1.3 勾股定理的应用（PPT课件）-【学海风暴】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步备课（北师大版2024）

第一章 勾股定理 八年级数学北师版·上册 3 勾股定理的应用 授课人：XXXX 1 新课引入 “折竹抵地”(源自《九章算术》): 今有竹高一丈，风折抵地，去本三尺，问折者高几何? 大意:一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处距离竹子底部3尺远.问折断后的竹子有多高? 古代趣题 新知探究 装修工人李叔叔想检测某块装修用砖（如图）的边AD 和边 BC 是否分别垂直于底边 AB. （1）如果李叔叔随身只带了卷尺，那么你能替他想办法完成任务吗？ 用卷尺分别测量 AD，DB，AB 的长， 若 AD2 + AB2＝DB2， 则 ∠A＝90°，即AD⊥AB. A B C D A B C D （2）李叔叔测得边 AD 长 30 cm，边 AB 长 40 cm，点 B，D 之间的距离是 50 cm. 边 AD 垂直于边 AB 吗? ∵ AD2 + AB2＝302 + 402＝2500， DB2＝502＝2500， ∴∠A＝90°，即AD⊥AB. 所以边 AD 垂直于边 AB 新知探究 (3) 如果李叔叔随身只带了一个长度为 20 cm 的刻度尺，那么他能检验边 AD 是否垂直于边 AB 吗? A B C D E F 能检验. 在 AD 上从 A 点量取 12 cm 得点 E，在 AB 上从 A 点量取 16 cm 得点 F. 因为 12² + 16²= 20²， 用刻度尺测 EF 长度，若 EF = 20 cm， 根据勾股定理逆定理，AD⊥AB； 若 EF≠20 cm，则 AD 不垂直 AB. 新知探究 新知探究 如图，正方形纸片 ABCD 的边长为 8 cm，点 E 是边 AD 的中点，将这个正方形纸片翻折，使点 C 落到点 E 处，折痕交边 AB 于点 G，交边 CD 于点 F. 你能求出 DF 的长吗? 解：∵点 E 是边 AD 的中点，∴ DE = AD = 4 cm. 设 DF = x cm， 则 CF = EF = (8 - x) cm， 在Rt△DEF 中，DE2 + DF2 = EF2， 则 42 + x2 = (8 - x)2，解得 x = 3. ∴DF 的长为 3 cm. 新知探究 例 今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐. 问：水深、葭长各几何？(选自《九章算术》) 题目大意：有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形. 在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺（如图）.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面. 这个水池的深度和这根芦苇的 长度各是多少? B O C A 新知探究 解：设水池的水深 OA 为 x 尺，则芦苇的长度 OB 为 (x + 1) 尺. 由于芦苇位于水池中央，所以 AC为 5 尺. 在Rt△OAC 中，由勾股定理，可得 AC2 + OA2 = OC2， 即 52 + x2 = (x + 1)2. 解得 x = 12. 12 + 1 = 13. 因此，水池的深度是 12 尺，芦苇的长度是 13 尺. B O C A “折竹抵地”(源自《九章算术》): 今有竹高一丈，风折抵地，去本三尺，问折者高几何? 大意:一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处距离竹子底部3尺远.问折断后的竹子有多高? 古代趣题 新知探究 由勾股定理得AB2+BC2=AC2，即x2+32=(10-x)2，解得x=4.55. 折断后竹子4.55尺高. 解:由题意，得BC=3， 设AB=x，则AC=10-x， 新知探究 巩固练习 1.如图所示，有两棵树，一棵高10 m，另一棵高4 m，两树相距8 m.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行(　　) A.8 m　　 B.10 m C.12 m D.14 m 解析:如图所示，大树高AB=10 m，小树高CD=4 m，过C点作CE⊥AB于E点，则四边形EBDC是矩形，连接AC，∴EB=4 m，EC=8 m，AE=AB-EB=10-4=6m，在Rt△AEC中，AC2=AE2+CE2=62+82=102，∴AC=10 m. B 巩固练习 2.如图所示，将一根长24 cm的筷子放入底面直径为5 cm，高为12 cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的最小值是 (　　) A.12 cm B.13 cm C.11 cm D.9 cm 解析:如图所示，设杯子的底面直径为a，高为b，筷子在杯中的长度为c，根据勾股定理，得c2=a2+b2，∴c2=a2+b2=52+122=132，∴c=13 cm，∴h=24-13=11cm. C 课堂小结 1.解决两点距离问题:正确画出图形，已知直角三角形两边长，利用勾股定理求第三边长. 2.解决航海问题:理解方向角等概念，根据题意画出图形，利用勾股定理或其逆定理解题. 3.解决实际问题中两线段是否垂直的问题:以已知两线段为边构造一个三角形，根据三边的长度，利用勾股定理的逆定理解题. 课堂小结 4.解决折叠问题:正确画出折叠前、后的图形，运用勾股定理及方程思想解题. 5.解决梯子问题:梯子架到墙上，梯子、墙、地面可构成直角三角形，利用勾股定理等知识解题. 课堂小测 1. 强大的台风使得一根旗杆在离地面5m处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆12m处，旗杆折断之前的 高度是(　D　) A. 12m B. 13m C. 17m D. 18m 第1题图 D 课堂小测 2.如图所示，铁路AB的一边有C，D两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知AB=25 km，DA=15 km，CB=10 km，现要在铁路上建一个农产品收购站E，并使DE=CE，则农产品收购站E应建在距点A多少千米处? 解:设AE=x km，则BE=(25-x)km. ∵DE=CE，∴DE2=CE2. ∵在Rt△DAE中，DA2+AE2=DE2，在Rt△EBC中，BE2+BC2=CE2，∴DA2+AE2=BE2+BC2， 即152+x2=(25-x)2+102，解得x=10. 故收购站E应建在距点A 10 km处. $