二、填空题 4．(24-25九上·上海嘉定区部分学校·期中)已知向量或是互不平行的非零向量，如果，那么向量与是否平行？ 答： .（填“是”或“不是”） 5．(24-25九上·上海新中初级中学·期中)计算：= ． 6．(24-25九上·上海延安初级中学·期中)化简： ． 7．(24-25九上·上海进才中学北校·期中)在梯形中，，对角线、相交于点，设．用的式子表示向量 8．(24-25九上·上海嘉定区部分学校·期中)计算： 9．(24-25九上·上海松江区·期中)已知：如图，平行四边形中，点在边上，与对角线交于点，设，试用表示，则 ． 10．(24-25九上·上海金山区·期中)梯形中，，且，若，．请用，来表示 ． 11．(24-25九上·上海建平实验中学·期中)如果，那么用表示 ． 12．(24-25九上·上海宋庆龄学校·期中)如图，在平行四边形中，设，，点O是对角线与的交点，那么向量可以表示为 ．（用向量与向量表示） 三、解答题 13．(24-25九上·上海杨浦区·期中)如图，在中，点E为中点，点D在边上，，，． (1)求的长； (2)设，用向量、表示向量，即______． 14．(24-25九上·上海青浦区徐泾中学·期中)如图，点D、E分别是边、上的点，且，设，． (1)用的式子表示向量______，_______ (2)求的值． 15．(24-25九上·上海延安初级中学·期中)如图，在梯形中，点E、点F分别在边、边上，，平分，边于点G．已知． (1)求的长； (2)填空：连接交于点H，如果，那么_____（用含的式子表示结果） 16．(24-25九上·上海松江区·期中)已知：如图，在中，点在边上，，交于点． (1)若，求的长； (2)设，求作向量分别在方向上的分向量． 17．(24-25九上·上海徐汇区部分学校联考·期中)如图，在中，点、分别是边、的中点．设，． (1)填空：向量______（用向量，的式子表示）． (2)在图中作出向量在向量，方向上的分向量（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）． 18．(24-25九上·上海黄浦区·期中)如图，在平行四边形中，点是边的中点，与对角线交于点，设，． (1)用向量、表示向量； (2)在图中求作向量分别在、方向上的分向量．（不写作法，写出答句） 19．(24-25九上·上海华东政法大学附属中学·期中)如图，在等腰梯形中，，，与相交于点O，． (1)设，，试用、表示； (2)先化简，再求作：（直接作在答题纸上的图中）． 20．(24-25九上·上海第三女子初级中学·期中)如图，已知抛物线与y轴交于点A，且对称轴是直线． (1)求该抛物线顶点P的坐标并说明抛物线的变化情况； (2)已知点B的坐标为，设，用向量表示（请直接写出答案）． 21．(24-25九上·上海虹口区·期中)如图，在梯形中，，且，点是边的中点，联结交对角线于点，若，． (1)直接用、表示 ； ； ； (2)求作在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量） 22．(24-25九上·上海临港实验中学·期中)如图，点在的边BC上，，点在AD的延长线上，，已知． (1)用向量分别表示向量； (2)作出向量分别在方向上的分向量（直接作在图中，写出结论，不要求写作法）． 23．(24-25九上·上海静安区彭浦初级中学·期中)如图，已知中，，设． (1)求关于，的分解式； (2)连接，在图中作出向量分别在，方向上的分向量． （不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论） 24．(24-25九上·上海民办尚德实验中学·期中)如图，在梯形中，，交于点O，，，． (1)填空：_________，_________（结果用表示）； (2)画出在方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量） 25．(24-25九·上海梅陇中学·期中)如图，已知中，． (1)求线段的长： (2)设．请直接写出： ①向量关于的分解式，______； ②向量关于的分解式，______． 2 / 34 1 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 平面向量的线性运算（期中真题汇编，上海专用） 3大高频考点概览 考点01 向量的相关概念 考点02 实数与向量相乘 考点03 向量的线性运算 地 城 考点01 向量的相关概念 一、单选题 1．(24-25九上·上海嘉定区部分学校联考·期中)如果，，且与反向，那么下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平面向量的定义，由，，且与反向，根据平面向量的定义，即可求得答案． 【详解】解：，， ， 与反向， ． 故选：D． 2．(24-25九上·上海浦东新区民办欣竹中学·期中)已知，是非零向量，下列判断错误的是（     ） A．