14.2.4 用“HL”判定直角三角形全等 课件- 2025-2026学年人教版数学八年级上册

2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册 14.2.4用“HL”判定直角三角形全等 第十四章 全等三角形 授课教师： 阿老师 . 班 级： 托克逊县第一中学8（11）班 . 时 间： 2025.09 . 学习重点：会用“HL”判定直角三角形全等. 学习难点：探索直角三角形全等的判定方法. 学习目标 导入新知 小明去公园玩,在公园看到了如下两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,小明说只要测量出左边滑梯AB的长度就可以知道右边滑梯有多高了,小明的说法正确吗? 情景导入 对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了？ A B C A' B' C' 探究新知 知识点 用“HL”判定直角三角形全等 ①一条直角边和一锐角分别相等 ②斜边和一锐角分别相等 ASA 或AAS A B C A' B' C' AAS A B C A' B' C' 探究新知 知识点 用“HL”判定直角三角形全等 ③两直角边分别相等 SAS A B C A' B' C' 如果满足斜边和一条直角边分别相等呢？能证明全等吗？ A B C A' B' C' 探究新知 C' A' B' C A B 如图，在△ABC 和△A'B'C' 中，∠C =∠C′ = 90°，A′B′ = AB，B′C′ = BC. 这两个三角形全等吗？ 探究5 探究新知 如图，由 ∠C =∠C′ = 90°可知： ①点 C 与点 C' 重合，射线 C'A' 与射线 CA 重合，那么射线 C'B' 与射线 CB 重合. ② 由B'C' = BC ，可知点 B' 与点 B 重合. C' A' B' C A B (C') (B') 探究新知 接下来讨论射线 CA 上除点 C，A 外的点与点 B 的连线和边 AB 的大小关系. C A B (C') (B') ① 设点 M 在直角边 AC (不包括端点)上，连接 BM，则∠BMA ＞∠C，∠BMA是钝角． ② 若过点 M 且垂直于 BM 的直线与线段 AB 相交于点 M′，则有 AB ＞ BM′ ＞ BM． M 外角的性质 M' 垂线段最短 探究新知 ③ 设点 N 在线段 CA 的延长线上，连接 BN，同理可得 BN ＞ AB． ④ 因此，在射线 CA 上，与点 B 的连线长度等于 AB 的点只有一个. ⑤再由点 A′ 在射线 CA 上， A′B′ = AB，可知点 A′与点 A 重合． C A B (C') (B') M M' N 在点 A 下方时，长度 < AB；在点 A 上方时，长度 > AB. (A') 探究新知 C A B (C') (B') a. 设点 N 在线段 CA 的延长线上，连接 BN，则∠BNA ＜∠BAC，∠BNA是锐角． b. 若过点 A 且垂直于 AB 的直线与线段 BN 相交于点 N′，则有 AB ＜ BN′ ＜ BN． N N' 外角的性质 垂线段最短 探究新知 △A'B'C' 的三个顶点与△ABC 的三个顶点分别重合. △A'B'C' 与△ABC 能够完全重合. △A'B'C'≌△ABC C A B (C') (B') (A') 在今后的学习中，我们将用勾股定理证明这个判定方法. 探究新知 斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”） 如图，在Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′ 中， ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ （HL） A′B′ = AB，BC = B′C′， 几何语言： C A B C' A' B' 探究新知 （第1题） 1. 母题教材P43练习 如图， ，， ，根据“ ”证明 ，则还要添 加的条件是( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 14 （第2题） 2. ［2025江门月考］如图， 于点 ，于点，若 ，且 ，则 的度数是( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 15 （第3题） 3. 两个同样大小的直角三角尺按如图所 示的方式摆放，其中两条一样长的直角 边交于点，另一直角边， 分别落 在的边和上，且 ， 作射线，则在说明为 的平分 线的过程中，证全等的依据是( ) C A. B. C. D. 考试考法 16 如图，在Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′ 中， ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ （HL） A′B′ = AB，BC = B′C′， 几何语言： C A B C' A' B' 注意 ①“H”代表斜边，“L”代表直角边. 顺序不要混淆 ②“HL”是判定直角三角形全等的特有方法，两个“△”前要加“Rt”. 探究新知 例 6 如图， AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为 C，D，AC = BD. 求证 BC = AD. 教材P42 例题 AC⊥BC，BD⊥AD，公共边AB ，AC = BD Rt△ABD≌Rt△BAC. C D B A 探究新知 证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠C =∠D = 90°. 教材P42 例题 ∴Rt△ACD ≌Rt△ABE （HL） AB = BA， AC = BD， ∴ BC = AD . C D B A 在 Rt△ABC 和Rt△BAD 中， 探究新知 归纳：两个直角三角形全等的判定思路 已知 可选方法 寻找对应相等的条件 一锐角（A） 斜边（H/S） ASA 直角与已知锐角的夹边 AAS 已知锐角(或直角)的对边 HL 一直角边 一锐角 AAS 探究新知 已知 可选方法 寻找对应相等的条件 一 直角边（L/S） HL 斜边 ASA 已知边相邻的锐角 AAS 已知边所对的锐角 SAS 另一直角边 探究新知 3. 如图，C 是路段 AB 的中点，两人从 C 同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达 D，E 两地，且 DA⊥AB，EB⊥AB. D，E 到路段 AB 的距离相等吗？为什么？ A B C D E 教材P43练习 第1题 课堂练习 随堂演练 教材P43练习 第1题 解：D，E 到路段 AB 的距离相等. 理由： ∵C是路段 AB 的中点，∴AC = BC. 又两人同时同速度出发， 并同时到达D，E 两地，∴CD = CE. 又 DA⊥AB，EB⊥AB，∴∠A =∠B = 90°. 在Rt△ACD 和 Rt△BCE 中， A B C D E AC = BC， CD = CE， ∴Rt△ACD ≌ Rt△BCE(HL). ∴DA = EB. 即 D，E 到路段 AB 的距离相等. 课堂练习 随堂演练 教材P43练习 第2题 4. 如图，AB = CD，AE ⊥ BC，DF ⊥ BC，垂足分别为 E，F，CE = BF. 求证 AE = DF. A B C D E F 课堂练习 教材P43练习 第1题 证明: ∵CE = BF， ∴CE – EF = BF – EF，即 CF = BE. 又 AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠DFC =∠AEB = 90°. 在 Rt△DFC 和 Rt△AEB 中， DC = AB， CF = BE， ∴Rt△DFC ≌ Rt△AEB(HL). ∴AE = DF. A B C D E F 课堂练习 1.如图，M 是 AB 的中点，∠AMC =∠BMD，MC = MD. 求证：AC = BD. 【教材P43习题14.2 第1题】 复习巩固 证明：∵M 是 AB 的中点， ∴AM = BM. AM = BM， ∠AMC =∠BMD， MC = MD， 在△ACM 和△BDM 中， ∴ △ACM ≌△BDM（SAS） ∴ AC = BD . 课堂练习 2. 如图，AB = AC，AD = AE，求证∠B =∠C. 【教材P43习题14.2 第2题】 证明：在△ABE 和△ACD 中， AB = AC， ∠A =∠A， AE = AD， ∴△ABE≌△ACD (SAS). ∴∠B =∠C. 课堂练习 3. 如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）. 在图中，要测量工件内槽宽 AB，只需要测量哪些量？为什么？ 【教材P43习题14.2 第3题】 解：要测量工件的槽宽，只需要测量两根钢条的另两个端点 A'与 B' 之间的距离即可. 理由： 如图，连接A'B'. 课堂练习 ∵O 是两根钢条的中点， ∴OA = OA'，OB = OB'. 在△AOB 和△A'OB' 中， OA = OA'， ∠AOB =∠A'OB'， OB = OB'， ∴△AOB≌△A'OB'（SAS）. ∴工件内槽宽 AB = A'B'. 课堂练习 4. 如图，∠1 =∠2，∠3 =∠4. 求证 AC = AD. 【教材P44习题14.2 第4题】 证明：∵∠3 =∠4，∴∠ABD =∠ABC. 在△ABD 和△ABC中， ∠1 =∠2， AB = AB， ∠ABD =∠ABC， ∴△ABD≌△ABC（ASA）. ∴AC = AD. 课堂练习 5. 如图，∠1 =∠2，∠B =∠D. 求证 AB = CD. 【教材P44习题14.2 第5题】 证明：在△ABC 和△CDA 中， ∠1 =∠2， ∠B =∠D， AC = CA， ∴△ABC≌△CDA（AAS）. ∴AB = CD. 课堂练习 6. 如图，从 C 地看 A，B 两地的视角∠C 是锐角，C 地与 A，B 两地的距离相等. A 地到路段 BC 的距离 AD 与 B 地到路段 AC 的距离 BE 相等吗？为什么？ 【教材P44习题14.2 第6题】 课堂练习 解：AD = BE. 理由： ∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADC =∠BEC = 90°. 又 C 地与 A，B 两地的距离相等，∴AC = BC. 在△ACD 和△BCE 中， ∠ADC =∠BEC， ∠C = ∠C， AC = BC， ∴△ACD≌△BCE（AAS）.∴AD = BE. 课堂练习 7. 如图，AB = AD，AC = AE，BC = DE. 求证∠BAC = ∠DAE. 【教材P44习题14.2 第7题】 证明：在△ABC 和△ADE 中， AB = AD， AC = AE， BC = DE， ∴△ABC≌△ADE（SSS）. ∴∠BAC =∠DAE. 课堂练习 8. 如图，在一个平分角的仪器中，AB = AD，BC = DC. 将点 A 放在角的顶点，AB 和 AD 沿着角的两边放下，沿 AC 画一条射线 AE，AE 就是这个角的平分线 . 你能说明它的道理吗？ 【教材P44习题14.2 第8题】 课堂练习 解：在△ABC 和△ADC 中， AB = AD， BC = DC， AC = AC， ∴△ABC≌△ADC（SSS）. ∴∠BAC =∠DAC. ∴AE 就是这个角的平分线. 课堂练习 9. 如图，点 C 在∠AOB 的边 OB 上 . 利用直尺和圆规过点 C 作射线 OA 的平行线 CD. 【教材P44习题14.2 第9题】 解：如图所示. 课堂练习 10. 如图，已知△ABC. 利用直尺的圆规作△ABD，使∠BAD = ∠BAC，AD = AC（点D与点C在 AB的不同侧）. 【教材P44习题14.2 第10题】 解：如图所示. 课堂练习 11. 如图，在△ABC 中，AB = AC，AD 是高 . 求证：BD = CD，∠BAD = ∠CAD. 【教材P45习题14.2 第11题】 在 Rt△ADB 和 Rt△ADC 中， AB = AC， AD = AD， ∴Rt△ADB≌Rt△ADC（HL）. 证明：∵AD 是△ABC 的高，∴∠ADB =∠ADC = 90°. ∴BD = CD，∠BAD =∠CAD. 课堂练习 12. 如图，AC⊥CB，DE⊥CB，垂足分别为 C，B，AB = DC. 求证∠ABD =∠ACD. 【教材P45习题14.2 第12题】 在 Rt△ACB 和 Rt△DBC 中， AB = DC， CB = BC， ∴Rt△ACB≌Rt△DBC（HL）. 证明：∵AC⊥CB，DB⊥CB，∴∠ACB =∠DBC = 90°. ∴∠ABC =∠DCB. ∴∠ABD =∠ACD（等角的余角相等）. 课堂练习 13. 如图，点 B，E，C，F 在一条直线上， AB = DE，AC = DF，BE = CF. 求证∠A = ∠D. 综合运用 【教材P45习题14.2 第13题】 课堂练习 证明：∵ BE = CF， ∴BE + EC = CF + EC，即 BC = EF. 在△ABC 和△DEF 中， AB = DE， AC = DF， BC = EF， ∴△ABC≌△DEF（SSS）.∴∠A =∠D. 课堂练习 14. 如图，AC 和 BD 相交于点 O，OA = OC，OB = OD. 求证 AB // CD. 【教材P45习题14.2 第14题】 证明：在△AOB 和 △COD 中， OA = OC， ∠AOB =∠COD， OB = OD， ∴△AOB≌△COD（SAS）. ∴∠A =∠C. ∴AB // DC. 课堂练习 15. 如图，点B，F，C，E在一条直线上，FB = CE，AB // DE，AC // DF. 求证：AB = DE，AC = DF. 【教材P45习题14.2 第15题】 课堂练习 证明：∵AB // DE，AC // DF， ∴∠B =∠E，∠ACB =∠DFE. ∵FB = CE，∴FB + FC = CE + FC，即 BC = EF. 在△ABC 和△DEF 中， ∠B = ∠E， BC = EF， ∠ACB =∠DFE， ∴△ABC≌△DEF（ASA）. ∴AB = DE，AC = DF. 课堂练习 16. 如图，△ABC ≌ △A′B′C′，AD，A′D′分别是△ABC，△A′B′C′ 的对应角的平分线 . 求证 AD = A′D′. 【教材P45习题14.2 第16题】 课堂练习 证明：∵△ABC≌△A'B'C'， ∴ AB = A'B'，∠B =∠B'，∠BAC =∠B'A'C'. ∵AD，A'D' 分别是∠BAC，∠B'A'C' 的平分线， ∴∠BAD = ∠BAC，∠B'A'D' = ∠B'A'C'. ∴∠BAD =∠B'A'D'. 在△ ABD 和 △A'B'D' 中， ∠B = ∠B'， AB = A'B'， ∠BAD =∠B'A'D'， ∴△ABD≌△A'B'D'（ASA）.∴AD = A'D'. 课堂练习 17. 如图， D 是 AB 上一点，DF 交 AC 于点 E，DE = FE，FC // AB. AE 与 CE 有什么关系？证明你的结论. 拓广探索 【教材P46习题14.2 第17题】 课堂练习 解：AE = CE. 证明：∵FC // AB，∴∠A =∠ECF. 在△ADE 和 △CFE 中， ∠A =∠ECF， ∠AED =∠CEF， DE = FE， ∴△ADE≌△CFE（AAS）.∴AE = CE. 课堂练习 18. 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D是 BC 的中点，点 E在 AD上 . 找出图中的全等三角形，并证明它们全等 . 【教材P46习题14.2 第18题】 解：△ABD≌△ACD，△ABE≌△ACE，△BDE≌△CDE. 课堂练习 证明：∵AB=AC，点 D 是 BC 的中点， ∴BD = CD. 在△ABD 和 △ACD 中， AB = AC， AD = AD， BD = CD， ∴△ABD≌△ACD（SSS）. ∴∠ADB =∠ADC， 即∠BDE =∠CDE. 课堂练习 在△BDE 和△CDE 中， BD = CD， ∠BDE =∠CDE， DE = DE， ∴△BDE≌△CDE（SAS）.∴BE = CE. 在△ABE 和 △ACE 中， AB = AC， AE = AE， BE = CE， ∴△ABE≌△ACE（SSS）. 课堂练习 斜边、 直角边 内容 前提条件 探索方法 斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等 在直角三角形中 依次说明三角形的三个顶点重合 用“HL”判定两个直角三角形全等 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看！ $