精品解析：河南省信阳市信阳高级中学2025-2026学年高二上学期9月测试（二）数学试题（物理方向）

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高二上期09月测试（二） 数学试题（物理方向） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 2. 已知直线，平面，若，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 在平面直角坐标系中，的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆交于点，其中，则（ ） A. 11 B. C. D. 4. 袋子中有6个大小质地完全相同的球，其中1个黑球，2个白球，3个黄球，从中不放回地随机摸出2个球，能摸到白球的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，分别为角的对边，已知，则（ ） A. 5 B. 8 C. D. 6. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 已知大小为的二面角棱上有两点，，，，，，若，，，则的长为（　　） A. 22 B. 49 C. 7 D. 8. 已知函数，时满足恒成立，且在区间内，仅存在三个数，，，使得，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，其中，为虚数单位，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若为实数，则 D. 若为纯虚数，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则事件A与B是对立事件 B. 设A，B是两个随机事件，且，，若，则A，B是相互独立事件 C. A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小 D. 若，，则“事件A，B相互独立”与“事件A，B互斥”一定不能同时成立 11. 如图，在正方体中，为的中点（ ） A. 平面 B. C. 若正方体的棱长为1，则点到平面的距离为 D. 直线与平面所成角的正弦值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为______． 13. 某学校围棋社团组织高一与高二交流赛，双方各挑选业余一段、业余二段、业余三段三位选手，段位越高水平越高，已知高二每个段位的选手都比高一相应段位选手强一些，比赛共三局，每局双方各派一名选手出场，且每名选手只赛一局，胜两局或三局的一方获得比赛胜利，在比赛之前，双方都不知道对方选手的出场顺序.则第一局比赛高一获胜的概率为________. 14. 在四棱锥中，，，，，，且平面，过点A的平面与侧棱PB，PC，PD分别交于点E，F，G，若四边形为菱形，则______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 近年来，我国居民体重“超标”成规模增长趋势，其对人群的心血管安全构成威胁，国际上常用身体质量指数衡量人体胖瘦程度是否健康，中国成人的数值标准是：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．下面是社区医院为了解居民体重现状，随机抽取了100个居民体检数据，将其值分成以下五组：，，，，，得到相应的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，求的值，并估计该社区居民身体质量指数的样本数据中位数； （2）现从样本中利用分层抽样的方法从，的两组中抽取6个人，再从这6个人中随机抽取两人，求抽取到两人的值不在同一组的概率． 16. 正方体的棱长为2，点、分别是、的中点，求： （1）直线与所成的角的余弦值； （2）点到平面的距离. 17. 记锐角的内角，，的对边分别为，，，已知，. （1）求； （2）求的最大值. 18. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为1的等边三角形，且. （1）求直线和平面所成角的正弦值； （2）在棱上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，并求出的值. 19. 已知函数． （1）若，求的取值范围． （2）记已知函数有个不同的零点． ①若，求的取值范围； ②若，且是其中两个非零的零点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高二上期09月测试（二） 数学试题（物理方向） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过解方程求集合，进而求其补集，再通过交集的定义求解即可. 【详解】方程解得或，故. 故且. 故. 故选：B 2. 已知直线，平面，若，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据面面垂直结合充分、必要条件分析判断. 【详解】因为， 若，由面面垂直的判定定理可知，即充分性成立； 若，则或，即必要性不成立； 综上所述：“”是“”的充分不必要条件. 故选：C. 3. 在平面直角坐标系中，的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆交于点，其中，则（ ） A. 11 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出及，再利用齐次式法求出目标值. 【详解】依题意，，而，解得，因此， 所以. 故选：D 4. 袋子中有6个大小质地完全相同的球，其中1个黑球，2个白球，3个黄球，从中不放回地随机摸出2个球，能摸到白球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用组合计数问题，结合古典概率求解. 【详解】依题意，从袋子里不放回地随机摸出2个球的试验有个基本事件， 能摸到白球的事件含有基本事件个数为， 所以能摸到白球的概率为. 故选：C 5. 在中，分别为角的对边，已知，则（ ） A. 5 B. 8 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设外接圆半径为，根据正弦定理和二倍角公式化简求出，即，再根据余弦定理，求得，即得答案. 【详解】设外接圆半径为，由正弦定理得，， 因为， 所以，即， 即， 在，，， 所以，所以，即， 所以，即，解得或（舍）， 故选：A. 6. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数并确定单调性，再利用单调性比较大小. 【详解】令函数，则， 而函数在R上单调递增，，则， 又，于是， 而函数在上单调递增，，因此， 所以的大小关系是. 故选：B 7. 已知大小为的二面角棱上有两点，，，，，，若，，，则的长为（　　） A. 22 B. 49 C. 7 D. 【答案】C 【解析】 【分析】过作且，连接、，易得，通过线面垂直的判定定理可得平面，继而得到，即可求出答案． 【详解】过作且，连接、， 则四边形是平行四边形， 因为，所以平行四边形是矩形， 因为，即，而， 则是二面角的平面角，即， 因为，即为正三角形，所以， 因为，，即，，，平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以在中，，所以，． 故选：C． 8. 已知函数，时满足恒成立，且在区间内，仅存在三个数，，，使得，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，根据恒成立，得到，不妨取，画出图象，数形结合，利用对称性得到，求出答案. 【详解】时，， 令，则当时，， 故要想在时满足恒成立， 需满足，不妨取， ，， 画出在上的图象，如下： 由图象可知，，， 则， 故， 两式相加得， 所以. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，其中，为虚数单位，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若为实数，则 D. 若为纯虚数，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数模、复数的乘除法运算，结合复数的概率逐项求解. 【详解】对于A，当时，， ，A正确； 对于B，，无解，B错误； 对于C，，由为实数，得，C正确； 对于D，， 由为纯虚数，得且，解得，D错误. 故选：AC 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则事件A与B是对立事件 B. 设A，B是两个随机事件，且，，若，则A，B是相互独立事件 C. A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小 D. 若，，则“事件A，B相互独立”与“事件A，B互斥”一定不能同时成立 【答案】BD 【解析】 【分析】对于AC：举反例说明即可；对于BD：根据独立事件概率乘法公式以及互斥事件的概念分析判断. 【详解】对于选项A：例如样本空间为，事件，， 可得，满足， 但，即事件不对立，故A错误； 对于选项B：因为，，， 满足，所以A，B是相互独立事件，故B正确； 对于选项C：例如样本空间为，事件，， 则A，B同时发生为事件，则； A，B中恰有一个发生为事件，则； 显然，故C错误； 对于选项D：因为，， 若事件A，B相互独立，则，可知事件A，B不互斥； 若事件A，B互斥，则，即，可知事件A，B不相互独立， 所以“事件A，B相互独立”与“事件A，B互斥”一定不能同时成立，故D正确； 故选：BD. 11. 如图，在正方体中，为的中点（ ） A. 平面 B. C. 若正方体的棱长为1，则点到平面的距离为 D. 直线与平面所成角的正弦值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用线线平行可判定A项，利用线面垂直可判定B项，利用等体积法转化可判定C项，利用线面角的定义结合C项结论可判定D项. 【详解】 对于A项，连接BD交AC于O点，连接OE，易知OE为的中位线， 即，∵面，面，∴平面，故A正确； 对于B项，连接，由正方体的性质易知， 又面，∴面， 而面，即，故B正确； 对于C项，由正方体的性质知：点到平面的距离等于点D到平面的距离，设该距离为，若正方体棱长为1，则， ，故C正确； 对于D项，假设D点在面ACE的投影为M，连接AM，则AD与面ACE的夹角为， 由C选项结论可知若正方体棱长为1，则有，故D错误. 故选：ABC 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标运算可求，再结合投影向量的定义运算求解. 【详解】因为，，则， 所以向量在向量上的投影向量为. 故答案为：. 13. 某学校围棋社团组织高一与高二交流赛，双方各挑选业余一段、业余二段、业余三段三位选手，段位越高水平越高，已知高二每个段位的选手都比高一相应段位选手强一些，比赛共三局，每局双方各派一名选手出场，且每名选手只赛一局，胜两局或三局的一方获得比赛胜利，在比赛之前，双方都不知道对方选手的出场顺序.则第一局比赛高一获胜的概率为________. 【答案】 【解析】 【分析】列出所有对阵的基本事件，根据古典概型求解. 【详解】高一参赛业余一段、业余二段、业余三段选手分别记为， 高二参赛业余一段、业余二段、业余三段选手分别记为， 在第一局比赛中，双方对阵的基本事件为：，共9个， 其中第一局比赛高一获胜的基本事件为，，，共3个， 故第一局比赛高一获胜的概率. 故答案为： 14. 在四棱锥中，，，，，，且平面，过点A的平面与侧棱PB，PC，PD分别交于点E，F，G，若四边形为菱形，则______． 【答案】 【解析】 【分析】过作AP的平行线为轴，BC,BA分别为x,y轴，建立空间直角坐标系，求出，，利用求解即可. 【详解】过作AP的平行线为轴，BC,BA分别为x,y轴，如图建系 令，则，，，，， E,F,G分别在PB,PC,PD上，令，， ，， ， ，， ，，， ，， 即. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 近年来，我国居民体重“超标”成规模增长趋势，其对人群的心血管安全构成威胁，国际上常用身体质量指数衡量人体胖瘦程度是否健康，中国成人的数值标准是：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．下面是社区医院为了解居民体重现状，随机抽取了100个居民体检数据，将其值分成以下五组：，，，，，得到相应的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，求的值，并估计该社区居民身体质量指数的样本数据中位数； （2）现从样本中利用分层抽样的方法从，的两组中抽取6个人，再从这6个人中随机抽取两人，求抽取到两人的值不在同一组的概率． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分步直方图中所有矩形面积和为1计算的值，根据中位数左边的频率和为求解中位数即可； （2）根据分层抽样的定义可求得在，分别抽取人和人，再利用列举法即可求得概率. 【小问1详解】 根据频率分步直方图可知组距为，所有矩形面积和为， 所以，解得； 因为，两组频率之和为，而的频率为， 故中位数在之间，设为， 则，解得， 即该社区居民身体质量指数的样本数据中位数为. 【小问2详解】 由频率分步直方图可知的频数为，的频数为， 所以两组人数比值为， 按照分层抽样抽取人，则在，分别抽取人和人， 记这组两个样本编号为，这组编号为， 故从人随机抽取人所有可能样本的构成样本空间： 设事件“从6个人中随机抽取两人，抽取到两人的值不在同一组” 则， 故，即从这6个人中随机抽取两人，抽取到两人的值不在同一组的概率为. 16. 正方体的棱长为2，点、分别是、的中点，求： （1）直线与所成的角的余弦值； （2）点到平面的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的夹角即可求解线线角， （2）根据空间向量即可求解点面距离. 【小问1详解】 建立如图所示的空间直角坐标系，则, 所以, 设直线与所成的角为，则， 【小问2详解】 则， 设平面的法向量为，, 由得取，则， 所以点到平面的距离为 17. 记锐角的内角，，的对边分别为，，，已知，. （1）求； （2）求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式化简，结合正弦定理可得角； （2）根据正弦定理进行边角互化，结合三角函数性质可得最值. 【小问1详解】 由已知， 即， 又在中，， 则， 可得，即， 又由正弦定理可知， 即， 又， 所以； 【小问2详解】 由（1）可得，， 则， 又在中，， 即， 由，，则， 所以当，即时，取最大值为. 18. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为1的等边三角形，且. （1）求直线和平面所成角的正弦值； （2）在棱上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，并求出的值. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）首先求得，然后建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线和平面所成角的正弦值. （2）设，利用二面角的大小列方程，求得，进而求得. 【小问1详解】 分别取CB、CD的中点为F、G，连结OF、OG， ∵为的中点，是边长为1的等边三角形，∴是直角三角形，，，， ∵CB、CD的中点为F、G， ∴，，， ∵，为的中点，∴， 又∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面，是三棱锥底面的高，是直角三角形 ∵，∴， 以O点为坐标原点，分别以OF、OG、OA所在的直线为轴，如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， ∴，，， 设是平面的一个法向量， 则，即， 令，则，，，， ， ∴直线和平面所成角的正弦值等于； 【小问2详解】 在棱上存在点，使二面角的大小为. 设 由（1）知，， ， 是平面的一个法向量， 设是平面的一个法向量，则， 即， 取，，， ∵二面角的大小为， ∴， 即， 整理得，，解得，或（舍去）， 所以，，， 所以，在棱上存在点，使二面角的大小为，. 19. 已知函数． （1）若，求的取值范围． （2）记已知函数有个不同的零点． ①若，求的取值范围； ②若，且是其中两个非零的零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）根据题意，分与代入计算，求解不等式，即可得到结果； （2）（ⅰ）将问题转化为的实根个数问题，然后求得与时，根的个数，从而可得的范围，即可得到结果；（ⅱ）结合（ⅰ）中的结论可得，再由对勾函数的单调性，即可得到结果. 【小问1详解】 由题意得函数的定义域为． 当时，不等式等价于，显然满足条件； 当时，不等式等价于，即， 解得． 综上，的解集为， 即当的取值范围为时，成立． 【小问2详解】 （ⅰ）令 原题可转化为的实根个数问题（二重根为一个零点）． 当时，即为，所以至多一个实根①； 当时，即为，所以至多两个实根②． 由①知，，所以，此时①有一解； 由②知，所以即求的交点个数， 即，为椭圆的一部分，过椭圆的上顶点， 当过点时，；当过点时，； 所以当若或或时，②有一个根或两个相等的根；若或时，②有两个根； 综上所述，当时，的取值范围为. （ⅱ）由（ⅰ）得当时，，且三个零点分别为， 显然，所以． 易得函数在上单调递减，所以， 所以． 【点睛】关键点点睛：本题关键是分段讨论零点个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $