第三章 概率的进一步认识（提升卷）2025-2026学年九年级数学上册北师大版

2025-2026学年九年级数学上册单元检测卷 第三章 概率的进一步认识（提升卷） 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.请从A、B、C、D四个选项中选出你认为的正确的选项） 1．经过某路口的行人，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，现有两人经过该路口，恰好两人都直行的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出恰好两人都直行的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：根据题意画图如下： 共有9种等可能的结果数，其中恰好两人都直行的结果数为1， 所以恰好两人都直行的概率是． 故选：A． 2．在一个不透明的口袋中有红球、白球共10个，它们除颜色外，其余完全相同．通过大量的摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%附近，估算口袋中红球的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查根据频率估算随机事件的概率，根据大量实验，随机事件发生的频率稳定在某个值附近，这个稳定值可以看做是随机事件的发生的概率，由此即可求解，理解并掌握频率估算概率的方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，摸出红球的频率稳定在附近， ∴摸出红球的概率是， ∴， ∴口袋中红球的个数是个， 故选：． 3．2023年12月16日，贵阳市轨道交通三号线正式运营．某校共有1000个学生，随机调查了100个学生，其中有16个学生在三号线开通首日乘坐了地铁三号线．在该校随机问一个学生，他在三号线开通首日乘坐该地铁的概率大约是（    ） A．0.016 B．0.1 C．0.116 D．0.16 【答案】D 【分析】本题考查了用频率根据概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用乘坐三号线地铁的频率估计概率即可． 【详解】解：乘坐三号线地铁的频率为， ∴乘坐三号线地铁的概率大约是0.16； 故选：D． 4．某商场为吸引顾客设计了如图所示的自由转盘，当指针指向阴影部分时，该顾客可获得奖品一份，那么该顾客获奖的概率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了几何概率，根据阴影部分的圆心角占的比例即可得到概率，由此得到答案． 【详解】解：指针指向阴影部分的概率是， ∴该顾客可获得奖品一份，那么该顾客获奖的概率为， 故选：C． 5．“石头、剪刀、布”是我国古老的民间游戏，游戏规定：石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，若两人的手势相同，不分胜负．在学校组织的“共情陪伴，健康同行”亲子运动会上，爸爸和小亮用这种方式决定“打乒乓球”的发球权．从概率的角度思考这个游戏是否公平（    ） A．公平 B．对爸爸有利 C．对小亮有利 D．不能判断 【答案】A 【分析】根据题意列出可能出现的情况，再分别找出两人赢的情况，根据概率公式求出各自的概率，即可解答； 【详解】解：列表： 石头 剪刀 布 石头 （石头，石头） （剪刀，石头） （布，石头） 剪刀 （石头，剪刀） （剪刀，剪刀） （布，剪刀） 布 （石头，布） （剪刀，布） （布，布） 所有等可能的情况有9种，其中小亮获胜的情况有3种，所以小亮获胜的概率是P，爸爸获胜的情况有3种，所以爸爸获胜的概率是P，所以游戏公平； 故选：A． 【点睛】本题考查的是列举法求概率，解题关键是列出可能出现的所有情况用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 6．五一期间，“泰山”、“沂蒙山”、“济南趵突泉”、“青岛崂山”四个旅游景点游人如织．若小明想从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点中有“泰山”的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 列表可得出所有等可能的结果数以及这两个景点中有“沂蒙山”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将这四个景点分别记为A，B，C，D， 列表如下： A B C D A B C D 共有种等可能的结果，其中这两个景点中有“泰山”的结果有：，，，，，，共6种， ∴这两个景点中有“泰山”的概率为． 故选：B． 7．在一次心理健康教育活动中，张老师随机抽取了40名学生进行了心理健康测试，并将测试结果按“健康、亚健康、不健康”绘制成下列表格，其中测试结果为“健康”的频率是（    ）． 类型 健康 亚健康 不健康 数据（人） 32 7 1 A．32 B．7 C． D． 【答案】D 【分析】结合题意，根据频率的定义计算，即可得到答案． 【详解】根据题意，得测试结果为“健康”的频率是 故选：D． 【点睛】本题考查了抽样调查的知识；解题的关键是熟练掌握频率的性质，从而完成求解． 8．如图，是两个各自分割均匀的转盘，同时转动两个转盘，转盘停止时（若指针恰好停在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止），两个指针所指区域的数字和为偶数的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：共15种情况，和为偶数的情况数有7种，所以和为偶数的概率为．故选B． 点睛：考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到所求的情况数是解决本题的易错点． 9．已知酸和碱能发生中和反应，现从氢氧化钠溶液，澄清石灰水，稀盐酸，稀硫酸四种溶液中随机抽取2种，则抽到的2个溶液能发生中和反应的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键；设氢氧化钠溶液，澄清石灰水，稀盐酸，稀硫酸四种溶液分别为，列表可得出所有等可能的结果数以及会发生中和反应的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：设氢氧化钠溶液，澄清石灰水，稀盐酸，稀硫酸四种溶液分别为. 根据题意可得列表如下： 共有12种等可能的结果，其中会发生中和反应的结果有8种，所以会发生中和反应的概率为； 故选：D 10．某水果超市为了吸引顾客来店购物，设立了一个可以自由转动的转盘，开展有奖购物活动．顾客购买商品满 元就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在“一袋苹果”的区域就可以获“一袋苹果”的奖品；指针落在“一盒樱桃”的区域就可以获得“一盒樱桃”的奖品．下表是该活动的一组统计数据： 转动转盘的次数 落在“一袋苹果”区域的次数 落在“一袋苹果”区域的频率 下列说法不正确的是（  ） A．当很大时，估计指针落在“一袋苹果”区域的频率大约是 B．转动转盘次，一定有次获得“一盒樱桃” C．如果转动转盘次，指针落在“一盒樱桃”区域的次数大约有次 D．假如你去转动转盘一次，获得“一袋苹果”的概率大约是 【答案】B 【分析】根据图表可求得指针落在“一袋苹果”区域的概率，另外概率是多次实验的结果，因此不能说转动转盘10次，一定有3次获得“一盒樱桃”． 【详解】解：A、频率稳定在0.7左右，故用频率估计概率，指针落在“一袋苹果”区域的频率大约是0.70，故A选项不符合题意； B、随机事件，结果不确定，故B选项符合题意； C、指针落在“一盒樱桃”区域的概率为0.30，转动转盘2000次，指针落在“一盒樱桃”区域的次数大约有2000×0.3=600次，故C选项不符合题意； D、转动转盘一次，获得“一袋苹果”的概率大约是0.70，故D选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题要理解用面积法求概率的方法，注意概率是多次实验得到的一个相对稳定的值． 11．某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并规定：顾客消费200元以上（含200元），就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准九折、八折、七折区域，顾客就可以获得此项优惠，如果指针恰好在分界线上时，则需要重新转动转盘．某顾客正好消费300元，他转动一次转盘，实际付款210元的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据由题意，确定付款210的所占的圆心角的度数然后根据概率公式即可得到结论． 【详解】解：他转动一次转盘，实际付款210元的概率为＝， 故选：D． 【点睛】本题考查了概率的简单计算，解决本题的关键是熟练掌握概率的计算公式. 12．下表显示的是某种大豆在相同条件下的发芽试验结果： 每批粒数n 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的粒数m 96 282 382 570 948 1904 2850 发芽的频率 0.960 0.940 0.955 0.950 0.948 0.952 0.950 下面有三个推断： ①当n为400时，发芽的大豆粒数为382，发芽的频率为0.955，所以大豆发芽的概率是0.955； ②随着试验时大豆的粒数的增加，大豆发芽的频率总在0.95附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计大豆发芽的概率是0.95； ③若大豆粒数n为4000，估计大豆发芽的粒数大约为3800粒． 其中推断合理的是（　　） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【答案】D 【分析】利用频率估计概率,大量反复试验下频率稳定值即为概率可解题. 【详解】解：①当n为400时，发芽的大豆粒数为382，发芽的频率为0.955，所以大豆发芽的概率是0.955,此推断错误, ②随着试验时大豆的粒数的增加，大豆发芽的频率总在0.95附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计大豆发芽的概率是0.95,此结论正确, ③若大豆粒数n为4000，估计大豆发芽的粒数大约为3800粒,此结论正确, 故选D. 