专题08 概率的进一步认识（期中真题汇编，山东专用）九年级数学上学期北师大版

专题08 概率的进一步认识（期中真题汇编，山东专用） 2大高频考点概览 考点01 用树状图或表格求概率 考点02 用频率估计概率 地 城 考点01 用树状图或表格求概率 一、单选题 1．(24-25九上·山东济南历下区·期中)10月16日是世界粮食日．某校组织了粮食安全公益活动，现有“节粮宣讲员”、“光盘示范员”和“爱粮监督员”三类志愿者岗位身份，小霞和小艺从中任选一类，则她们恰好选到同一类岗位的概率是（　　） A． B． C． D． 小霞         小艺 A B C A A，A B，A C，A B A，B B，B C，B C A，C B，C C，C 2．(24-25九上·山东青岛城阳区·期中)在一个不透明的袋子里装有一个红球和一个黄球，它们除颜色外都相同．随机从中摸出一球，记下颜色后放回袋中，充分摇匀后，再随机摸出一球，两次都摸到黄球的概率是（   ） A． B． C． D． 第一次第二次 红 黄 红 （红，红） （红，黄） 黄 （黄，红） （黄，黄） 3．(24-25九上·山东青岛·期中)经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，假设这三种可能性相同．如果有两辆汽车经过该路口，那么这两辆车都直行的概率是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25九上·山东济南章丘区·期中)如图所示，在两个全等的正方形纸片上，分别绘有大小不等的圆，其中正方形甲中圆的直径与正方形的边长相等，正方形乙中的四个圆互不重叠，其直径均为正方形边长的一半，所有圆均在相应正方形的内部．若向每个正方形中随机投掷一个点，在甲、乙两个正方形中点落在阴影部分的概率分别为、，则（     ） A． B． C． D．与正方形的边长有关，无法判断 二、填空题 5．(24-25九上·山东青岛北区·期中)在不透明的袋子中装有红球1个、绿球1个、白球2个，除颜色外均相同．随机从袋中摸出一个小球后放回，再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是 ． 第一次第二次 红 绿 白1 白2 红 红红 绿红 白1红 白2红 绿 红绿 绿绿 白1绿 白2绿 白1 红白1 绿白1 白1白1 白2白1 白2 红白2 绿白2 白1白2 白2白2 6．(24-25九上·山东济南东南片区·期中)为发展学生的数学素养，某校开设了《写给孩子的数学之美》、《给孩子的数学思维课》和《数学家的眼光》3个整本书阅读项目，甲、乙两名同学都通过抽签的方式从这三个阅读项目中随机抽取1个，则他们恰好抽到同一个阅读项目的概率是 ． 7．(24-25九上·山东济南中区·期中)如图，两个转盘进行“配紫色”游戏，每个转盘被分成面积相等的几个扇形：分别旋转两个转盘．若其中一个转盘转出了红色，另一个转出了蓝色，则可配成紫色．此时，配成紫色的概率是 ． 红 蓝 红 （红，红） （蓝，红） 黄 （红，黄） （蓝，黄） 蓝 （红，蓝） （蓝，蓝） 三、解答题 8．(23-24九上·山东青岛北区·期中)甲口袋装有编号为1，2的两张卡片，乙口袋装有编号为1，2，3，4，5的五张卡片，两口袋中的卡片除编号外都相同．小刚先从甲口袋中随机抽出一张卡片，小颖再从乙口袋中随机抽出一张卡片，若两张卡片编号之和为奇数，则小刚获胜；若两张卡片编号之和为偶数，则小颖获胜．请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 9．(24-25九上·山东青岛·期中)“回文”是指正读反读都能读通的句子，是古今中外都有的一种修辞手法和文字游戏．例如“处处飞花飞处处，潺潺碧水碧潺潺”等．在数学中，如果一个正整数从左往右读与从右往左读都一样，那我们称之为回文数，例如11，22，121…都是回文数． 将牌面数字分别为0，1，2，3四张纸牌（除牌面数字外，其余均相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机抽取一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机抽取一张．将小明、小红抽取的数字分别作为一个四位数（该四位数的千位数字和个位数字均为2）的百位和十位数字．请用列表或画树状图的方法求组成的四位数是回文数的概率． 10．(24-25九上·山东青岛北区·期中)某省运动会如期举行，其中第二个比赛日包含排球、足球、体操以及艺术体操4个项目． 现有四张关于运动项目的门票，门票的正面分别印有的图案为A．“排球”、B．“足球”、C．“体操”和D．“艺术体操”．将这四张卡片背面朝上（这四种门票的背面完全相同，A、B、C、D作为代号），洗匀： (1)从中随机抽取一张门票，抽到C的概率为________； (2)从中随机抽取两张，请你利用画树状图或列表格的方法，求两张门票恰好是B和D的概率． 11．(24-25九上·山东青岛第二十六中学·期中)某校科学社团开展“我爱科学，强基有我”的分享活动，先将“A燃料燃烧”“B电池充电”“C镜花水月”“D冰雪消融”的图案制成颜色、质地、大小都相同的4张卡片（其中A、B主要为化学变化，C、D主要为物理现象）．活动时学生根据所抽取的卡片分享相关科学知识． 抽取规则如下：4张卡片背面朝上洗匀，小云先从中随机抽取一张，记录下抽取的卡片，放回洗匀，小南再从中随机抽取一张．若他们抽取的两张卡片上都是化学变化，则由小云分享；若他们取出的两张卡片上都是物理现象，则由小南分享；其他情况重抽．这个规则对小云和小南公平吗？请用列表或画树状图法说明理由． 12．(24-25九上·山东青岛·期中)如图，在学完图形的变换后，小明绘制了编号分别为，，的三张不透明卡片（除图案外其余完全相同）．现将这三张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)小明从中随机抽取一张卡片，卡片上的图案是轴对称图形的概率为______； (2)小明从中随机抽取一张卡片，记下后，背面朝上洗匀放回，再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求两次抽到同一张卡片的概率． 13．