专题10 相似三角形（期中真题汇编，山东专用）九年级数学上学期北师大版

专题10 相似三角形（期中真题汇编，山东专用） 4大高频考点概览 考点01 相似三角形的判定 考点02 相似三角形的性质 考点03 相似三角形的判定与性质综合 考点04 相似三角形实际应用 地 城 考点01 相似三角形的判定 一、单选题 1．(24-25九上·山东青岛北区·期中)如图，已知△，下列4个三角形中，与△相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理和相似三角形的判定，此题难度不大． 根据等腰三角形性质和三角形内角和定理分别求出各个选项中三角形的每个角的度数，然后与题干中的三角形的度数相比较即可得出答案． 【详解】∵由图可知，，， ∴，， A选项中三角形各角的度数不能确定， B选项中三角形各角的度数分别为，， C选项中三角形各角的度数分别为，，， D选项中三角形各角的度数分别为，，， ∴只有D选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等， 故选：D． 2．(23-24九上·山东聊城东昌府区·期中)如图，点D，E分别在的边上，增加下列条件中的一个：①，②，③，④，使与一定相似的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理．根据相似三角形的判定定理“两角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似”即可判断． 【详解】解：①添加，又， ∴，成立； ②添加，且， ∴，成立； ③添加，但不一定与相等，故与不一定相似； ④添加且， ∴，成立． 综上，使与一定相似的有①②④， 故选：B． 3．(23-24九上·山东青岛南区青岛第二十六中学·期中)如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若的三个顶点在图中相应的格点上，图中点D、点E、点F也都在格点上，则下列与相似的三角形是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，利用三边对应成比例的三角形相似进而得出符合题意的答案．正确利用网格得出三角形各边长是解题关键． 【详解】解：由网格可知：，， A、，，，因为，所以与不相似，故该选项是错误的； B、，因为，所以与不相似，故该选项是错误的； C、，，，因为，所以与相似，故该选项是正确的； D、，因为，所以与不相似，故该选项是错误的； 故选：C． 二、填空题 4．(24-25九上·山东菏泽牡丹区联考·期中)如图，点分别在的边上，增加下列条件中的一个，①；②；③；④；⑤，能使与一定相似的有 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理逐一判断即可得出答案，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，故①符合题意； ∵，， ∴，故②符合题意； ∵，， ∴，故④符合题意； 由，或，不能满足两边成比例且夹角相等，不能证明与相似，故③⑤不符合题意； 故答案为：①②④． 5．(23-24九上·山东菏泽郓城县教学研究室·期中)如图所示，，的中垂线交于D，则下列结论：①；②平分；③是等腰三角形；④．正确的选项是 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定等知识点．由等腰三角形性质及三角形内角和可确定①；由线段垂直平分线性质及等腰三角形性质可判定③与②；由相似三角形判定可判定④；熟记相关几何结论进行推理是解题关键． 【详解】解：∵， ∴； 故①正确； ∵的中垂线交于D， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∴平分； 故②③正确； ∵，， ∴； 故④正确； 故答案为：①②③④ 三、解答题 6．(24-25九上·山东青岛即墨区·期中)如图，在中，D，E分别在，上，于点G，于点F，． (1)求证：； (2)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． （1）证明，可得结论； （2）证明，推出可得结论． 【详解】（1）证明：∵于点G，于点F， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．(24-25九上·山东青岛北区·期中)如图，点、在线段上，△是等边三角形，． (1)证明：； (2)线段、、之间有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定． （1）由等边三角形性质得，，从而有；由得，由相似三角形的判定得证； （2）根据，，求出，由等角对等边即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∴； ∵，即：， ∴，， ∴，, ∴； （2）结论：． 证明∵， ∴； ∵， ∴，， 又∵， ∴ 8．(23-24九上·山东聊城东阿县·期中)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，和的顶点都在格点上．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定．利用勾股定理求得各边的长，再利用三边对应成比例的两个三角形是相似三角形即可证明． 【详解】证明：由图可知，，，，    ∴， ∴ ∴． 9．(23-24九上·山东青岛李沧区·期中)已知：在中，．求作：点D，使得点D在边上，并且以点A，C，D为顶点的三角形与相似．    【答案】见解析 【分析】本题考查尺规作图，以点A为圆心，长为半径画弧，再以点B为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点E和点C，连接，与相交与点D，即为的高，此时． 【详解】解：如图，以点A为圆心，长为半径画弧，再以点B为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点E和点C，连接，与相交与点D，即为的高，即，此时．    点D即为所求． ∵，， ∴， ∵， ∴． 10．(23-24九上·山东济南天桥区·期中)如图，在中，，，D是边上一点，且．    (1)求证：． (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质； （1）根据两角对应相等的两个三角形相似可得结论； （2）利用相似三角形的对应边成比例列出比例式计算即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴（舍去负值）． 地 城 考点02 相似三角形的性质 一、单选题 1．(24-25九上·山东济南章丘区·期中)如图，点D是中边上的一点，点E在射线上．若，则以A，D，E为顶点的三角形与相似时，的长度为（ ） A．2或 B．6或 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，分和两种情况，分别利用相似三角形对应边成比例求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：当时，则，即， ∴， ∴； 当时，则，即， ∴， ∴； 综上所述，的长度为2或， 故选：A． 2．(24-25九上·山东菏泽定陶区·期中)如果两个相似三角形对应边的比为，那么它们的面积比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质“相似三角形的面积比等于相似比的平方”即可解得． 【详解】解：∵两个相似三角形对应边的比为， ∴两个相似三角形的相似比为， ∴它们的面积比为． 故选：C． 3．(24-25九上·山东青岛·期中)某公园的儿童游乐场是两个相似三角形地块，相似比为，面积差为30，则它们的面积和为（　　） A．74 B．76 C．78 D．81 【答案】C 【分析】本题主要考查了对相似三角形性质的理解，解题的关键是掌握相似三角形面积比与相似比之间的关系，即相似三角形面积比等于相似比的平方． 已知两相似三角形的相似比，即可求出面积比．根据面积差为30，可求出两三角形的面积，进而可求出面积和． 【详解】解：∵两三角形的相似比为， ∴它们的面积比为， 设较小三角形的面积为，则较大三角形的面积为， 则， 解得， ∴面积和为， 故选C． 二、填空题 4．(24-25九上·山东济南高新区·期中)如图，已知，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．(24-25九上·山东济南济阳区·期中)两个相似三角形的相似比为，则它们的面积之比为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，三角形面积的面积之比等于相似比的平方，据此求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为， ∴它们的面积之比为， 故答案为：． 6．(24-25九上·山东枣庄滕州滕州育才中学·期中)如图，已知中，，，，是的中点，是边上一个动点．将沿折叠，使点落在处，如果与原相似，那么的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的性质，分当时，当时，再根据相似三角形的性质即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：当时，， 为中点， ∴， ∴， ∴；   当时，， ∴， ∴， 综上，的长为或， 故答案为：或． 三、解答题 7．(24-25九上·山东济南天桥区·期中)已知，如图在中，，点由点出发沿方向向终点点匀速移动，速度为，点由点出发沿方向向终点点匀速移动，速度为．如果动点同时从出发，当点或点有一个到达终点时，另一个也停止运动．请问几秒后，以Q，B，P为顶点的三角形与相似？ 【答案】秒或秒后，以为顶点的三角形与相似． 【分析】本题考查了相似三角形的动点问题，熟练掌握相似三角形的判定和性质，学会利用相似三角形对应边成比例求解动点问题是解题的关键．设秒后，以为顶点的三角形与相似，分两种情况①；②讨论，列出方程求解的值即可． 【详解】解：设秒后，以为顶点的三角形与相似， 则， ， 分两种情况： ①当时，即， 解得：； ②当时，即， 解得：； 综上所述：秒或秒后，以为顶点的三角形与相似． 8．(24-25九上·山东菏泽单县希望初级中学·期中)如图，已知，，求的长． 【答案】9 【分析】题主要考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质列出比例式是关键．根据相似三角形的性质，列出比例式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． 9．(24-25九上·山东青岛第三十九中学·期中)如图，在中，，点M从点A出发，沿折线以速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿方向以的速度向点A运动，点M到达点C时，点M，D同时停止运动，当点M不与A，C重合时，作点M关于直线的对称点N，连接交于点E，连接．设运动时间为，请解答下列问题． (1)当t为何值时，？ (2)点M在线段上运动时，是否存在某一时刻t使得与相似？若存在，请求出此刻的t值：若不存在，请说明理由； (3)点M在线段上运动时，是否存在某一时刻t使得四边形的面积占面积的六分之五？ (4)当t为何值时，为直角三角形？ 【答案】(1) (2)时，与相似 (3) (4)或 【分析】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，三角函数等知识，熟练利用三角函数表示线段的长是解题的关键． （1）当时，得，则，代入计算即可； （2）考虑两种情况，当或时，根据相似三角形的性质代入计算即可； （3）过点作的垂线段，交于点，证明，求得，再表示出的面积，即可解答； （4）分点在上或点在上，由轴对称性知，是等腰三角形，从而点为直角顶点，利用相似三角形性质表示出和或的长，由建立方程，进而解决问题． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得， ， 当时， ， ， ， 解得， 时，； （2）解：如图，当时， ， ， 解得， 如图，当， ， ， 解得（舍去）， 综上，时，与相似； （3）解：如图，过点作的垂线段，交于点， ，， ， ， ， ， ， 当四边形的面积占面积的六分之五时，的面积占面积的六分之一， 可得， 解得（舍去）， ； （4）解：点是点关于直线的对称点， ，， 为等腰三角形， 当为直角三角形时，， ， ， 此时 为等腰直角三角形， 即， ①如图，当在上运动时，此时， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ，符合题意， ②如图，当在上运动时，此时， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ，符合题意， 综上所述，当或时，为直角三角形． 10．(24-25九上·山东青岛北区·期中)已知：如图，在△中，，，，，点是线段上一动点，从点沿方向匀速运动，速度为单位；点是线段上一动点，从点沿方向匀速运动，速度为单位，作， ，当一点到达终点时另一点也停止运动，设运动时间为． 解答下列问题： (1)四边形是菱形时，求的值； (2)为何值时，点在边上； (3)连接、设四边形的面积为，求与之间的函数关系式； (4)在运动过程中，是否存在某一时刻，使以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)与之间的函数关系式为； (4)以点、、为顶点的三角形是等腰三角形时的值为或或． 【分析】（）根据菱形的性质得出即可求解； （）由（）得：四边形是平行四边形，，，证明，根据相似三角形的性质即可求解； （）设与交于点，由（）得：四边形是平行四边形，则，再由即可求解； （）根据相似三角形的性质和勾股定理得出，又，，然后分当时，当时，当时三种情况分析即可； 本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，解一元二次方程，勾股定理，建立函数关系式，等腰三角形的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意得：，， ∴，， ∵， ， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， ∴， ∴； （2）解：如图，由（）得：四边形是平行四边形，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，设与交于点， 由（）得：四边形是平行四边形， ∴， ∴ ， ∴与之间的函数关系式为； （4）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， 当时，， ∴； 当时，，整理得：， 解得：（舍去）或； 当时，，整理得： 解得：（舍去）或； 综上可知：以点、、为顶点的三角形是等腰三角形时的值为或或． 地 城 考点03 相似三角形的判定与性质综合 一、单选题 1．(24-25九上·山东济南历城区·期中)如图，在中，，按以下步骤作图：以点为圆心，以适当的长为半径画弧，交于点，交于点，连接；以点为圆心，以长为半径画弧，交于点；以点为圆心，以的长为半径画弧，在内与前一条弧相交于点；连接并延长交于点．若点恰好为的中点，则的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，根据题意可知，，，进而利用证明与全等，得到，再证明，，代入计算即可． 【详解】解：根据题意可知，，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则 ∵点H恰好为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 2．(24-25九上·山东聊城文轩初级中学·期中)在中，和分别在、上，且，则下列结论中正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解题的关键． 由平行可证明，且相似比为$1:3$，结合相似三角形的性质逐项判断即可． 【详解】 ，，， ∴A，B，C不正确，D正确 故选：D． 3．(24-25九上·山东聊城文轩初级中学·期中)如图，D、E分别是的边、上的点，且、相交于点，若，则是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据可得到和，再根据相似三角形的性质即可得出，再根据同高三角形的面积比等于底之比即可求出． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 4．(24-25九上·山东枣庄薛城区·期中)如图，在四边形中，，，点在上，平分，平分．给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论有（   ）个． A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题主要查了相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的性质，灵活应用这些性质解决问题是解题的关键．根据平行线的性质以及角平分线的定义，可得，从而得到，可判断①；过点E作于点F，根据角平分线的性质，可得，，从而得到，可判断②；证明，可得，可判断③． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，故①正确； 如图，过点E作于点F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； 故选：A． 二、填空题 5．(24-25九上·山东济南平阴县·期中)如图，正五边形的边长为6，则这个正五边形的对角线的长是 ． 【答案】/ 【分析】连接交于O，由五边形是正五边形，可得，，即得，故，从而，可得，证明，有，即可解得答案． 【详解】解：交于O，如图： ∵五边形是正五边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即 解得或（舍去）， 经检验，符合题意； 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 6．(24-25九上·山东聊城文轩初级中学·期中)如图，在中，，若，则的长是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确找出两个相似三角形是解题关键．先证出，根据相似三角形的性质可得，从而可得的长，再根据线段的和差求解即可得． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：6． 7．(24-25九上·山东聊城高唐县·期中)如图，的面积是，它被一平行于的矩形所截，被截成等份，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】18 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 先由两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似证明，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得出，，然后根据图中阴影部分的面积即可求解． 【详解】解：∵被截成等份， ∵ ∵被一平行于的矩形所截， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为18． 8．(24-25九上·山东聊城高唐县·期中)如图，在等边三角形中，为上一点，为上一点，且，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理，由等边三角形的性质可得，证明，得出，由相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．(24-25九上·山东聊城冠县·期中)如图所示，把沿平移到的位置，它们重合部分的面积是面积的，若，则此三角形移动的距离是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平移的性质和相似三角形的判定与性质，解题关键是发现相似三角形，明确面积比等于相似比的平方． 根据面积比等于相似比的平方，先求出的长度，然后再求即可． 【详解】解：由平移可知，， ∴， ∵面积的比等于相似比的平方； ∴， ∵， ∴， 解得（负值舍去）， ∴移动的距离． 故答案为：． 10．(24-25九上·山东济南商河县·期中)如图，在矩形中，平分，交于点E，，交于点F，以，为边，作矩形，与相交于点H．若，，则 ． 【答案】 【分析】首先证明，于是可得，结合矩形，推导出四边形为正方形，然后利用，，推导出， 于是可得，进而可得，等量代换并代入数据可得，于是得解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ， ， ， 在和中， ， ∴， ∴，， 在矩形中，， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正方形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，角平分线的有关计算，等角对等边，比例的性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 三、解答题 11．(24-25九上·山东济南平阴县·期中)如图，在平行四边形中，点是的中点，与相交于点． (1)求证：△△； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)2． 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形点的与性质，中点的定义，熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用平行四边形的性质，平行线的性质和相似三角形的判定定理解答即可； （2）利用线段的中点的定义和平行四边形的性质得到，再利用相似三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：四边形为平行四边形， ， ，， △△； （2）解：四边形为平行四边形， ， 点是的中点， ， ， △△， ， ， ， ． 12．(24-25九上·山东济南平阴县·期中)如图，矩形中，E，F在，上，将四边形沿翻折，使A的对称点P落在上，B的对称点为G，交于H． (1)求证：； (2)若P为中点，且，，求长； (3)连接，若P为中点，H为中点，探究与大小关系并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)，见解析． 【分析】（1）根据矩形得到，结合直角三角形两锐角互余得到，即可得到证明； （2）根据，求得的长度，从而得出长度； （3）延长，交于一点M，连接，先证明，得到相等的边，再根据，即可得到答案． 【详解】（1）证明：如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵E，F分别在，上，将四边形沿翻折，使A的对称点P落在上， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵P为中点， ∴， 设， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴； （3）解：如图，延长，交于一点M，连接， ∵E，F分别在，上，将四边形沿翻折，使A的对称点P落在上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∵P为中点， ∴设， ∴， ∵H为中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，相似三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 13．(24-25九上·山东聊城茌平区·期中)如图，矩形中，E为上一点，于F，若，，，求的长． 【答案】7.2 【分析】本题考查相似三角形性质和判定，勾股定理，矩形的性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理．利用矩形的性质证明，得到，利用勾股定理得到，将相关数据代入中求解，即可解题． 【详解】解：， ． 四边形为矩形， ，， ． ． ， ，，， ． ． ． 14．