【点睛】本题考查了利用频率估计概率, 大量反复试验下频率稳定值即为概率,属于简单题,熟悉概念是解题关键. 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．十月佳节将至，某班将举办“庆中秋，迎国庆”文艺汇演活动．现打算从班级的四位同学中（两名男同学和两名女同学）随机选取两名同学来当节目主持人，则选中一男一女的概率是 ． 【答案】 【详解】解：由题意，画出树状图如下：    由图可知，从班级的四位同学中（两名男同学和两名女同学）随机选取两名同学的所有等可能的结果共有12种，其中，选中一男一女的结果共有8种， 则选中一男一女的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键． 14．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中小正方形的边界线或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，击中黑色区域的概率是 ． 【答案】 【详解】解：∵大正方形等分为9个小正方形，其中涂有黑色的小正方形有5个，且每个小正方形被击中的概率相同， ∴任意投掷飞镖1次，击中黑色区域的概率是， 故答案为：． 15．完全相同的3个小球上面分别标有数﹣2、﹣1、1，将其放入一个不透明的盒子中后摇匀，再从中随机摸球两次（第一次摸出球后放回摇匀），两次摸到的球上数之和是非负数的概率是 ． 【答案】 【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中找到能两次摸到的球上数之和是非负数的结果，根据概率公式计算可得． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知共有9种等可能结果，其中两次摸到的球上数之和是负数的有3种结果， 所以两次摸到的球上数之和是非负数的概率是； 故答案为：． 16．有四张质地一样的不透明卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，现将它们背面朝上洗匀，随机抽取两张，其上面的数字分别记为，则关于的一元二次方程有实数根的概率是 ． 【答案】/0.5 【详解】解：列表如下： 1 2 3 4 1 2 3 4 2 2 6 8 3 3 6 12 4 4 8 12 由表知，共有12种等可能结果，其中使方程有实数根（。即）的有6种结果， 所以关于的一元二次方程有实数根的概率是， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共98分，作答时需要写出必要的步骤或演绎过程） 17．（10分）如图，一个均匀的转盘被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．小亮和小芳两人玩转盘游戏，对游戏规则，小亮提议：若转出的数字是“奇数”，小亮获胜，若转出的数字是“偶数”，小芳获胜；小芳则提议；若转出的数字是3的倍数，小芳获胜，若转出的数字是4的倍数，小亮获胜． (1)你认为小亮，小芳两人的提议合理吗？为什么？ (2)利用这个转盘，请你为他俩设计一种对两人都公平的游戏规则． 【答案】(1)不公平，理由见详解 (2)游戏规则见详解 【分析】本题考查的是概率，熟练掌握如何计算概率是解题的关键． （1）分别求出小芳和小亮的胜率，再进行比较即可． （2）设计出两者胜算相等的方案即可． 【详解】（1）解：不公平， ∵转出的数字是的倍数，有三种情况，即为、、，总共会出现九种情况， ∴小芳获胜的概率为， 又∵转出的数字是的倍数，有两种情况，即为、，总共会出现九种情况 ∴小亮获胜的概率为， ∴这样的游戏规则不公平； （2）解：我设计的方法是：转出数字大于小亮胜，转出数字小于小芳胜（方法不唯一，合理即可）， ∵转出数字大于的情况有四种，转出数字小于的情况也有四种， ∴双方获胜的概率都是， 故这样的游戏方法就公平了． 18．（10）4月9日，2023年淮安西游乐园淮安马拉松赛暨大运河马拉松系列赛(淮安站)在淮安举办，15000名跑者共同组成春日淮安“醉美”的一道风景．赛事共有三项：A．“马拉松”、B．“半程马拉松”、C．“健康跑”．小华和小明参与了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组．    (1)小明被分配到“健康跑”项目组的概率为______； (2)请利用树状图或表格求小华和小明被分配到不同项目组的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，得出所有等可能的结果和满足条件的结果，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）从三个项目组中任取1个，小明被分配到“健康跑”项目组的概率为， 故答案为：； （2）画树状图如图：      共有9个等可能的结果，小华和小明被分配到不同项目组的结果有6个， ∴小华和小明被分配到不同项目组的概率为． 【点睛】本题主要考查了用公式法计算概率和画树状图或列表的方法计算概率，正确画出树状图是做出本题的关键． 19．（10分）如图，一个可以自由转动的转盘被等分成10个扇形，分别标有，，，，，，，，，10这10个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（指针指向分界线时，重转一次）．小西和小阳利用此转盘做游戏：一人转动转盘，另一人猜数．若所猜数字特征与转出的数字特征相符，则猜数的人获胜；否则，转动转盘的人获胜． (1)若小西转动转盘，小阳猜转出的数是奇数，请计算小阳获胜的概率； (2)若小阳转动转盘，小西猜数的方式有两种：①转出的数是3的倍数；②转出的数比7小．为了尽可能获胜，小西应该选择第几种猜数方式？请说明理由． 【答案】(1) (2)为了尽可能获胜，小西应该选择第②种猜数方式，见解析 【分析】本题考查概率的应用，熟练掌握概率公式是解题的关键： （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）求出2种猜数方式获胜的概率，比较后即可得出结果． 【详解】（1）解：因为10个数中有5个奇数， 所以（小阳获胜）． （2）10个数中有3个数为3的倍数，比7小的数有6个， 所以（转出的数是3的倍数）， （转出的数比7小）． 因为， 所以为了尽可能获胜，小西应该选择第②种猜数方式． 20（10分）学校为了丰富学生课余生活，开设了社团课．现有以下社团：A．篮球、B．机器人、C．绘画，学校要求每人只能参加一个社团，甲和乙准备随机报名一个社团． （1）甲选择“机器人”社团的概率是　 　； （2）请用树状图或列表法求甲、乙两人选择同一个社团的概率． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）属于求简单事件的概率，根据概率公式计算可得； （2）用画树状图列出所有的等可能结果，从中确定符合事件的结果，根据概率公式计算可得． 【详解】解：（1）有3种社团：A．篮球、B．机器人、C．绘画，甲选择“机器人”社团一种情况, 甲选择“机器人”社团的概率是， 故答案为：； （2）画树状图如图： 共有9个等可能的结果，甲、乙两人选择同一个社团A或B或C的结果有3种情况， ∴甲、乙两人选择同一个社团的概率为． 【点睛】本题考查的是求简单事件的概率和两步操作事件的概率，用表格或树状图表示总结果数是解答此类问题的关键． 21．（12分）某中学九年级开展了以“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”为主题的知识竞赛活动，赛后将成绩由高到低分为甲、乙、丙三个等级．为进一步了解学生的竞赛成绩，抽取部分学生的成绩进行分析． (1)被抽取的学生成绩为“甲等级”是___________事件，被抽取学生成绩为“丁等级”是___________事件．（填“不可能”或“必然”或“随机”） (2)若已知成绩为甲等级的5个人中有3名男生，2名女生，若从中任选两人参加县级竞赛，利用画树状图或列表法求恰好是2名男生参加竞赛的概率． 【答案】(1)随机；不可能 (2)见解析， 【分析】（1）根据事件发生的可能性大小判断即可； （2）列树状图，得到所有可能的情况的及恰好是2名男生参加竞赛的数量，根据概率公式计算可得． 【详解】（1）被抽取的学生成绩为“甲等级”是随机事件，被抽取学生成绩为“丁等级”是不可能事件． 故答案为：随机；不可能； （2）树状图如下： 共有20种等可能的情况，其中恰好是2名男生参加竞赛的有6种， ∴两名男生的概率为． 【点睛】此题考查了事件的分类，列举法求事件的概率，正确掌握事件发生的可能性的大小及概率的计算公式是解题的关键． 22．（10分）2024年4月23日是第29个世界读书日，我市某社区开展了以“最美人间四月天，不负韶华读书时”为主题的系列读书活动． (1)为了解西宁市初中生每周的累计读书时长，应采用的调查方式是 （填“全面调查”或“抽样调查”）． (2)该社区某校准备从A，B，C，D四名同学中选择两人作为“好书推荐官”，参加社区的好书推荐活动．请用画树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求出A，B两名同学恰好同时被选中的概率． 【答案】(1)抽样调查 (2)见解析， 【分析】本题考查调查方式的选取，画树状图求概率等． （1）根据调查方式的定义即可求出本题答案； （2）先画出树状图，后找出符合题意的情况，继而得到本题答案． 【详解】（1）解：∵了解西宁市初中生每周的累计读书时长， ∴应采用的调查方式是抽样调查， 故答案为：抽样调查； （2）解：根据题意可得树状图如下所示： 由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有12种，即 这些结果出现的可能性相等，其中A，B两名同学恰好同时被选中的结果共有2种，即，    ∴（A，B两名同学恰好同时被选中）． 23．（12分）2月份，某工厂共生产了26000件工艺品，为了检测该产品的合格率，工厂质检员对产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 50 100 200 300 500 1000 合格频数 48 99 194 m 490 980 合格频率 0.96 0.99 0.97 0.98 0.98 n (1)表格中m的值为______，n的值为______； (2)估计随机抽取一件该产品是不合格品的概率； (3)若该工厂每生产一件不合格产品将损失20元，求2月份该工厂因不合格产品所造成的损失为多少元？ 【答案】(1)294，0.98 (2)任抽一件该产品是不合格品的概率为0.02 (3)该工厂因不合格产品所造成的损失10400元 【分析】本题考查了用频率估计概率，掌握相关知识点是解题的关键． （）根据频数除以总数等于频率，列式计算即可求解； （）根据抽取件数为时，合格的频率趋近于，可得估计产品合格的概率为，进而即可求解； （）用乘以不合格品的概率再乘以20即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，，； （2）解：∵抽取件数为时，合格的频率趋近于， ∴估计衬衣合格的概率为， ∴估计任抽一件该产品是不合格品的概率为； （3）解：（元）， 答：该工厂因不合格产品所造成的损失10400元． 24．（12分）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共5个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出1个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 (1)完成上表； (2)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近__________；随机摸出一个球，摸到白球的概率是__________，摸到黑球的概率是__________．（保留一位小数） (3)试估算口袋中黑球、白球的个数． 【答案】(1)见解析 (2)；， (3)黑球2个，白球3个 【分析】本题考查了求频率、利用频率估计概率、已知概率求数量，熟练掌握利用频率估计概率的方法是解题关键． （1）利用计算即可得； （2）根据表格数据可得摸到白球的频率；利用频率估计概率即可得摸到白球的概率，再利用1减去摸到白球的概率即可得摸到黑球的概率； （3）利用口袋中黑、白球的总数乘以它们的概率即可得． 【详解】（1）解：，， 则完成表格如下： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 （2）解：根据表格数据可估计，当很大时，摸到白球的频率将会接近， 所以随机摸出一个球，摸到白球的概率是，摸到黑球的概率是， 故答案为：；；． （3）解：因为口袋里只有黑、白两种颜色的球共5个，且摸到白球的概率是，摸到黑球的概率是， 所以口袋中黑球的个数是，白球的个数是． 25．（12）某校举行手工制作比赛，赛后整理参赛同学的成绩，并制作成图表如下： 分数段 频数 频率 60≤x＜70 30 0.15 70≤x＜80 m 0.45 80≤x＜90 60 n 90≤x＜100 20 0.1 请根据以上图表提供的信息，解答下列问题： （1）表中m和n所表示的数分别为：m＝______，n＝______， （2）请在图中，补全频数分布直方图； （3）比赛成绩的中位数落在哪个分数段？ （4）如果比赛成绩80分以上（含80分）可以获得奖励，那么获奖率是多少？ 【答案】见解析 【分析】（1）根据统计表中，频数与频率的比值相等，可得关于m、n的关系式；进而计算可得m、n的值； （2）根据（1）的结果，可以补全直方图； （3）根据中位数的定义判断； （4）读图可得比赛成绩80分以上的人数，除以总人数即可得答案． 【详解】解：（1）根据统计表中，频数与频率的比值相等，即有 解可得：m＝90，n＝0.3； 故答案为90，0.3 （2）图为： （3）根据中位数的求法，先将数据按从小到大的顺序排列， 读图可得：共200人，第100、101名都在70分～80分， 故比赛成绩的中位数落在70分～80分； （4）读图可得比赛成绩80分以上的人数为60＋20＝80， 故获奖率为 获奖率为： 【点睛】本题考查条形统计图、图表等知识．结合生活实际，绘制条形统计图或从统计图中获取有用的信息，是近年中考的热点．只要能认真准确读图，并作简单的计算，一般难度不大． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上册单元检测卷 第三章 概率的进一步认识（提升卷） 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.请从A、B、C、D四个选项中选出你认为的正确的选项） 1．经过某路口的行人，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，现有两人经过该路口，恰好两人都直行的概率是（    ） A． B． C． D． 2．在一个不透明的口袋中有红球、白球共10个，它们除颜色外，其余完全相同．通过大量的摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%附近，估算口袋中红球的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．2023年12月16日，贵阳市轨道交通三号线正式运营．某校共有1000个学生，随机调查了100个学生，其中有16个学生在三号线开通首日乘坐了地铁三号线．在该校随机问一个学生，他在三号线开通首日乘坐该地铁的概率大约是（    ） A．0.016 B．0.1 C．0.116 D．0.16 4．某商场为吸引顾客设计了如图所示的自由转盘，当指针指向阴影部分时，该顾客可获得奖品一份，那么该顾客获奖的概率为（    ）    A． B． C． D． 5．“石头、剪刀、布”是我国古老的民间游戏，游戏规定：石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，若两人的手势相同，不分胜负．在学校组织的“共情陪伴，健康同行”亲子运动会上，爸爸和小亮用这种方式决定“打乒乓球”的发球权．从概率的角度思考这个游戏是否公平（    ） A．公平 B．对爸爸有利 C．对小亮有利 D．不能判断 6．五一期间，“泰山”、“沂蒙山”、“济南趵突泉”、“青岛崂山”四个旅游景点游人如织．若小明想从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点中有“泰山”的概率是（   ） A． B． C． D． 7．在一次心理健康教育活动中，张老师随机抽取了40名学生进行了心理健康测试，并将测试结果按“健康、亚健康、不健康”绘制成下列表格，其中测试结果为“健康”的频率是（    ）． 类型 健康 亚健康 不健康 数据（人） 32 7 1 A．32 B．7 C． D． 8．如图，是两个各自分割均匀的转盘，同时转动两个转盘，转盘停止时（若指针恰好停在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止），两个指针所指区域的数字和为偶数的概率是（   ） A． B． C． D． 9．已知酸和碱能发生中和反应，现从氢氧化钠溶液，澄清石灰水，稀盐酸，稀硫酸四种溶液中随机抽取2种，则抽到的2个溶液能发生中和反应的概率是（　　） A． B． C． D． 10．某水果超市为了吸引顾客来店购物，设立了一个可以自由转动的转盘，开展有奖购物活动．顾客购买商品满 元就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在“一袋苹果”的区域就可以获“一袋苹果”的奖品；指针落在“一盒樱桃”的区域就可以获得“一盒樱桃”的奖品．下表是该活动的一组统计数据： 转动转盘的次数 落在“一袋苹果”区域的次数 落在“一袋苹果”区域的频率 下列说法不正确的是（  ） A．当很大时，估计指针落在“一袋苹果”区域的频率大约是 B．转动转盘次，一定有次获得“一盒樱桃” C．如果转动转盘次，指针落在“一盒樱桃”区域的次数大约有次 D．假如你去转动转盘一次，获得“一袋苹果”的概率大约是 11．某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并规定：顾客消费200元以上（含200元），就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准九折、八折、七折区域，顾客就可以获得此项优惠，如果指针恰好在分界线上时，则需要重新转动转盘．某顾客正好消费300元，他转动一次转盘，实际付款210元的概率为（　　） A． B． C． D． 12．下表显示的是某种大豆在相同条件下的发芽试验结果： 每批粒数n 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的粒数m 96 282 382 570 948 1904 2850 发芽的频率 0.960 0.940 0.955 0.950 0.948 0.952 0.950 下面有三个推断： ①当n为400时，发芽的大豆粒数为382，发芽的频率为0.955，所以大豆发芽的概率是0.955； ②随着试验时大豆的粒数的增加，大豆发芽的频率总在0.95附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计大豆发芽的概率是0.95； ③若大豆粒数n为4000，估计大豆发芽的粒数大约为3800粒． 其中推断合理的是（　　） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．十月佳节将至，某班将举办“庆中秋，迎国庆”文艺汇演活动．现打算从班级的四位同学中（两名男同学和两名女同学）随机选取两名同学来当节目主持人，则选中一男一女的概率是 ． 14．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中小正方形的边界线或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，击中黑色区域的概率是 ． 15．完全相同的3个小球上面分别标有数﹣2、﹣1、1，将其放入一个不透明的盒子中后摇匀，再从中随机摸球两次（第一次摸出球后放回摇匀），两次摸到的球上数之和是非负数的概率是 ． 16．有四张质地一样的不透明卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，现将它们背面朝上洗匀，随机抽取两张，其上面的数字分别记为，则关于的一元二次方程有实数根的概率是 ． 1 2 3 4 1 2 3 4 2 2 6 8 3 3 6 12 4 4 8 12 三、解答题（本大题共9小题，共98分，作答时需要写出必要的步骤或演绎过程） 17．（10分）如图，一个均匀的转盘被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．小亮和小芳两人玩转盘游戏，对游戏规则，小亮提议：若转出的数字是“奇数”，小亮获胜，若转出的数字是“偶数”，小芳获胜；小芳则提议；若转出的数字是3的倍数，小芳获胜，若转出的数字是4的倍数，小亮获胜． (1)你认为小亮，小芳两人的提议合理吗？为什么？ (2)利用这个转盘，请你为他俩设计一种对两人都公平的游戏规则． 18．（10）4月9日，2023年淮安西游乐园淮安马拉松赛暨大运河马拉松系列赛(淮安站)在淮安举办，15000名跑者共同组成春日淮安“醉美”的一道风景．赛事共有三项：A．“马拉松”、B．“半程马拉松”、C．“健康跑”．小华和小明参与了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组．    (1)小明被分配到“健康跑”项目组的概率为______； (2)请利用树状图或表格求小华和小明被分配到不同项目组的概率． 19．（10分）如图，一个可以自由转动的转盘被等分成10个扇形，分别标有，，，，，，，，，10这10个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（指针指向分界线时，重转一次）．小西和小阳利用此转盘做游戏：一人转动转盘，另一人猜数．若所猜数字特征与转出的数字特征相符，则猜数的人获胜；否则，转动转盘的人获胜． (1)若小西转动转盘，小阳猜转出的数是奇数，请计算小阳获胜的概率； (2)若小阳转动转盘，小西猜数的方式有两种：①转出的数是3的倍数；②转出的数比7小．为了尽可能获胜，小西应该选择第几种猜数方式？请说明理由． 20（10分）学校为了丰富学生课余生活，开设了社团课．现有以下社团：A．篮球、B．机器人、C．绘画，学校要求每人只能参加一个社团，甲和乙准备随机报名一个社团． （1）甲选择“机器人”社团的概率是　 　 ； （2）请用树状图或列表法求甲、乙两人选择同一个社团的概率． 21．（12分）某中学九年级开展了以“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”为主题的知识竞赛活动，赛后将成绩由高到低分为甲、乙、丙三个等级．为进一步了解学生的竞赛成绩，抽取部分学生的成绩进行分析． (1)被抽取的学生成绩为“甲等级”是___________事件，被抽取学生成绩为“丁等级”是___________事件．（填“不可能”或“必然”或“随机”） (2)若已知成绩为甲等级的5个人中有3名男生，2名女生，若从中任选两人参加县级竞赛，利用画树状图或列表法求恰好是2名男生参加竞赛的概率． 22．（10分）2024年4月23日是第29个世界读书日，我市某社区开展了以“最美人间四月天，不负韶华读书时”为主题的系列读书活动． (1)为了解西宁市初中生每周的累计读书时长，应采用的调查方式是 （填“全面调查”或“抽样调查”）． (2)该社区某校准备从A，B，C，D四名同学中选择两人作为“好书推荐官”，参加社区的好书推荐活动．请用画树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求出A，B两名同学恰好同时被选中的概率． 23．（12分）2月份，某工厂共生产了26000件工艺品，为了检测该产品的合格率，工厂质检员对产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 50 100 200 300 500 1000 合格频数 48 99 194 m 490 980 合格频率 0.96 0.99 0.97 0.98 0.98 n (1)表格中m的值为______，n的值为______； (2)估计随机抽取一件该产品是不合格品的概率； (3)若该工厂每生产一件不合格产品将损失20元，求2月份该工厂因不合格产品所造成的损失为多少元？ 24．（12分）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共5个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出1个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 (1)完成上表； (2)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近__________；随机摸出一个球，摸到白球的概率是__________，摸到黑球的概率是__________．（保留一位小数） (3)试估算口袋中黑球、白球的个数． 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 25．（12）某校举行手工制作比赛，赛后整理参赛同学的成绩，并制作成图表如下： 分数段 频数 频率 60≤x＜70 30 0.15 70≤x＜80 m 0.45 80≤x＜90 60 n 90≤x＜100 20 0.1 请根据以上图表提供的信息，解答下列问题： （1）表中m和n所表示的数分别为：m＝______，n＝______， （2）请在图中，补全频数分布直方图； （3）比赛成绩的中位数落在哪个分数段？ （4）如果比赛成绩80分以上（含80分）可以获得奖励，那么获奖率是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 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