如果，那么 B．如果为单位向量，且，那么 C．如果，那么 D．如果，那么或 【答案】D 【分析】本题考查了平面向量，根据单位向量、平行向量以及模的定义进行判断即可，熟记单位向量、平行向量以及模的定义是解题的关键． 【详解】解：、如果，那么，故本选项正确； 、如果为单位向量，且，那么，故本选项正确； 、如果，那么，故本选项正确； 、如果，没法判断与之间的关系，故本选项错误． 故选：D． 3．(24-25九上·上海浦东新区多校联考·期中)已知  下列判断正确的是（　　） A．与，方向相同 B． C．与不平行 D． 【答案】A 【分析】本题考查了向量的定义：既有大小，又有方向的量叫作向量，根据定义逐项分析即可． 【详解】A、有题意可知，与，方向相同，故选项正确，符合题意；     B、，故选项错误，不符合题意；         C、与 平行，故选项错误，不符合题意；     D、，故选项错误，不符合题意； 故选：A 4．(24-25九上·上海进才中学北校·期中)下列命题中正确的是（    ） A．若都是单位向量，则 B．若是相等向量，则它们的始点、终点都相同 C．若是相反向量，则 D．与是平行向量 【答案】D 【分析】本题考查平面向量，根据单位向量，平行向量、相等向量的定义即可判断． 【详解】解：A、单位向量不一定是相等向量，故A不符合题意． B. 若是相等向量，则它们的始点、终点可以不相同 C. 若是相反向量，方向相反，但长度不一定相等则不一定成立，故该选项不正确，不符合题意； D. 与是平行向量，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 5．(24-25九上·上海宝山中学·期中)下列说法中，错误的是（  ） A．长度为1的向量叫做单位向量 B．如果，且，那么的方向与的方向相同 C．如果是一个单位向量，是非零向量， D．如果，其中是非零向量，那么 【答案】C 【分析】本题考查了平面向量，根据平面向量的有关概念进行判断，熟练掌握平面向量的有关概念是解题的关键． 【详解】解：A、长度为1的向量叫做单位向量，说法正确，故选项不符合题意； B、如果且那么的方向与的方向相同，说法正确，故选项不符合题意； C、如果是一个单位向量，且与非零向量同方向，那么，原说法错误，故选项符合题意； D、如果，其中是非零向量，那么，说法正确，故选项不符合题意； 故选：C． 6．(24-25九上·上海崇明区·期中)下列说法中，正确的是（   ） A． B．如果，那么 C．如果是单位向量，那么 D．如果是非零向量，且，那么 【答案】D 【分析】本题考查向量的相关概念，根据向量的概念和性质逐项判断即可． 【详解】解：A、，所以A错误，不符合题意． B、如果，那么，这两个向量方向不一定相同，所以B错误，不符合题意． C、如果是单位向量，那么，所以C错误，不符合题意． D、如果非零向量，且，那么，D正确，符合题意． 故选：D． 7．(24-25九上·上海静安区彭浦初级中学·期中)已知、为非零向量，下列判断错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果为单位向量，且，那么 【答案】C 【分析】本题考查了平面向量，平面向量既有大小，又有方向．根据相等向量，平行向量，模，单位向量的定义一一判断即可． 【详解】解：A、如果，那么两向量是共线向量，则，故本选项正确，不符合题意； B、如果，那么两向量为共线向量，则，，故本选项正确，不符合题意； C、，只能说明两个向量的模相等，无法判定方向，故本选项错误，符合题意； D、根据向量模的定义知，，故本选项正确，不符合题意． 故选：C． 二、填空题 8．(24-25九上·上海民办尚德实验中学·期中)若向量与单位向量的方向相反，且，则 （用表示） 【答案】 【分析】本题考查的是平面向量的知识，即长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．根据向量的表示方法可直接进行解答． 【详解】解：∵向量与单位向量的方向相反，且， ∴． 故答案为：． 9．(23-24九上·上海虹口区·期中)已知向量与单位向量方向相同，且，那么 ．（用向量的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了平面向量，熟练掌握单位向量以及向量同向的定义是解题的关键．根据“单位向量是指模等于1的向量”以及“向量同向意味着它们的方向角度相同”即可解答． 【详解】解：∵向量与单位向量方向相同，， ∴， 故答案为：． 10．(24-25九·上海青浦区五浦汇实验学校·期中)下列说法：①如果（是实数），那么；②若，，则；③单位向量都相等；④一个向量与零相乘，乘积为零；其中正确的是 ． 【答案】① 【分析】本题考查了平行向量，单位向量，零向量等知识．熟练掌握平行向量，单位向量，零向量是解题的关键． 根据平行向量，单位向量，零向量的定义判断作答即可． 【详解】解：由题意知，如果（是实数），那么，正确，故①符合要求； 当时，若，，则错误，故②不符合要求； 单位向量方向不同，单位向量不都相等，故③不符合要求； 一个向量与零相乘，乘积为零向量，故④不符合要求； 故答案为：①． 三、解答题 11．(24-25九上·上海普陀区·期中)如图，已知两个不平行的向量、，求作，满足． （不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的向量．） 【答案】见解析 【分析】本题考查本题主要考查了平面向量，注意：三角形法则在解题过程中的应用． 根据平面向量的加减运算法则求出，再由平面向量的几何意义作图． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 作图如下： 其中，，则，为所求向量． 12．(24-25九上·上海崇明区·期中)在平行四边形中，点E是的中点，、相交于点F． (1)设，，试用向量、表示向量； (2)求作：向量分别在向量、方向上的分向量（写出结论，不要求写作法）． 【答案】(1) (2)画图见解析 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、平面向量的含义； （1）根据题意得和，再利用向量的三角形法则表示即可． （2）利用平行四边形法则过作交于，在上截取，即可得到结论. 【详解】（1）解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴； （2）解：如图，过作交于，在上截取， ∴向量分别在向量、方向上的分向量是与. 一、单选题地 城 考点02 实数与向量相乘 1．(24-25九上·上海嘉定区部分学校·期中)已知，，且和的方向相反，那么下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面向量，等式的性质等知识点，熟练掌握平面向量的基本知识是解题的关键． 根据平行向量的性质即可解决问题． 【详解】解：，，且和的方向相反， ， ， 故选：． 2．(24-25九上·上海浦东新区·期中)已知一个单位向量，设是非零向量，那么下列等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据平面向量的性质一一判断即可． 【详解】解：A、与的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意． B、，计算正确，故本选项符合题意． C、和的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意． D、和的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意． 故选：B． 3．(24-25九上·上海闵行区浦江第一中学·期中)下列说法错误的是（　　） A．如果与都是单位向量，那么 B．如果，那么或 C．如果（为非零向量），那么 D．如果，（为非零向量），那么与平行 【答案】C 【分析】本题考查平面向量，根据平面向量的运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A、如果与都是单位向量，那么，A选项正确，不符合题意； B、如果，那么或，B选项正确，不符合题意； C、如果（为非零向量），那么，故C选项不正确，符合题意； D、∵，（为非零向量）， ∴， 即， ∴， ∴与平行． 故D选项正确，不符合题意． 故选：C． 4．(24-25九上·上海宝山实验中学·期中)已知，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面向量，根据平面向量的定义以及运算法则逐项判断即可，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】 解：、∵， ∴，原选项正确，不符合题意；、∵， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵， ∴，原选项错误，符合题意； 故选：． 二、填空题 5．(24-25九上·上海黄浦区·期中)计算： ． 【答案】 【分析】根据加减运算及乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式           故答案为． 【点睛】本题考查了向量的线性运算，熟练掌握平面的加减运算及乘法运算法则是正确计算本题的关键． 6．(22-23九上·上海浦东新区模范中学·期中)如果为单位向量，与方向相反，且长度是5，那么 ．（用示） 【答案】 【分析】根据向量的表示方法可直接进行解答． 【详解】解：的长度为5，向量是单位向量， ， 与单位向量的方向相反， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查的是平面向量的知识，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，解决本题的关键是注意单位向量只规定大小没规定方向． 