专题06 解一元二次方程（期中真题汇编，山东专用）九年级数学上学期北师大版

专题06 解一元二次方程 6大高频考点概览 考点01 解一元二次方程-直接开平方法 考点02 解一元二次方程-配方法 考点03 一元二次方程根的判别式 考点04 解一元二次方程-公式法 考点05 解一元二次方程-因式分解法 考点06 一元二次方程的根与系数的关系 地 城 考点01 解一元二次方程-直接开平方法 一、单选题 1．(24-25九上·山东潍坊·期中)解下列一元二次方程可以直接开平方的是（  ） A． B． C． D． 二、填空题 2．(24-25九上·山东菏泽牡丹区联考·期中)若方程有整数根，则m的值可以是 ．（填一个可能的值） 三、解答题 3．(24-25九上·山东青岛第三十九中学·期中)解方程 (1) (2)（用配方法） 4．(24-25九上·山东菏泽成武县·期中)解下列方程： (1)； (2)． 5．(24-25九上·山东济南平阴县·期中)解下列方程： (1)； (2)． 地 城 考点02 解一元二次方程-配方法 一、单选题 1．(24-25九上·山东济宁泗水县·期中)用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·山东济宁微山县·期中)用配方法解方程，配方后得到的方程是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·山东济宁微山县·期中)现定义一种运算，例如．若，则的值（   ） A．2或 B．或3 C．1或 D．或6 4．(24-25九上·山东临沂郯城县·期中)用配方法解方程，变形后结果正确的是（   ） A． B． C． D． 5．(23-24九上·山东烟台招远·期中)把二次函数化成的形式是（    ） A． B． C． D． 6．(23-24九上·山东青岛南区青岛第五十九中学·期中)用配方法解方程时，变形后的方程是（    ） A． B． C． D． 二、解答题 7．(23-24九上·山东青岛南区青岛第二十六中学·期中)解下列一元二次方程： (1)； (2)． 8．(23-24九上·山东临沂罗庄区·期中)已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)当时，求出方程的解． 9．(24-25九上·山东青岛城阳区·期中)解方程： (1)； (2)． 10．(24-25九上·山东德州德城区·期中)解方程： (1)； (2)． 地 城 考点03 一元二次方程根的判别式 一、单选题 1．(24-25九上·山东潍坊·期中)小莹在解关于x的方程时，抄错了a的符号，解出其中一个根是，则原方程的根的情况是（  ） A．有一个实数根是 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 2．(24-25九上·山东济宁·期中)若关于的一元二次方程有实数解，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 3．(24-25九上·山东青岛青岛大学附属中学·期中)若实数满足方程，那么的值为（） A． B．5 C．或5 D．3或 4．(24-25九上·山东菏泽鄄城县·期中)关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（   ） A． B．且 C．且 D． 5．(24-25九上·山东临沂兰山区·期中)已知关于的一元二次方程有实数根，则系数的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 二、填空题 6．(24-25九上·山东菏泽成武县·期中)设，是方程的两个实数根，且，则的值是 ． 7．(24-25九上·山东菏泽成武县·期中)若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 ． 三、解答题 8．(24-25九上·山东临沂郯城县·期中)已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值时，方程总有两个不相等实数根； (2)若方程的两个根为，，且满足，求的值． 9．(24-25九上·山东济南济阳区·期中)已知的两边，的长是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)若，求的值及的周长； (2)当为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长． 10．(24-25九上·山东威海荣成16校联盟·期中)已知：y关于x的函数表达式为 (1)求证：不论k 为何值，该函数的图象与x轴总有交点． (2)不论k为何值，该函数的图象一定经过两个定点，请直接写出这两个定点坐标． 11．(24-25九上·山东青岛青岛大学附属中学·期中)已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的一个根为，求该方程的另一个根及的值． 12．(24-25九上·山东临沂兰山区·期中)已知关于的一元二次方程． (1)证明：无论取何值，此方程总有两个实数根； (2)若方程有两个不相等的实数根分别为，且，求的值． 13．(24-25九上·山东德州夏津县·期中)已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． (1)求，（用含的式子表示）； (2)已知，求的值． 14．(24-25九上·山东济南章丘区·期中)已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根 (1)求m的取值范围． (2)若，求m的值． 15．(24-25九上·山东青岛即墨区·期中)计算 (1)（配方法）； (2)； (3)关于x的一元二次方程有两个实数根． ①求m的取值范围； ②若m取最大整数，求此方程的根． 地 城 考点04 解一元二次方程-公式法 一、填空题 1．(24-25九上·山东临沂沂水县·期中)关于的一元二次方程根的判别式的值是，则此方程的解为 ． 二、解答题 2．(24-25九上·山东临沂临沭县·期中)解方程： (1)； (2)． 3．(24-25九上·山东济南平阴县·期中)古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如的方程的图解法是：如图，以和b为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的解． (1)请用含字母a、b的代数式表示的长； (2)请利用你已学的知识说明该图解法的正确性，并说说这种解法的遗憾之处． 4．(24-25九上·山东枣庄山亭区·期中)解下列方程 (1) (2) 5．(24-25九上·山东青岛·期中)解下列方程 (1)； (2)． 地 城 考点05 解一元二次方程-因式分解法 一、单选题 1．(24-25九上·山东济南章丘区·期中)硕硕和鹏鹏一起解一道一元二次方程题，硕硕看错了一次项系数，解得方程的两个根为和，鹏鹏看错了常数项，解得方程的两个根为和．则原方程正确的解为（  ） A．， B．， C．， D．， 二、填空题 2．(24-25九上·山东德州宁津县齐河三中教育集团·期中)一个三角形的两边长分别为5和8，第三边长是方程的根，则三角形的周长为 ． 3．(24-25九上·山东济宁微山县·期中)写出一个一元二次方程 ，使它有两个不相等的实数根，且其中一个根是1． 三、解答题 4．(24-25九上·山东青岛城阳区·期中)如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的10倍，那么我们把这样的方程定义为“十美方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“十美方程”．根据上述定义，请判断一元二次方程是否为“十美方程”，并说明理由． 5．(24-25九上·山东济宁梁山县·期中)解下列方程： (1)； (2)． 6．(24-25九上·山东日照北京路中学·)解一元二次方程： (1) (2) 7．(24-25九上·山东临沂沂南县·期中)解方程： (1)； (2)以下是某同学解方程的过程： 解：方程两边因式分解，得，（第一步） 方程两边同除以，得，（第二步） ∴原方程的解为．（第三步） ①上面的运算过程第__________步出现了错误． ②请你写出正确的解答过程． 8．(24-25九上·山东德州德城区·期中)如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； (2)已知关于的一元二次方程（是常数）是“邻根方程”，求的值． 9．(24-25九上·山东临沂郯城县·期中)解方程： (1) (2) 10．(24-25九·山东济宁嘉祥县第五中学·期中)解一元二次方程： (1)； (2)． 地 城 考点06 一元二次方程的根与系数的关系 一、单选题 1．(23-24九上·山东济宁金乡县教育教学研究中心·期中)如果，是两个不相等实数，且满足，，那么等于（    ） A．2 B．6 C． D．－2 二、填空题 2．(23-24九上·山东枣庄薛城区·期中)如果是关于的一元二次方程的两个实数根，则= ． 3．(23-24九上·山东聊城莘县多校·期中)若方程的两根分别为，，则点关于原点对称的点的坐标是 ． 4．(24-25九上·山东青岛即墨区·期中)一元二次方程的两根分别是2和，则这个一元二次方程是 ．（写出一个符合要求的方程即可） 5．(24-25九上·山东临沂郯城县·期中)设方程的两个根为，那么的值等于 ． 6．(24-25九·山东济宁嘉祥县第五中学·期中)设是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 7．(24-25九上·山东济宁微山县·期中)已知方程的两根分别为，，则 ． 三、解答题 8．(23-24九上·山东菏泽东明县·期中)已知、是方程的两个实数根，求下列各代数式的值． (1)； (2)； 9．(23-24九上·山东枣庄山亭区·期中)已知，关于x的一元二次方程． (1)若是该方程的一个根，求k的值及另一个根； (2)若该方程有两个实数根，若，求k的值； 10．(23-24九上·山东潍坊高密·期中)已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)如果方程两根的和比两根的积大1，求的值； (3)若的两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为2，当是等腰三角形时，求的值． 11．(23-24九上·山东临沂郯城县·期中)已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)方程的两个实数根分别为，，若，求的值． 12．(24-25九上·山东潍坊诸城·期中)已知关于x的一元二次方程． (1)当是方程的一个根时，求方程的另一个根； (2)若，是方程的两个不相等的实根，且，满足，求m的值． 2 / 39 1 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 解一元二次方程 6大高频考点概览 考点01 解一元二次方程-直接开平方法 考点02 解一元二次方程-配方法 考点03 一元二次方程根的判别式 考点04 解一元二次方程-公式法 考点05 解一元二次方程-因式分解法 考点06 一元二次方程的根与系数的关系 地 城 考点01 解一元二次方程-直接开平方法 一、单选题 1．(24-25九上·山东潍坊·期中)解下列一元二次方程可以直接开平方的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法是解题的关键． 形如的方程可以直接开平方法求解，据此，逐项判定即可． 【详解】解：A、方程不能直接开平方法求解，故此选项不符合题意； B、方程可以直接开平方法求解，故此选项符合题意； C、方程不能直接开平方法求解，故此选项不符合题意； D、方程，变形得，不能直接开平方法求解，故此选项不符合题意； 故选：B． 二、填空题 2．(24-25九上·山东菏泽牡丹区联考·期中)若方程有整数根，则m的值可以是 ．（填一个可能的值） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，将原方程变形为，根据方程有整数根，即可得出为完全平方数，即可得出答案，解题的关键是熟悉方程有根的条件． 【详解】解：， ∴， ∵方程有整数根， ∴为完全平方数， ∴可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 三、解答题 3．(24-25九上·山东青岛第三十九中学·期中)解方程 (1) (2)（用配方法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法和步骤是解题关键． （1）先移项，再将系数化为1，最后根据直接开平方法求解即可； （2）先移项，再将系数化为1，最后根据配方法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∴， ∴，； （2）解：， ， ， ， ∴， ∴，． 4．(24-25九上·山东菏泽成武县·期中)解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握公式法，直接开方法是解题的关键． （1）先确定，再运用求根公式，代入计算即可； （2）先移项得到，等式两边同时除以，再直接开方即可． 【详解】（1）解：， 化为一般式得，， ∴， ∴， ∴； （2）解：， 移项得，， 等式两边同时除以得，， 两边同时开方得，， ∴， 解得，． 5．(24-25九上·山东济南平阴县·期中)解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， ； (2)． 【分析】本题考查一元二次方程的解法，一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，灵活选用一元二次方程的解法是解题的关键． （1）利用直接开方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， （2）， ， 或， ． 地 城 考点02 解一元二次方程-配方法 一、单选题 1．(24-25九上·山东济宁泗水县·期中)用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查配方法，根据配方法的步骤，一除，二移，三配，四变形，进行求解即可． 【详解】解： ∴； 故选A． 2．(24-25九上·山东济宁微山县·期中)用配方法解方程，配方后得到的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．方程整理后，再左右两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，即可得到结果． 【详解】解：方程整理得，即， 配方得，即． 故选：D． 3．(24-25九上·山东济宁微山县·期中)现定义一种运算，例如．若，则的值（   ） A．2或 B．或3 C．1或 D．或6 【答案】B 【分析】本题考查定义新运算问题，解一元二次方程．根据题意列式计算即可求出本题答案． 【详解】解：∵， ∴，即， 解得：或， 故选：B． 4．(24-25九上·山东临沂郯城县·期中)用配方法解方程，变形后结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，首先把常数项移到等号右边，根据等式性质把方程的两边同时加，方程的左边成为完全平方式的形式，然后再用完全平方公式把左边分解因式可得变形后的结果． 【详解】解：， 移项得：， 两边同时加得：， 分解因式得：． 故选：C． 5．(23-24九上·山东烟台招远·期中)把二次函数化成的形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了把二次函数的一般式化成顶点式，掌握配方法是解答本题的关键．依题意，加上一次项系数，其一半的平方是，再减去，凑成完全平方式，将一般式转化为顶点式，选出正确答案． 【详解】解： 故选 6．(23-24九上·山东青岛南区青岛第五十九中学·期中)用配方法解方程时，变形后的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程－配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．根据配方法变形即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选A． 二、解答题 7．(23-24九上·山东青岛南区青岛第二十六中学·期中)解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，解一元一次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键． （1）先把方程化为一般式，再利用配方法得到 ，然后利用直接开平方法解方程; （2）先去括号、移项，然后合并把的系数化为即可. 【详解】（1）解： 整理得：， ， 或 解得：，； （2）去括号, 得， 移项，得， 合并， 得， 系数化为，得． 8．(23-24九上·山东临沂罗庄区·期中)已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)当时，求出方程的解． 