(24-25九上·山东青岛即墨区·期中)在数学学习和研究中，经常用到类比、转化、从特殊到一般等思想方法． 【原题呈现】 如图1，在平行四边形中，点M是的中点，点O是线段上一点，的延长线交射线于点N．若，求的值． 【尝试探究】 如图1，过点M作交于点H，则　　，　　，　　． 【类比延伸】 如图2，在原题的条件下，若，则　　（用含有k的代数式表示）． 【拓展迁移】 如图3，四边形中，，点E是的延长线上的一点，和相交于点O．若，，，则　　（用含m，n的代数式表示）． 【答案】[尝试探究] ，，；[类比延伸]；[拓展迁移] 【分析】本题是三角形相似的综合题，考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． [尝试探究] 过点M作交于点H，分别证明，，根据相似三角形的性质，结合平行四边形的性质得到，，进而可得； [类比延伸]如图所示，过点M作交于点H，分别证明，，根据相似三角形的性质，结合平行四边形的性质得到，，进而可得； [拓展迁移]如图所示，过过点作交的延长线于点，则有．根据相似三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】解：尝试探究：过点M作交于点H，如图所示． 则有， ，即， 在▱中，，， ∴， ∴， ∴， 又为中点， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：；；； [类比延伸]：如图所示，过点M作交于点H，如图所示． 则有， ，即， 在▱中，，， ∴， ∴， ∴， 又为中点， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：； [拓展迁移]：如图所示，过点作交的延长线于点，则有． ， ， ， ． 又， ． ， ． 故答案为：． 15．(24-25九上·山东济南章丘区·期中)如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为， ， ，若与关于点O位似，且点A的对应点坐标为．    (1)请在图中做出（点B的对应点为点，点C的对应点为点）． (2)若中边上的高为m，则中边上的高为_________（用关于m的代数式表示）． (3)连接 则与四边形的面积比为________． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】（1）由题意得，与的相似比为，结合位似的性质作图即可． （2）根据相似三角形的性质：相似三角形的高的比等于相似比，可得答案． （3）结合位似的性质以及相似三角形的判定可得，相似比为，则可得与的面积比为，进而可得答案． 本题考查位似变换、坐标与图形性质，熟练掌握位似的性质、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，与的相似比为， 如图，即为所求．   ； （2）解：与的相似比为，中边上的高为， 中边上的高为． 故答案为：． （3）解：与关于点位似，相似比为， ． ， ，相似比为， 与的面积比为， 与四边形的面积比为． 故答案为：． 地 城 考点04 相似三角形实际应用 一、单选题 1．(24-25九上·山东潍坊·期中)如图，一个高为的油筒内有油，一根木棒长，从桶盖小口斜插入桶内，一端到底部，另一端正好到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分的长，则桶内油的高度为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的判定方法得出，进而利用相似三角形的性质得出答案．根据题意得出相似三角形是解题关键． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， 即桶内油的高度为：． 故选：D． 2．(23-24九上·山东青岛北区·期中)小明测量旗杆高度的示意图，如图所示．他首先在旗杆的右边点处放置了一平面镜，并测得米．然后小明沿着直线后退到点处，眼睛恰好看到镜子里旗杆的顶端，并测得米，眼睛到地面的距离米（此时），则旗杆的高为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 证明，则，即，计算求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即， 解得，， 故选：D． 3．(23-24九上·山东菏泽巨野县·期中)如图，是物理中光学规律凸透镜成像规律，其中放大率等于像距与物距的比，这用到了数学中的（　　） A．三角形相似的判定定理 B．三角形相似的性质定理 C．三角形全等的性质定理 D．三角形全等的判定定理 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：物理中光学规律凸透镜成像规律，其中放大率等于像距与物距的比，这用到了数学中的三角形相似的性质定理及相似三角形的对应边成比例， 故选：B． 二、填空题 4．(24-25九上·山东枣庄滕州·期中)《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，是用“矩”测量一个信号塔高度的示意图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与交于点，测得，，，则信号塔的高度为 ． 【答案】14 【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．由题意可知，，，证明，得到，即可求出信号塔的高度． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 5．(24-25九上·山东泰安宁阳县·期中)如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一条直线上．已知纸板的两条边，，测得，，树高的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的应用．利用勾股定理求出的长，根据，求出的长，线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：在中，，， ∴， 由题意，得：，， ∴， ∴，即：， ∴， ∴； 故答案为：． 6．(24-25九上·山东济南南山区·期中)如图，利用标杆测量楼高，点C，A，B在同一直线上，，垂足分别为A，B．若测得影长米，米，影长米，则楼高为 米． 【答案】12 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意可得：，从而可得，再根据垂直定义可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴楼高为12米， 故答案为：12． 7．(24-25九上·山东济南历下区·期中)坐落于济南市大明湖的超然楼是一座拥有700年历史的名楼，《周髀算经》中有“偃矩以望高”的测高方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的），小明受到启发，利用“矩”测量超然楼的高度．通过调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使保持水平，点A、B、D在同一直线上，，测得，，，，则超然楼的高度 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，构造相似三角形是解题关键．令所在的水平线与交于点，证明四边形是矩形，则，，证明，得到，进而得出，即可得到答案． 【详解】解：如图，令所在的水平线与交于点， ， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 8．(24-25九上·山东济南章丘区·期中)小敏同学在学习了投影一章的知识后，想利用相关知识测量小区内一座假山的高度，于是他设计了这样的方案： 如图1，假山的顶端有一盏路灯E，小敏同学在假山的一侧垂直于地面树立一根高度为的标杆，移动标杆的位置，测量路灯下标杆投影的长度，以及标杆底段B到假山正下方点D的距离，利用三角形相似的相关知识便可以求出假山的高度． (1)若，，请用关于a，b的代数式表示假山的高度． (2)在实际操作中，小敏测得，但在测量的长度时，发现假山正下方的点D处根本无法直接到达，小敏稍加思索，便得出了改进方案，如图2所示，他将竖直标杆移动到C点处，测得此时标杆在路灯下的影长变为，根据这些数据便可以计算假山的高度，请你帮助小敏求出假山的高度． 【答案】(1)DE=m (2)假山的高度为 【分析】本题考查了相似三角形的应用． （1）先证，得，进而得，再代入，，即可得出结论； （2）先证，，得，再由得，，得关于x的方程，解方程得，即，再由（1）的结论得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴，即，即， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 设，则，， ∴， 解得，即， 由（1）得 ∴假山的高度为． 9．(24-25九上·山东聊城·期中)为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有．在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖，构思巧妙． 甲 乙 图例 方案 如图①是测试距离为的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为的小视力表②．通过测量大视力表中“”的高度（的长），即可求出小视力表中相应的“”的高度（的长） 使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜（），由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿，发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长（）就可以计算出镜长 (1)甲生的方案中如果大视力表中“”的高是，那么小视力表中相应“”的高是多少？ (2)乙生的方案中如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键， （1）证明，得，代入数据求解，即可得解； （2）如图，作于点，延长线交于点，证明，得，代入数据求解，即可得解． 【详解】（1）解：由题意知， ， 又， ， ， 由题意知， ， 解得， 即小视力表中相应“”的高是． （2）解：如图，如图，作于点，延长线交于点， 由题意知，， ， ∴， ， ， ， ， ， 由题意知， ， ， ， ∴镜长至少为． 10．(24-25九上·山东济南历下区·期中)图1是小亮沿广场道路散步的示意图，线段表示直立在广场上的灯柱，点表示照明灯的位置，已知小亮身高，． (1)如图2，小亮站在E处时与灯柱的距离，则此时小亮的影长　　　m； (2)如图3，小亮继续行至G处时，发现其影长恰为身高的一半，求此时小亮与灯柱的距离． 【答案】(1) (2)此时小亮与灯柱的距离为 【分析】本题考查了相似三角形的应用． （1）由，利用相似三角形的性质列式计算即可求解； （2）由，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， ∴， ∴， 解得； 故答案为：； （2）解：由题意得， ∴， ∴， 解得； 答：此时小亮与灯柱的距离为． 2 / 49 1 / 49 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 相似三角形（期中真题汇编，山东专用） 4大高频考点概览 考点01 相似三角形的判定 考点02 相似三角形的性质 考点03 相似三角形的判定与性质综合 考点04 相似三角形实际应用 地 城 考点01 相似三角形的判定 一、单选题 1．(24-25九上·山东青岛北区·期中)如图，已知△，下列4个三角形中，与△相似的是（   ） A． B． C． D． 2．(23-24九上·山东聊城东昌府区·期中)如图，点D，E分别在的边上，增加下列条件中的一个：①，②，③，④，使与一定相似的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 3．(23-24九上·山东青岛南区青岛第二十六中学·期中)如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若的三个顶点在图中相应的格点上，图中点D、点E、点F也都在格点上，则下列与相似的三角形是（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 4．(24-25九上·山东菏泽牡丹区联考·期中)如图，点分别在的边上，增加下列条件中的一个，①；②；③；④；⑤，能使与一定相似的有 ．（填序号） 5．(23-24九上·山东菏泽郓城县教学研究室·期中)如图所示，，的中垂线交于D，则下列结论：①；②平分；③是等腰三角形；④．正确的选项是 ． 三、解答题 6．(24-25九上·山东青岛即墨区·期中)如图，在中，D，E分别在，上，于点G，于点F，． (1)求证：； (2)若，，求的值． 7．(24-25九上·山东青岛北区·期中)如图，点、在线段上，△是等边三角形，． (1)证明：； (2)线段、、之间有怎样的数量关系？请说明理由． 8．(23-24九上·山东聊城东阿县·期中)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，和的顶点都在格点上．求证：．    9．(23-24九上·山东青岛李沧区·期中)已知：在中，．求作：点D，使得点D在边上，并且以点A，C，D为顶点的三角形与相似．    10．(23-24九上·山东济南天桥区·期中)如图，在中，，，D是边上一点，且．    (1)求证：． (2)求的长． 地 城 考点02 相似三角形的性质 一、单选题 1．(24-25九上·山东济南章丘区·期中)如图，点D是中边上的一点，点E在射线上．若，则以A，D，E为顶点的三角形与相似时，的长度为（ ） A．2或 B．6或 C． D． 2．(24-25九上·山东菏泽定陶区·期中)如果两个相似三角形对应边的比为，那么它们的面积比为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·山东青岛·期中)某公园的儿童游乐场是两个相似三角形地块，相似比为，面积差为30，则它们的面积和为（　　） A．74 B．76 C．78 D．81 二、填空题 4．(24-25九上·山东济南高新区·期中)如图，已知，且，则 ． 5．(24-25九上·山东济南济阳区·期中)两个相似三角形的相似比为，则它们的面积之比为 ． 6．(24-25九上·山东枣庄滕州滕州育才中学·期中)如图，已知中，，，，是的中点，是边上一个动点．将沿折叠，使点落在处，如果与原相似，那么的长为 ． 三、解答题 7．(24-25九上·山东济南天桥区·期中)已知，如图在中，，点由点出发沿方向向终点点匀速移动，速度为，点由点出发沿方向向终点点匀速移动，速度为．如果动点同时从出发，当点或点有一个到达终点时，另一个也停止运动．请问几秒后，以Q，B，P为顶点的三角形与相似？ 8．(24-25九上·山东菏泽单县希望初级中学·期中)如图，已知，，求的长． 9．(24-25九上·山东青岛第三十九中学·期中)如图，在中，，点M从点A出发，沿折线以速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿方向以的速度向点A运动，点M到达点C时，点M，D同时停止运动，当点M不与A，C重合时，作点M关于直线的对称点N，连接交于点E，连接．设运动时间为，请解答下列问题． (1)当t为何值时，？ (2)点M在线段上运动时，是否存在某一时刻t使得与相似？若存在，请求出此刻的t值：若不存在，请说明理由； (3)点M在线段上运动时，是否存在某一时刻t使得四边形的面积占面积的六分之五？ (4)当t为何值时，为直角三角形？ 10．(24-25九上·山东青岛北区·期中)已知：如图，在△中，，，，，点是线段上一动点，从点沿方向匀速运动，速度为单位；点是线段上一动点，从点沿方向匀速运动，速度为单位，作， ，当一点到达终点时另一点也停止运动，设运动时间为． 解答下列问题： (1)四边形是菱形时，求的值； (2)为何值时，点在边上； (3)连接、设四边形的面积为，求与之间的函数关系式； (4)在运动过程中，是否存在某一时刻，使以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 地 城 考点03 相似三角形的判定与性质综合 一、单选题 1．(24-25九上·山东济南历城区·期中)如图，在中，，按以下步骤作图：以点为圆心，以适当的长为半径画弧，交于点，交于点，连接；以点为圆心，以长为半径画弧，交于点；以点为圆心，以的长为半径画弧，在内与前一条弧相交于点；连接并延长交于点．若点恰好为的中点，则的长为（   ）    A． B． C． D． 2．(24-25九上·山东聊城文轩初级中学·期中)在中，和分别在、上，且，则下列结论中正确的是（） A． B． C． D． 3．(24-25九上·山东聊城文轩初级中学·期中)如图，D、E分别是的边、上的点，且、相交于点，若，则是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25九上·山东枣庄薛城区·期中)如图，在四边形中，，，点在上，平分，平分．给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论有（   ）个． A．3 B．2 C．1 D．0 二、填空题 5．(24-25九上·山东济南平阴县·期中)如图，正五边形的边长为6，则这个正五边形的对角线的长是 ． 6．(24-25九上·山东聊城文轩初级中学·期中)如图，在中，，若，则的长是 ． 7．(24-25九上·山东聊城高唐县·期中)如图，的面积是，它被一平行于的矩形所截，被截成等份，则图中阴影部分的面积为 ． 8．(24-25九上·山东聊城高唐县·期中)如图，在等边三角形中，为上一点，为上一点，且，，，则的值为 ． 9．(24-25九上·山东聊城冠县·期中)如图所示，把沿平移到的位置，它们重合部分的面积是面积的，若，则此三角形移动的距离是 ． 10．(24-25九上·山东济南商河县·期中)如图，在矩形中，平分，交于点E，，交于点F，以，为边，作矩形，与相交于点H．若，，则 ． 三、解答题 11．(24-25九上·山东济南平阴县·期中)如图，在平行四边形中，点是的中点，与相交于点． (1)求证：△△； (2)若，求的长． 12．(24-25九上·山东济南平阴县·期中)如图，矩形中，E，F在，上，将四边形沿翻折，使A的对称点P落在上，B的对称点为G，交于H． (1)求证：； (2)若P为中点，且，，求长； (3)连接，若P为中点，H为中点，探究与大小关系并说明理由． 13．(24-25九上·山东聊城茌平区·期中)如图，矩形中，E为上一点，于F，若，，，求的长． 14．(24-25九上·山东青岛即墨区·期中)在数学学习和研究中，经常用到类比、转化、从特殊到一般等思想方法． 【原题呈现】 如图1，在平行四边形中，点M是的中点，点O是线段上一点，的延长线交射线于点N．若，求的值． 【尝试探究】 如图1，过点M作交于点H，则　　，　　，　　． 【类比延伸】 如图2，在原题的条件下，若，则　　（用含有k的代数式表示）． 【拓展迁移】 如图3，四边形中，，点E是的延长线上的一点，和相交于点O．若，，，则　　（用含m，n的代数式表示）． 15．(24-25九上·山东济南章丘区·期中)如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为， ， ，若与关于点O位似，且点A的对应点坐标为．    (1)请在图中做出（点B的对应点为点，点C的对应点为点）． (2)若中边上的高为m，则中边上的高为_________（用关于m的代数式表示）． (3)连接 则与四边形的面积比为________． 地 城 考点04 相似三角形实际应用 一、单选题 1．(24-25九上·山东潍坊·期中)如图，一个高为的油筒内有油，一根木棒长，从桶盖小口斜插入桶内，一端到底部，另一端正好到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分的长，则桶内油的高度为（　　） A． B． C． D． 2．(23-24九上·山东青岛北区·期中)小明测量旗杆高度的示意图，如图所示．他首先在旗杆的右边点处放置了一平面镜，并测得米．然后小明沿着直线后退到点处，眼睛恰好看到镜子里旗杆的顶端，并测得米，眼睛到地面的距离米（此时），则旗杆的高为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．(23-24九上·山东菏泽巨野县·期中)如图，是物理中光学规律凸透镜成像规律，其中放大率等于像距与物距的比，这用到了数学中的（　　） A．三角形相似的判定定理 B．三角形相似的性质定理 C．三角形全等的性质定理 D．三角形全等的判定定理 二、填空题 4．(24-25九上·山东枣庄滕州·期中)《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，是用“矩”测量一个信号塔高度的示意图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与交于点，测得，，，则信号塔的高度为 ． 5．(24-25九上·山东泰安宁阳县·期中)如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一条直线上．已知纸板的两条边，，测得，，树高的长为 ． 6．(24-25九上·山东济南南山区·期中)如图，利用标杆测量楼高，点C，A，B在同一直线上，，垂足分别为A，B．若测得影长米，米，影长米，则楼高为 米． 7．(24-25九上·山东济南历下区·期中)坐落于济南市大明湖的超然楼是一座拥有700年历史的名楼，《周髀算经》中有“偃矩以望高”的测高方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的），小明受到启发，利用“矩”测量超然楼的高度．通过调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使保持水平，点A、B、D在同一直线上，，测得，，，，则超然楼的高度 ． 三、解答题 8．(24-25九上·山东济南章丘区·期中)小敏同学在学习了投影一章的知识后，想利用相关知识测量小区内一座假山的高度，于是他设计了这样的方案： 如图1，假山的顶端有一盏路灯E，小敏同学在假山的一侧垂直于地面树立一根高度为的标杆，移动标杆的位置，测量路灯下标杆投影的长度，以及标杆底段B到假山正下方点D的距离，利用三角形相似的相关知识便可以求出假山的高度． (1)若，，请用关于a，b的代数式表示假山的高度． (2)在实际操作中，小敏测得，但在测量的长度时，发现假山正下方的点D处根本无法直接到达，小敏稍加思索，便得出了改进方案，如图2所示，他将竖直标杆移动到C点处，测得此时标杆在路灯下的影长变为，根据这些数据便可以计算假山的高度，请你帮助小敏求出假山的高度． 9．(24-25九上·山东聊城·期中)为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有．在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖，构思巧妙． 甲 乙 图例 方案 如图①是测试距离为的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为的小视力表②．通过测量大视力表中“”的高度（的长），即可求出小视力表中相应的“”的高度（的长） 使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜（），由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿，发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长（）就可以计算出镜长 (1)甲生的方案中如果大视力表中“”的高是，那么小视力表中相应“”的高是多少？ (2)乙生的方案中如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米． 10．(24-25九上·山东济南历下区·期中)图1是小亮沿广场道路散步的示意图，线段表示直立在广场上的灯柱，点表示照明灯的位置，已知小亮身高，． (1)如图2，小亮站在E处时与灯柱的距离，则此时小亮的影长　　　m； (2)如图3，小亮继续行至G处时，发现其影长恰为身高的一半，求此时小亮与灯柱的距离． 2 / 49 1 / 49 学科网（北京）股份有限公司 $