(24-25九上·山东青岛即墨区·期中)甲、乙、丙、丁4人聚会，每人带了一件礼物，4件礼物从外盒包装看完全相同，将4件礼物放在一起． (1)甲从中随机抽取一件，则甲抽到不是自己带来的礼物的概率是　　　　　　； (2)从中任意抽取两件礼物，求抽取的恰好是甲、乙2人带来的礼物的概率． 14．(24-25九上·山东青岛第三十九中学·期中)某市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一的外型、型号、颜色等，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题： (1)此次调查一共随机采访了______名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为______； (2)若该校有4000名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数为______名； (3)李老师计划从A，B，C，D四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中A，B两人的概率． A B C D A B C D 15．(24-25九上·山东青岛第五十九中学·期中)随着《黑神话：悟空》这款融合了中国传统文化精髓与现代游戏技术的力作横空出世，不仅激发了玩家对神话故事的无限遐想，更意外地点燃了公众对山西这片古老土地的热情．游戏中精心选取的27处山西实景，如同一幅幅生动的历史画卷，引领我们穿越时空，感受五千年文明的深厚底蕴．某旅游公司推出“跟着悟空游山西”二日游路线．小明家、小米家利用双休日出去旅游．每次出游只能选一条路线． “跟着悟空游山西”二日游推荐路线 A、临汾线：小西天、广胜寺、铁佛寺 B、长治线：观音堂、紫庆寺 C、朔州线：尝福寺、应县木塔 D、晋中线：平遥镇国寺、平遥双林寺 (1)小米家这周想选A路线，小明家选不到A路线的概率是多少？ (2)如果小明家相约小米家一起出去旅游，两个家庭都从上面四条路线中选一条路线去游玩，请用树状图或列表的方法求出两家选取同一条路线的概率． 16．(24-25九上·山东青岛青岛大学附属中学·期中)青大附中举行“大爱尚美”艺术节诗歌朗诵比赛，每班限报一人，九年级某班的小聪和小慧都想参加，因此设计了如下游戏进行选拔：把四个完全相同的乒乓球标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的口袋中，小慧先从袋中随机摸出一个球，小聪再从剩下的三个球中随机摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小聪去；否则小慧去．请通过列表或者树状图的方法判断游戏是否公平． 1 2 3 4 1 2 3 4 17．(24-25九上·山东济南天桥区·期中)每年的11月9日是“119消防宣传日”．本月3号，某校区采用随机抽样的方式对学生掌握消防安全知识的情况进行书面测评，并按成绩高低分成优、良、中、差四个等级进行统计，绘制了两幅尚不完整的统计图，请根据有关信息解答： (1)接受测评的学生共有 人，扇形统计图中“优”部分所对应扇形的圆心角为 ； (2)请补全条形统计图； (3)测评成绩前三名的学生恰好是1个女生和2个男生，现从中随机抽取2人代表学校参加区级消防安全知识竞赛，求出抽到的2个学生恰好是一男生与一女生的概率． 18．(24-25九上·山东济南历下区·期中)年月日是中国第个“全民健身日”．为提高学生身体素质，积极倡导全民健身，某校开展了一分钟跳绳比赛．数学兴趣小组随机抽取了部分学生成绩，并对数据进行统计整理，以下是不完整的统计图表． 一分钟跳绳成绩统计表 成绩等级 一分钟跳绳次数 频数 请根据以上信息，完成下列问题． (1)随机抽取的学生人数为___________人，统计表中的___________，统计图中B等级对应扇形的圆心角为___________度； (2)该校共有人参加比赛，请你估计该校成绩达到等级及以上的有多少人？ (3)该比赛服务组有两名男生和两名女生，现从中随机挑选两名同学负责跳绳发放工作，请用树状图法或列表法求出恰好选中“一男一女”的概率． 男1 男2 女1 女2 男1 男2，男1 女1，男1 女2，男1 男2 男1，男2 女1，男2 女2，男2 女1 男1，女1 男2，女1 女2，女1 女2 男1，女2 男2，女2 女1，女2 19．(24-25九上·山东邹城第十中学·期中)在一个不透明的袋了中装有完全相同的四个小球，小球上分别标有数字，，0，4．现从中任意摸出一个小球，将小球上面的数字记为a；将球放回袋中搅匀，再从中任意摸出一个小球，将小球上面的数字记为b． (1)从袋子中随机摸出一个小球，摸到的数字是有理数属于 事件（填“不可能”“必然”或者“随机”），其中摸到的数字是负数的概率是___________； (2)用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果，并求出点在第四象限的概率． 20．(24-25九上·山东潍坊·期中)2024年夏季奥运会在法国巴黎举行，某电视台在同一时间进行4档现场直播：A．乒乓球、B．篮球、C．射击、D．网球．小夏和小王都是体育迷，他们在同一时间观看了直播节目． (1)小夏收看了乒乓球直播的概率为________； (2)请用列表或画树状图的方法求小夏和小王收看同一个直播节目的概率． 小夏 小王 A B C D A B C D 地 城 考点02 用频率估计概率 一、单选题 1．(24-25九上·山东青岛·期中)围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有黑白两色棋子共10枚，每枚棋子除颜色外都相同．将盒子中的棋子搅拌均匀，从中随机摸出一枚棋子，记下它的颜色后再放回盒子中．不断重复这一过程，共摸了100次，发现有71次摸到白色棋子，则盒子中黑色棋子可能有（   ） A．2.9枚 B．3枚 C．7枚 D．7.1枚 2．(23-24九上·山东青岛崂山区崂山区第四中学·期中)某城市绿化部门将一种树苗移植成活的情况绘制成如下的统计图，种植这种树苗1000棵，估计可以成活的棵数为（    ） A．950 B．900 C．850 D．800 3．(23-24九上·山东枣庄中区·期中)一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有40次摸到白球．请你估计这个口袋中有（    ）个红球． A．2 B．3 C．6 D．8 4．(24-25九上·山东青岛城阳区·期中)如图，正方形二维码的面积为，小明在该二维码纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在0.4左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为（   ） A． B． C． D． 5．(24-25九上·山东济南东南片区·期中)不透明袋子中有4个白球、3个红球、2个黄球和1个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（    ） A．黑球 B．红球 C．黄球 D．白球 二、填空题 6．(23-24九上·山东青岛南区·期中)儿童节期间，游乐场里有一种游戏的规则是：在一个装有6个红球和若干白球（每个球除颜色外，其它都相同）的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得欢动世界通票一张，已知参加这种游戏的有300人，游乐场为此游戏发放欢动世界通票50张，请你通过计算估计袋中白球的数量是 个. 7．(23-24九上·山东青岛南区青岛大学附属中学·期中)一个口袋中装有个红球和若干个黄球，在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黄球的个数，小明采用了如下的方法：每次先把球摇匀，从口袋中摸出个球，求出其中红球数与的比值，再把球放回口袋中摇匀，不断重复上述过程次，得到红球数与的比值的平均数为．根据上述数据，估计口袋中大约有 个黄球． 8．(23-24九上·山东济南平阴县教育教学研究中心·期中)在不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在0.8左右，则袋子中红球的个数最有可能是 个． 9．(23-24九上·山东青岛崂山区崂山区第四中学·期中)游乐场里有一种游戏的规则：在一个装有6个红球和若干白球（每个球除颜色外，其它都相同）的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得欢动世界通票一张，已知参加这种游戏的有300人，游乐场为此游戏发放欢动世界通票60张，请你通过计算估计袋中白球的数量是 个． 10．(24-25九上·山东济南历下区·期中)近年来，济南环境保护效果显著，越来越多的候鸟选择来济过冬．为了解候鸟的情况，生物学家采用“捕获—标记—再捕获”的方法估计候鸟的数量．先随机捕捉40只候鸟，戴上标记卡并放回，经过一段时间后，重复进行5次捕捉．记录数据如下表，由此估计该区域约有 只候鸟． 累计捕捉数量（只） 100 200 350 420 480 带有标记卡数量（只） 13 24 44 52 60 11．(24-25九上·山东青岛城阳区·期中)在一个不透明的口袋中装有红球、白球共40个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了200次球，若其中有20次摸到红球，则估计这个口袋中红球的数量为 个． 12．(24-25九上·山东青岛·期中)在一个不透明的口袋中装有红球、白球共24个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了200次球，若其中有50次摸到红球，则估计这个口袋中红球的数量为 个． 13．(24-25九上·山东济南长清区·期中)在一个不透明箱子里装有10个除颜色外都相同的红球和黑球，小红想知道箱子里红球的个数，于是她从箱子里随机摸出一个球，经过大量重复的试验后发现摸出红球的频率稳定在，则箱子中黑球的数量约为 个． 2 / 24 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 概率的进一步认识（期中真题汇编，山东专用） 2大高频考点概览 考点01 用树状图或表格求概率 考点02 用频率估计概率 地 城 考点01 用树状图或表格求概率 一、单选题 1．(24-25九上·山东济南历下区·期中)10月16日是世界粮食日．某校组织了粮食安全公益活动，现有“节粮宣讲员”、“光盘示范员”和“爱粮监督员”三类志愿者岗位身份，小霞和小艺从中任选一类，则她们恰好选到同一类岗位的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列表法或画树状图法求概率，正确的列出表格或画出树状图表示所有等可能的结果是解题关键．设“节粮宣讲员”、“光盘示范员”和“爱粮监督员”三类志愿者岗位分别为A、B、C，再列出表格表示所有等可能的结果，最后找出符合她们恰好选到同一类岗位的结果，用概率公式计算即可． 【详解】解：设“节粮宣讲员”、“光盘示范员”和“爱粮监督员”三类志愿者岗位分别为A、B、C， 依题意可列表格如下， 小霞         小艺 A B C A A，A B，A C，A B A，B B，B C，B C A，C B，C C，C 由表格可知共有9种等可能的结果，其中她们恰好选到同一类岗位的结果有3种， ∴她们恰好选到同一类岗位的概率是． 故选B． 2．(24-25九上·山东青岛城阳区·期中)在一个不透明的袋子里装有一个红球和一个黄球，它们除颜色外都相同．随机从中摸出一球，记下颜色后放回袋中，充分摇匀后，再随机摸出一球，两次都摸到黄球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：列表得： 第一次第二次 红 黄 红 （红，红） （红，黄） 黄 （黄，红） （黄，黄） 由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中两次都摸到黄球的情况有种， 故两次都摸到黄球的概率是， 故选：D． 3．(24-25九上·山东青岛·期中)经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，假设这三种可能性相同．如果有两辆汽车经过该路口，那么这两辆车都直行的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是运用树状图求概率，运用树状图法确定所有情况数和符合题意情况数是解答本题的关键．运用树状图法确定所有情况数和符合题意情况数，然后用概率公式解答即可． 【详解】解：列树状图如图所示， 共有9种情况，两辆车都直行的有1种， ∴两辆车都直行的概率是， 故选：A． 4．(24-25九上·山东济南章丘区·期中)如图所示，在两个全等的正方形纸片上，分别绘有大小不等的圆，其中正方形甲中圆的直径与正方形的边长相等，正方形乙中的四个圆互不重叠，其直径均为正方形边长的一半，所有圆均在相应正方形的内部．若向每个正方形中随机投掷一个点，在甲、乙两个正方形中点落在阴影部分的概率分别为、，则（     ） A． B． C． D．与正方形的边长有关，无法判断 【答案】C 【分析】本题考查概率问题，熟练掌握面积型几何概率问题是解题的关键，分别求出甲、乙两个图形中圆的面积，比较后即可得到答案． 【详解】解：∵甲中圆的直径与正方形的边长相等， ∴甲中圆的面积为：， ∵乙中圆的直径为正方形边长的一半， ∴乙中圆的面积为：， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 5．(24-25九上·山东青岛北区·期中)在不透明的袋子中装有红球1个、绿球1个、白球2个，除颜色外均相同．随机从袋中摸出一个小球后放回，再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是 ． 【答案】/0.0625 【分析】本题考查了利用树状图法求概率，利用如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现种结果，那么事件A的概率是解题关键． 先画树状图展示所有16种可能的结果数，再找出两次都摸到红球的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：列表得： 第一次第二次 红 绿 白1 白2 红 红红 绿红 白1红 白2红 绿 红绿 绿绿 白1绿 白2绿 白1 红白1 绿白1 白1白1 白2白1 白2 红白2 绿白2 白1白2 白2白2 共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的求都是红色的共有1种， ∴两次摸到白球的概率是， 故答案为：． 6．(24-25九上·山东济南东南片区·期中)为发展学生的数学素养，某校开设了《写给孩子的数学之美》、《给孩子的数学思维课》和《数学家的眼光》3个整本书阅读项目，甲、乙两名同学都通过抽签的方式从这三个阅读项目中随机抽取1个，则他们恰好抽到同一个阅读项目的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及他们恰好抽到同一个阅读项目的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将这三个阅读项目分别记为，，， 列表如下： 共有9种等可能的结果，其中他们恰好抽到同一个阅读项目的结果有3种， 他们恰好抽到同一个阅读项目的概率为． 故答案为：． 7．(24-25九上·山东济南中区·期中)如图，两个转盘进行“配紫色”游戏，每个转盘被分成面积相等的几个扇形：分别旋转两个转盘．若其中一个转盘转出了红色，另一个转出了蓝色，则可配成紫色．此时，配成紫色的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列表法与树状图法．先通过列表求出所有种等可能的结果，再找出一个红色和一个蓝色的结果数，然后根据概率公式计算即可，解题的关键是正确掌握利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求出事件或的概率． 【详解】解：列表得： 红 蓝 红 （红，红） （蓝，红） 黄 （红，黄） （蓝，黄） 蓝 （红，蓝） （蓝，蓝） ∴一共有种情况，配成紫色的有种情况， ∴配成紫色的概率是， 故答案为：． 三、解答题 8．(23-24九上·山东青岛北区·期中)甲口袋装有编号为1，2的两张卡片，乙口袋装有编号为1，2，3，4，5的五张卡片，两口袋中的卡片除编号外都相同．小刚先从甲口袋中随机抽出一张卡片，小颖再从乙口袋中随机抽出一张卡片，若两张卡片编号之和为奇数，则小刚获胜；若两张卡片编号之和为偶数，则小颖获胜．请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 【答案】图见解析，说明见解析 【分析】本题考查了游戏公平性．画树状图展示所有10种等可能的结果，再找出其中两张卡片编号之和为奇数的结果数和两张卡片编号之和为偶数的结果数，然后计算小刚获胜的概率和小颖获胜的概率，则通过比较两概率的大小可判断游戏是否公平． 【详解】解：这个游戏对双方是公平的．理由如下， 画树状图为： 共有10种等可能的结果，其中两张卡片编号之和为奇数的结果数为5，两张卡片编号之和为偶数的结果数为5， 所以小刚获胜的概率，小颖获胜的概率， 而， 所以这个游戏对双方是公平的． 9．(24-25九上·山东青岛·期中)“回文”是指正读反读都能读通的句子，是古今中外都有的一种修辞手法和文字游戏．例如“处处飞花飞处处，潺潺碧水碧潺潺”等．在数学中，如果一个正整数从左往右读与从右往左读都一样，那我们称之为回文数，例如11，22，121…都是回文数． 将牌面数字分别为0，1，2，3四张纸牌（除牌面数字外，其余均相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机抽取一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机抽取一张．将小明、小红抽取的数字分别作为一个四位数（该四位数的千位数字和个位数字均为2）的百位和十位数字．请用列表或画树状图的方法求组成的四位数是回文数的概率． 【答案】 【分析】本题考查树状图法求概率，根据题意，画出树状图，利用概率公式进行计算即可。 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 共有16种等可能的情况，其中组成的四位数是回文数的有00，11，22，33，4种情况， ∴. 10．(24-25九上·山东青岛北区·期中)某省运动会如期举行，其中第二个比赛日包含排球、足球、体操以及艺术体操4个项目． 现有四张关于运动项目的门票，门票的正面分别印有的图案为A．“排球”、B．“足球”、C．“体操”和D．“艺术体操”．将这四张卡片背面朝上（这四种门票的背面完全相同，A、B、C、D作为代号），洗匀： (1)从中随机抽取一张门票，抽到C的概率为________； (2)从中随机抽取两张，请你利用画树状图或列表格的方法，求两张门票恰好是B和D的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法或树状图法求简单随机事件的概率，列举出所有可能出现的结果情况是解决问题的关键． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）由树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：从中随机抽取一张，抽得的卡片恰好为“体操”的概率为， 故答案为：； （2）解：用树状图法表示所有可能出现的结果如下： 共有12种能可能出现的结果情况，其中两次抽取的卡片图案上是是B和D的有2种结果， 所以两次抽取的卡片图案上是是B和D的概率为． 11．(24-25九上·山东青岛第二十六中学·期中)某校科学社团开展“我爱科学，强基有我”的分享活动，先将“A燃料燃烧”“B电池充电”“C镜花水月”“D冰雪消融”的图案制成颜色、质地、大小都相同的4张卡片（其中A、B主要为化学变化，C、D主要为物理现象）．活动时学生根据所抽取的卡片分享相关科学知识． 抽取规则如下：4张卡片背面朝上洗匀，小云先从中随机抽取一张，记录下抽取的卡片，放回洗匀，小南再从中随机抽取一张．若他们抽取的两张卡片上都是化学变化，则由小云分享；若他们取出的两张卡片上都是物理现象，则由小南分享；其他情况重抽．这个规则对小云和小南公平吗？请用列表或画树状图法说明理由． 【答案】这个规则对小云和小南公平． 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，游戏的公平性．画出树状图，求出小云和小南分享的概率即可判断求解． 【详解】解：这个规则对小云和小南公平，理由： 画树状图如下， 由树状图可得，共有种等结果，其中两张卡片上都是化学变化的结果有种，两张卡片上都是物理现象的结果有种， ∴，， ∵， ∴这个规则对小云和小南公平． 12．(24-25九上·山东青岛·期中)如图，在学完图形的变换后，小明绘制了编号分别为，，的三张不透明卡片（除图案外其余完全相同）．现将这三张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)小明从中随机抽取一张卡片，卡片上的图案是轴对称图形的概率为______； (2)小明从中随机抽取一张卡片，记下后，背面朝上洗匀放回，再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求两次抽到同一张卡片的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用轴对称设计图案，列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接利用概率公式可得答案； （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及两次抽到同一张卡片的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：小明从中随机抽取一张卡片，卡片上的图案是轴对称图形的概率为． 故答案为∶． （2）解：画树状图如下∶ 共有种等可能的结果，其中两次抽到同一张卡片的结果数有种， ∴两次抽到同一张卡片的概率为． 13．(24-25九上·山东青岛即墨区·期中)甲、乙、丙、丁4人聚会，每人带了一件礼物，4件礼物从外盒包装看完全相同，将4件礼物放在一起． (1)甲从中随机抽取一件，则甲抽到不是自己带来的礼物的概率是　　　　　　； (2)从中任意抽取两件礼物，求抽取的恰好是甲、乙2人带来的礼物的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式计算即可得出答案； （2）画出树状图，然后根据概率公式列式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：甲抽到不是自己带来的礼物的概率是：． （2）设甲、乙、丙、丁4人的扎物分别为、、、， 根据题意画出树状图如图； 一共有12种等可能的结果，抽取的恰好是甲、乙2人带来的礼物的结果有2种 ∴抽取的恰好是甲、乙2人带来的礼物的概率为． 14．(24-25九上·山东青岛第三十九中学·期中)某市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一的外型、型号、颜色等，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题： (1)此次调查一共随机采访了______名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为______； (2)若该校有4000名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数为______名； (3)李老师计划从A，B，C，D四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中A，B两人的概率． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）利用选择蓝色的学生人数除以所占的百分比，求出总人数，利用“灰”所占的比例，进行求解即可； （2）用全校的人数乘以样本中“红”所占的比例，进行求解即可； （3）列表得出所有等可能结果，从中找到恰好抽中A，B两人的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：此次调查一共随机采访学生（名）， 在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为； （2）解：（人）； 估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数为人； （3）列表如下： A B C D A B C D 由表格知，共有12种等可能结果，其中恰好抽中A，B两人的结果有2种， ∴恰好抽中A，B两人的概率为． 15．(24-25九上·山东青岛第五十九中学·期中)随着《黑神话：悟空》这款融合了中国传统文化精髓与现代游戏技术的力作横空出世，不仅激发了玩家对神话故事的无限遐想，更意外地点燃了公众对山西这片古老土地的热情．游戏中精心选取的27处山西实景，如同一幅幅生动的历史画卷，引领我们穿越时空，感受五千年文明的深厚底蕴．某旅游公司推出“跟着悟空游山西”二日游路线．小明家、小米家利用双休日出去旅游．每次出游只能选一条路线． “跟着悟空游山西”二日游推荐路线 A、临汾线：小西天、广胜寺、铁佛寺 B、长治线：观音堂、紫庆寺 C、朔州线：尝福寺、应县木塔 D、晋中线：平遥镇国寺、平遥双林寺 (1)小米家这周想选A路线，小明家选不到A路线的概率是多少？ (2)如果小明家相约小米家一起出去旅游，两个家庭都从上面四条路线中选一条路线去游玩，请用树状图或列表的方法求出两家选取同一条路线的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查简单概率的计算，树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比． （1）根据总的有4条路线，小明家选不到A路线的情况有三种可能，利用概率公式计算即可； （2）画树状图，共有16种等可能性结果，其中两家选取同一条路线的可能结果有4种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意：小明家选不到A路线的概率是； （2）解：画树状图如下： 共有16种等可能性结果，其中小明家和小米家恰好选择同一条路线的可能结果有4种， ∴小明家和小米家恰好选择同一条路线的概率为． 16．(24-25九上·山东青岛青岛大学附属中学·期中)青大附中举行“大爱尚美”艺术节诗歌朗诵比赛，每班限报一人，九年级某班的小聪和小慧都想参加，因此设计了如下游戏进行选拔：把四个完全相同的乒乓球标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的口袋中，小慧先从袋中随机摸出一个球，小聪再从剩下的三个球中随机摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小聪去；否则小慧去．请通过列表或者树状图的方法判断游戏是否公平． 【答案】这个游戏不公平 【分析】本题考查了游戏的公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了列表法与树状图法．根据题意列出表格，找出所有等可能的情况数，得出两球数字和为奇数与偶数的情况，分别求出两人获胜得概率，比较即可得到游戏公平与否． 【详解】解：游戏不公平， 列表如下： 1 2 3 4 1 2 3 4 共有12种等可能结果，和为奇数的情况有8种， ， 这个游戏不公平． 17．(24-25九上·山东济南天桥区·期中)每年的11月9日是“119消防宣传日”．本月3号，某校区采用随机抽样的方式对学生掌握消防安全知识的情况进行书面测评，并按成绩高低分成优、良、中、差四个等级进行统计，绘制了两幅尚不完整的统计图，请根据有关信息解答： (1)接受测评的学生共有 人，扇形统计图中“优”部分所对应扇形的圆心角为 ； (2)请补全条形统计图； (3)测评成绩前三名的学生恰好是1个女生和2个男生，现从中随机抽取2人代表学校参加区级消防安全知识竞赛，求出抽到的2个学生恰好是一男生与一女生的概率． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查的是用列表法或树状图求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能结果，适合两步或两步以上完成的事件．注意概率等于所求情况数与总情况之比． （1）根据等级为中的人数及其所占百分比可得总人数，用乘以“优”等级人数所占比例； （2）根据四个等级人数之和等于总人数求出“良”的人数即可补全图形即可． （3）画树状图列出所有等可能结果，从中找出符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：接受测评的学生共有（人）， 扇形统计图中“优”部分所对应扇形的圆心角为， 故答案为：160，； （2）解：等级为“良”的人数为（人）， 补全图形如下： ； （3）解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中抽到的2个学生恰好是一个男生与一个女生的有4种情况， ∴抽到的2个学生恰好是一个男生与一个女生的概率是． 18．(24-25九上·山东济南历下区·期中)年月日是中国第个“全民健身日”．为提高学生身体素质，积极倡导全民健身，某校开展了一分钟跳绳比赛．数学兴趣小组随机抽取了部分学生成绩，并对数据进行统计整理，以下是不完整的统计图表． 一分钟跳绳成绩统计表 成绩等级 一分钟跳绳次数 频数 请根据以上信息，完成下列问题． (1)随机抽取的学生人数为___________人，统计表中的___________，统计图中B等级对应扇形的圆心角为___________度； (2)该校共有人参加比赛，请你估计该校成绩达到等级及以上的有多少人？ (3)该比赛服务组有两名男生和两名女生，现从中随机挑选两名同学负责跳绳发放工作，请用树状图法或列表法求出恰好选中“一男一女”的概率． 【答案】(1)，，； (2)人； (3)． 【分析】本题主要考查概率、统计表和扇形统计图： 结合统计表中的频数是和扇形统计图中占的百分比可以求出抽取的学生人数为人，用总人数减去、、的频数，即可得到的值，根据的频数是，抽取的学生总数是即可求出占的百分比，这个百分比就是扇形的圆心角占的百分比； 根据抽取的学生中成绩达到等级及以上占抽取比例为，利用样本代替总体求出全校达到级以上的人数； 根据题意列表，从表可以看出共有种情况，每种情况出现的机会均等，其中是一男一女的情况共有种，可以求出恰好选中“一男一女”的概率． 