3.1 第1课时 二次根式的概念及性质（PPT课件）-【学海风暴】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步备课（湘教版2024）

该初中数学课件聚焦二次根式，系统讲解概念、有意义条件、双重非负性及(√a)²=a（a≥0）、√(a²)=|a|等性质。课堂导入从正方形面积、长方形宽、自由落体时间等实际问题出发，引出带根号的式子，通过问题链抽象共同特征，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以情境问题和活动探究驱动教学，如通过正方形面积活动推导性质，对比表格区分(√a)²与√(a²)，培养学生抽象能力、推理意识和数学表达。例题涵盖判断、有意义条件及非负性应用，小结系统梳理，助力学生构建知识体系，提升数学思维，也为教师提供结构化、可操作的教学资源。

第3章 二次根式 八年级数学湘教版·上册 3.1 第1课时 二次根式的概念及性质 授课人：XXXX 1 学习目标 1.了解二次根式的定义； 2.理解二次根式在实数范围内有意义的条件； （重点） 3.掌握二次根式的两条重要性质．（重点、难点） 新课导入 里约奥运会上，哪位奥运健儿给你留下了深刻的印象？你能猜出下面的表情包是谁吗？ 你们是根据哪些特征猜出的呢？ 新知探究 通过表情包来辨别人物，最重要的是根据个人的特征，那么数学的特征是什么呢？ “数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也.” ----中科院数学与系统科学研究院 李邦河 新知探究 问题1 什么叫作平方根? 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根. 问题2 什么叫作算术平方根? 如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根.用 表示. 问题3 什么数有算术平方根? 我们知道,负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0. 新知探究 思考 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？ (1)如图的海报为正方形，若面积为2m2,则边长为_____m；若面积为S m2，则边长为_____m． (2)如图的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积为6m2，则它的宽为_____m． 图 图 新知探究 （3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，那么t为_____． 新知探究 问题1 这些式子分别表示什么意义？ 分别表示2，S，3， 的算术平方根． 上面问题中，得到的结果分别是 ， ， ， ． 二次根式的概念及有意义的条件 一 ①根指数都为2; ②被开方数为非负数. 问题2 这些式子有什么共同特征？ 新知探究 归纳总结 一般地，我们把形如 的式子叫作二次根式. “ ”称为二次根号. 两个必备特征 ①外貌特征：含有“ ” ②内在特征：被开方数a ≥0 注意：a可以是数，也可以是式. 新知探究 例1 下列各式是二次根式吗? 是 不是 不是 （x,y异号） 不是 不是 是 不是 不含二次根号 被开方数是负数 当m>0时被开方数是负数 xy＜0 非负数+正数恒大于零 根指数是3 新知探究 例2 当x是怎样的实数时, 二次根式 在实数范围内有意义? 解：由x-2≥0，得 x≥2. 当x≥2时， 在实数范围内有意义. 【变式题】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 解：由题意，得x-1＞0， ∴x＞1. 新知探究 解：∵被开方数需大于或等于零， ∴3+x≥0，∴x≥-3. ∵分母不能等于零， ∴x-1≠0，∴x≠1， ∴x≥-3 且x≠1. 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式或含未知数的式子为分式的分母时，应同时考虑分母不为零. 归纳 新知探究 (1)单个二次根式如 有意义的条件：A≥0； (2)多个二次根式相加如 有意义的 条件： (3)二次根式作为分式的分母如 有意义的条件： A＞0； (4)二次根式与分式的和如 有意义的条件： A≥0且B≠0. 归纳总结 新知探究 1.下列各式： . 一定是二次根式的个数有 （ ） A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 B 2.(1)若式子 在实数范围内有意义，则x的取值 范围是_______; (2)若式子 在实数范围内有意义，则x的 取值范围是___________. x ≥1 x ≥0且x≠2 新知探究 问题1 当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？ 前者x为全体实数；后者x为正数和0. 当a＞0时， 表示a的算术平方根，因此 ＞0；当a=0时， 表示0的算术平方根，因此 =0.这就是说，当a≥0时， ≥0. 问题2 二次根式 的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？ 二次根式的双重非负性 二 新知探究 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，我们知道： （1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0； （2） 表示一个数或式的算术平方根，可知 ≥0. 二次根式的被开方数非负 二次根式的值非负 二次根式的双重非负性 归纳总结 新知探究 例3 若 ，求a -b+c的值. 解： 由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0, 解得a=2,b=3,c=4, 所以a-b+c=2-3+4=3. 多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式. 归纳 新知探究 例4 已知y= ,求3x+2y的算术平方根. 解：由题意得 ∴x=3，∴y=8， ∴3x+2y=25. ∵25的算术平方根为5， ∴3x+2y的算术平方根为5． 新知探究 【变式题】已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足 ，求此三角形的周长． 解：由题意,得 ∴a=3， ∴b=4. 当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10； 当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11． 若 ，则根据被开方数大于等于0，可得a=0. 归纳 新知探究 已知|3x-y-1|和 互为相反数，求x+4y的平方根． 解：由题意,得3x-y-1=0且2x+y-4=0, 解得x=1，y=2, ∴x+4y=1+2×4=9， ∴x+4y的平方根为±3. 新知探究 问题1 下列数字谁能顺利通过下面两扇门进入客厅？ 算术平方根之门 平方之门 0 -4 -1 a a≥0 1 我们都是非负数哟 （a≥0）的性质 三 新知探究 问题2 若下列数字想从客厅出来，谁能顺利通过两扇门出来呢？ 算术平方根之门 平方之门 0 -4 -1 1 16 4 1 a a为任意数 我们都是非负数，可出来之前我们有正数，零和负数. 思考 你发现了什么？ 新知探究 正方形的边长为 ， 用边长表示正方形的面积为 ， 又∵面积为a， 即 . 活动1 如图是一块具有民族风的正方形方巾，面积为a，求它的边长，并用所求得的边长表示出面积，你发现了什么？ 这个式子是不是对所有的二次根式都成立呢？ 新知探究 活动2 为了验证活动1的结论是否具有广泛性，下面根据算术平方根及平方的意义填空，你又发现了什么？ ... 算术平方根 平方运算 0 2 4 ... a(a≥0) 02 = 0 ... 观察两者有什么关系？ 22 = 4 新知探究 4 2 0 根据活动2直接写出结果，然后根据活动2的探究过程说明理由： 是2的算术平方根，根据算术平方根的意义， 是一个平方等于2的非负数.因此 . 同理， 分别是0,4， 的算术平方根，即得上面的等式. 新知探究 归纳总结 的性质： 一般地， ＝a (a ≥0). 即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身. 注意：不要忽略a≥0这一限制条件.这是使二次根式 有意义的前提条件. 新知探究 例5 计算： 解： (2)可以用到幂的哪条基本性质呢？ 积的乘方： （ab）2=a2b2 新知探究 计算： 解: 新知探究 ... 平方运算 算术平方根 2 0.1 0 ... a(a≥0) 2 ... 观察两者有什么关系？ 的性质 四 填一填： ＝a (a≥0). 新知探究 ... 平方运算 算术平方根 -2 -0.1 ... 2 ... 观察两者有什么关系？ a(a＜0) 思考：当a＜0时， = ？ -a 新知探究 归纳总结 a (a≥0) -a (a＜0) 即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 的性质： 新知探究 例6 计算： 解： ，而3.14＜π，要注意a的正负性. 注意 新知探究 计算： 练一练 解: 新知探究 辨一辨：请同学们快速分辨下列各题的对错． （ ） （ ） （ ） （ ） × × √ √ 新知探究 议一议：如何区别 与 ？ 从运算顺序看 从取值范围看 从运算结果看 先开方,后平方 先平方，后开方 a≥0 a取任何实数 a |a| 意义 表示一个非负数a的算术平方根的平方 表示一个实数a的平方的算术平方根 新知探究 例7 实数a、b在数轴上的对应点如图所示，请你计算: 解：由数轴可知a＜0，b＞0，a-b＜0， ∴原式=|a|-|b|+|a-b| =-a-b-（a-b） =-2a. a b 新知探究 【变式题】 实数a、b在数轴上的对应点如图所示，计算： . 解：根据数轴可知b＜a＜0， ∴a+2b＜0，a-b＞0， 则 =|a+2b|+|a-b| =-a-2b+a-b=-3b． 利用数轴和二次根式的性质进行计算，关键是要要根据a,b的大小讨论绝对值内式子的符号. 注意 0 a b 新知探究 例8 已知a、b、c是△ABC的三边长，计算： 解：∵a、b、c是△ABC的三边长， ∴a+b＞c，b+c＞a，b+a＞c， ∴原式=|a+b+c|-|b+c-a|+|c-b-a| =a+b+c-（b+c-a）+（b+a-c） =a+b+c-b-c+a+b+a-c =3a+b-c． 分析： 利用三角形三边关系 三边长均为正数，a＞0，b＞0，c＞0 两边之和大于第三边，b+c＞a，b+a＞c 课堂小结 二次根式 二次根式的概念 二次根式的表示 二次根式有意义的条件 被开方数≥0 → 性质 应用 课堂小测 2.式子 有意义的条件是 （ ） A.x＞2 B.x≥2 C.x＜2 D.x≤2 3.若 是整数，则自然数n的值有 （ ） A.7个 B.8个 C.9个 D.10个 D 1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ ） C A 课堂小测 4.当x为何值时， 在实数范围内有意义？ 解：要使式子在实数范围内有意义，必须同时满足被开方数x＋3≥0和分母x＋1≠0，解得x≥－3且x≠－1. 方法总结：使一个代数式有意义的未知数的取值范围通常要考虑三种情况：一是分母不为零，二是偶次方根的被开方数是非负数，三是零次幂的底数不为零． 课堂小测 5. 计算： 答案：3 答案： 6. 计算： 答案：7 答案：3 答案：0.01 课堂小测 7.若x，y是实数，且y＜ ,求 的值. 解：根据题意，得 ∴x=1. ∵y＜ , ∴y＜ ， ∴ . $