1.3 第1课时 利用平方差公式进行因式分解（PPT课件）-【学海风暴】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步备课（湘教版2024）

第1章 因式分解 八年级数学湘教版·上册 1.3 第1课时 利用平方差公式进行因式分解 授课人：XXXX 1 教学目标 1.能说出平方差公式的结构特征．（重点） 2.能较熟练地应用平方差公式分解因式．（难点） 新课导入 1.平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 从左边到右边的这个过程叫___________. 整式乘法 2.反过来，a2-b2=__________. (a+b)(a-b) 从左边到右边的这个过程叫___________. 分解因式 因此，a2-b2= (a+b)(a-b)是因式分解中的一个公式. 思考：如何把x2-25进行因式分解？ 回顾与思考 新知探究 如何把 x2-25 因式分解？ 平方差公式(a+b)(a-b)= a2-b2， 把这个乘法公式从右到左地使用，得 a2-b2=(a+b)(a-b) 因此 x2-25 = x2-52 = (x+5)(x-5) . a2-b2 = (a+b)(a-b) . 利用平方差公式进行因式分解 新知探究 像上述例子那样，把乘法公式从右到左地使用，就可以把某些形式的多项式因式分解，这种因式分解的方法叫作公式法. 结论 新知探究 √ √ × × 辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？ √ √ ★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成: ( )2-( )2的形式. 两数是平方， 减号在中央． （1）x2+y2 （2）x2-y2 （3）-x2-y2 -(x2+y2) (y+x)(y-x) （4）-x2+y2 （5）x2-25y2 (x+5y)(x-5y) （6）m2-1 (m+1)(m-1) 新知探究 分析: 可以用平方差公式吗？ 因为4x2 可以写成(2x)2 ,所以能用平方差公式因式分解. =(2x)²-y² 解: 4x²-y²　 = 怎么化成平方差公式的形式？ 典例精析 例1 把4x²-y²因式分解 . 新知探究 例2 把 因式分解. 解： 新知探究 例3 把 因式分解. 解: 新知探究 例4 把 因式分解 . 分析：可以用平方差公式吗？ 因为 所以能用平方差公式分解. 解:　 = = = 注意：因式分解中必须进行到每个因式都不能分解为止. 新知探究 例5 把x3y2-x5 因式分解. 解：x3y2-x5 = x3(y2-x2) = x3(y+x)(y-x) 分析 : x3y2-x5有公因式 x3，应先提出公因式，再用公式进行因式分解. 问题：能直接用公式分解因式吗？ 又如：把-4ax2+16ay2因式分解 解：-4ax2+16ay2 = -4a(x2-4y2) = -4a(x+2y)(x-2y) 本课小结 分解因式的步骤： (1)优先考虑提取公因式法; (2)看是否能用公式法 ; (3)务必检查是否分解到底了; 多项式具有如下特征时，可以运用平方差公式因式分解： 1.多项式是二项式或可以看成二项式； 2.两项符号相反； 3.每项都可以写成某数或某式的平方的形式. 提公因式后不要漏掉“1“或“-1“这一项. (4)答案要写成最简形式. 课堂小测 1.下列多项式能否用平方差公式来分解因式？ 2.判断正误: (1) x2+y2=(x+y)(x-y) ( ) (2) x2-y2=(x+y)(x-y) ( ) (3) -x2+y2=(-x+y)(-x-y) ( ) (4) -x2-y2=-(x+y)(x-y) ( ) √ × × × 不能 能 能 不能 课堂小测 （4）a3-ab2 a(a+b)(a-b) （3）9x4-36y2 9(x2+2y)(x2-2y) （5）25x4y2-x2 3.把下列各式因式分解: （6）2a(x2+1)2-2ax2 x2(5xy+1)(5xy-1) 2a(x2+x+1)(x2-x+1) 课堂小测 4. 手表表盘的外圆直径D=3.2厘米，内圆直径d=2.8厘米，在外圆与内圆之间涂有防水材料.试求涂上防水材料的圆环的面积(结果保留π).怎样计算较简便？ 课堂小测 5. 如图，在边长为6.8 cm正方形钢板上，挖去4个边长为1.6 cm的小正方形，求剩余部分的面积． 解：根据题意，得 6.82－4×1.62 ＝6.82－ (2×1.6)2 ＝6.82－3.22 ＝(6.8＋3.2)(6.8 － 3.2) ＝10×3.6 ＝36 (cm2) 答：剩余部分的面积为36 cm2. 课堂小测 6.你知道992-1能否被100整除吗？ 解：因为 992-1=(99+1)(99-1) =100×98，所以992-1能被100整除. 能力提升：n为整数,(2n+1)2-25能否被4整除？ 解:原式＝(2n+1+5)(2n+1-5) =(2n+6)(2n-4) =2(n+3) ×2(n-2)=4(n+3)(n-2). 所以(2n+1)2-25能被4整除. $