【详解】（1）解：(人)， (人)， ， 故答案为：，，； （2）解：(人)， 答：该校成绩达到等级及以上的有人； （3）解：列表如下， 男1 男2 女1 女2 男1 男2，男1 女1，男1 女2，男1 男2 男1，男2 女1，男2 女2，男2 女1 男1，女1 男2，女1 女2，女1 女2 男1，女2 男2，女2 女1，女2 由表可知，共有种情况，每种情况出现的机会均等，其中是一男一女的情况共有种， 恰好选中“一男一女”的概率， 答：恰好选中“一男一女”的概率为． 19．(24-25九上·山东邹城第十中学·期中)在一个不透明的袋了中装有完全相同的四个小球，小球上分别标有数字，，0，4．现从中任意摸出一个小球，将小球上面的数字记为a；将球放回袋中搅匀，再从中任意摸出一个小球，将小球上面的数字记为b． (1)从袋子中随机摸出一个小球，摸到的数字是有理数属于 事件（填“不可能”“必然”或者“随机”），其中摸到的数字是负数的概率是___________； (2)用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果，并求出点在第四象限的概率． 【答案】(1)必然； (2)图见解析，点在第四象限的概率为． 【分析】此题考查了事件的分类，列表法或树状图法求概率的知识．此题难度不大，注意列表法或树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比． （1）根据事件的分类判断即可；利用概率公式直接求解即可 （2）画出树状图，找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵，，0，4都是有理数， ∴从袋子中随机摸出一个小球，摸到的数字是有理数属于必然事件； 摸到数字是负数的概率为：， 故答案为：必然；； （2）画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中点在第四象限的情况有2种， ∴点在第四象限的概率为． 20．(24-25九上·山东潍坊·期中)2024年夏季奥运会在法国巴黎举行，某电视台在同一时间进行4档现场直播：A．乒乓球、B．篮球、C．射击、D．网球．小夏和小王都是体育迷，他们在同一时间观看了直播节目． (1)小夏收看了乒乓球直播的概率为________； (2)请用列表或画树状图的方法求小夏和小王收看同一个直播节目的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查树状图法和列表法求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键： （1）直接根据概率公式进行计算即可； （2）利用列表法求概率即可． 【详解】（1）解：小夏收看了乒乓球直播的概率为， 故答案为：； （2）解：列表如下： 小夏 小王 A B C D A B C D ∴共有16种等可能的结果，其中能同时看同一个直播节目的有4种， ∴P（两人同时看同一个直播节目）． 地 城 考点02 用频率估计概率 一、单选题 1．(24-25九上·山东青岛·期中)围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有黑白两色棋子共10枚，每枚棋子除颜色外都相同．将盒子中的棋子搅拌均匀，从中随机摸出一枚棋子，记下它的颜色后再放回盒子中．不断重复这一过程，共摸了100次，发现有71次摸到白色棋子，则盒子中黑色棋子可能有（   ） A．2.9枚 B．3枚 C．7枚 D．7.1枚 【答案】B 【分析】本题主要考查了如何利用频率估计概率，在解题时要注意频率和概率之间的关系，属于中考常考题型．先求出摸到白棋的频率为，即为概率，根据白棋个数=棋子的总数×摸到的白棋的概率，棋子的总数减去白棋的个数即为黑棋的个数． 【详解】解：∵不断重复这一过程，共摸了100次，发现有71次摸到白色棋子， ∴摸到白棋的频率为，即为概率， ∴盒子中黑色棋子为（枚）， ∴盒子中黑色棋子可能有（枚）， 故答案为：B． 2．(23-24九上·山东青岛崂山区崂山区第四中学·期中)某城市绿化部门将一种树苗移植成活的情况绘制成如下的统计图，种植这种树苗1000棵，估计可以成活的棵数为（    ） A．950 B．900 C．850 D．800 【答案】B 【分析】本题考查了利用频率估计概率．再利用概率求解数量．本题先得到成活的概率估计值约是，再求解成活的树木数量即可． 【详解】解：这种树苗成活的频率稳定在，成活的概率估计值约是． ∴种植这种树苗1000棵，估计可以成活的棵数为（棵）， 故选B． 3．(23-24九上·山东枣庄中区·期中)一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有40次摸到白球．请你估计这个口袋中有（    ）个红球． A．2 B．3 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值求出摸到白球的概率为，由此根据概率计算公式求出白球的数量，进而求出红球的个数即可． 【详解】解：由题意得，摸到白球的频率为，即摸到白球的概率为， ∴口袋中有白球个， ∴估计这个口袋中有个红球， 故选C． 4．(24-25九上·山东青岛城阳区·期中)如图，正方形二维码的面积为，小明在该二维码纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在0.4左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查用频率估计概率，概率公式．掌握在大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题关键．由题意可知点落在白色区域的概率为0.4，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：设二维码中黑色区域的面积为， ∵点落在白色区域的频率稳定在0.4左右， ∴， 解得：， ∴此二维码中黑色区域的面积为． 故选D． 5．(24-25九上·山东济南东南片区·期中)不透明袋子中有4个白球、3个红球、2个黄球和1个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（    ） A．黑球 B．红球 C．黄球 D．白球 【答案】C 【分析】本题主要考查了由频率估计概率，概率的计算，熟练掌握概率计算方法是解题的关键．观察统计图得该球得频率稳定在0.20左右，进而计算抽到每种颜色球的概率即可判断． 【详解】解：观察统计图可知，该球得频率稳定在0.20左右， ∴抽到该球的概率为0.20， ∵抽到黄球概率为，抽到白球概率为，抽到红球概率为，抽到黑球概率为， ∴该球最有可能是黄球， 故选：C． 二、填空题 6．(23-24九上·山东青岛南区·期中)儿童节期间，游乐场里有一种游戏的规则是：在一个装有6个红球和若干白球（每个球除颜色外，其它都相同）的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得欢动世界通票一张，已知参加这种游戏的有300人，游乐场为此游戏发放欢动世界通票50张，请你通过计算估计袋中白球的数量是 个. 【答案】 【分析】本题考查了利用样本估计总体和频率估计概率，设袋中共有个白球，根据摸到红球的概率求出球的总个数，即可解答． 【详解】解：设袋中共有个白球，则摸到红球的概率（红球）= 依题意， 解得：，经检验是原方程的解； 故答案为：． 7．(23-24九上·山东青岛南区青岛大学附属中学·期中)一个口袋中装有个红球和若干个黄球，在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黄球的个数，小明采用了如下的方法：每次先把球摇匀，从口袋中摸出个球，求出其中红球数与的比值，再把球放回口袋中摇匀，不断重复上述过程次，得到红球数与的比值的平均数为．根据上述数据，估计口袋中大约有 个黄球． 【答案】15 【分析】此题考查了频率估计概率，根据在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，先求得红球的频率，再乘以总球数求解，解题的关键是要估计出口袋中红色球所占的比例，得到相应的等量关系． 【详解】∵小明通过多次摸球实验后发现其中摸到红色球的频率稳定在， 则设黄球有个， ∴，解得， 故答案为：． 8．(23-24九上·山东济南平阴县教育教学研究中心·期中)在不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在0.8左右，则袋子中红球的个数最有可能是 个． 【答案】16 【分析】本题考查利用频率估计概率，根据红球出现的频率和球的总数，可以计算出红球的个数．明确题意，利用概率公式计算出红球的个数是解答本题的关键． 【详解】解：由题意可得，（个）， 即袋子中红球的个数最有可能是16个． 故答案是：16． 9．(23-24九上·山东青岛崂山区崂山区第四中学·期中)游乐场里有一种游戏的规则：在一个装有6个红球和若干白球（每个球除颜色外，其它都相同）的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得欢动世界通票一张，已知参加这种游戏的有300人，游乐场为此游戏发放欢动世界通票60张，请你通过计算估计袋中白球的数量是 个． 【答案】 【分析】本题考查了利用样本估计总体和频率估计概率．设袋中共有个白球，根据摸到红球的概率求出球的总个数，即可解答． 【详解】解：设袋中共有个白球，则摸到红球的概率（红球）=， 依题意，， 解得：，经检验是原方程的解； 故答案为：． 10．(24-25九上·山东济南历下区·期中)近年来，济南环境保护效果显著，越来越多的候鸟选择来济过冬．为了解候鸟的情况，生物学家采用“捕获—标记—再捕获”的方法估计候鸟的数量．先随机捕捉40只候鸟，戴上标记卡并放回，经过一段时间后，重复进行5次捕捉．记录数据如下表，由此估计该区域约有 只候鸟． 累计捕捉数量（只） 100 200 350 420 480 带有标记卡数量（只） 13 24 44 52 60 【答案】 【分析】本题考查了频率估计概率，根据累计捕捉数量越大，计算出的频率越接近概率，据此即可作答． 【详解】解：依题意，，，，，， ∵累计捕捉数量越大，计算出的频率越接近概率， ∴（只） 故答案为：． 11．(24-25九上·山东青岛城阳区·期中)在一个不透明的口袋中装有红球、白球共40个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了200次球，若其中有20次摸到红球，则估计这个口袋中红球的数量为 个． 【答案】 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．用总球的个数乘以摸到红球的概率，即可得出口袋中红球的数量． 【详解】解：，即估计这个口袋中红球的数量为个， 故答案为：． 12．(24-25九上·山东青岛·期中)在一个不透明的口袋中装有红球、白球共24个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了200次球，若其中有50次摸到红球，则估计这个口袋中红球的数量为 个． 【答案】 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．用总球的个数乘以摸到红球的概率，即可得出口袋中红球的数量． 【详解】解：，即估计这个口袋中红球的数量为个， 故答案为：． 13．(24-25九上·山东济南长清区·期中)在一个不透明箱子里装有10个除颜色外都相同的红球和黑球，小红想知道箱子里红球的个数，于是她从箱子里随机摸出一个球，经过大量重复的试验后发现摸出红球的频率稳定在，则箱子中黑球的数量约为 个． 【答案】7 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用球的数量乘以红球的频率即可． 【详解】解：， ， 答：箱子中黑球的数量约为7， 故答案为：7． 2 / 24 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $