12.2 第4课时 分段函数及其应用（PPT课件）-【学海风暴】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步备课（沪科版2024）

第12章 函数与一次函数 八年级数学沪科版·上册 12.2 第4课时 分段函数及其应用 授课人：XXXX 1 新课引入 小明从家里出发去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家，其中x表示时间，y表示小明离他家的距离． 该图表示的函数是正比例函数吗？是一次函数吗？你是怎样认为的？ 在0—15分是正比例函数，从25—37分是一次函数，从55—80分是一次函数. 购买种子 量/kg 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 … 付款金额/元 … 问题 “黄金1号”玉米种子的价格为5 元/kg，如果一次购买2 kg 以上的种子，超过2 kg 部分的种子的价格打8 折. 　 （1）填写下表： 2.5 5 7.5 10 12 14 16 18 新知探究 （2）写出付款金额关于购买量的函数解析式，并画出函数图象. 分析：从题目可知，种子的价格与 有关. 若购买种子量为x＞2时，种子价格y为： . 若购买种子量为0≤x≤2时，种子价格y为： . 购买种子量 y=5x y=4（x-2）+10=4x+2 新知探究 解：设购买量为x千克，付款金额为y元. 当x＞2时， y=4（x-2）+10=4x+2. 当0≤x≤2时，y=5x； y=5x(0≤x≤2) y=4x+2(x>2) y x O 1 2 10 3 14 ∴y = 5x(0≤x≤2) 4x+2(x>2) 函数图象: （2）写出购买量关于付款金额的函数解析式，并画出函数图象. 叫做分段函数. 注意：1.它是一个函数； 2.要写明自变量取值范围. 新知探究 思考：你能由上面的函数解析式或函数图象解决以下问题吗？　 （1）一次购买1.5 kg 种子，需付款多少元？ （2）30元最多能购买多少种子？ 解： (1)当x=1.5时，y=5x=7.5. 答：需付款7.5元. (2)因为5×2=10元，小于30元， 所以x>2， 由题意可得：4x+2=30 所以x=7 答：30元最多能购买7kg种子. 新知探究 在自变量的不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同的形式，这样的函数称为分段函数，分段函数在生活中也有很多应用. 新知探究 例1 为节约用水，某市制定以下用水收费标准:每户每月用水不超过8m3时，每立方米收取1元外加0.3元 的污水处理费；超过8m3时，超过部分每立方米收 取1.5元外加1.2元的污水处理费.设一户每月用水量为x立 方米，应缴水费y元. （1）求出y关于x的函数关系式； 解：（1）y关于x的函数关系式为 (1+0.3)x =1.3x (0≤x≤8)， (1.5+1.2)(x-8)+1.3 × 8=2.7x-11.2 (x＞8). y= 新知探究 函数图象如图所示. 30 20 10 8 16 O . . (8,10.4) (16,32) y/元 x/m3 （2）画出上述函数图象; （3）当该市某户某月的用水量为x=5m3或x=10 m3时，求应缴的水费; （3）当x=5 m3时， y=1.3×5=6.5（元）； 当x=10m3时，y=2.7×10-11.2=15.8（元）. 即当用水量为5m3时，该户应缴水费6.5元；当用水量为10m3时，该户应缴水费15.8元. 新知探究 （4）y=26.6>1.3×8，可知该户这月用水超过8m3, 因此，2.7x-11.2=26.6， 解方程，得 x=14. 即该户本月用水量为14m3. 要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程． 方法总结 （4）该市某户某月缴水费26.6元，求该户这个月用水量. 新知探究 例2 全国每年都有大量土地被沙漠吞没，改造沙漠，保护土地资源已经成为一项十分紧迫的任务.某地区现有土地100万平方千米，沙漠200万平方千米，土地沙漠化的变化情况如下图所示. (1)如果不采取任何措施，那么 到第5年底，该地区沙漠面积 将增加多少万千米2？ 10万千米2 新知探究 新知探究 (2)如果该地区沙漠的面积继续按此趋势扩大，那么从现在开始，第几年底后，该地区将丧失土地资源？ (3)如果从现在开始采取植树造林措施，每年改造4万千米2 沙漠，那么到第几年底，该地区的沙漠面积能减少到176万千米2． 每年新增面积为2万千米2，所以第50年底后将丧失土地资源. 第12年底 分段函数 分段函数的具体应用 对分段函数图象的理解 课堂小结 解：(1)由题意得 当0≤t≤2时，T=20； 当2<t≤4时，T=20+5(t-2)=5t+10 函数解析式为： T = 20(0≤t≤2) 5t+10(2<t≤4) T=20(0≤t≤2) T=5t+10(2<t≤4) 20 10 40 T/℃ t/h O 1 2 30 4 3 (2)函数图像： 1.一个试验室在0：00—2：00保持20℃的恒温，在2：00—4：00匀速升温，每小时升高5℃.写出试验室温度T（单位：℃）关于时间t（单位：h）的函数解析式，并画出函数图象. 课堂小测 2.近几年来，由于经济和社会发展迅速，用电量越来越多.为缓解用电紧张，某电力公司特制定了新的用电收费标准，每月用电量x（千瓦时）与应付电费y（元）的关系如图所示. 25 50 75 100 25 50 70 100 O y(元） x(千瓦时） 75 课堂小测 ⑴请你根据图象所描述的信息，分别求出当0≤x≤50 和x>50时，y与x的函数表达式； 解:当0≤x≤50 时，由图象可设 y=k1x， ∵其经过（50，25），代入得25=50k1， ∴k1=0.5，∴y=0.5x ; 当x＞50时，由图象可设 y=k2x+b， ∵其经过（50,25），（100,70）， 得k2=0.9,b=-20,∴y=0.9x-20. 25 50 75 100 25 50 70 100 O y(元） x(千瓦时） 75 课堂小测 ⑵根据你的分析：当每月用电量不超过50千瓦时时，收费标准是多少？当每月用电量超过50千瓦时时，收费标准是多少？ 解：不超过50千瓦时的部分按0.5元/千瓦时计算，超过的部分按0.9元/千瓦时计算. 课堂小测 3.某医药研究所开发了一种新药，在实际验药时发现，如果成人按规定剂量服用，那么每毫升血液中含药量y（毫克）随时间x（时）的变化情况如图所示，当成年人按规定剂量服药. （1）服药后____小时，血液中含药量最高,达到每毫升_____毫克； （2）服药5小时，血液中含药量为每毫升____毫克； （3）当x≤2时, y与x之间的函数关系式是_____； （4）当x≥2时, y与x之间的函数关系式是_________； （5）如果每毫升血液中含药量3毫克 或3毫克以上时，治疗疾病最有效， 那么这个有效时间是___ 小时. x/时 y/毫克 6 3 2 5 O 2 6 3 y=3x y=-x+8 4 课堂小测 （1）小明全家在旅游景点游玩了多少小时？ 4.“五一”黄金周的某一 天，小明全家上午8时自驾小汽车从家里出发，到距离180千米的某著名旅游景点游玩.该小汽车离家的距离s(单位：千米)与时间t(单位：时)的关系可以用图中的曲线表示.根据图象提供的有关信息，解答下列问题： 解：由图象可知，小明全家在旅游景点游玩了4小时. 5 10 15 120 180 s（千米） t（时） O A B C D 8 14 课堂小测 （2）求出返程途中，s(单位：千米)与时间t(单位：时)的函数关系，并回答小明全家到家是什么时间？ 解：设s=kx+b,由图象过（14，180）,（15，120）, ∴S=-60t+1020 . 令S=0，得t=17. ∴返程途中S 与时间t的函数关系是 S=-60t+1020（14≤x≤17）， 小明全家当天17:00到家. 课堂小测 $