【答案】(1)且 (2) 【分析】本题考查了根据根的情况判断参数，用配方法解一元二次方程； （1）根据题意，可得，注意一元二次方程的系数问题，即，即可解答， （2）将代入，利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，且， 解得：且； （2）当时， 原方程为，即， 移项得：， 配方得：，即， 直接开平方得： 解得：． 9．(24-25九上·山东青岛城阳区·期中)解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：公式法、配方法、直接开平方法、因式分解法，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，． 10．(24-25九上·山东德州德城区·期中)解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． （1）等号左边直接利用完全平方公式配方即可； （2）方程两边同时加上4，再将等号左边的式子利用完全平方公式配方即可． 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）， ， ， ， ． 地 城 考点03 一元二次方程根的判别式 一、单选题 1．(24-25九上·山东潍坊·期中)小莹在解关于x的方程时，抄错了a的符号，解出其中一个根是，则原方程的根的情况是（  ） A．有一个实数根是 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，根的判别式，先将代入方程得，求出从而得出a的正确值为，根据根的判别式得出原方程有两个不相等的实数根，求出方程的解，逐项进行判断即可． 【详解】解：将代入方程得， ， 解得， 所以a的正确值为， 则原方程为， 所以， 所以原方程有两个不相等的实数根，且方程的两个根为：． 故选：D． 2．(24-25九上·山东济宁·期中)若关于的一元二次方程有实数解，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，解不等式的解集，理解有实数解的概念，掌握判别式的运用是解题的关键． 根据一元二次方程的定义得到，由方程有实数解得到，代入求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数解， ∴，且， ∴且， 故选：C ． 3．(24-25九上·山东青岛青岛大学附属中学·期中)若实数满足方程，那么的值为（） A． B．5 C．或5 D．3或 【答案】B 【分析】此题考查了换元法解一元二次方程，一元二次方程的解，熟记解题步骤是解题的关键．设，则原方程转化为关于的新方程，通过解新方程来求的值，即的值． 【详解】解：设， 原方程变形为， 整理得：， 解得：， 当时，， 即， 此时； 当时，， 即， 此时； 此时方程无实数根； 故选：B． 4．(24-25九上·山东菏泽鄄城县·期中)关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（   ） A． B．且 C．且 D． 【答案】B 【分析】一元二次方程根的情况与判别式的关系，根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，得，从而可以列出关于m的不等式，求解即可，还要考虑二次项的系数不能为0． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得，且， 故选：B． 5．(24-25九上·山东临沂兰山区·期中)已知关于的一元二次方程有实数根，则系数的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．还要注意二次项系数不为0． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：且， 故选：D． 二、填空题 6．(24-25九上·山东菏泽成武县·期中)设，是方程的两个实数根，且，则的值是 ． 【答案】14 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，掌握是解题的关键． 根据题意，，解得，，再根据根的判别式得到，将代数式变形计算即可求解． 【详解】解：设，是方程的两个实数根， ∴， ∴， 解得，， 当时，，化简得，， ∵， ∴当时，原方程无实数根； 当时，，化简得，， ∵， ∴当时，原方程有两个不相等的实数根； ∴， ∵， ∴， ∴当时，原式， 故答案为：14 ． 7．(24-25九上·山东菏泽成武县·期中)若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式，根据题意可得，且，求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴，且， ∴且． 故答案为：且． 三、解答题 8．(24-25九上·山东临沂郯城县·期中)已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值时，方程总有两个不相等实数根； (2)若方程的两个根为，，且满足，求的值． 【答案】(1)详见解析 (2)或1 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式与根与系数的关系． （1）计算判别式的值，再利用配方法得到，然后根据判别式的意义得到结论； （2）根据根与系数的关系得到，，而，然后解关于的方程即可． 【详解】（1）证明：， ，， ， ， ， ， ， ， ， 无论为何值时，方程总有两个不相等实数根． （2）由，得， ， ， ， ， 解得：  ， 或1． 9．(24-25九上·山东济南济阳区·期中)已知的两边，的长是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)若，求的值及的周长； (2)当为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长． 【答案】(1)；5 (2) 【分析】（1）根据题意可知是原方程的解，则把代入原方程中求出m的值，进而解方程求出的长，再根据平行四边形周长计算公式求解即可； （2）根据题意可知原方程有两个相等的实数根，则利用判别式求出m的值，进而解方程求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵的两边，的长是关于的一元二次方程的两个实数根，且， ∴， ∴， ∴原方程为， ∴， 解得或， ∴， ∴的周长为； （2）解：∵，四边形是菱形， ∴， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴，即， ∴， ∴原方程为， ∴， 解得， ∴，即菱形的边长为． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的解的定义，根的判别式，菱形的性质和平行四边形的性质，熟知相关知识是解题的关键． 10．(24-25九上·山东威海荣成16校联盟·期中)已知：y关于x的函数表达式为 (1)求证：不论k 为何值，该函数的图象与x轴总有交点． (2)不论k为何值，该函数的图象一定经过两个定点，请直接写出这两个定点坐标． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查的是抛物线与轴的交点，二次函数的性质； （1）当时，方程的，据此判断即可； （2）把解析式整理成，求得方程的解，即可求解． 【详解】（1）证明：y关于x的函数表达式为，当时，得方程， ∴， ∴方程总有实数根， ∴不论k 为何值，该函数的图象与x轴总有交点． （2）解：， ∴当时，与无关，过定点， 此时， 当时，，过定点； 当时，，过定点； 综上所述，两个定点坐标，． 11．(24-25九上·山东青岛青岛大学附属中学·期中)已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的一个根为，求该方程的另一个根及的值． 【答案】(1) (2)，另一根为 【分析】本题考查根与系数的关系、根的判别式，解答本题的关键是明确题意，利用根与系数的关系解答． （1）根据题意可知，，然后求解即可； （2）根据根与系数的关系，可以先求出方程的另一个根，然后即可计算出的值 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根， 解得， 即的取值范围为； （2）解：设该方程的另一个根为， 则， 解得， 解得， 即，该方程的另一个根是． 12．(24-25九上·山东临沂兰山区·期中)已知关于的一元二次方程． (1)证明：无论取何值，此方程总有两个实数根； (2)若方程有两个不相等的实数根分别为，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)或3 【分析】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，解决本题的关键是掌握根与系数的关系． （1）根据方程的系数结合根的判别式可得出，进而可证出：无论k为何实数，方程总有两个实数根； （2）根据根与系数的关系可得出，结合，即可得出关于k的方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）证明：方程中， ， 无论取何值，此方程总有两个实数根． （2）解：， ． ， 解得， 当时，方程有两个不相等的实数根，即， 的值为或3． 13．(24-25九上·山东德州夏津县·期中)已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． (1)求，（用含的式子表示）； (2)已知，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）根据一元二次方程根与系数的关系，得出，，将变形为，代入计算即可，由一元二次方程根的定义可得，即得，进而可得； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，得出，，把方程变形为，代入得，可得或，再根据根的判别式进行取舍即可． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和， ∴，， ∴， ∵关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴一元二次方程为或， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴． 14．(24-25九上·山东济南章丘区·期中)已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根 (1)求m的取值范围． (2)若，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系、根的判别式． （1）根据一元二次方程有两个不相等实数根可得，可得关于m的不等式，求解即可； （2）利用根与系数的关系可得，，再整体代入求解即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程中，，，， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得； （2）解：由一元二次方程根与系数的关系可得，， ， ∵， ∴， 解得：， ∵由（1）得， ∴舍去， ∴． 15．(24-25九上·山东青岛即墨区·期中)计算 (1)（配方法）； (2)； (3)关于x的一元二次方程有两个实数根． ①求m的取值范围； ②若m取最大整数，求此方程的根． 【答案】(1) (2) (3)①，且；② 【分析】本题主要考查解一元二次方程，根的差别式心腹 一元二次方程的解，灵活选用二次方程的解法是解答本题的关键． （1）方程运用配方法求解即可； （2）方程运用因式分解法求解即可； （3）①根据判别式的意义得到，且，然后解不等式即可； ②由①得的最大整数，代入方程，再求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ∴； （2）解：， , ， ∴； （3）解：①∵关于x的一元二次方程有两个实数根． ∴，且， 解得，，且； ②由①知，的最大整数为0， 所以，把代入方程得， ， 解得，． 地 城 考点04 解一元二次方程-公式法 一、填空题 1．(24-25九上·山东临沂沂水县·期中)关于的一元二次方程根的判别式的值是，则此方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法．首先根据方程的根的判别式的值是，可知方程有两个不相等的实数根，再利用公式法可以求出方程的两个根． 【详解】解：的根的判别式的值是， ， 方程有两个不相等的实数根， ， 解得：，． 故答案为：， ． 二、解答题 2．(24-25九上·山东临沂临沭县·期中)解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查了解一元二次方程．解一元二次方程的方法有配方法，公式法，因式分解法等． （1）用公式法解一元二次方程； （2）通过移项，用因式分解法解一元二次方程； 【详解】（1）解：， ，，， ， ∴， ∴，； （2）解：， 整理得，即， 因式分解得， ∴，， 解得：，． 3．(24-25九上·山东济南平阴县·期中)古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如的方程的图解法是：如图，以和b为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的解． (1)请用含字母a、b的代数式表示的长； (2)请利用你已学的知识说明该图解法的正确性，并说说这种解法的遗憾之处． 【答案】(1) (2)正确性：的长就是方程的正根；遗憾之处：图解法不能表示方程的负根 【分析】该题主要考查了解一元二次方程，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）先根据勾股定理求得的长，再求的长； （2）正确性：形象直观；遗憾之处：图解法不能表示方程的负根． 【详解】（1）解：∵ ， ， ． （2）解：用求根公式求得 ． 正确性： 的长就是方程的正根． 遗憾之处：图解法不能表示方程的负根． 4．(24-25九上·山东枣庄山亭区·期中)解下列方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法，并能灵活运用是解题关键． （1）运用公式法求解即可； （2）运用公式法求解即可； 【详解】（1）解： ， ， ， ． （2）解：可化为， ， ， ， ． 5．(24-25九上·山东青岛·期中)解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】此题考查了解一元二次方程公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键． （1）整理为一般形式，找出，，的值，代入求根公式计算即可求出解； （2）整理为一般形式，找出，，的值，代入求根公式计算即可求出解．． 【详解】（1）解： 方程整理得：， 这里，，， ， ， 解得：，； （2）解： 方程整理得：， 这里，，， ， ， 解得：，． 地 城 考点05 解一元二次方程-因式分解法 一、单选题 1．(24-25九上·山东济南章丘区·期中)硕硕和鹏鹏一起解一道一元二次方程题，硕硕看错了一次项系数，解得方程的两个根为和，鹏鹏看错了常数项，解得方程的两个根为和．则原方程正确的解为（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查根与系数关系，一元二次方程的一般式，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程组解决问题； 设一元二次方程为，构建方程组求出，，即可求解； 【详解】解：设一元二次方程为， 由题意得：， ， 方程为， ， 或， 解得：，； 故选：C 二、填空题 2．(24-25九上·山东德州宁津县齐河三中教育集团·期中)一个三角形的两边长分别为5和8，第三边长是方程的根，则三角形的周长为 ． 【答案】22 【分析】本题考查了解一元二次方程，三角形三边的关系等知识，正确求解一元二次方程是解题的关键；先求出一元二次方程的两个解为，再结合三角形三边关系判断所求的第三边是已知两边是否构成三角形，若是求出三角形周长即可． 【详解】解：， 方程左边分解因式得：， 解得：； 当时，由于，不符合构成三角形的条件； 当时，，符合构成三角形的条件，即三角形三边为5，8，9； 其周长为； 故答案为：22． 3．(24-25九上·山东济宁微山县·期中)写出一个一元二次方程 ，使它有两个不相等的实数根，且其中一个根是1． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟悉掌握因式分解法是解题的关键． 假设方程的另一个根为，利用因式分解法得出方程即可． 【详解】解：∵方程的其中一个根是，假设方程的另一个根为， 则由题意可得：， 故答案为：（答案不唯一）． 三、解答题 4．(24-25九上·山东青岛城阳区·期中)如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的10倍，那么我们把这样的方程定义为“十美方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“十美方程”．根据上述定义，请判断一元二次方程是否为“十美方程”，并说明理由． 【答案】不是“十美方程”，理由见解析 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，利用因式分解法求出原方程的两个实数根是解题的关键，再结合“十美方程”的定义，即可得出一元二次方程不是“十美方程”． 【详解】解：一元二次方程不是“十美方程”，理由如下： ， ， 或， 解得：，， ，，，， 一元二次方程不是“十美方程”． 5．(24-25九上·山东济宁梁山县·期中)解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程，准确进行计算． （1）用因式分解法解方程即可； （2）用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ∴或， ∴，； （2）解： ， ∴或， ∴， 6．(24-25九上·山东日照北京路中学·)解一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）首先将方程整理为一般式，然后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1） 或 解得，； （2） 方程整理得， 或 解得，． 7．(24-25九上·山东临沂沂南县·期中)解方程： (1)； (2)以下是某同学解方程的过程： 解：方程两边因式分解，得，（第一步） 方程两边同除以，得，（第二步） ∴原方程的解为．（第三步） ①上面的运算过程第__________步出现了错误． ②请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)， (2)①二；②解答过程见解析 【分析】（）把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可； （）①时，两边除以无意义，据此可判断求解；②把右式移到左边，利用因式分解法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：①上面的运算过程第二步出现了错误， 故答案为：二； ②解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 8．(24-25九上·山东德州德城区·期中)如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； (2)已知关于的一元二次方程（是常数）是“邻根方程”，求的值． 【答案】(1)是 (2)或 【分析】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义，本题属于中等题型． （1）根据解一元二次方程的方法求出已知方程的两个根，再计算两根的差是否为1，从而确定方程是否为“邻根方程”； （2）先解方程求得其根，再根据新定义列出关于的方程，注意有两种情况． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∵， ∴是“邻根方程”． （2）解：， ∴， ∴， 由题意得：或， 解得：或． 9．(24-25九上·山东临沂郯城县·期中)解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）先移项，然后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， 或， 解得：，； （2）解：， ， ， 或， 解得：，． 10．(24-25九·山东济宁嘉祥县第五中学·期中)解一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， 或， 解得：，； （2）解：， ， ， 或， 解得：，． 地 城 考点06 一元二次方程的根与系数的关系 一、单选题 1．(23-24九上·山东济宁金乡县教育教学研究中心·期中)如果，是两个不相等实数，且满足，，那么等于（    ） A．2 B．6 C． D．－2 【答案】B 【分析】本题考查根与系数的关系，根据，，得到，是一元二次方程的两个实数根，进而得到，再将变形求值即可．解题的关键是构造一元二次方程． 【详解】解：由题意，得：，是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴； 故选B． 二、填空题 2．(23-24九上·山东枣庄薛城区·期中)如果是关于的一元二次方程的两个实数根，则= ． 【答案】/1.5/ 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若为方程的两个根，则与系数的关系式：，．先利用根与系数的关系求出和的值，然后把通分后代入计算即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． 故答案为：． 3．(23-24九上·山东聊城莘县多校·期中)若方程的两根分别为，，则点关于原点对称的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形以及一元二次方程的根与系数的关系：，代入数值，求出的值，据此即可作答． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两根分别为，． ∴， 解得， 则点， ∴点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 4．(24-25九上·山东青岛即墨区·期中)一元二次方程的两根分别是2和，则这个一元二次方程是 ．（写出一个符合要求的方程即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键，本题答案不唯一，符合题意即可．利用根与系数的关系写出一个符合题意的方程即可． 【详解】解：设该一元二次方程为，它的两个根分别为，， 则，， 则， 那么该方程为：， 故答案为：（答案不唯一）． 5．(24-25九上·山东临沂郯城县·期中)设方程的两个根为，那么的值等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【详解】由题知， 因为方程的两个根为， 所以， 所以， 故答案为：． 6．(24-25九·山东济宁嘉祥县第五中学·期中)设是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得，再根据完全平方公式的变形求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 7．(24-25九上·山东济宁微山县·期中)已知方程的两根分别为，，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，由题可得，，然后把代数式化简为整体代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两根， ∴，， ∴， 故答案为：0． 三、解答题 8．(23-24九上·山东菏泽东明县·期中)已知、是方程的两个实数根，求下列各代数式的值． (1)； (2)； 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．熟记相关结论即可．若一元二次方程的两个根为，则． （1）根据即可求解； （2）根据即可求解． 【详解】（1）解：∵、是方程的两个实数根， ∴，． （2）解： 9．(23-24九上·山东枣庄山亭区·期中)已知，关于x的一元二次方程． (1)若是该方程的一个根，求k的值及另一个根； (2)若该方程有两个实数根，若，求k的值； 【答案】(1)，另一个根为 (2) 【分析】本题考查了根的判别式； （1）把代入方程得到关于k的一次方程，然后解此一次方程即可； （2）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后根据，代入计算即可． 【详解】（1）将代入得 解方程得： 故关于x的一元二次方程为： 则方程的另一个根为 故，另一个根为 （2）∵ ∴ ∵有两个实数根 ∴ 解之得： 故k的取值范围是且 ∵，， ∴ ∴， 或， ∵ 且， ∴不符合题意，舍去， ∴． 10．(23-24九上·山东潍坊高密·期中)已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)如果方程两根的和比两根的积大1，求的值； (3)若的两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为2，当是等腰三角形时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3)或 【分析】本题考查根与系数的关系、根的判别式，解一元二次方程， （1）只要计算出即可； （2）根据题意得到，解方程即可求得的值； （3）求出方程的解，根据是等腰三角形性质即可求得． 【详解】（1）证明：∵， ∴方程有两个不相等的实数根． （2）设方程两根是则，． ∵方程两根的和比两根的积大1 ∴ 解得或 （3）由（1）知，，的长至少有一个为． 当时，原方程为：， 即，解得：，． 当时，原方程为． ∴． 此时，三边、、能围成等腰三角形， 当时，原方程为， 解得：． 此时，三边、、能围成等腰三角形， ∴或． 11．(23-24九上·山东临沂郯城县·期中)已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)方程的两个实数根分别为，，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系． （1）根据方程有实数根，得到，进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，得到代入，进行求解即可． 熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系以及根与系数的关系，是解题的关键． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实根， ， ； （2）方程的两个实数根分别为，， ， ， ， ，解得，符合题意． 故所求的值为． 12．(24-25九上·山东潍坊诸城·期中)已知关于x的一元二次方程． (1)当是方程的一个根时，求方程的另一个根； (2)若，是方程的两个不相等的实根，且，满足，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程解的定义，解一元二次方程等等，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键． （1）直接根据根与系数的关系求出另一个根即可； （2）根据根与系数的关系得到，再利用判别式求出，结合已知条件推出，即， 解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设另一个根为，则， 解得 ∴另一个根为； （2）解：由题意得：， 同时满足即， ∴， ∵，． ∴ ∴， 解得， ∴的值为． 2 / 39 1 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $