专题07 实际问题与一元二次方程（期中真题汇编，山东专用）九年级数学上学期北师大版

专题07 实际问题与一元二次方程 5大高频考点概览 考点01 传播问题 考点02 增长率问题 考点03 与图形有关的问题 考点04 营销问题 考点05 动态几何问题 地 城 考点01 传播问题 一、单选题 1．(24-25九上·山东青岛·期中)秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，佩戴口罩是遏制支原体肺炎病毒传播的一种有效途径．若有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有81人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多）．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据经过两轮传染后共有81人患了支原体肺炎，列出方程即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 由题意，得：； 故选D． 2．(23-24九上·山东枣庄山亭区·期中)每年的月日是全国爱眼日，每个人都要注意用眼卫生.假设有一人患了红眼病，经过两轮传染后，共有人患病，那每轮传染中平均一个人传染的人数为多少人？（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设每轮传染中平均一个人传染的人数为人，由两轮后传染的人数为人为等量关系建立方程求出其解即可，根据题意得等量关系建立方程是解题的关键． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为人， 由题意，得：， 解得：（舍去），， 故选：． 二、解答题 3．(24-25九上·山东临沂费县·期中)冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有2人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有128人患流感． (1)求每轮传染中平均一个人传染了多少人？ (2)若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了7人 (2)第三轮感染后，患流感的共有1024人 【分析】题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关键． （1）设每轮传染中平均每人传染了人，根据经过两轮传染后共有128人患了流感，可求出； （2）用第二轮每轮传染中平均每人传染的人数，可求出第三轮过后，患流感的人数． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了人， 由题意得：， 解得：，（不合题意舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了7人； （2）解：第三轮感染的人数（人）， 第三轮感染后，患流感的总人数为：（人）， 答：第三轮感染后，患流感的共有1024人． 4．(23-24九上·山东滨州滨城区·期中)有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， (1)用含x的解析式表示：第一轮后共有①______人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，第二轮后共有②______人患了流感； (2)根据题意，列出相应方程为③______； (3)解这个方程，得④______； (4)根据问题的实际意义，平均一个人传染了⑤______个人． 【答案】(1)， (2) (3) (4)10 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系列出方程是解答本题的关键． （1）设这种流感的传播速度是一人可才传播给x人，则一轮传染以后有人患病，第二轮传染的过程中，作为传染源的有人，一个人传染x个人，则第二轮又有人患病，则两轮后有人患病； （2）据两轮后有人患病，即可列方程求解； （3）利用直接开平方法解方程； （4）根据问题的实际意义得出答案． 【详解】（1）由题意可得，第一轮后共有人患了流感； 第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了个人，第二轮后共有人患了流感； 故答案为：，； （2）根据题意，列出相应方程为，即． 故答案为：； （3），开平方得，， 解得， 故答案为：； （4）根据问题的实际意义，不符合题意，应该舍去，， 即平均一个人传染了10个人． 故答案为：10． 地 城 考点02 增长率问题 一、单选题 1．(24-25九·山东济宁嘉祥县第五中学·期中)某蔬菜种植基地2022年的蔬菜产量为968t，2024年的蔬菜产量为800t．设每年蔬菜产量的年平均下降率都为x，则年平均下降率x应满足的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据该种植基地2022年及2024年的蔬菜产量，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设每年蔬菜产量的年平均下降率都为x， 则， 故选：C． 2．(24-25九上·山东临沂郯城县·期中)为了培养学生养成热爱读书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知年该学校用于购买图书的费用为万元，到年累计总投入万元．设每年用于购买图书资金的平均增长率为，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每年用于购买图书资金的平均增长率为，用含的代数式把年和年购买图书的资金表示出来，根据三年总投资为万元列出方程即可． 【详解】解：设每年用于购买图书资金的平均增长率为， 则年用于购买图书的资金为万元，年用于购买图书的资金为万元， 三年累计总投入万元， 可列方程为：． 故选：D． 3．(24-25九上·山东济宁泗水县·期中)新能源汽车节能，环保，越来越受消费者喜爱，2022年某款新能源汽车销售量为20万辆，销售量逐年增加，2024年预估销售量为24万辆，求这款新能源汽车的年平均增长率，可设这款新能源汽车的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据平均变化率的等量关系，增长为加，降低为减，列出方程即可． 【详解】解：由题意，可列方程为：； 故选A． 4．(24-25九上·山东临沂河东区·期中)某市2023年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2025年底增加到432公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用—增长率问题．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为，据此列方程即可． 【详解】解：由题意，得 ． 故选．B． 5．(24-25九上·山东德州德城区·期中)“立身以立学为先，立学以读书为本，”为鼓励师生阅读，某校图书馆开展阅读活动，自活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆人次，前三个月累计透馆人次，若进馆人次的月增长率相同，设为，依题意可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 设进馆人次的月增长率为，根据题意列出方程即可． 【详解】解：设进馆人次的月增长率为， 由题意得，， 故选：D． 6．(24-25九上·山东青岛·期中)青岛市发展和改革委员会公布，青岛市2021年全市生产总值约为1.41万亿元，2023年全市生产总值约为1.58万亿元．设青岛这两年全市生产总值的年均增长率为x，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据青岛市2021年全市生产总值约为1.41万亿元，2023年全市生产总值约为1.58万亿元列一元二次方程即可． 【详解】解：由题意可得，， 故选：A． 7．(24-25九上·山东滨州博兴县·期中)某商品原售价为元，连续两次降价后，售价为元．若平均每次降低的百分率为，则根据题意所列方程正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设平均每次降价的百分率为，根据题意列出一元二次方程即可，正确理解题意、准确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为， 依题意得：， 故选：． 二、填空题 8．(24-25九上·山东青岛即墨区·期中)近年来，我国数字技术不断革新，影响着全民阅读形态．为预计某市2024年数字阅读市场规模，经查询得数据：该市2021年数字阅读市场规模为412万元，2023年数字阅读市场规模为523万元．设该市年平均增长率为x，根据题意可列方程 ． 【答案】 【分析】利用该市2023年数字阅读市场规模该市2021年数字阅读市场规模该市年平均增长率，即可列出关于x的一元二次方程． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 9．(24-25九上·山东青岛城阳区·期中)商店销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本为64元，在成本价的基础上经过两次价格调整后售价定为100元．若每次价格调整的增长率相同，则增长率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每次价格调整的增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解． 【详解】解：设每次价格调整的增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴每次价格调整的增长率相同，则增长率为， 故答案为：． 10．(24-25九上·山东潍坊·期中)由于某品种葡萄的市场需求量不断增加，某葡萄种植基地连年扩大该品种葡萄的种植量，年的产量为20万斤，这三年的总产量为95万斤，若设每年的平均增长率为x，则可以列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据题意分别得到这三年的产量，这三年的总产量为95万斤，据此列方程即可． 【详解】解：根据题意可得， 年的产量为20万斤， 年的产量为万斤， 年的产量为万斤， ∵这三年的总产量为95万斤， ∴． 故答案为：． 三、解答题 11．(24-25九上·山东青岛青岛大学附属中学·期中)“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率； (2)为支持市民的健身运动，该市市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1800元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低60元．但最低售价不得少于1200元．已知市政府向该公司支付货款22.5万元，求购买的这种健身器材的套数． 【答案】(1)该市参加健身运动人数的年均增长率为25% (2)购买的这种健身器材的套数为150套 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为x，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为m套，根据市政府向该公司支付货款22.5万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为； （2）解：设购买的这种健身器材的套数为套， 由题意得： 整理得：， 解得：， 最低售价不得少于1200元， 解得：， 答：购买的这种健身器材的套数为150套． 12．(24-25九上·山东青岛·期中)面向日益严峻的气候变化形势，以发展新能源汽车推动道路交通领域零碳转型已成为全球共识．我国政府不断加大对新能源汽车的支持和推动，新能源汽车的市场需求正在不断增加．下表是一款某品牌新能源热门车型7月份和9月份的全国销量情况： 月份 7月 9月 销量/万辆 (1)求该款车销量的月平均增长率． (2)青岛一个该品牌店购进一批该款车型进行销售，已知进价为每辆6万元．经试销发现：当该款汽车售价为万元时，平均每月销量为150辆；而当售价每降低万元时，平均每月就能多售出15辆．为了扩大销量，该店决定降价促销，若该店想要维持利润不变，该款车的售价应为每辆多少万元？ 【答案】(1)该款车销量的月平均增长率为 (2)下调后每辆汽车的售价为7万元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该款车销量的月平均增长率为，可得出关于的一元二次方程，解之取其正值，即可得出结论； （2）设下调后每辆汽车的售价为万元，则每辆汽车的销售利润为万元，利用该店销售该款汽车平均每周的销售利润每辆的销售利润每周的销售量，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该款车销量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：该款车销量的月平均增长率为； （2）解：设下调后每辆车的售价为万元，则每辆汽车的销售利润为万元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 又∵为了扩大销量， ， 答：下调后每辆汽车的售价为7万元． 地 城 考点03 与图形有关的问题 一、单选题 1．(24-25九上·山东济宁微山县·期中)如图，在长为16米、宽为10米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为270平方米，那么道路的宽应该为多少米？若设道路的宽为米，则根据题意所列方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程实际应用．根据题意设道路的宽为米，再列出关于的方程即可． 【详解】解：设道路的宽为米， ∵长为16米、宽为10米的矩形地面，草坪的面积为270平方米， ∴， 故选：C． 2．(24-25九上·山东日照岚山区·期中)为更好地落实劳动课程，学校将实践基地“分田到班”，九（1）班分到如图所示一块长为，宽为的矩形空地，计划分割出两块完全相同的矩形菜地（阴影部分）用来种植蔬菜，菜地四周空白部分为宽度相等的人行道，若菜地的面积之和为．设人行道的宽度为，则列出关于x的方程应为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用．正确的识图，确定矩形的长和宽，列出方程，是解题的关键．人行道的宽度都为，根据两块完全相同的矩形的面积之和为，列出方程即可． 【详解】解：若人行道的宽度都为， 由题意，得：； 故选：B． 二、填空题 3．(24-25九上·山东德州德城区·期中)某社区为解决社区停车难的问题，利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，其余部分均为宽度为的道路．已知阴影面积为，则道路的宽 m． 【答案】5 【分析】依题意，其余部分均为宽度为的道路，利用平移的性质可得停车位部分组成一个边长为，宽为的矩形，再根据矩形的面积公式列出方程即可．本题考查从实际问题抽象出一元二次方程，找出等量关系是解答本题的关键． 【详解】解：依题意，其余部分均为宽度为的道路，利用平移的性质可得停车位部分组成一个边长为，宽为的矩形， ∴． ∴， 则， ∴（故舍去）， ∴道路的宽， 故答案为：5． 4．(24-25九上·山东青岛青岛大学附属中学·期中)如图，在长为42米、宽为20米的矩形地面上修筑道路（图中阴影部分），其中铅直方向的小路的宽度是水平小路宽度的2倍，余下部分种植草坪，要使草坪的面积为640平方米，设水平方向道路的宽为x米，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系，设水平方向道路的宽为x米，则铅直方向的小路的宽度为米，根据草坪的面积为640平方米，列出方程即可． 【详解】解：设水平方向道路的宽为x米，则铅直方向的小路的宽度为米，根据题意得： ， 故答案为：． 三、解答题 5．(24-25九上·山东青岛即墨区·期中)如图，某市近郊有一块长为60米，宽为50米的矩形荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为a米）区域将铺设塑胶地面作为运动场地．设通道的宽度为x米，回答下列问题． (1)　　米（用含x的代数式表示）； (2)若塑胶运动场地总占地面积为1920平方米，则通道的宽度为多少米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查列代数式及一元二次方程的应用，理解题意，找准面积之间的关系是解题关键． （1）结合图形可得：长为，内部两个矩形的宽为，通道宽为，可得代数式，化简即可得； （2）结合图形，利用大面积减去黑色部分的面积可得方程，求解即可得． 【详解】（1）解：结合图形可得：长为，内部两个矩形的宽为，通道宽为， 根据题意，得， ， 故答案为：； （2）解：根据题意得：， ∵， ∴， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）． ∴通道的宽度为． 6．(24-25九上·山东济南商河县·期中)用总长的木板制作矩形置物架（如图）．已知该置物架上面部分为正方形，下面部分是两个全等的矩形和矩形，知． (1)当正方形边长为时，的长为 ； (2)若设正方形的边长．置物架的高的长为 （用含x的代数表示）； (3)在（2）的条件下，为了便于放置物品，的高度不小于，若矩形的面积为，求x的值． 【答案】(1)20 (2) (3)70 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正方形及矩形的性质： （1）根据矩形和正方形的性质直接计算即可； （2）同（1）求出，根据即可求解； （3）结合（2）列出一元二次方程，解方程，根据的高度不小于，判断求出的解是否符合题意． 【详解】（1）解：由题意知，，， ， 故答案为：20； （2）解：由题意知，，， ， ， 故答案为：； （3）解：由（2）得， 由题意得， 解得，， 当时，，符合题意； 当时，，不合题意； x的值为70． 7．(24-25九上·山东潍坊·期中)如图，某儿童乐园的场地是长宽分别为，的矩形．儿童乐园进行改造升级，场地也进行扩充，将场地的长、宽增加相同的长度后，新场地仍是一个矩形． (1)若扩充后的矩形场地面积为，求新的矩形场地的长与宽； (2)儿童乐园改造升级后，经过调查发现，票价30元/人时游客数为每天500人，票价每提高1元，则游客减少10人，要使得儿童乐园日营业额达到1.6万元，票价应定为多少元？ 【答案】(1)新的矩形场地的长为，宽为； (2)票价应定为40元/人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设场地的长、宽增加，则新的矩形场地的长为，宽为，根据扩充后的矩形场地面积为，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再将其符合题意的值代入及中，即可求出结论； （2）设票价应定为元人，则游客数为每天人，利用儿童乐园日营业额票价日游客数，可列出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设场地的长、宽增加，则新的矩形场地的长为，宽为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， ． 答：新的矩形场地的长为，宽为； （2）解：设票价应定为元人，则游客数为每天人， 根据题意得：， 整理得：， 解得：． 答：票价应定为40元人． 8．(24-25九上·山东青岛北区·期中)阅读下列材料，并完成相应的任务． 探究：一元二次方程的几何解法 通过学习，我们知道可以用配方法、因式分解法、公式法等求解一元二次方程，但在数学史上，人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．下面是9世纪阿拉伯数学家阿尔·花拉子米利用几何法求解的过程： 解：，如图①，分别以和为两边构造一个长方形；如图②，把长方形分成一个面积是的正方形和两个面积是的长方形；将图②分割、拼接成图③的图形，则图③阴影部分的面积是________，这样就将两条边长分别为和的长方形变成一个边长是的正方形． 根据图③可以得到：________； 所以，方程的正数解________． 几何法求解一元二次方程，只能得到正数解． 任务：根据上述材料，请你用几何方法求方程的正数解．要求如下： （1）在如图所示的区域内画出图形，并标出相应的线段长度． （2）根据（1）所画图形直接写出方程的正数解是________． 拓展： 根据阅读探究，你能否用“立体图形的组合”，求特殊的一元三次方程的正根？ 如：求方程的正根： 类比平面图形的研究，可将此问题转化成正方体来求解，现准备以下规格的立体图形： 需要准备图④中几何体________块； 需要准备图⑤中几何体________块； 需要准备图⑥中几何体________块； 需要准备图⑦中几何体________块； 请直接写出方程的正根________． 【答案】（1）图见解析；（2）4；（3）1，3，3，1，7 【分析】本题考查了解一元二次方程，理解题意，明确一元二次方程的几何解法是解题的关键 （1）由，作图即可； （2）由题意知，，即，进而可求正数解； （3）由题意知，要准备图④中几何体1块；需要准备图⑤中几何体3块；需要准备图⑥中几何体3块；需要准备图⑦中几何体1块；则，进而可求正数根． 【详解】（1）解：∵， ∴作图如下； （2）解：由题意知，，即， ∴方程的正数解是， 故答案为：4； （3）解：由题意知，要准备图④中几何体1块；需要准备图⑤中几何体3块；需要准备图⑥中几何体3块；需要准备图⑦中几何体1块； ∴， ∴方程的正根， 故答案为：1，3，3，1，7． 地 城 考点04 营销问题 1．(24-25九上·山东滨州滨城区·期中)某商店以每件70元的价格购进若干件衬衫，第一个月按单价100元销售，售出200件，第二个月为增加销售量，且让利于顾客，决定降价处理，经市场调查， 如何定价，才能使以后每个月的利润达到7280元． 解：设 ，根据题意得 根据上面所列方程，完成下列任务： (1)数学问题中横线处缺少的条件是 ． (2)所列方程中未知数x的实际意义是____ (3)请写出解决上面的数学问题的完整解题过程． 【答案】(1)售价每降价2元，月销售量就多卖出40件 (2)每件售价降低了x元 (3)见解析 【分析】（1）根据所列方程，可得出题干中缺失的条件； （2）根据所列方程，可找出未知数的实际意义； （3）利用月销售总利润每件的销售利润与月销售量的积，可得出关于的一元二次方程，解之即可得出x的值，结合要让顾客得到更大的实惠，可确定符合题意的x的值，再将其代入中，即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：根据的意义，得售价每降价2元，月销售量就多卖出40件， 故答案为：售价每降价2元，月销售量就多卖出40件． （2）解：根据题意，得每件售价降低了x元， 故答案为：每件售价降低了x元． （3）解：设每件售价降低了x元，根据题意得 ， 解得； 由于要让利于顾客， 故， 故． 答：销售价定在84元，让利且才能使以后每个月的利润达到7280元． 2．(24-25九上·山东青岛即墨区·期中)某商场销售，两种新型小家电，型每台进价元，售价元，型每台进价元，售价元，月份售出型台，且销售这两种小家电共获利不少于元． (1)求月份售出型小家电至少多少台？ (2)经市场调查，月份型售价每降低元，销量将增加台；型售价每降低元，销量将在月份最低销量的基础上增加台．为尽可能让消费者获得实惠，商场计划月份，两种小家电都降低相同价格，且希望销售这两种小家电共获利元，则这两种小家电都应降低多少元？ 【答案】(1)月份售出型小家电至少台； (2)这两种小家电都应降低元． 【分析】（）设月份售出型小家电台，根据题意列出不等式，然后解不等式即可； （）设这两种小家电都应降低元，根据题意列出方程，然后解方程并检验即可； 本题考查了一元一次不等式和一元二次方程的应用，读懂题意，找出数量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设月份售出型小家电台， 根据题意，得， 解得：， 答：月份售出型小家电至少台； （2）解：设这两种小家电都应降低元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵为尽可能让消费者获得实惠， ∴舍去， 答：这两种小家电都应降低元． 3．(24-25九上·山东济南章丘区·期中)某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个；第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出． (1)根据题意，填写如下表格： 售价 销售量 总成本 第一周 10 200 元 第二周 第三周 4 (2)如果这批旅游纪念品共获利1250元，问：第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？ 【答案】(1)表格见解析 (2)第二周每件售价为9元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设该商店第二周降低元销售，则销售数量为；第三周首先求得降价为6元，然后进一步求得销量即可； （2）先求出清仓处理的件数，由总利润单件利润销售数量，可求出清仓处理的利润，再将第一周、二周、清仓处理的利润相加，即可得出该商店对剩余纪念品清仓处理后的利润，令其等于1250，即可得出关于的一元二次方程，解得即可求出的值，再将其代入中即可． 【详解】（1）解：设该商店第二周降低元销售， 则售价为：元；销售数量为个， 第三周售价为4元时，降价为（元）， 销售数量为（个）， 填表如下： 售价 销售量 总成本 第一周 10 200 元 第二周 第三周 4 （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得， ∴， 答：第二周每件售价为9元． 4．(24-25九上·山东济南商河县·期中)今年深圳“读书月”期间，某书店将每本成本为30元的一批图书，以40元的单价出售时，每天的销售量是300本．已知在每本涨价幅度不超过10元的情况下，若每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了元．请解答以下问题： (1)填空：每天可售出书 本（用含x的代数式表示）； (2)若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应涨价多少元？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用（营销问题），列代数式等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程是解题的关键． （1）设每本书上涨了元，根据题意即可表示出每天的销售量； （2）根据“每本书的利润每天的销售量总利润”列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵每本书上涨了元， ∴每天可售出书本， 故答案为：； （2）解：设每本书上涨了元（）， 根据题意可得：， 整理，得：， 解得：，（不合题意，故舍去）， 答：若书店想每天获得3750元的利润，每本书应涨价5元． 