7．(24-25九上·上海浦东新区·期中)计算： ． 【答案】 【分析】直接利用实数与向量相乘及平面向量的加减运算法则去括号求解即可求得答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了平面向量的运算法则．注意掌握去括号时的符号变化是解此题的关键． 8．(23-24九上·上海嘉定区·期中)如果向量、、满足关系式，那么 （用向量、表示）. 【答案】 【分析】本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的运算法则是解题的关键．根据平面向量的运算法则求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为： 9．(23-24九上·上海奉贤区·期中)计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面向量，利用平面向量的定义与运算性质解答即可，熟练掌握平面向量的运算性质是解题的关键． 【详解】 ； 故答案为：． 10．(24-25九上·上海奉贤区·期中)计算： ． 【答案】 【分析】按照向量线性运算法则计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了向量的线性运算，掌握向量的运算法则是解题关键． 11．(24-25九上·上海静安区继续教育学校附属学校·期中)计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了平面向量的知识，根据平面向量的加减运算法则求解即可求得答案，熟悉相关性质是解题的关键． 【详解】解： 故答案为：． 三、解答题 12．(24-25九上·上海·期中)如图，已知向量、，求作向量并求作向量在向量、向量方向上的分向量． 【答案】见详解 【分析】本题考查了向量的化简计算，三角形法则，分向量，熟练掌握知识点是解题的关键． 先化简向量，再根据实数与向量相乘的定义以及三角形法则即可画出，则分向量也可找到． 【详解】解： ， 如图，向量即为所作 向量即为在向量方向上的分向量， 向量即为在向量方向上的分向量． 13．(24-25九上·上海闵行区多校·期中)如图，在梯形中，，，点E是边的中点，，． (1)填空：____________，____________（用向量、表示） (2)先化简，再求作： 【答案】(1)， (2)，图见解析 【分析】本题考查平面向量的线性运算、平行四边形的判定与性质、基本尺规作图，注意向量的方向是解答的关键． （1）先由已知求得，再根据线段的中点定义求得，进而求得，根据平面向量的线性加法运算求解即可； （2）根据平面向量的线性运算化简，再作图即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵点E是边的中点， ∴，则， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）解： ， 如图，作的垂直平分线得到的中点F，在上截取，连接，， 则四边形是平行四边形， ∴，， ∴，又， ∴， 故即为所求作． 地 城 考点03 向量的线性运算 一、单选题 1．(24-25九上·上海杨浦区·期中)已知向量与非零向量方向相同，且其长度为长度的3倍；向量与方向相反，且其长度为长度的6倍，那么下列等式中成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是向量的数乘运算，根据向量的方向和模的关系找出各向量关系是解题关键． 根据向量的方向和模的关系可得，从而可得，即可求出结论． 【详解】解：由题意可知：， ， ， 故选：B． 2．(24-25九上·上海奉贤区·期中)点在线段上，如果，，那么等于（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平面向量的运算，掌握平面向量的运算法则是解题的关键. 根据平面向量的线性运算法则，即可解题． 【详解】解：点在线段上，如果，， ， 与方向相同， ， 故选：A． 3．(24-25九上·上海宋庆龄学校·期中)已知非零向量与，如果满足，那么下列四个选项中错误的是（    ） A． B．向量与的方向相反 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面向量的定义与性质，根据平行向量的定义与性质，逐一对选项判断即可，熟练掌握平面向量的定义与性质是解本题的关键．平面向量的定义：平面内既有大小，又有方向的量；平行向量，也叫共线向量，是指方向相同或相反的非零向量；零向量和任何向量平行． 【详解】解：A、，，故该结论正确，不符合题意； B、、均为非零向量），与是方向相反的向量，故该结论正确，不符合题意； C、，，故该结论正确，不符合题意； D、，，故该结论错误，符合题意． 故选：D． 二、填空题 4．(24-25九上·上海嘉定区部分学校·期中)已知向量或是互不平行的非零向量，如果，那么向量与是否平行？ 答： .（填“是”或“不是”） 【答案】不是 【分析】本题主要考查了向量的线性运算．若向量与平行，则（k为常数，且），据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴（k为常数，且）， ∴向量与不是平行， 故答案为：不是． 5．(24-25九上·上海新中初级中学·期中)计算：= ． 【答案】/ 【分析】本题考查了向量的线性运算，熟练掌握去括号法则是解题的关键；先去括号，再合并同类项求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 6．(24-25九上·上海延安初级中学·期中)化简： ． 【答案】 【分析】考查了平面向量，解题的关键是掌握平面向量的计算法则． 平面向量的运算法则也符合实数的运算法则． 【详解】解： ， 故答案为：． 7．(24-25九上·上海进才中学北校·期中)在梯形中，，对角线、相交于点，设．用的式子表示向量 【答案】 【分析】本题考查平面向量，相似三角形的性质与判定，先证明，根据相似三角形的性质可得，得到，再根据即可求解. 【详解】解：∵ ∴， 即 ， 故答案为：． 8．(24-25九上·上海嘉定区部分学校·期中)计算： 【答案】 【分析】本题考查的向量的线性运算，掌握向量的加，减，数乘运算是解题的关键．根据向量的线性运算法则进行运算，从而可得答案． 【详解】解：， 故答案为：． 9．(24-25九上·上海松江区·期中)已知：如图，平行四边形中，点在边上，与对角线交于点，设，试用表示，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平面向量、平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形法则是解题的关键． 结合平行四边形的性质、相似三角形的判定可得，则可得，进而可得，即；根据，再根据即可解答． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 10．(24-25九上·上海金山区·期中)梯形中，，且，若，．请用，来表示 ． 【答案】 【分析】此题考查了平面向量．根据平行四边形法则得到，即可用、表示． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 11．(24-25九上·上海建平实验中学·期中)如果，那么用表示 ． 【答案】 【分析】本题考查了向量的线性组合和向量方程的解法，掌握以上知识点是解答本题的关键． 将题目中给出的两个等式联立，消去向量，得到，解得． 【详解】解：由题意得， 消去得， 所以， 故答案为：． 12．(24-25九上·上海宋庆龄学校·期中)如图，在平行四边形中，设，，点O是对角线与的交点，那么向量可以表示为 ．（用向量与向量表示） 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，平面向量等知识，利用平行四边形的性质以及三角形法则计算即可，解题的关键是熟练掌握基本知识． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， 故答案为：． 三、解答题 13．(24-25九上·上海杨浦区·期中)如图，在中，点E为中点，点D在边上，，，． (1)求的长； (2)设，用向量、表示向量，即______． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）运用，，证明，再把，代入，进行计算，即可作答． （2）求出，，再利用三角形法则求解． 本题考查相似三角形的判定与性质，平面向量，三角形法则等知识，解题的关键是掌握三角形法则，属于中考常考题型． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴， ∵点E为中点，，． ∴ 则 解得． （2）解：由（1）得， ， ， ∵，， ，， 是的中点， ， ∴， 则． 故答案为：． 14．(24-25九上·上海青浦区徐泾中学·期中)如图，点D、E分别是边、上的点，且，设，． (1)用的式子表示向量______，_______ (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，向量的运算，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，以及向量的运算法则． （1）过点A作，过点C作，、相交于点F，推出，则，即可得出，通过证明，，即可得出． （2）根据相似三角形的面积比等于相似比，即可得出，即可解答． 【详解】（1）解：过点A作，过点C作，、相交于点F， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：，． （2）解：由（1）可得：，， ∴， ∴． 15．(24-25九上·上海延安初级中学·期中)如图，在梯形中，点E、点F分别在边、边上，，平分，边于点G．已知． (1)求的长； (2)填空：连接交于点H，如果，那么_____（用含的式子表示结果） 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理及推论，向量的线性运算，等腰三角形的判定： （1）平行线和角平分线可构造出等腰三角形，据此求出，再根据平行线分线段成比例，得出，代入数值计算即可； （2）根据平行线分线段成比例的推论可得，再证，可得，推出，再用含的式子表示，即可求出． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； （2）解：如图， ， ； ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ． 16．(24-25九上·上海松江区·期中)已知：如图，在中，点在边上，，交于点． (1)若，求的长； (2)设，求作向量分别在方向上的分向量． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了作图—复杂作图、平面向量、平行线等分线段定理等知识点，理解题意，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）由题意得，然后代入数据计算即可； （2）如图：过点E作，过点D作，与相交于点F，则和分别是在方向上的分向量． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ∵， ∴，解得：． （2）解：如图，过点E作，过点D作，与相交于点F，则和分别是在方向上的分向量． 17．(24-25九上·上海徐汇区部分学校联考·期中)如图，在中，点、分别是边、的中点．设，． (1)填空：向量______（用向量，的式子表示）． (2)在图中作出向量在向量，方向上的分向量（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）． 【答案】(1) (2)作图见解析 【分析】（）首先利用平面向量三角形法则求得，然后由是边的中点即可求解； （）过点作交于点，、即为向量在向量，方向上的分向量； 本题考查了平面向量，掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵是边的中点， ∴， 故答案为：； （2）解：如图所示，向量和即为所求． 18．(24-25九上·上海黄浦区·期中)如图，在平行四边形中，点是边的中点，与对角线交于点，设，． (1)用向量、表示向量； (2)在图中求作向量分别在、方向上的分向量．（不写作法，写出答句） 【答案】(1) (2)作图见解析． 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、平面向量的含义； （1）根据题意得，，再利用向量的三角形法得根据相似三角形的判定及性质得从而即可得解． （2）利用平行四边形法则过作交于，过作交于，即可得到结论 【详解】（1）解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵点是边的中点， ∴， ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴； （2）解：如图，过作交于，过作交于， ∴向量分别在、方向上的分向量是与 19．(24-25九上·上海华东政法大学附属中学·期中)如图，在等腰梯形中，，，与相交于点O，． (1)设，，试用、表示； (2)先化简，再求作：（直接作在答题纸上的图中）． 【答案】(1) (2)，作图见解析 【分析】此题考查了平面向量的知识以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握三角形法则的应用，注意掌握数形结合思想的应用． （1）由，可得，然后由相似三角形的对应边成比例，求得，利用三角函数的知识即可求得、的长，继而求得． （2）利用平面向量的运算法则求解即可求得答案． 【详解】（1）解：，， ， ，， ， ； （2）解：． 如图：即为所求． ． 20．(24-25九上·上海第三女子初级中学·期中)如图，已知抛物线与y轴交于点A，且对称轴是直线． (1)求该抛物线顶点P的坐标并说明抛物线的变化情况； (2)已知点B的坐标为，设，用向量表示（请直接写出答案）． 【答案】(1)，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大 (2) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，向量的线性计算： （1）根据对称轴公式求出的值，进而求出抛物线的解析式，把代入解析式，求出顶点坐标，增减性说明抛物线的变化情况； （2）求出点坐标， 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴， ∵抛物线的开口向下， ∴当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大； （2）∵， ∴当时，， ∴， ∵，，且， ∴． 21．(24-25九上·上海虹口区·期中)如图，在梯形中，，且，点是边的中点，联结交对角线于点，若，． (1)直接用、表示 ； ； ； (2)求作在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量） 【答案】(1)，， (2)图见解析，是在方向上的分向量，是在方向上的分向量 【分析】（1）由可得，进而可得，，由可证得，于是可得，进而可得，于是可得； （2）按照作分向量的方法作出在、方向上的分向量，并指出所作图中表示结论的分向量即可． 【详解】（1）解：，且， ， ， ， ， 点是边的中点， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，，； （2）解：如图，，即为所求： 图中表示结论的分向量： 是在方向上的分向量， 是在方向上的分向量． 【点睛】本题主要考查了等式的性质，实数与向量相乘，向量的线性运算，相似三角形的判定与性质，过直线外一点作已知直线的平行线等知识点，熟练掌握向量的相关知识和运算法则并运用数形结合思想是解题的关键． 22．(24-25九上·上海临港实验中学·期中)如图，点在的边BC上，，点在AD的延长线上，，已知． (1)用向量分别表示向量； (2)作出向量分别在方向上的分向量（直接作在图中，写出结论，不要求写作法）． 【答案】(1)，． (2)图见解析，、． 【分析】此题考查了平面向量的知识与平行线分线段成比例定理．解题的关键是数形结合思想的应用． （1）由，根据平行线分线段成比例定理，即可求得的值，继而求得的值，又由，即可求得答案； （2）作出的图形中，在、方向上的分向量分别为、． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵与方向相同， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，向量在、方向上的分向量如图， ∵过点D作，交于点N，作交于点M， ∴， ∴，， ∴ ∵与方向相同，与方向相同， ∴，， 所以，向量在、方向上的分向量分别为、． 23．(24-25九上·上海静安区彭浦初级中学·期中)如图，已知中，，设． (1)求关于，的分解式； (2)连接，在图中作出向量分别在，方向上的分向量． （不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论） 【答案】(1) (2)见解析 【分析】此题考查了向量、向量的平行四边形法则和三角形法则、相似三角形的判定和性质等知识，数形结合是解题的关键． （1）先求出，通过证明，根据相似三角形对应边成比例即可进行解答； （2）连接，过点E作的平行线，交于点G，即可进行解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则， ∴， 故答案为：． （2）解：如图所示：向量分别在、方向上的分向量为、． 24．(24-25九上·上海民办尚德实验中学·期中)如图，在梯形中，，交于点O，，，． (1)填空：_________，_________（结果用表示）； (2)画出在方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量） 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，平面向量，相似三角形的判定和性质，梯形等知识，解题的关键是掌握三角形法则解决问题． （1）利用三角形法则求出，，再利用相似三角形的性质求出，； （2）利用平行四边形法则画出图形． 【详解】（1）解：，， ，，， ， ， ， ， ，， 故答案为：，； （2）如图，过点C作交的延长线于点G，，即为所求． 25．(24-25九·上海梅陇中学·期中)如图，已知中，． (1)求线段的长： (2)设．请直接写出： ①向量关于的分解式，______； ②向量关于的分解式，______． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查平面向量，相似三角形的性质与判定；解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由题意得，得出，即即可求解． （2）①由题意得，再根据，即可求解． ②由题意得，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：， ，， ， ，， ． ． （2）①由（）知， 故答案为：． ② ∴ 故答案为：． 2 / 34 1 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $