21.1一元二次方程 知识归纳与题型突破2025-2026学年人教版九年级上册（八大题型）

21.1一元二次方程知识归纳与题型突破2025-2026学年 人教版九年级上册（八大题型） 知识归纳： 知识点一：一元二次方程的概念： 　　通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 要点诠释： 识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可. 知识点二：一元二次方程的一般形式： 　　一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 要点诠释： 　　(1)只有当时，方程才是一元二次方程； 　　(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号. 知识点三：一元二次方程的解： 　　使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 知识点四：一元二次方程根的重要结论 （1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0. （2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0. （3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0. 题型突破 题型一、判断一个方程是否是一元二次方程 1.下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2.下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 3.下列方程中，一元二次方程有（　　） ①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③；④x2＝1；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4.下列方程中，一元二次方程有（　　） ①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③；④x2＝1；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型二、一元二次方程的一般形式 1.把方程化成一般形式正确的是（    ）． A． B．C． D． 2.一元二次方程化成一般形式后，它的二次项系数和一次项系数分别是（    ） A． B． C． D． 3.一元二次方程3x2－6x＝1化为－般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0）后，a，b，c的值分别是（    ） A．a＝3，b＝6，c＝1 B．a＝3，b＝－6，c＝1 C．a＝－3，b＝－6，c＝1 D．a＝3，b＝－6，c＝－1 4.一元二次方程x2＋6x＝3x＋2化成一般式为：______． 5.把一元二次方程x(3x+4)＝(2x+1)2化为一般式为_______． 题型三、根据一元二次方程的定义求字母的值 1.若方程是一元二次方程，m的值为（　　） A．1 B．± C．±1 D．﹣1 2.若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D．m为任意实数 3.若是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是________． 4.关于x的方程（a﹣1）x2﹣3x+3＝0是一元二次方程，则a的取值范围是 　 　． 5.关于x的方程是一元二次方程，则k的值是　 　． 题型四、一元二次方程的解 1.下列关于x的方程中，有一个实数根为x＝﹣2的方程是（　　） A．x2﹣x+1＝0 B．x2+x+1＝0 C．（x﹣1）（x+2）＝0 D．（x﹣1）2+1＝0 2.若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（   ） A． B． C． D． 题型五、已知一元二次方程的解求字母的值 1.已知一元二次方程有一个根是2，则的值为（   ） A．2 B． C．3 D． 2.若是关于x的一元二次方程的一个解，则a的值为（    ） A．4 B． C．5 D． 3.已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（　　） A． B． C．5 D．7 4.已知是关于的方程的解，则的值为 ． 5.若的其中一个根为2，则的值为__________． 题型六、根据一元二次方程的解求代数式的值 1.已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（   ） A．2027 B．2028 C．2029 D．2030 2.若a是的一个根，则的值是 ． 3.若a是一元二次方程的一根，则的值为______． 4.已知x＝1是一元二次方程x2＋mx＋n＝0的一个根，则m2＋2mn＋n2的值为_____． 5.已知关于x的一元二次方程的一个根是，则的值为_______． 题型七、一元二次方程的解的估算 1.根据表格中的信息，估计一元二次方程的一个解的范围是（    ） x 0 1 2 5 A． B． C． D． 2.观察下列表格，可知一元二次方程：的一个近似解是（   ） 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A． B． C． D． 题型八、由已知代数式的值推断方程的解 1.若关于的一元二次方程有一根为，则关于的一元二次方程必有一根为（   ） A． B． C． D． 2.若关于的一元二次方程有一根为，则关于的一元二次方程必有一根为（   ） A． B． C． D． 【答案】 21.1一元二次方程知识归纳与题型突破2025-2026学年 人教版九年级上册（八大题型） 知识归纳： 知识点一：一元二次方程的概念： 　　通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 要点诠释： 识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可. 知识点二：一元二次方程的一般形式： 　　一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 要点诠释： 　　(1)只有当时，方程才是一元二次方程； 　　(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号. 知识点三：一元二次方程的解： 　　使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 知识点四：一元二次方程根的重要结论 （1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0. （2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0. （3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0. 题型突破 题型一、判断一个方程是否是一元二次方程 1.下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 2.下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 3.下列方程中，一元二次方程有（　　） ①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③；④x2＝1；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 4.下列方程中，一元二次方程有（　　） ①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③；④x2＝1；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 题型二、一元二次方程的一般形式 1.把方程化成一般形式正确的是（    ）． A． B．C． D． 【答案】C 2.一元二次方程化成一般形式后，它的二次项系数和一次项系数分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 3.一元二次方程3x2－6x＝1化为－般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0）后，a，b，c的值分别是（    ） A．a＝3，b＝6，c＝1 B．a＝3，b＝－6，c＝1 C．a＝－3，b＝－6，c＝1 D．a＝3，b＝－6，c＝－1 【答案】D 4.一元二次方程x2＋6x＝3x＋2化成一般式为：______． 【答案】 5.把一元二次方程x(3x+4)＝(2x+1)2化为一般式为_______． 【答案】 题型三、根据一元二次方程的定义求字母的值 1.若方程是一元二次方程，m的值为（　　） A．1 B．± C．±1 D．﹣1 【答案】D 2.若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D．m为任意实数 【答案】C 3.若是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是________． 【答案】 4.关于x的方程（a﹣1）x2﹣3x+3＝0是一元二次方程，则a的取值范围是 　 　． 【答案】a≠1． 5.关于x的方程是一元二次方程，则k的值是　 　． 【答案】k＝﹣2． 题型四、一元二次方程的解 1.下列关于x的方程中，有一个实数根为x＝﹣2的方程是（　　） A．x2﹣x+1＝0 B．x2+x+1＝0 C．（x﹣1）（x+2）＝0 D．（x﹣1）2+1＝0 【答案】C． 2.若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 题型五、已知一元二次方程的解求字母的值 1.已知一元二次方程有一个根是2，则的值为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 2.若是关于x的一元二次方程的一个解，则a的值为（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】A 3.已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（　　） A． B． C．5 D．7 【答案】C 4.已知是关于的方程的解，则的值为 ． 【答案】3 5.若的其中一个根为2，则的值为__________． 【答案】3 题型六、根据一元二次方程的解求代数式的值 1.已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（   ） A．2027 B．2028 C．2029 D．2030 【答案】C 2.若a是的一个根，则的值是 ． 【答案】6 3.若a是一元二次方程的一根，则的值为______． 【答案】 4.已知x＝1是一元二次方程x2＋mx＋n＝0的一个根，则m2＋2mn＋n2的值为_____． 【答案】 5.已知关于x的一元二次方程的一个根是，则的值为_______． 【答案】 题型七、一元二次方程的解的估算 1.根据表格中的信息，估计一元二次方程的一个解的范围是（    ） x 0 1 2 5 A． B． C． D． 【答案】A 2.观察下列表格，可知一元二次方程：的一个近似解是（   ） 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A． B． C． D． 【答案】C 题型八、由已知代数式的值推断方程的解 1.若关于的一元二次方程有一根为，则关于的一元二次方程必有一根为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 2.若关于的一元二次方程有一根为，则关于的一元二次方程必有一根为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 学科网（北京）股份有限公司 $