5．(24-25九上·山东枣庄滕州·期中)2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭发射成功．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个． (1)若每个模型降价5元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？ (2)在每个模型盈利不超过25元的前提下，要使“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？ 【答案】(1)30个，1050元 (2)20元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用——盈利问题，根据销售问题列出方程并正确求解是解题的关键． （1）根据降价，求出降价后得每件利润和每天得销量，即可求出利润； （2）设每个模型降价元，则每件利润元，平均每天可以售出个模型，根据利润可列方程，解方程，再进行取舍即可． 【详解】（1）解：（个）； （元）． 答：平均每天可以售出30个模型，此时每天获利1050元； （2）设每个模型应降价元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又每个模型盈利不超过25元， ． 答：每个模型应降价20元． 6．(24-25九上·山东青岛·期中)聚焦“书香青岛”品牌建设，我市持续推进全民阅读．在年开展“阅动山东·书行青岛”读书月活动前夕，书店购进大量书签，一种书签平均每天可售出张，每张赢利元．为了尽快减少库存，书店老板决定采取适当的降价措施．调查发现，如果这种书签的售价每降价元，那么平均每天可多售出张．老板要想平均每天赢利元，每张书签应降价多少元？ 【答案】每张书签应降价元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每张书签应降价元，则每张盈利元，平均每天可售出张，利用总利润每张的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要尽快减少库存，即可确定结论． 【详解】解∶设每张书签应降价元，则每张盈利元，平均每天可售出张， 根据题意得∶． 整理得∶． 解得， 又∵要尽快减少库存， ∴ 答∶每张书签应降价元． 7．(24-25九上·山东青岛城阳区·期中)尊老敬老是中华民族的传统美德，在九九重阳节前夕，某商场为老年人推出一款特价商品，每件商品的进价为元，促销前销售单价定为元，每天可售出件；据市场调查，销售单价每降低元，每天可多售件． (1)若每件商品降价5元，则商场销售这款商品一天获得的利润是多少元？ (2)不考虑其他因素的影响，若使商场销售这款商品一天的利润达到元，求商品的销售单价． 【答案】(1)元 (2)元或元 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，注意计算的准确性． （1）根据每件商品降价5元求出销量和售价，即可求解； （2）设商品的销售单价为元，则，即可求解； 【详解】（1）解：元， 答：商场销售这款商品一天获得的利润是元； （2）解：设商品的销售单价为元， 则， 解得：， ∴当商品的销售单价为元或元时，可使商场销售这款商品一天的利润达到元 8．(24-25九上·山东青岛第三十九中学·期中)星星服装店以每件50元的价格购进800件T恤．第一个月以单价80元销售，售出了200件：第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元．设第二个月单价降低x元． (1)填表（需化简）： 时间 第一个月 第二个月 清仓时 单价（元） 80 40 销售量（件） 200 (2)如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？ 【答案】(1)见解析 (2)第二个月的单价应为元 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用．根据题意正确的表示单价，销售量，并正确的列方程是解题的关键． （1）由题意知，第二月的单价为元，销售量为件，清仓时的销售量根据，计算求解，然后补表即可； （2）依题意得，，计算求出满足要求的解，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，第二月的单价为元，销售量为件，清仓时的销售量为件， 补表如下： 时间 第一个月 第二个月 清仓时 单价（元） 80 40 销售量（件） 200 故答案为：，，； （2）解：依题意得，， 整理得，， 解得，， ∴， ∴第二个月的单价应为元． 地 城 考点05 动态几何问题 1．(24-25九上·山东济南东南片区·期中)在Rt中，，，，现有动点从点出发，沿方向向点运动，动点从点出发，沿方向向点运动，如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，当有一点到达终点时，点，就停止运动，设运动时间为秒，求： (1)当为多少时，四边形的面积是面积的2倍？ (2)当为多少时，中有一个内角与相等？ 【答案】(1)为4秒时，四边形的面积是面积的2倍. (2)当为或2时，中有一个内角与相等. 【分析】本题是三角形的综合题，考查了三角形面积的计算，相似三角形的判定和性质，分类讨论是解题关键． （1）根据面积列出一元二次方程，求值即可. （2）分两种情况讨论：或，再根据相似三角形的判定和性质即可求得答案. 【详解】（1）解：∵动点从点出发，沿方向向点运动，点的速度是， ， ∵动点从点出发，沿线段方向向点运动，点的速度是， ， ． 四边形的面积是面积的2倍，，， ， ， 即：，解得：． 为4秒时，四边形的面积是面积的2倍. （2）， ①当时，， ， ， 解得：； ②当时，， ， 解得：． 综上所述，当为或2时，中有一个内角与相等． 2．(24-25九上·山东青岛城阳区·期中)如图①，在中，，，．，垂足为．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；点同时从点出发，沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为，连接，．解答下列问题： (1)求的长度； (2)在运动过程中，是否存在某一时刻，使点在线段的垂直平分线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)在运动过程中，是否存在某一时刻，使的面积与的面积之比是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (4)如图②，点是点关于的对称点，连接，当为何值时，？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据勾股定理可求出，再结合等积法可求出，最后再利用勾股定理求解即可； （2）由线段垂直平分线的性质可得出，即可列出关于t的等式，求解即可； （3）由三角形面积公式和面积的比可求出，过点P作于点E，即易证，得出，代入数据，即可用t表示出的长，从而可列出关于t的等式，求解即可； （4）由题意可判断点共线，过点D作交于点F，易证，，得出，．根据轴对称的性质可求出，代入数据，即可求出，再代入中，解出t的值即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴． ∵， ∴，即， 解得：， ∴； （2）解：由（1）可知， ∴． 由题意可知． ∵要使点在线段的垂直平分线上， ∴即可，即， 解得：． （3）解：∵，， ∴． ∵， ∴． 如图，过点P作于点E， ∴， ∴， ∴，即， ∴． ∵， ∴， 解得：（舍），， ∴的值为； （4）解：∵， ∴点共线，如图，过点D作交于点F， ∴， ∴． ∵点是点关于的对称点， ∴，即， ∴． ∵， ∴， ∴，即， 解得：（舍），（舍）， ∴的值为． 【点睛】本题考查勾股定理，等积法的应用，线段垂直平分线的性质，三角形相似的判定和性质，轴对称的性质，一元一次方程和一元二次方程的应用．利用数形结合的思想是解题关键． 3．(24-25九上·山东济南济阳区·期中)如图，在中，，，．点从点出发沿向点运动，速度为每秒，同时点从点出发沿向点运动，速度为每秒，当点到达顶点时，、同时停止运动，设点运动时间为秒．     (1)当_______时，是以为顶角的等腰三角形； (2)当_______时，是直角三角形； (3)的面积为，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）由勾股定理求得，由题意，，则，根据是以为顶角的等腰三角形，则，列出方程，解方程，即可求解； （2）当时，可证明，当时，可证明，两种情况根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可； （3）过点作于点，证明得出，根据三角形的面积公式建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴． 由题意，， ∴， ∵是以为顶角的等腰三角形， ∴， ∴， 解得， 故答案为：； （2）解：当时， ∵， ∴， ∴，即， 解得：； 当时， ∵， ∴， ∴，， 解得：． 综上所述或时，是直角三角形； 故答案为：或； （3）解：如图所示，过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，解一元二次方程，勾股定理，等腰三角形的定义，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． 2 / 31 1 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 实际问题与一元二次方程 5大高频考点概览 考点01 传播问题 考点02 增长率问题 考点03 与图形有关的问题 考点04 营销问题 考点05 动态几何问题 地 城 考点01 传播问题 一、单选题 1．(24-25九上·山东青岛·期中)秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，佩戴口罩是遏制支原体肺炎病毒传播的一种有效途径．若有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有81人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多）．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．(23-24九上·山东枣庄山亭区·期中)每年的月日是全国爱眼日，每个人都要注意用眼卫生.假设有一人患了红眼病，经过两轮传染后，共有人患病，那每轮传染中平均一个人传染的人数为多少人？（    ） A． B． C． D． 二、解答题 3．(24-25九上·山东临沂费县·期中)冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有2人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有128人患流感． (1)求每轮传染中平均一个人传染了多少人？ (2)若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？ 4．(23-24九上·山东滨州滨城区·期中)有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， (1)用含x的解析式表示：第一轮后共有①______人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，第二轮后共有②______人患了流感； (2)根据题意，列出相应方程为③______； (3)解这个方程，得④______； (4)根据问题的实际意义，平均一个人传染了⑤______个人． 地 城 考点02 增长率问题 一、单选题 1．(24-25九·山东济宁嘉祥县第五中学·期中)某蔬菜种植基地2022年的蔬菜产量为968t，2024年的蔬菜产量为800t．设每年蔬菜产量的年平均下降率都为x，则年平均下降率x应满足的方程为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·山东临沂郯城县·期中)为了培养学生养成热爱读书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知年该学校用于购买图书的费用为万元，到年累计总投入万元．设每年用于购买图书资金的平均增长率为，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·山东济宁泗水县·期中)新能源汽车节能，环保，越来越受消费者喜爱，2022年某款新能源汽车销售量为20万辆，销售量逐年增加，2024年预估销售量为24万辆，求这款新能源汽车的年平均增长率，可设这款新能源汽车的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的为（   ） A． B． C． D． 4．(24-25九上·山东临沂河东区·期中)某市2023年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2025年底增加到432公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 5．(24-25九上·山东德州德城区·期中)“立身以立学为先，立学以读书为本，”为鼓励师生阅读，某校图书馆开展阅读活动，自活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆人次，前三个月累计透馆人次，若进馆人次的月增长率相同，设为，依题意可列方程（   ） A． B． C． D． 6．(24-25九上·山东青岛·期中)青岛市发展和改革委员会公布，青岛市2021年全市生产总值约为1.41万亿元，2023年全市生产总值约为1.58万亿元．设青岛这两年全市生产总值的年均增长率为x，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 7．(24-25九上·山东滨州博兴县·期中)某商品原售价为元，连续两次降价后，售价为元．若平均每次降低的百分率为，则根据题意所列方程正确的为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．(24-25九上·山东青岛即墨区·期中)近年来，我国数字技术不断革新，影响着全民阅读形态．为预计某市2024年数字阅读市场规模，经查询得数据：该市2021年数字阅读市场规模为412万元，2023年数字阅读市场规模为523万元．设该市年平均增长率为x，根据题意可列方程 ． 9．(24-25九上·山东青岛城阳区·期中)商店销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本为64元，在成本价的基础上经过两次价格调整后售价定为100元．若每次价格调整的增长率相同，则增长率为 ． 10．(24-25九上·山东潍坊·期中)由于某品种葡萄的市场需求量不断增加，某葡萄种植基地连年扩大该品种葡萄的种植量，年的产量为20万斤，这三年的总产量为95万斤，若设每年的平均增长率为x，则可以列方程为 ． 三、解答题 11．(24-25九上·山东青岛青岛大学附属中学·期中)“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率； (2)为支持市民的健身运动，该市市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1800元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低60元．但最低售价不得少于1200元．已知市政府向该公司支付货款22.5万元，求购买的这种健身器材的套数． 12．(24-25九上·山东青岛·期中)面向日益严峻的气候变化形势，以发展新能源汽车推动道路交通领域零碳转型已成为全球共识．我国政府不断加大对新能源汽车的支持和推动，新能源汽车的市场需求正在不断增加．下表是一款某品牌新能源热门车型7月份和9月份的全国销量情况： 月份 7月 9月 销量/万辆 (1)求该款车销量的月平均增长率． (2)青岛一个该品牌店购进一批该款车型进行销售，已知进价为每辆6万元．经试销发现：当该款汽车售价为万元时，平均每月销量为150辆；而当售价每降低万元时，平均每月就能多售出15辆．为了扩大销量，该店决定降价促销，若该店想要维持利润不变，该款车的售价应为每辆多少万元？ 地 城 考点03 与图形有关的问题 一、单选题 1．(24-25九上·山东济宁微山县·期中)如图，在长为16米、宽为10米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为270平方米，那么道路的宽应该为多少米？若设道路的宽为米，则根据题意所列方程是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·山东日照岚山区·期中)为更好地落实劳动课程，学校将实践基地“分田到班”，九（1）班分到如图所示一块长为，宽为的矩形空地，计划分割出两块完全相同的矩形菜地（阴影部分）用来种植蔬菜，菜地四周空白部分为宽度相等的人行道，若菜地的面积之和为．设人行道的宽度为，则列出关于x的方程应为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．(24-25九上·山东德州德城区·期中)某社区为解决社区停车难的问题，利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，其余部分均为宽度为的道路．已知阴影面积为，则道路的宽 m． 4．(24-25九上·山东青岛青岛大学附属中学·期中)如图，在长为42米、宽为20米的矩形地面上修筑道路（图中阴影部分），其中铅直方向的小路的宽度是水平小路宽度的2倍，余下部分种植草坪，要使草坪的面积为640平方米，设水平方向道路的宽为x米，则可列方程为 ． 三、解答题 5．(24-25九上·山东青岛即墨区·期中)如图，某市近郊有一块长为60米，宽为50米的矩形荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为a米）区域将铺设塑胶地面作为运动场地．设通道的宽度为x米，回答下列问题． (1)　　米（用含x的代数式表示）； (2)若塑胶运动场地总占地面积为1920平方米，则通道的宽度为多少米？ 6．(24-25九上·山东济南商河县·期中)用总长的木板制作矩形置物架（如图）．已知该置物架上面部分为正方形，下面部分是两个全等的矩形和矩形，知． (1)当正方形边长为时，的长为 ； (2)若设正方形的边长．置物架的高的长为 （用含x的代数表示）； (3)在（2）的条件下，为了便于放置物品，的高度不小于，若矩形的面积为，求x的值． 7．(24-25九上·山东潍坊·期中)如图，某儿童乐园的场地是长宽分别为，的矩形．儿童乐园进行改造升级，场地也进行扩充，将场地的长、宽增加相同的长度后，新场地仍是一个矩形． (1)若扩充后的矩形场地面积为，求新的矩形场地的长与宽； (2)儿童乐园改造升级后，经过调查发现，票价30元/人时游客数为每天500人，票价每提高1元，则游客减少10人，要使得儿童乐园日营业额达到1.6万元，票价应定为多少元？ 8．(24-25九上·山东青岛北区·期中)阅读下列材料，并完成相应的任务． 探究：一元二次方程的几何解法 通过学习，我们知道可以用配方法、因式分解法、公式法等求解一元二次方程，但在数学史上，人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．下面是9世纪阿拉伯数学家阿尔·花拉子米利用几何法求解的过程： 解：，如图①，分别以和为两边构造一个长方形；如图②，把长方形分成一个面积是的正方形和两个面积是的长方形；将图②分割、拼接成图③的图形，则图③阴影部分的面积是________，这样就将两条边长分别为和的长方形变成一个边长是的正方形． 根据图③可以得到：________； 所以，方程的正数解________． 几何法求解一元二次方程，只能得到正数解． 任务：根据上述材料，请你用几何方法求方程的正数解．要求如下： （1）在如图所示的区域内画出图形，并标出相应的线段长度． （2）根据（1）所画图形直接写出方程的正数解是________． 拓展： 根据阅读探究，你能否用“立体图形的组合”，求特殊的一元三次方程的正根？ 如：求方程的正根： 类比平面图形的研究，可将此问题转化成正方体来求解，现准备以下规格的立体图形： 需要准备图④中几何体________块； 需要准备图⑤中几何体________块； 需要准备图⑥中几何体________块； 需要准备图⑦中几何体________块； 请直接写出方程的正根________． 地 城 考点04 营销问题 1．(24-25九上·山东滨州滨城区·期中)某商店以每件70元的价格购进若干件衬衫，第一个月按单价100元销售，售出200件，第二个月为增加销售量，且让利于顾客，决定降价处理，经市场调查， 如何定价，才能使以后每个月的利润达到7280元． 解：设 ，根据题意得 根据上面所列方程，完成下列任务： (1)数学问题中横线处缺少的条件是 ． (2)所列方程中未知数x的实际意义是____ (3)请写出解决上面的数学问题的完整解题过程． 2．(24-25九上·山东青岛即墨区·期中)某商场销售，两种新型小家电，型每台进价元，售价元，型每台进价元，售价元，月份售出型台，且销售这两种小家电共获利不少于元． (1)求月份售出型小家电至少多少台？ (2)经市场调查，月份型售价每降低元，销量将增加台；型售价每降低元，销量将在月份最低销量的基础上增加台．为尽可能让消费者获得实惠，商场计划月份，两种小家电都降低相同价格，且希望销售这两种小家电共获利元，则这两种小家电都应降低多少元？ 3．(24-25九上·山东济南章丘区·期中)某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个；第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出． (1)根据题意，填写如下表格： 售价 销售量 总成本 第一周 10 200 元 第二周 第三周 4 (2)如果这批旅游纪念品共获利1250元，问：第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？ 售价 销售量 总成本 第一周 10 200 元 第二周 第三周 4 4．(24-25九上·山东济南商河县·期中)今年深圳“读书月”期间，某书店将每本成本为30元的一批图书，以40元的单价出售时，每天的销售量是300本．已知在每本涨价幅度不超过10元的情况下，若每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了元．请解答以下问题： (1)填空：每天可售出书 本（用含x的代数式表示）； (2)若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应涨价多少元？ 5．(24-25九上·山东枣庄滕州·期中)2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭发射成功．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个． (1)若每个模型降价5元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？ (2)在每个模型盈利不超过25元的前提下，要使“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？ 6．(24-25九上·山东青岛·期中)聚焦“书香青岛”品牌建设，我市持续推进全民阅读．在年开展“阅动山东·书行青岛”读书月活动前夕，书店购进大量书签，一种书签平均每天可售出张，每张赢利元．为了尽快减少库存，书店老板决定采取适当的降价措施．调查发现，如果这种书签的售价每降价元，那么平均每天可多售出张．老板要想平均每天赢利元，每张书签应降价多少元？ 7．(24-25九上·山东青岛城阳区·期中)尊老敬老是中华民族的传统美德，在九九重阳节前夕，某商场为老年人推出一款特价商品，每件商品的进价为元，促销前销售单价定为元，每天可售出件；据市场调查，销售单价每降低元，每天可多售件． (1)若每件商品降价5元，则商场销售这款商品一天获得的利润是多少元？ (2)不考虑其他因素的影响，若使商场销售这款商品一天的利润达到元，求商品的销售单价． 8．(24-25九上·山东青岛第三十九中学·期中)星星服装店以每件50元的价格购进800件T恤．第一个月以单价80元销售，售出了200件：第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元．设第二个月单价降低x元． (1)填表（需化简）： 时间 第一个月 第二个月 清仓时 单价（元） 80 40 销售量（件） 200 (2)如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？ 时间 第一个月 第二个月 清仓时 单价（元） 80 40 销售量（件） 200 故答案为：，，； 地 城 考点05 动态几何问题 1．(24-25九上·山东济南东南片区·期中)在Rt中，，，，现有动点从点出发，沿方向向点运动，动点从点出发，沿方向向点运动，如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，当有一点到达终点时，点，就停止运动，设运动时间为秒，求： (1)当为多少时，四边形的面积是面积的2倍？ (2)当为多少时，中有一个内角与相等？ 2．(24-25九上·山东青岛城阳区·期中)如图①，在中，，，．，垂足为．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；点同时从点出发，沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为，连接，．解答下列问题： (1)求的长度； (2)在运动过程中，是否存在某一时刻，使点在线段的垂直平分线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)在运动过程中，是否存在某一时刻，使的面积与的面积之比是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (4)如图②，点是点关于的对称点，连接，当为何值时，？ 3．(24-25九上·山东济南济阳区·期中)如图，在中，，，．点从点出发沿向点运动，速度为每秒，同时点从点出发沿向点运动，速度为每秒，当点到达顶点时，、同时停止运动，设点运动时间为秒．     (1)当_______时，是以为顶角的等腰三角形； (2)当_______时，是直角三角形； (3)的面积为，求的值． 2 / 31 1 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $