专题09 相似图形的相关概念和性质（期中真题汇编，山东专用）九年级数学上学期北师大版

专题09 相似图形的相关概念和性质 4大高频考点概览 考点01 比例的性质 考点02 黄金分割 考点03 相似多边形的性质 考点04 平行线分线段成比例定理 地 城 考点01 比例的性质 1．(24-25九上·山东济南历下区·期中)若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，正确应用比例的性质是解题的关键．根据比例的性质，先求得，然后代入中计算，即得答案． 【详解】， ， ． 故答案为：． 2．(24-25九上·山东青岛·期中)在中华人民共和国75周年华诞到来之际，某学校开展了“我心绘版图  美丽白纸坊”手绘地图活动．小明绘制了一张比例尺为的青岛城区交通游览图，栈桥的图上长度约为，则栈桥的实际长度约为 m． 【答案】440 【分析】本题考查比例尺，根据比例尺等于图上距离与实际距离的比，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：设栈桥的实际长度为， 则：， ∴， ； 故答案为：440 3．(24-25九上·山东青岛即墨区·期中)如果，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等比性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据比例的等比性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 4．(24-25九上·山东青岛青岛大学附属中学·期中)若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，代数式求值，由比例式可得，，，代入代数式计算即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， 故答案为：． 5．(24-25九上·山东枣庄滕州·期中)若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查比例的性质，由得，代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 地 城 考点02 黄金分割 一、单选题 1．(24-25九上·山东枣庄滕州·期中)滕州一中要举办元旦文艺会演，当主持人站在舞台的黄金分割点处时最自然得体．如图，若舞台的长为，为的一个黄金分割点（），则的长为（结果精确到）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了黄金分割的概念以及近似数，熟记黄金分割的比值是解题的关键． 根据黄金分割的概念得到，代入数值进行计算即可． 【详解】解：∵为舞台的一个黄金分割点，且， ∴． 故选：D ． 2．(24-25九上·山东青岛·期中)黄金分割在文艺复兴时期被视为金子般的比例，比值约等于．有研究发现，成人的理想体重与身高的关系是：体重（）身高．若王老师的身高是，下列选项中，最接近她的理想体重的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查黄金分割，根据体重（）身高，进行求解即可． 【详解】解：； 故选C． 3．(24-25九上·山东济南历下区·期中)“黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割，形成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点），汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观．若正方形“黄金格”的边长为，四个黄金分割点组成的正方形的边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了黄金分割的比例线段．根据黄金分割的定义进行计算即可解答． 【详解】解：如图，是线段的两个黄金分割点， 线段的长为， ， ， ， 四个黄金分割点组成的正方形的边长为． 故选：B． 二、填空题 4．(24-25九上·山东青岛·期中)四条线段，，，成比例，若，，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例线段的定义．此题比较简单，解题的关键是熟记比例线段的定义．由四条线段、、、成比例，根据比例线段的定义，即分类讨论，即可求得的值． 【详解】解：∵四条线段，，，成比例， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 故答案为：． 5．(24-25九上·山东枣庄薛城区·期中)校园里一片小小的树叶蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么叶片的长度为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查黄金分割，根据题意，易得：，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 6．(24-25九上·山东青岛第三十九中学·期中)如图：电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点C处最自然得体，若舞台的长为12米，那么舞台的长为 ．（保留根号） 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割点，掌握解题的关键是熟练掌握黄金分割的定义．根据黄金分割点的定义结合图形的特征求解即可． 【详解】解：依题意，， 即， 解得（负值舍去）， 故答案为：． 7．(24-25九上·山东枣庄山亭区·期中)如图，校园里一片小小的树叶，P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为 ． 如图，校园里一片小小的树叶，P为的黄金分割点（即），如果的长度为 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割．熟练掌握黄金分割是解题的关键． 由P为的黄金分割点（），可得，即，计算求解即可． 【详解】解：∵P为的黄金分割点（）， ∴，即， 解得，， 故答案为：． 8．(24-25九上·山东青岛第五十九中学·期中)一个主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，如果舞台长为米，一个主持人现在站在处，则他应至少再走 米才最理想． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割的概念，根据题意画出图形，再根据黄金比列出比例式即可求解，找出黄金分割中成比例的对应线段是解题的关键． 【详解】解：设一个主持人现在站在处，则它应至少再走米才最理想，则， 若是与的比例中项， 则，即， 解得； 若是与的比例中项， 则，即， 解得：； ∵， ∴他应至少再走米才最理想， 故答案为：． 地 城 考点03 相似多边形的性质 一、单选题 1．(23-24九上·山东聊城东阿县·期中)在如图所示的三个矩形中，相似的是（    ）    A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．都不相似 【答案】B 【分析】本题考查了相似图形的性质，根据相似图形对应边成比例，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、，故甲和乙不相似，不符合题意； B、，，故甲和丙相似，符合题意； C、，故乙和丙不相似，不符合题意； D、由B可知，甲和丙相似，故D不符合题意； 故选：B． 2．(23-24九上·山东枣庄薛城区·期中)如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到，矩形沿对开（分别为的中点）后，再把矩形沿对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，那么等于（    ）    A． B． C．0.618 D． 【答案】B 【分析】本题考查相似多边形的性质，矩形的面积是矩形面积的2倍，根据相似图形面积比等于相似比的平方，可得的值． 【详解】解：∵矩形的面积是矩形面积的2倍，各种开本的矩形都相似， ∴， ∴． 故选B． 3．(24-25九上·山东青岛·期中)某学校致力于劳动教育的探索与实践，在校内设立了“田园风光”和“耘梦园”两个相似的矩形劳动场所，它们的相似比是．若两个劳动场所种植相同品种的蔬菜，在每平方米所需农资成本（主要包括化肥、农药以及灌溉用水）不变的情况下，“田园风光”的农资成本为200元，则“耘梦园”的农资成本为（   ） A．800元 B．400元 C．100元 D．50元 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似图形的性质等知识点，由相似图形的性质可知，两个相似矩形的面积比等于相似比的平方，即，然后由每平方米所需农资成本不变即可得解，熟练掌握相似图形的性质是解决此题的关键． 【详解】∵“田园风光”和“耘梦园”两个相似的矩形相似比是， ∴两个相似矩形的面积比等于相似比的平方，即， ∵每平方米所需农资成本不变，“田园风光”的农资成本为200元， ∴“耘梦园”的农资成本为元， 故选：A． 4．(24-25九上·山东枣庄薛城区·期中)小文和妹妹为家人制作亲子恤，主要的图案是在一个矩形基础上设计的，每件恤上的矩形都是相似的，妹妹恤上矩形的面积为，妈妈恤上矩形的长是妹妹恤上矩形长的倍，则妈妈恤上矩形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键； 根据题意可知多边形的相似比为，则面积比为，据此解题即可． 【详解】解：由已知，每件恤上的矩形都是相似的，妈妈恤上矩形的长是妹妹恤上矩形长的2倍， ∴妈妈恤上矩形与妹妹恤上矩形的相似比为， ∴妈妈恤上矩形与妹妹恤上矩形的面积比为， ∵妹妹恤上矩形的面积为， ∴妈妈恤上矩形的面积为， 故选：D 5．(23-24九上·山东潍坊寒亭区·期中)如图，把矩形对折，折痕为，如果矩形和矩形相似，则它们的相似比为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了相似多边形的对应边的比相等，设矩形的长，宽，根据相似多边形对应边的比相等，即可求得． 【详解】解：设矩形的长，宽， 则， 矩形与矩形相似， ，即， 即． ． 故选：A． 二、填空题 6．(23-24九上·山东聊城东昌府区·期中)如图，已知四边形四边形，若，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似多边形的性质．根据相似多边形的性质得出，代入数据即可得出答案． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 7．(24-25九上·山东菏泽定陶区·期中)若一个多边形的内角和为，则这个多边形的位似图形是 边形． 【答案】八 【分析】本题考查了多边形内角和，相似多边形的性质．熟练掌握多边形内角和，相似多边形的性质是解题的关键． 设边形的内角和为，则，可求，然后根据相似的性质作答即可． 【详解】解：设边形的内角和为， ∴， 解得，， 由相似的性质可知，这个多边形的位似图形是八边形， 故答案为：八． 地 城 考点04 平行线分线段成比例定理 一、单选题 1．(24-25九上·山东青岛北区·期中)如图，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例，利用平行线分线段成比例定理求解． 【详解】解：， ， 又∵，，， ， ． 故选：C． 2．(24-25九上·山东青岛即墨区·期中)如图，已知直线，若，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例定理得到，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴，解得， ∴， 故选：C． 3．(24-25九上·山东聊城冠县·期中)如图，，若，，，则的长是（    ） A．1．5 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列式求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选B． 4．(24-25九上·山东济南历下区·期中)如图，已知，，，则的长为（   ）    A．96 B．60 C．48 D．120 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理等知识．由，推出，进一步计算可得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 5．(24-25九上·山东潍坊·期中)如图，中，点D，E，F分别在边上，且，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据平行线分线段成比例和相似三角形的判定与性质逐一判断即可． 【详解】解：， ∴， ， 故A选项错误，不符合题意； ， ，即， 故B选项正确，符合题意； ， ， 故C选项错误，不符合题意； ，， ，， ， ， 故选项D错误，不符合题意； 故选：B． 二、填空题 6．(23-24九上·山东青岛南区育才中学·期中)如图，等腰三角形中，，点在边上的高上，且，的延长线交于，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查构造三角形中位线，利用平行线分线段成比例，导出边之比，过点作的平行线交于点，可推导出边，和之比，然后利用可以求． 【详解】取中点F，连接； ∵，为边上的高； ∴为中点； ∵为中点； ∴，则； ∴； ∴； ∴； ∴； 故答案为：． 7．(24-25九上·山东菏泽曹县·期中)如图，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段的性质，根据平行线分线段成比例的性质可以得到解答，熟练掌握平行线分线段成比例的性质并灵活应用是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 8．(23-24九上·山东青岛即墨区·期中)请阅读下列材料，并完成相应的任务． 梅涅劳斯（Menelaus）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，三角形各边（或其延长线）被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截，这条直线可能与三角形的两条边相交（一定还会与一条边的延长线相交），也可能与三条边都不相交（与三条边的延长线都相交）．他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）： 设D，E，F依次是的三边及其延长线上的点，且这三点共线，则满足．这个定理的证明步骤如下： 情况①：如图1，直线交的边于点D，交边于点E，交边的延长线于点F．过点C作交于点G， 则，（依据） ∴． ∴， 即． 情况②：如图2，直线分别交的边的延长线于点D，E，F… (1)情况①中的依据指：_______． (2)请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明． (3)如图3，D、E分别是的边上的点，且，连接并延长，交的延长线于点F，那么______． 【答案】(1)两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据平行线分线段成比例定理解决问题即可； （2）如图2中，作交于，模仿情况①的方法解决问题即可； （3）利用梅氏定理即可解决问题． 【详解】（1）解：情况①中的依据是：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 故答案为：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． （2）作交于， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵，， ∴， ∴； 故答案为：． 9．(24-25九上·山东济南高新区·期中)如图，若直线，它们依次交直线m、n于点A，B，C和点D，E，F． (1)如果，，，求的长； (2)如果，，求的长． 【答案】(1) (2)12 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理； （1）由平行线分线段成比例定理得到，代入有关数据，即可； （2）由平行线分线段成比例定理推出，得到，即可求出长，得到的长． 【详解】（1）解：∵， ， ，，， ， ； （2）∵， ， ， ， ， ， ． 10．(24-25九上·山东青岛北区·期中)如图所示，小林在一块长为，宽为的矩形小花园周围栽种兰花来装饰（小花园的一边靠墙），兰花的边框宽均为，边框内外边缘所围成的两个矩形相似吗？请说明理由． 【答案】边框内外边缘所围成的两个矩形不相似 【分析】本题考查相似图形的判定，熟练掌握相似图形的定义是解题的关键，根据相似图形的定义，结合已知条件求得外框外边缘所围成的长与宽的比以及矩形中长宽的比，进而比较作答即可． 【详解】解：∵矩形的长为，宽为， ∴长：宽， ∵外框外边缘所围成的矩形的长为，宽为， ∴长：宽， ∵，对应边不成比例， ∴边框内外边缘所围成的两个矩形不相似． 2 / 19 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 相似图形的相关概念和性质 4大高频考点概览 考点01 比例的性质 考点02 黄金分割 考点03 相似多边形的性质 考点04 平行线分线段成比例定理 地 城 考点01 比例的性质 1．(24-25九上·山东济南历下区·期中)若，则 ． 2．(24-25九上·山东青岛·期中)在中华人民共和国75周年华诞到来之际，某学校开展了“我心绘版图  美丽白纸坊”手绘地图活动．小明绘制了一张比例尺为的青岛城区交通游览图，栈桥的图上长度约为，则栈桥的实际长度约为 m． 3．(24-25九上·山东青岛即墨区·期中)如果，则 ． 4．(24-25九上·山东青岛青岛大学附属中学·期中)若，，则 ． 5．(24-25九上·山东枣庄滕州·期中)若，则 ． 地 城 考点02 黄金分割 一、单选题 1．(24-25九上·山东枣庄滕州·期中)滕州一中要举办元旦文艺会演，当主持人站在舞台的黄金分割点处时最自然得体．如图，若舞台的长为，为的一个黄金分割点（），则的长为（结果精确到）（    ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·山东青岛·期中)黄金分割在文艺复兴时期被视为金子般的比例，比值约等于．有研究发现，成人的理想体重与身高的关系是：体重（）身高．若王老师的身高是，下列选项中，最接近她的理想体重的是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·山东济南历下区·期中)“黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割，形成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点），汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观．若正方形“黄金格”的边长为，四个黄金分割点组成的正方形的边长为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 4．(24-25九上·山东青岛·期中)四条线段，，，成比例，若，，，则线段的长为 ． 5．(24-25九上·山东枣庄薛城区·期中)校园里一片小小的树叶蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么叶片的长度为 ． 6．(24-25九上·山东青岛第三十九中学·期中)如图：电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点C处最自然得体，若舞台的长为12米，那么舞台的长为 ．（保留根号） 7．(24-25九上·山东枣庄山亭区·期中)如图，校园里一片小小的树叶，P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为 ． 如图，校园里一片小小的树叶，P为的黄金分割点（即），如果的长度为 8．(24-25九上·山东青岛第五十九中学·期中)一个主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，如果舞台长为米，一个主持人现在站在处，则他应至少再走 米才最理想． 地 城 考点03 相似多边形的性质 一、单选题 1．(23-24九上·山东聊城东阿县·期中)在如图所示的三个矩形中，相似的是（    ）    A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．都不相似 2．(23-24九上·山东枣庄薛城区·期中)如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到，矩形沿对开（分别为的中点）后，再把矩形沿对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，那么等于（    ）    A． B． C．0.618 D． 3．(24-25九上·山东青岛·期中)某学校致力于劳动教育的探索与实践，在校内设立了“田园风光”和“耘梦园”两个相似的矩形劳动场所，它们的相似比是．若两个劳动场所种植相同品种的蔬菜，在每平方米所需农资成本（主要包括化肥、农药以及灌溉用水）不变的情况下，“田园风光”的农资成本为200元，则“耘梦园”的农资成本为（   ） A．800元 B．400元 C．100元 D．50元 4．(24-25九上·山东枣庄薛城区·期中)小文和妹妹为家人制作亲子恤，主要的图案是在一个矩形基础上设计的，每件恤上的矩形都是相似的，妹妹恤上矩形的面积为，妈妈恤上矩形的长是妹妹恤上矩形长的倍，则妈妈恤上矩形的面积为（   ） A． B． C． D． 5．(23-24九上·山东潍坊寒亭区·期中)如图，把矩形对折，折痕为，如果矩形和矩形相似，则它们的相似比为（    ） A． B． C．2 D． 二、填空题 6．(23-24九上·山东聊城东昌府区·期中)如图，已知四边形四边形，若，，则的长为 ． 7．(24-25九上·山东菏泽定陶区·期中)若一个多边形的内角和为，则这个多边形的位似图形是 边形． 地 城 考点04 平行线分线段成比例定理 一、单选题 1．(24-25九上·山东青岛北区·期中)如图，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·山东青岛即墨区·期中)如图，已知直线，若，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·山东聊城冠县·期中)如图，，若，，，则的长是（    ） A．1．5 B．6 C．9 D．12 4．(24-25九上·山东济南历下区·期中)如图，已知，，，则的长为（   ）    A．96 B．60 C．48 D．120 5．(24-25九上·山东潍坊·期中)如图，中，点D，E，F分别在边上，且，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 二、填空题 6．(23-24九上·山东青岛南区育才中学·期中)如图，等腰三角形中，，点在边上的高上，且，的延长线交于，若，则 ． 7．(24-25九上·山东菏泽曹县·期中)如图，，，，则的长为 ． 三、解答题 8．(23-24九上·山东青岛即墨区·期中)请阅读下列材料，并完成相应的任务． 梅涅劳斯（Menelaus）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，三角形各边（或其延长线）被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截，这条直线可能与三角形的两条边相交（一定还会与一条边的延长线相交），也可能与三条边都不相交（与三条边的延长线都相交）．他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）： 设D，E，F依次是的三边及其延长线上的点，且这三点共线，则满足．这个定理的证明步骤如下： 情况①：如图1，直线交的边于点D，交边于点E，交边的延长线于点F．过点C作交于点G， 则，（依据） ∴． ∴， 即． 情况②：如图2，直线分别交的边的延长线于点D，E，F… (1)情况①中的依据指：_______． (2)请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明． (3)如图3，D、E分别是的边上的点，且，连接并延长，交的延长线于点F，那么______． 9．(24-25九上·山东济南高新区·期中)如图，若直线，它们依次交直线m、n于点A，B，C和点D，E，F． (1)如果，，，求的长； (2)如果，，求的长． 10．(24-25九上·山东青岛北区·期中)如图所示，小林在一块长为，宽为的矩形小花园周围栽种兰花来装饰（小花园的一边靠墙），兰花的边框宽均为，边框内外边缘所围成的两个矩形相似吗？请说明理由． 2 / 19 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $