精品解析：云南省昆明市富民县昆明行知中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试题

昆明行知中学九月月考 数学学科试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码； 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设复数，，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的加法运算求，再结合复数的几何意义分析判断. 【详解】因为，，则， 所以在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限. 故选：B. 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据绝对值不等式的解法、分式不等式的解法，结合集合交集的定义进行求解即可. 【详解】因为，， 所以， 故选：C 3. 若，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】， 因为，所以，所以， 当且仅当，即时等号成立， 故最小值为6， 故选：C 4. 如图，在四面体中，，，，点在上，点在上，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】连接，如图所示： . 故选：A 5. 投篮测试中，每人投2次，至少投中1次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ） A. 0.24 B. 0.48 C. 0.84 D. 0.94 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对立事件及相互独立事件的概率公式计算即得. 【详解】依题意，该同学两次投篮都不中的概率为， 所以该同学通过测试的概率为. 故选：C 6. 已知平面向量满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得，然后由投影向量计算公式可得答案. 【详解】计算可得， 由，两边平方化简，得， 则在上的投影向量为. 故选：A. 7. 已知为任意角，若满足，则（       ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将看成一个整体，化简，即可根据正切的二倍角公式求出． 【详解】由， 可得 . 故选：B. 8. 牛皮鼓，又称堂鼓、喜庆鼓，多用于江南祠堂内婚嫁迎娶和迎新年等.牛皮鼓的制作工艺考究，有数十道工序，包括处理牛皮、创制鼓腔、蒙皮、拉皮、钉钉，每道工序都考验着手艺人的技艺和耐心.如图所示的牛皮鼓的鼓面直径为，鼓身高度为，用平行于鼓面的平面截牛皮鼓，所得截面圆的最大直径为，若将该牛皮鼓看成由两个相同的圆台拼接而成，忽略鼓面与鼓身的厚度，则该牛皮鼓的表面积为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据圆台知识求母线，再计算底面面积和侧面积，然后根据图像确定牛皮鼓的表面是由圆台的侧面和上底面构成计算即可. 【详解】依题意可得：圆台上底面半径为，圆台下底面半径为，高为， 所以母线长为， 故圆台的上底面面积即牛皮鼓的鼓面面积为， 圆台侧面积为， 该牛皮鼓的表面积为两个圆台的侧面积加上两个圆台的上底面面积即牛皮鼓的鼓面面积为. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知平面向量，，，下列说法正确的有（ ） A. 若，，则 B. C. D. 若且，，则与垂直 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：根据数量积的定义以及向量数乘分析判断；对于C：根据向量模长的三角不等式分析判断；对于D：根据数量积的运算律结合向量垂直分析判断. 【详解】对于选项A：当时，满足，，但不一定成立，故A错误； 对于选项B：因为是实数，可知表示与共线的向量； 同理表示与共线的向量，所以等式不一定相等，故B错误； 对于选项C：因为，故C正确； 对于选项D：因为，则， 即，整理可得， 即，所以与垂直，故D正确； 故选：CD. 10. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是的一个周期 B. 的图象关于直线对称 C. 的一个零点为 D. 在区间上单调递减 【答案】AC 【解析】 【分析】化简的解析，根据三角函数的周期性、对称性、零点、单调性等知识求得正确答案. 【详解】因为函数，所以它的一个周期为，故A正确； 令，求得，故B错误； ，令， 求得，故的一个零点为，故C正确； 当时，，而函数在上单调递减， 在上单调递增，所以在上没有单调性，故D错误． 故选：AC． 11. 已知正方体中，，，，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则点到直线的距离为 C. 若平面，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，对A，求出的坐标，再利用模长公式，即可求解；对B，利用点到直线距离的向量法，即可求解；对C，根据条件求出和平面法向量，结合条件，即可求解；对D，利用向量的垂直表示，即可求解. 【详解】如图所示，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 因为，则， 所以，又，， 则，，得到，， 对于选项A，若，，则，，， ，所以A正确， 对于选项B，由选项A知，，所以，， 所以点到直线的距离，故B正确， 对于选项C，因为， 易知平面的一个法向量为， 又平面，所以， 即，得到，所以C正确， 对于选项D，，， 得到，所以选项D错误， 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 样本数据2，3，5，8，11，14，15，17的第25百分位数是___________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据百分位数计算公式计算即可. 【详解】这组样本数据共8个数，而且已经从小到大排列，由， 可知这组数据的第25百分位数是. 故答案为：4. 13. 手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力，使学生在德、智、体、美、劳各方面得到全面发展，某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一个直三棱柱和一个长方体的组合图形，其直观图如图所示，，，P，Q，M，N分别是棱AB，，，的中点，则异面直线PQ与MN所成角的余弦值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，求出，利用向量关系即可求出. 【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系， 因为，， 所以可得， 所以， 所以， 所以异面直线PQ与MN所成角的余弦值是. 故答案为：. 14. 已知函数，且关于的方程有且仅有一个实数根，那实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用数形结合的方法，将方程根的问题转化为函数图象交点的问题，观察图象即可得到结果. 【详解】作出的图象，如下图所示： ∵关于的方程有且仅有一个实数根， ∴函数的图象与有且只有一个交点， 由图可知， 则实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量． （1）若，求实数； （2）若向量与所成角为锐角，求实数的范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的坐标运算及向量平行的坐标表示即可求解； （2）根据已知条件及（1）的结论，利用数量积为正求出的范围，再去掉两向量共线的情形即可. 【小问1详解】 因为， 所以，， 因为， 所以，解得. 【小问2详解】 由（1）知，，， 因为向量与所成角为锐角， 所以，解得， 又当时，， 所以实数的范围为. 16. 在中，角，，的对边分别是，，，． （1）求角的大小； （2）若，，求，的长． 【答案】（1）；（2）；． 【解析】 【分析】（1）首先利用正弦定理对题中所给的式子进行变形，整理得到，即可求得结果； （2）代入条件可直接求出，再由余弦定理可求出c. 【详解】（1）由及正弦定理， 得， 又，所以， 因为，所以； （2）由，，， 得，解得, 由余弦定理，得，， 即．解得或， 又，，所以． 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理，余弦定理，已知三角函数值求角，属于简单题目. 17. 已知函数（，且）. （1）若，求函数在上的值域； （2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）令，，结合二次函数及指数函数的性质求解即可； （2）令，结合指数型复合函数的单调性分、两种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 当时，， 令，， 由二次函数的图象和性质，当时，取得最小值， 当时，，则， 所以，即在上的值域为. 【小问2详解】 令，其图象的对称轴为直线，开口向上， 当时，为减函数， 要使函数在上单调递增， 则需满足在上单调递减，即， 解得，则； 当时，为增函数， 要使函数在上单调递增， 则需满足在上单调递增，即， 解得，则. 综上，实数的取值范围是. 18. 某校高二年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标（正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑）考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示. （1）由频率分布直方图，求出图中的值； （2）为了提升学生的羽毛球技能，校方准备从参加考核的学生中选几人进行技巧分享，现采用分层随机抽样的方法（样本量按比例分配），从得分在内的学生中抽取5人，再从中挑出2人进行分享，求2人得分分别在和内的概率； （3）现已知这40人中考核得分在内的平均数为75，方差为6.25，在内的平均数为85，方差为0.5，求得分在内的平均数和方差. 【答案】（1）； （2）； （3）平均数为81，方差为26.8. 【解析】 【分析】（1）首先根据频率和为1求出； （2）求出各自区间人数，列出样本空间和满足题意的情况，根据古典概型公式即可； （3）根据方差定义，证明出分层抽样的方差公式，代入计算即可. 【小问1详解】 由题意得，，解得. 【小问2详解】 由题意知，抽出的5人中，得分在的有（人），分别设为，， 得分在的有（人），分别设为，，. 则样本空间为，. 设事件“2人得分分别在和内”， 则，， 因此， 所以2人得分分别在和内的概率为. 【小问3详解】 由题意知，落在区间内的数据有（个）， 落在区间内的数据有（个）. 记在区间内的数据分别为，平均数为，方差为； 在区间内的数据分别为，平均数为，方差为；这20个数据的平均数为，方差为. 由题意，，，，， 则， ， 故得分在内的平均数为81，方差为26.8. 19. 如图1，在中，，，分别为边，的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，. （1）求证：平面； （2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上一动点满足，判断是否存在，使二面角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 因为，分别为，的中点，所以. 因为，所以，所以. 又，，平面， 所以平面. （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由中位线和垂直关系得到，，从而得到线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，求出线面角的正弦值； （3）求出两平面的法向量，根据二面角的正弦值列出方程，求出，得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，，，所以，，两两垂直. 以为坐标原点，所在直线分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 依题意有，，，，，， 则，，，. 设平面的法向量， 则有 令，得，，所以是平面的一个法向量. 因为， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 假设存在，使二面角的正弦值为， 即使二面角的余弦值为. 由（2）得，， 所以，，. 易得平面的一个法向量为. 设平面的法向量， ， 解得，令，得， 则是平面的一个法向量. 由图形可以看出二面角的夹角为锐角，且正弦值为， 故二面角的余弦值为， 则有， 即，解得，. 又因为，所以. 故存在，使二面角的正弦值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆明行知中学九月月考 数学学科试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码； 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设复数，，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 4. 如图，在四面体中，，，，点在上，点在上，且，，则（ ） A. B. C. D. 5. 投篮测试中，每人投2次，至少投中1次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ） A. 0.24 B. 0.48 C. 0.84 D. 0.94 6. 已知平面向量满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 已知为任意角，若满足，则（       ） A. B. C. D. 8. 牛皮鼓，又称堂鼓、喜庆鼓，多用于江南祠堂内婚嫁迎娶和迎新年等.牛皮鼓的制作工艺考究，有数十道工序，包括处理牛皮、创制鼓腔、蒙皮、拉皮、钉钉，每道工序都考验着手艺人的技艺和耐心.如图所示的牛皮鼓的鼓面直径为，鼓身高度为，用平行于鼓面的平面截牛皮鼓，所得截面圆的最大直径为，若将该牛皮鼓看成由两个相同的圆台拼接而成，忽略鼓面与鼓身的厚度，则该牛皮鼓的表面积为（    ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知平面向量，，，下列说法正确的有（ ） A. 若，，则 B. C. D. 若且，，则与垂直 10. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是的一个周期 B. 的图象关于直线对称 C. 的一个零点为 D. 在区间上单调递减 11. 已知正方体中，，，，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则点到直线的距离为 C. 若平面，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 样本数据2，3，5，8，11，14，15，17的第25百分位数是___________. 13. 手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力，使学生在德、智、体、美、劳各方面得到全面发展，某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一个直三棱柱和一个长方体的组合图形，其直观图如图所示，，，P，Q，M，N分别是棱AB，，，的中点，则异面直线PQ与MN所成角的余弦值是______． 14. 已知函数，且关于的方程有且仅有一个实数根，那实数的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量． （1）若，求实数； （2）若向量与所成角为锐角，求实数的范围． 16. 在中，角，，的对边分别是，，，． （1）求角的大小； （2）若，，求，的长． 17. 已知函数（，且）. （1）若，求函数在上的值域； （2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围. 18. 某校高二年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标（正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑）考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示. （1）由频率分布直方图，求出图中的值； （2）为了提升学生的羽毛球技能，校方准备从参加考核的学生中选几人进行技巧分享，现采用分层随机抽样的方法（样本量按比例分配），从得分在内的学生中抽取5人，再从中挑出2人进行分享，求2人得分分别在和内的概率； （3）现已知这40人中考核得分在内的平均数为75，方差为6.25，在内的平均数为85，方差为0.5，求得分在内的平均数和方差. 19. 如图1，在中，，，分别为边，的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，. （1）求证：平面； （2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上一动点满足，判断是否存在，使二面角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $