专题08 有理数的乘除（期中真题汇编，上海专用）六年级数学上学期沪教版五四制2024

专题08 有理数的乘除（期中真题汇编，上海专用） 4大高频考点概览 考点01 有理数的乘法法则 考点02 倒数 考点03 有理数乘法运算律 考点04 有理数的除法法则 地 城 考点01 有理数的乘法法则 一、单选题 1．(24-25六上·上海青浦区复旦五浦汇实验学校·期中)若，且，那么（  ） A．都是正数 B．都是负数 C．一正一负，且负数的绝对值较大 D．一正一负，且正数的绝对值较大 【答案】B 【分析】本题考查有理数的运算，根据，可判断a，b同号，再根据，可得都是负数． 【详解】解：， a，b同号， 又， 都是负数， 故选B． 2．(24-25六上·上海部分学校·期中)下列说法中，正确的个数是（    ） ①个有理数相乘，当因数有奇数个时，积为负； ②个有理数相乘，当正因数有奇数个时，积为负； ③个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负； ④个有理数相乘，当积为负时，负因数有奇数个； ⑤个有理数相乘，当积为正时，正因数有奇数个； ⑥个有理数相乘，当积为正时，正因数有偶数个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘法法则，解题的关键是熟练使用运算法则进行计算．根据几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数确定，负因数有奇数个，积为负；负因数有偶数个，积为正． 【详解】解：①个有理数相乘，当其中一个因数为0时，不管正因数有多少个，积为0，故原说法错误； ②个有理数相乘，当其中一个因数为0时，不管负因数有多少个，积为0，故原说法错误； ③个不为0有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负，故原说法错误； ④个有理数相乘，当积为负时，则负因数一定有奇数个，故原说正确； ⑤个有理数相乘，当积为正时，不管正因数有多少个，则负因数一定有偶数个，故原说错误； ⑥个有理数相乘，当积为正时，不管正因数有多少个，则负因数一定有偶数个，故原说错误； 故正确的有④共1个， 故选：A． 3．(24-25六上·上海浦东新区多校联考·期中)对正整数a，表示n个a连乘，如时，，即a的平方，若a的所有因数之积等于a的平方，则称a为完满数，如6的所有因数为1，2，3，6，因为，所以6是一个完满数，则下列数中是完满数的为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，根据新定义列式计算即可，解题的关键是掌握有理数混合运算顺序和运算法则． 【详解】解：A、的因数有、、、、、，且，故不是完满数，故不符合题意； B、14的因数有1、14、2、7，且，故14是完满数，故符合题意； C、16的因数有1、16、2、8、4，且，故16不是完满数，故不符合题意； D、18的因数有1、18、2、9、3、6，且，故18不是完满数，故不符合题意； 故选：B． 4．(24-25六上·上海浦东外国语学校·期中)下列说法：①0的倒数是0；②若且，则a，b异号且负数的绝对值较大；③如果，那么a，b中至少有一个为0；④几个有理数相乘，若有奇数个负因数，则积为负数，其中正确的结论有（  ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查倒数，有理数的乘法，关键是掌握倒数的定义，有理数乘法的运算法则． 由倒数的定义，有理数乘法的运算法则，即可判断． 【详解】解：①0 没有倒数，故①不符合题意； ②若且，则异号且负数的绝对值较大，正确，故②符合题意； ③如果，那么中至少有一个为0，正确，故③符合题意； ④几个不为 0 的有理数相乘，若有奇数个负因数，则积为负数，故④不符合题意， ∴其中正确的结论有 2 个． 故选：B． 二、填空题 5．(24-25六上·上海金山区·期中)计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方和乘法运算，先算乘方，再算乘法即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式：， 故答案为：． 6．(24-25六上·上海虹口区·期中)定义一种新运算．例如：．则的值为 ． 【答案】15 【分析】本题考查定义新运算，根据新定义的运算规则逐步计算是关键． 根据，可以求得所求式子的值． 【详解】解：， ， 故答案为：15． 7．(24-25六上·上海普陀区梅陇中学·期中)定义：对于数对，如果，那么称为“和积等数对”．如：因为，，所以，都是“和积等数对”．下列数对中，是“和积等数对”的是 ．（填序号） ①；②；③． 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了“和积等数对”，有理数的加法和乘法，理解“和积等数对”的定义是解题的关键． 根据“和积等数对”的定义计算即可． 【详解】解∶ ①，是“和积等数对”； ②，不是“和积等数对”； ③，是“和积等数对”； 故答案为：①③． 8．(24-25六上·上海青浦区复旦五浦汇实验学校·期中)现定义两种运算“□”“”，对于任意两个整数，则 ． 【答案】67 【分析】此题是定义新运算题型．认真审题，读懂新运算的新规则，按新规则解答． 【详解】解：，， ， ． 故答案为：67． 9．(24-25六上·上海部分学校·期中)已知，为有理数，且，，，四个数中恰好有三个数相等，则的值是 ． 【答案】1006或 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算，首先根据推出，得到，再根据已知，，，中恰有三个数相等，得出，进而对到，或，然后分类讨论，进而确定、的值，代入求出结果即可． 【详解】解：根据题意，，为有理数， ∵， ∴， ， 又，，，中恰有三个数相等， ， ，或， 若，则， 或，解得，矛盾， 若，则， 或，解得，矛盾， 当，则， 或，解得或成立， 综上所述，，， 当，时，； 当，时，． 故答案为：1006或． 10．(24-25六上·上海青浦区复旦五浦汇实验学校·期中)从数，1，，5，中任意选取两个数相乘，其积的最大值是 ，最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算即可求解，解题的关键是几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个数，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正． 【详解】解：积的最大值是， 积的最小值为， 故答案为：，． 三、解答题 11．(24-25六上·上海金山区·期中)计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，根据有理数的运算法则即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 12．(24-25六上·上海青浦区·期中)某出租车驾驶员从公司出发，在东西向的人民路上连续接送5批客人，行驶路程记录如下（规定向东为正，向西为负，单位：km） 第1批 第2批 第3批 第4批 第5批 (1)接送完第5批客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米？ (2)若该出租车每千米耗油0.3升，那么在这过程中共耗油多少升？ (3)若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过收费10元，超过的部分按每千米加2.5元收费，在这过程中该驾驶员共收到车费多少元？ 【答案】(1)接送完第5批客人后，该驾驶员在公司东方，距离公司6千米 (2)共耗油6升 (3)共收到车费65元 【分析】本题考查有理数混合运算的应用，正负数的意义，解题的关键是熟练运用正负数的意义，掌握有理数加法及乘法运算法则是解题关键． （1）根据有理数加法运算法则结合正负数的意义即可求出答案； （2）先求出所行驶路程总和，然后再求耗油量； （3）根据题意分别求每批客人的运费，从而求解． 【详解】（1）解：（千米）， 答：接送完第5批客人后，该驾驶员在公司东方，距离公司6千米； （2）解： （千米）， （升）， 答：在这过程中共耗油6升； （3）解：第1批客人运费为（元）， 第2批客人运费为10元； 第3批客人运费为（元）， 第4批客人运费为10元， 第5批客人运费为（元）， （元）， 答：在这过程中该驾驶员共收到车费65元． 13．(24-25六上·上海市西初级中学·期中)某项工程，甲单独做需10天完成，乙单独做需15天完成， (1)两人合作2天，完成的工作量占这项工程总量的几分之几？ (2)如果两人合作2天后，甲有事先离开，剩下的工程由乙单独做，还需要几天才能完成？ 【答案】(1)两人合作2天，完成的工作量占这项工程总量的 (2)乙还需要10天才能完成 【分析】本题考查了工程问题的数量关系的运用，列一元一次方程解实际问题的运用，解答时由甲、乙的工作量之和等于总工作量建立方程是关键． （1）设工作量为1，根据甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成，即可求出甲乙的工作效率，再求和即可； （2）设乙还需要x天才能完成，由甲、乙的工作量之和再加上乙单独做的工作量等于总工作量建立方程求出其解即可． 【详解】（1）解：根据题意：， 答：两人合作2天，完成的工作量占这项工程总量的； （2）解：设乙还需要x天才能完成，根据题意： 解得：， 答：乙还需要10天才能完成． 14．(24-25六上·上海虹口区·期中)观察式子：，，，，， ， (1)请观察上述式子的拆分方法，填空： ①，②； (2)请运用上述拆分方法，完成下列问题： ①计算：； ②填空：______． 【答案】(1)①99，100；②99，101 (2)①；② 【分析】本题主要考查的是找规律，根据题目意思找出对应的规律是解决本题的关键． （1）①根据题目中的式子特点，即可得出答案；②根据题目中的式子特点，即可得出答案； （2）①根据（1）中的结论即可得出答案；②对所求式子进行变形即可得出答案． 【详解】（1）解：①由题意可知，； 故答案为：99，100； ②， 故答案为：99，101； （2）解：① ． ② ， 故答案为：． 15．(24-25六上·上海建平实验地杰中学·期中)外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖为一单）的部分记为“”，低于40单的部分记为“”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量/单 (1)求外卖小哥这一周平均每天送餐多少单． (2)外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元：超过50单的部分，每单补贴8元．求外卖小哥这一周工资收入多少元． 【答案】(1)45 (2)1574元 【分析】（1）根据题意，得外卖小哥这一周平均每天送餐单数为：，解答即可． （2）先计算正常产量的工资，加上超产的奖励工资即可． 本题考查的是正负数的实际应用，平均数的计算，有理数的加法与乘法的实际应用，理解题意，正确的列代数式计算计算是解本题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得外卖小哥这一周平均每天送餐单数为：（单）． 答：外卖小哥这一周平均每天送餐45单． （2）解：∵外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元：超过50单的部分，每单补贴8元． ∴本周工资为： （元）． 答：外卖小哥这一周工资收入1574元． 地 城 考点02 倒数 一、填空题 1．(24-25六上·上海奉贤区·期中) 的倒数为， 的倒数是它本身． 【答案】 或 【分析】本题考查了倒数的定义，根据倒数的定义：乘积为的两个数互为倒数，即可求解． 【详解】解：， 的倒数为， 或的倒数是它本身， 故答案为：，或． 2．(24-25六上·上海民办永昌中学·期中)若是，则的倒数是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了倒数的定义，根据乘积为1的两个数互为倒数，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴的倒数是． 故答案为：． 3．(24-25六上·上海黄浦区·期中)定义：是不为1的有理数，我们称为的差倒数．如3的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，，以此类推，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了有理数的运算和倒数，根据差倒数的定义，求，，等的值，可得这组数是以，2，为1个顺序循环，而，因此即可得出结果，从题目中找出数字间的变化规律是解题的关键． 【详解】，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，， ； ； ； 由此得出：这组数是以，2，为1个顺序循环， ， ， 故答案为：2． 4．(24-25六上·上海部分学校·期中)的倒数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，求一个数的倒数，先根据乘方计算法则求出原数，再根据乘积为1的两个数互为倒数即可得到答案． 【详解】解：， 因为， 所以的倒数是， 故答案为：． 5．(24-25六上·上海松江区·期中)如果a、b互为倒数，c是最大的负整数，那么的值为 ． 【答案】/0.25 【分析】本题考查了倒数的性质以及有理数的运算，根据题意得，即可得答案，根据题意得，是解题关键． 【详解】解：∵a，b互为倒数，c是最大的负整数， ∴，， ∴， 故答案为：． 6．(24-25六上·上海建平实验地杰中学·期中)的倒数是 ． 【答案】 【分析】根据倒数的定义解答即可． 本题考查了倒数，熟练掌握定义是解题的就． 【详解】解：的倒数是． 故答案为：． 地 城 考点03 有理数乘法运算律 一、解答题 1．(24-25六上·上海普陀区·期中)计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先处理积的符号，然后根据逆用乘法分配律进行计算即可求解． 【详解】解：原式 ． 2．(24-25六上·上海青浦区复旦五浦汇实验学校·期中)计算： 【答案】 【分析】本题考查乘法运算律，将原式变形为，利用乘法分配律进行简便运算． 【详解】解： ． 3．(24-25六上·上海曹杨第二中学附属学校·期中)计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算及加法运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键；因此此题可根据有理数的乘法分配律及加法运算可进行求解． 【详解】解：原式 ． 4．(24-25六上·上海松江区·期中)计算：． 【答案】23 【分析】本题主要考查了乘法分配律，利用乘法分配律展开，再进一步计算即可． 【详解】解： ． 5．(24-25六上·上海金山区·期中)计算： 【答案】0 【分析】本题主要考查有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法分配律是解题的关键；因此此题可根据有理数的乘法分配律进行求解 【详解】解：原式 6．(24-25六上·上海浦东新区·期中)（学习情境·方法探究）学习有理数的乘法后，老师给同学们这样一道题目：计算：，看谁算得又快又对，有两位同学的解法如下： 小明：原式； 小军：原式； (1)对于以上两种解法，你认为谁的解法较好？ (2)根据上面的解法对你的启发，你认为还有更好的方法吗？如果有，请把它写出来； (3)用你认为最合适的方法计算：． 【答案】(1)小军解法较好 (2)有，见解析 (3) 【分析】本题考查了有理数的乘法，主要是对乘法分配律的应用，把带分数进行适当的转化是解题的关键 ． （1）根据计算判断小军的解法较好； （2）把改写为，然后利用乘法分配律进行计算即可得解； （3）把改写为，然后利用乘法分配律进行计算即可得解． 【详解】（1）解：小军的解法相对来说更简便一些，所以小军的解法较好； （2）解：还有更好的解法， 原式 ； （3）解：原式 ． 7．(24-25六上·上海闵行区多校·期中)计算：． 【答案】25 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，解答此题的关键是运用有理数乘法分配律简便计算． 直接逆用乘法的分配律进行简便运算即可． 【详解】解：原式 ． 8．(24-25六上·上海闵行区多校·期中)阅读下面材料： 计算：． 解法①： 原式． 解法②： 原式． 解法③： 先计算：． 所以，原式． (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法 是错误的（填序号）： (2)请你根据材料尝试计算：． 【答案】(1)① (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则和运算律是解题的关键． （1）解法①中，除法当中的除式不能进行加减法分解，故解法①错误； （2）先计算原式的倒数，再转化为原式即可． 【详解】（1）解：除法当中的除式不能进行加减法分解，解法①是错误的， 故答案为：①； （2）解：原式的倒数为 ， 原式． 9．(24-25六上·上海普陀区·期中)计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算．先把小数化为分数，然后利用乘法分配律的逆运算解题即可． 【详解】解： ． 10．(24-25六上·上海曹杨第二中学附属学校·期中)计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合计算，先利用乘法分配律去括号，然后计算乘法，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 11．(24-25六上·上海西初级中学·期中)计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的运算，掌握有理数的运算法则是解题的关键，应用运算律会使计算简便，根据乘法分配律计算即可． 【详解】解：原式 ． 12．(24-25六上·上海虹口区·期中)计算：． 【答案】24 【分析】本题考查了有理数的四则运算及乘法分配律，在计算中巧妙运用乘法运算律往往使计算更简便．运用乘法的分配律先计算原式的倒数，进一步计算即可求解． 【详解】解：原式 ． 13．(24-25六上·上海青浦区教师进修学院附属中学·期中)计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减法及乘法运算法则，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算，再运用分配律，进行简便计算即可． 【详解】解：原式 ． 地 城 考点04 有理数的除法法则 一、单选题 1．(24-25六上·上海奉贤区·期中)把一根长度为5米的绳子平均分成4段，下列说法正确的是（    ） A．每一段绳子的长度是米 B．每一段绳子的长度是米 C．每一段绳子的长度是米 D．每一段绳子的长度是米 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的除法，根据把一根长度为5米的绳子平均分成4段，得出每一段绳子的长度是米，即可作答． 【详解】解：∵把一根长度为5米的绳子平均分成4段， ∴（米）， ∴每一段绳子的长度是米， 故选：C． 2．(24-25六上·上海杨浦区·期中)小明8天阅读了一本书的，小杰6天阅读了同一本书的，问两人中阅读较快的是（    ） A．小明 B．小杰 C．一样快 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，有理数的大小比较，先设这本书的页数为，则列式再比较它们的大小，即可作答． 【详解】解：依题意，设这本书的页数为， ∵小明8天阅读了一本书的， ∴ ∵小杰6天阅读了同一本书的， ∴ ∵， ∴小杰阅读较快， 故选：B． 二、填空题 3．(24-25六上·上海松江区·期中)如图，这个量杯最多可装120毫升的水，那么现在量杯里的水有 毫升． 【答案】40 【分析】本题主要考查了有理数乘除法的实际应用，量杯的刻度分为6个相等的刻度，那么可求出每个刻度表示的体积，再根据量杯中的水是4个刻度体积的一半即可得到答案． 【详解】解：由题意可得（毫升）， 即现在量杯里的水有40毫升， 故答案为：40． 【点评】本题考查有理数的除法，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 4．(24-25六上·上海虹口区·期中)计算： ． 【答案】4 【分析】该题主要考查了有理数的除法，解题的关键是掌握有理数的除法运算法则． 根据除法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：4． 5．(24-25六上·上海青浦区教师进修学院附属中学·期中)在数字6、、5、1、中抽取两个数相除，所得的商最小是 ． 【答案】 【分析】本题有理数除法，有理数大小比较，灵活应用除法法则解题是关键．取异号两数相除，商绝对值较大． 【详解】解：∵， ∴商最小的是：． 故答案为：． 6．(24-25六上·上海浦东外国语学校·期中)一根钢材8米，截成相等的6段，每段占总长的 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的除法，解题关键是理解分数的意义，列出算式． 先理解分数的意义，然后列出算式进行计算即可． 【详解】解：由题意得：， ∴每段占总长的， 故答案为：． 三、解答题 7．(24-25六上·上海浦东新区部分学校联考·期中)计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数乘除法计算，先把除法变成乘法，再根据乘法计算法则求解即可． 【详解】解： ． 8．(24-25六上·上海虹口区·期中)计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，先把除法转化为乘法，再约分化简即可． 【详解】解： ． 9．(24-25六上·上海七宝中学附属鑫都实验中学·期中)小明是一个聪明而又富有想象力的孩子． 学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念． 于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如 等，类比有理数的乘方．小明把记作， 记作． (1)直接写出计算结果： ； ； (2)关于“有理数的除方”下列说法正确的是 ．（填序号） ①对于任何正整数n，都有； ②； ③； ④对于任何正整数n，都有； (3)计算： （直接写答案） 【答案】(1)2；； (2)③ (3) 【分析】本题主要考查了定义新运算，有理数的乘除法计算．熟练掌握新定义，有理数的除法法则是解决本题的关键． （1）根据新定义和有理数的除法计算即可； （2）①分n为奇数和偶数的两种情况，计算判断；②等式两端分别计算，比较结果即可；③按新定义计算，可判断正确；④为偶数，偶数个负数相除，结果应为正． （3）先按照新定义计算，再按有理数的乘除法计算即可． 【详解】（1）解：；； 故答案为：2；； （2）解：对于任何正整数n，当n为偶数时，，当n为奇数时，，故①错误； ∵，， ∴，故②错误； ，故③正确； ∵表示的是个a相除，而， ∴根据除法计算法则可知，多个非零有理数进行除法计算时，负数的个数为偶数个数，最后的结果的符号为正，即，故④错误； 故答案为：③； （3）解： ， 故答案为：． 10．(24-25六上·上海部分学校·期中)有5个有理数两两的乘积是如下的10个数：，1.512，1.8，720，，，，1.89，756，900，求这5个有理数． 【答案】，，，，或，，，， 【分析】本题主要考查有理数的乘法，先将5个有理数两两的积由小到大排列，5个有理数的两两乘积中有4个负数且没有0，可得这5个有理数中有1个负数和4个正数，或者一个正数和4个负数，再据此分类讨论解答． 【详解】解：将5个有理数两两的积由小到大排列： ， 因为5个有理数的两两乘积中有4个负数且没有0， 所以这5个有理数中有1个负数和4个正数，或者一个正数和4个负数， 分两种情况： 若这5个有理数是1负4正，可设，则 ， 所以，，， 由， 解得：，，， 再由，，得，， 经检验，，，，满足题意； 若这5个有理数1正4负，可设，则 ， 其中，的大小关系暂时不能确定， 所以，，， 由， 解得：，，， 再由，，得，， 经检验，，，，满足题意； 综上，这五个有理数是，，，，或，，，，． 11．(24-25六上·上海交大附中附属嘉定德富中学·期中)如图，把五个数按顺序填入到五个“○”内，（每个“○”内一个数），相邻两数经过第一次运算后得到“△”，相邻“△”经过第二次运算后得到“□”，相邻“□”经过第三次运算后得到“”，相邻“”经过第三次运算后得到“”． (1)若把五个数2024，，1，0，依次按顺序填入“○”中，第一、二、三次运算均为“求乘积”，第四次运算为“求平均数”，则运算结果“”中数为______ (2)若把5个数“2”、“”，“”，“”，“2”依次按顺序填入“○”中，但第三个数不小心被污染，第一、二、三、四次运算均为“求平均数”，且运算结果“”中的数为1，求第三个数“”． (3)若把“1”，“”，“”，“4”，“”打乱顺序填入到五个“○”内，第一次运算为“求乘积”，第二、三、四次运算为“求平均数”，为使运算结果“”中的数最大，写出按顺序填入的数：______、______、______、______、______，“”中最大的结果是______． 【答案】(1)0 (2)2 (3)或； 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，代数式求值，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意计算即可； （2）设第三个数为，根据题意一步步计算，最后得到，解得； （3）假设第一步运算后的四个数为，则根据定义计算结果用代数式表示为，要使得代数式结果最大，则尽可能大，且尽可能大，则，再分类讨论求解． 【详解】（1）解：根据题意得： 第一次运算：，，， ∴第一次运算后四个数为，，0，0； 第二次运算：，，， ∴第二次运算后三个数为，0，0； 第三次运算：，， ∴第三次运算后两个数为0，0； 第四次运算： 则运算结果“”中数为0， 故答案为：0； （2）解：设第三个数为，根据题意得 第一次运算：， 则第一次运算的结果：， 第二次运算：， 第二次运算的结果：，，， 第三次运算：， 第三次运算结果：，， ∴ 解得： ∴第三个数“”为2； （3）解：假设第一步运算后的四个数为，则有： 要使得代数式结果最大，则尽可能大，且尽可能大， 则， 则有①；②；③；④；⑤；⑥ 当①时，求得分别为，则代入得； 当②时，求得分别为，则代入得； 当③时，求得分别为，则代入得； 当④时，求得分别为，则代入得； 而⑤⑥中求得，则肯定不是最大， 经比较得当时，最后结果最大且为， 当然倒叙排列结果是一样的，即， 故答案为：或；． 2 / 25 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 有理数的乘除（期中真题汇编，上海专用） 4大高频考点概览 考点01 有理数的乘法法则 考点02 倒数 考点03 有理数乘法运算律 考点04 有理数的除法法则 地 城 考点01 有理数的乘法法则 一、单选题 1．(24-25六上·上海青浦区复旦五浦汇实验学校·期中)若，且，那么（  ） A．都是正数 B．都是负数 C．一正一负，且负数的绝对值较大 D．一正一负，且正数的绝对值较大 2．(24-25六上·上海部分学校·期中)下列说法中，正确的个数是（    ） ①个有理数相乘，当因数有奇数个时，积为负； ②个有理数相乘，当正因数有奇数个时，积为负； ③个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负； ④个有理数相乘，当积为负时，负因数有奇数个； ⑤个有理数相乘，当积为正时，正因数有奇数个； ⑥个有理数相乘，当积为正时，正因数有偶数个． A．1 B．2 C．3 D．4 3．(24-25六上·上海浦东新区多校联考·期中)对正整数a，表示n个a连乘，如时，，即a的平方，若a的所有因数之积等于a的平方，则称a为完满数，如6的所有因数为1，2，3，6，因为，所以6是一个完满数，则下列数中是完满数的为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 4．(24-25六上·上海浦东外国语学校·期中)下列说法：①0的倒数是0；②若且，则a，b异号且负数的绝对值较大；③如果，那么a，b中至少有一个为0；④几个有理数相乘，若有奇数个负因数，则积为负数，其中正确的结论有（  ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 5．(24-25六上·上海金山区·期中)计算： ． 6．(24-25六上·上海虹口区·期中)定义一种新运算．例如：．则的值为 ． 7．(24-25六上·上海普陀区梅陇中学·期中)定义：对于数对，如果，那么称为“和积等数对”．如：因为，，所以，都是“和积等数对”．下列数对中，是“和积等数对”的是 ．（填序号） ①；②；③． 8．(24-25六上·上海青浦区复旦五浦汇实验学校·期中)现定义两种运算“□”“”，对于任意两个整数，则 ． 9．(24-25六上·上海部分学校·期中)已知，为有理数，且，，，四个数中恰好有三个数相等，则的值是 ． 10．(24-25六上·上海青浦区复旦五浦汇实验学校·期中)从数，1，，5，中任意选取两个数相乘，其积的最大值是 ，最小值是 ． 三、解答题 11．(24-25六上·上海金山区·期中)计算：． 12．(24-25六上·上海青浦区·期中)某出租车驾驶员从公司出发，在东西向的人民路上连续接送5批客人，行驶路程记录如下（规定向东为正，向西为负，单位：km） 第1批 第2批 第3批 第4批 第5批 (1)接送完第5批客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米？ (2)若该出租车每千米耗油0.3升，那么在这过程中共耗油多少升？ (3)若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过收费10元，超过的部分按每千米加2.5元收费，在这过程中该驾驶员共收到车费多少元？ 13．(24-25六上·上海市西初级中学·期中)某项工程，甲单独做需10天完成，乙单独做需15天完成， (1)两人合作2天，完成的工作量占这项工程总量的几分之几？ (2)如果两人合作2天后，甲有事先离开，剩下的工程由乙单独做，还需要几天才能完成？ 14．(24-25六上·上海虹口区·期中)观察式子：，，，，， ， (1)请观察上述式子的拆分方法，填空： ①，②； (2)请运用上述拆分方法，完成下列问题： ①计算：； ②填空：______． 15．(24-25六上·上海建平实验地杰中学·期中)外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖为一单）的部分记为“”，低于40单的部分记为“”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量/单 (1)求外卖小哥这一周平均每天送餐多少单． (2)外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元：超过50单的部分，每单补贴8元．求外卖小哥这一周工资收入多少元． 地 城 考点02 倒数 一、填空题 1．(24-25六上·上海奉贤区·期中) 的倒数为， 的倒数是它本身． 2．(24-25六上·上海民办永昌中学·期中)若是，则的倒数是 ． 3．(24-25六上·上海黄浦区·期中)定义：是不为1的有理数，我们称为的差倒数．如3的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，，以此类推，则 ． 4．(24-25六上·上海部分学校·期中)的倒数是 ． 5．(24-25六上·上海松江区·期中)如果a、b互为倒数，c是最大的负整数，那么的值为 ． 6．(24-25六上·上海建平实验地杰中学·期中)的倒数是 ． 地 城 考点03 有理数乘法运算律 一、解答题 1．(24-25六上·上海普陀区·期中)计算：． 2．(24-25六上·上海青浦区复旦五浦汇实验学校·期中)计算： 3．(24-25六上·上海曹杨第二中学附属学校·期中)计算：． 4．(24-25六上·上海松江区·期中)计算：． 5．(24-25六上·上海金山区·期中)计算： 6．(24-25六上·上海浦东新区·期中)（学习情境·方法探究）学习有理数的乘法后，老师给同学们这样一道题目：计算：，看谁算得又快又对，有两位同学的解法如下： 小明：原式； 小军：原式； (1)对于以上两种解法，你认为谁的解法较好？ (2)根据上面的解法对你的启发，你认为还有更好的方法吗？如果有，请把它写出来； (3)用你认为最合适的方法计算：． 7．(24-25六上·上海闵行区多校·期中)计算：． 8．(24-25六上·上海闵行区多校·期中)阅读下面材料： 计算：． 解法①： 原式． 解法②： 原式． 解法③： 先计算：． 所以，原式． (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法 是错误的（填序号）： (2)请你根据材料尝试计算：． 9．(24-25六上·上海普陀区·期中)计算： 10．(24-25六上·上海曹杨第二中学附属学校·期中)计算：． 11．(24-25六上·上海西初级中学·期中)计算：． 12．(24-25六上·上海虹口区·期中)计算：． 13．(24-25六上·上海青浦区教师进修学院附属中学·期中)计算：． 地 城 考点04 有理数的除法法则 一、单选题 1．(24-25六上·上海奉贤区·期中)把一根长度为5米的绳子平均分成4段，下列说法正确的是（    ） A．每一段绳子的长度是米 B．每一段绳子的长度是米 C．每一段绳子的长度是米 D．每一段绳子的长度是米 2．(24-25六上·上海杨浦区·期中)小明8天阅读了一本书的，小杰6天阅读了同一本书的，问两人中阅读较快的是（    ） A．小明 B．小杰 C．一样快 D．无法判断 二、填空题 3．(24-25六上·上海松江区·期中)如图，这个量杯最多可装120毫升的水，那么现在量杯里的水有 毫升． 4．(24-25六上·上海虹口区·期中)计算： ． 5．(24-25六上·上海青浦区教师进修学院附属中学·期中)在数字6、、5、1、中抽取两个数相除，所得的商最小是 ． 6．(24-25六上·上海浦东外国语学校·期中)一根钢材8米，截成相等的6段，每段占总长的 三、解答题 7．(24-25六上·上海浦东新区部分学校联考·期中)计算：． 8．(24-25六上·上海虹口区·期中)计算：． 9．(24-25六上·上海七宝中学附属鑫都实验中学·期中)小明是一个聪明而又富有想象力的孩子． 学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念． 于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如 等，类比有理数的乘方．小明把记作， 记作． (1)直接写出计算结果： ； ； (2)关于“有理数的除方”下列说法正确的是 ．（填序号） ①对于任何正整数n，都有； ②； ③； ④对于任何正整数n，都有； (3)计算： （直接写答案） 10．(24-25六上·上海部分学校·期中)有5个有理数两两的乘积是如下的10个数：，1.512，1.8，720，，，，1.89，756，900，求这5个有理数． 11．(24-25六上·上海交大附中附属嘉定德富中学·期中)如图，把五个数按顺序填入到五个“○”内，（每个“○”内一个数），相邻两数经过第一次运算后得到“△”，相邻“△”经过第二次运算后得到“□”，相邻“□”经过第三次运算后得到“”，相邻“”经过第三次运算后得到“”． (1)若把五个数2024，，1，0，依次按顺序填入“○”中，第一、二、三次运算均为“求乘积”，第四次运算为“求平均数”，则运算结果“”中数为______ (2)若把5个数“2”、“”，“”，“”，“2”依次按顺序填入“○”中，但第三个数不小心被污染，第一、二、三、四次运算均为“求平均数”，且运算结果“”中的数为1，求第三个数“”． (3)若把“1”，“”，“”，“4”，“”打乱顺序填入到五个“○”内，第一次运算为“求乘积”，第二、三、四次运算为“求平均数”，为使运算结果“”中的数最大，写出按顺序填入的数：______、______、______、______、______，“”中最大的结果是______． 2 / 25 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $