12.2 第1课时 正比例函数的图象与性质（PPT课件）-【学海风暴】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步备课（沪科版2024）

第12章 函数与一次函数 八年级数学沪科版·上册 12.2 第1课时 正比例函数的图象与性质 授课人：XXXX 1 1.表示函数关系的方法有哪些? 图象法、列表法、解析法 三种方法可以相互转化 它们之间有什么关系? 2.你能将解析法转化成图象法吗? 新课引入 新知探究 一次函数与正比例函数 在现实生活当中有许多问题都可以归结为函数问题,大家能不能举一些例子? 新知探究 y=3+0.5x 情景一：某弹簧的自然长度为3 cm，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1kg，弹簧的长度y增加0.5cm.你能写出x与y之间的关系吗？ 情景二：某辆汽车油箱中原有油100 L,汽车每行驶50 km耗油9 L.设汽车行使路程x(单位：km),油箱剩余油量y(单位：L),你能写出x与y的关系吗? y=100－0.18x 新知探究 情景三：每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞 在一起的总厚度h（单位：cm）随练习本的本数n的 变化而变化．写出函数解析式. 情景四：冷冻一个0°C的物体，使它每分钟下降2°C， 物体温度T（单位：°C）随冷冻时间t（单位：min） 的变化而变化．写出函数解析式. h=0.5n T=-2t 上面的四个函数关系式: (1)y=3+0.5x; (2) y=100－0.18x. (3) h=0.5n ； (4) T=-2t. 一般地，形如y=kx+b(b为常数，k≠0）的函数叫作一次函数（x为自变量）. 当b=0时，称y是x的正比例函数. 一次函数： 大家讨论一下,这几个函数关系式之间有什么关系? 新知探究 下列关系式中，哪些是一次函数? 哪些是正比例函数？ (1)y＝－x－4; (2)y＝5x2－6; (3)y＝2πx; (6)y＝8x2＋x(1－8x). 解：(1)是一次函数，不是正比例函数； (2)不是一次函数，也不是正比例函数； (3)是一次函数，也是正比例函数； (4)是一次函数，也是正比例函数； (5)不是一次函数，也不是正比例函数； (6)是一次函数，也是正比例函数． 新知探究 方法总结 1.判断一个函数是一次函数的条件： 自变量是一次整式，一次项系数不为零. 2.判断一个函数是正比例函数的条件： 自变量是一次整式，一次项系数不为零，常数项为零． 新知探究 例1：已知函数y＝(m－5)xm²－24＋m＋1. (1)若它是一次函数，求m的值； (2)若它是正比例函数，求m的值． 解：(1) 因为y＝(m－5)xm²－24＋m＋1是一次函数， 所以 m2－24＝1且m－5≠0， 所以 m＝±5且m≠5， 所以 m＝－5， 所以当m＝－5时，函数y＝(m－5)xm²－24 ＋m＋1是一次函数． 新知探究 (2)因为 y＝(m－5)xm²－24＋m＋1是正比例函数， 所以 m2－24＝1且m－5≠0且m＋1＝0. 所以 m＝±5且m≠5且m＝－1， 则这样的m不存在， 所以函数y＝(m－5)xm²－24＋m＋1不可能为 正比例函数． 【方法总结】函数是一次函数，则k≠0，且自变量的次数为1.当b＝0时，一次函数为正比例函数． 新知探究 例2：画出正比例函数y=2x的图象. 解： x y 1 0 0 -1 2 -2 … … … … 2 4 -2 -4 解析法 列表法 ①列表 正比例函数的图象的画法 新知探究 y=2x ②描点 以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点. ③连线 新知探究 画函数图象的一般步骤： ①列表 ②描点 ③连线 根据这个步骤画出函数y=-3x的图象. 新知探究 这两个函数图象有什么共同特征？ y 1 2 4 5 - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 1 - 2 - 3 - 4 1 4 3 y= - 3x 3 2 1 2 5 - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 1 - 2 - 3 - 4 1 4 3 O - 3 2 x y=2x 新知探究 y=kx (k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线 y=kx(k≠0) 经过的象限 k＞0 第一、三象限 k＜0 第二、四象限 怎样画正比例函数的图象最简单？为什么？ 由于两点确定一条直线，画正比例函数图象时我们只需描点(0，0)和点 (1，k)，连线即可. 两点 作图法 新知探究 O 用你认为最简单的方法画出下列函数的图象： （1） y=-3x；（2） x 0 1 y=-3x 0 -3 0 y=-3x 新知探究 例3： 已知正比例函数y=(m+1)xm2 ，它的图象经过第几象限？ m+1=2>0， ∵该函数是正比例函数， m2=1， { ∴根据正比例函数的性质，k>0可得该图象经过第一、三象限. 解： 新知探究 （1）若函数图象经过第一、三象限，则k的取值 范围是________. 变式： 已知正比例函数y=(k+1)x. k＞-1 （2）若函数图象经过点（2，4），则k_____. 解析：因为函数图象经过第一、三象限，所以 k+1>0，解得k>-1. 解析：将坐标（2，4）带入函数表达式中，得 4=2(k+1)，解得k=1. =1 新知探究 正比例函数图象的性质 画一画：在同一直角坐标系内画出正比例函数 y=x , y=3x, y=- x和 y=-4x 的图象. 这个函数中,随着x的增大,y的值分别如何变化? 新知探究 当k＞0时, x增大时,y的值也增大. 当k＜0时, x增大时,y的值反而减小. x y O 2 4 y = 2x 1 2 2 4 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 y = x 3 2 -3 -6 x y O 想一想：下列函数中,随着x的增大,y的值分别如何变化? 新知探究 在正比例函数y=kx中， 当k>0时，y的值随着x值的增大而增大; 当k<0时，y的值随着x值的增大而减小. 总结归纳 （1）正比例函数y=x和y=3x中，随着x值的增大,y的值都增加了，其中哪一个增加得更快？你能说明其中的道理吗？ （2）正比例函数y=- x和y=-4x中，随着x值的增大,y的值都减小了，其中哪一个减小得更快？你是如何判断的？ |k|越大，直线越陡，直线越靠近y轴. 新知探究 1.已知正比例函数y=kx (k>0)的图象上有两点（x1，y1）， （x2，y2）. 若x1<x2，则y1 y2. < 2. 正比例函数y=k1x和y=k2x的图象如图，则k1和k2的大小关系是（ ） A. k1>k2 B. k1=k2 C. k1<k2 D. 不能确定 y=k1x y=k2x x y o A 新知探究 例4： 已知正比例函数y=mx的图象经过点（m，4），且y的值随着x值的增大而减小，求m的值. 解：因为正比例函数y=mx的图象经过点（m，4）, 所以4=m·m，解得m=±2. 又y的值随着x值的增大而减小， 所以m<0，故m=－2. 新知探究 正比例函数的图象和性质 正比例函数: y=kx(k≠0） 图象：经过原点的直线. 一次函数: y=kx+b (k、b为常数，且k≠0） 当k>0时，y的值随着x值的增大而增大; 当k<0时，y的值随着x值的增大而减小. 课堂小结 课堂小测 1.下列图象哪个可能是函数y=-x的图象（ ） B 　2.对于正比例函数y =（k-2）x，当x 增大时，y 随x 的增大而增大，则k的取值范围 （ ） 　　A．k＜2　　　　　　B．k≤2 　　C．k＞2　　　　　　D．k≥2 C x y o x y o x y o x y o 3.函数y=-7x的图象经过第_________象限，经过点 _______与点 ，y随x的增大而_______. 二、四 （0，0） （1，-7） 减小 4.已知正比例函数y=(2m+4)x. （1）当m ，函数图象经过第一、三象限； （2）当m ，y 随x 的增大而减小； （3）当m ，函数图象经过点（2，10）. ＞-2 <-2 =0.5 课堂小测 　　5. 比较大小： 　 （1）k1 k2；（2）k3 k4； 　 （3）比较k1， k2， k3， k4大小，并用不等号连接． ＜ 解： k1＜k2 ＜k3 ＜k4 4 2 -2 -4 4 x y O y =k4 x -4 -2 2 y =k3 x y =k2 x y =k1 x ＜ 课堂小测 6. 已知函数y=(m-1)x+1-m2 . （2）当m为何值时，这个函数是正比例函数? （1）当m为何值时，这个函数是一次函数? 解：（1）由题意可得 m-1≠0，解得m≠1. （2）由题意可得 m-1≠0，1-m2=0，解得m=-1. 即m≠1时，这个函数是一次函数. 即m=-1时，这个函数是正比例函数. 课堂小测 7. 已知某种小汽车的耗油量是每100km耗油15 L．所使用的汽油为5元/ L ． （1）写出汽车行驶途中所耗油费y（单位：元）与行程 x（单位：km）之间的函数关系式; （2）在平面直角坐标系内描出大致的函数图象; （3）计算该汽车行驶220 km所需油费是多少. 课堂小测 y/元 x/km 1 2 3 4 5 6 7 6 5 4 3 2 1 O （1）y=5×15x/100， 即 . （2） x 0 4 y 0 3 列表 （3）当x=220时， 答：该汽车行驶220 km所需油费是165元． 描点 连线 （元）. 解： 课堂小测 $