17.2 第2课时 利用完全平方公式分解因式（PPT课件）-【学海风暴】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步备课（人教版2024）

第十七章 因式分解 八年级数学人教版·上册 17.2 第2课时 利用完全平方公式分解因式 授课人：XXXX 1 教学目标 1.理解并掌握用完全平方公式分解因式．（重点） 2.灵活应用各种方法分解因式，并能利用因式分解进行计算．（难点） 新课导入 回顾旧知 1.因式分解： 把一个多项式转化为几个整式的积的形式. 2.我们已经学过哪些因式分解的方法？ 1.提公因式法 2.平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b) 新课导入 你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？ 同学们拼出图形为： a a b b a b a b ab a² b² ab 一、用完全平方公式分解因式 新课导入 这个大正方形的面积可以怎么求？ a2+2ab+b2 （a+b）2 = （a+b）2 a2+2ab+b2 = 将上面的等式倒过来看，能得到： a b a b a² ab ab b² 新课导入 a2+2ab+b2 a2-2ab+b2 我们把a²+2ab+b² 和a²-2ab+b² 这样的式子叫作完全平方式. 观察这两个式子： （1）每个多项式有几项？ （3）中间项和第一项，第三项有什么关系？ （2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？ 三项 这两项都是数或式的平方，并且符号相同 是第一项和第三项底数的积的±2倍 新知探究 完全平方式的特点： 1.必须是三项式（或可以看成三项的）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2倍. 完全平方式: 新知探究 简记口诀： 首平方，尾平方，首尾两倍在中央. 凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解. 2 a b + b2 ± = (a ± b)² a2 首2 +尾2 ±2×首×尾 (首±尾)2 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方. 新知探究 3.a²+4ab+4b²=( )²+2· ( ) ·( )+( )²=( )² 2.m²-6m+9=( )² - 2· ( ) ·( )+( )² =( )² 1. x²+4x+4= ( )² +2·( )·( )+( )² =( )² x 2 x + 2 a a 2b a + 2b 2b 对照 a²±2ab+b²=(a±b)²，填空： m m - 3 3 x 2 m 3 新知探究 下列各式是不是完全平方式？ （1）a2－4a+4; （2）1+4a²; （3）4b2+4b-1; （4）a2+ab+b2; （5）x2+x+0.25. 是 （2）因为它只有两项； 不是 （3）4b²与-1的符号不统一； 不是 分析： 不是 是 （4）因为ab不是a与b的积的2倍. 新知探究 例1 如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是( ) A . 11 B. 9 C. -11 D. -9 B 解析：根据完全平方式的特征，中间项-6x=2x×(-3),故可知 N=(-3)2=9. 变式训练: 如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值为________. 解析：∵16=(±4)2，故-m=2×(±4)，m=±8. ±8 典例精析: 新知探究 方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征， 根据参数所 在位置结合公式找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出 参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免漏解． 新知探究 例2 分解因式： （1）16x2+24x+9； （2）-x2+4xy-4y2. 分析：(1)中， 16x2=(4x)2, 9=3²,24x=2·4x·3, 所以16x2+24x+9是一个完全平方式， 即16x2 + 24x +9= (4x)2+ 2·4x·3 + (3)2. 2 a b +b2 a2 (2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为 -(x2-4xy+4y2),然后再利用公式分解因式. 新知探究 解： (1)16x2+ 24x +9 = (4x + 3)2. = (4x)2 + 2·4x·3 + (3)2 (2)-x2+ 4xy-4y2 =-(x2-4xy+4y2) =-(x-2y)2. 新知探究 例3 把下列各式分解因式： (1)3ax2+6axy+3ay2 ； (2)(a+b)2-12(a+b)+36. 解: (1)原式=3a（x2+2xy+y2） =3a（x+y）2. 分析：(1)中有公因式3a,应先提出公因式，再进一步分解因式. (2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m,则原式化为m2-12m+36. (2)原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62 =(a+b-6)2. 新知探究 利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式等）的多 项式分解因式，这种分解因式的方法叫作公式法. 新知探究 因式分解： (1)－3a2x2＋24a2x－48a2； (2)(a2＋4)2－16a2. 针对训练 ＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a) 解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16) ＝－3a2(x－4)2. (2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2 ＝(a＋2)2(a－2)2. 有公因式要先提公因式 要检查每一个多项式的因式，看能否继续分解 新知探究 例4 把下列完全平方公式分解因式： (1)1002－2×100×99+99²； (2)342＋34×32＋162. 解：(1)原式=(100－99)² (2)原式＝(34＋16)2 本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算 =1. ＝2500. 新知探究 例5 已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1的值． ＝112＝121. 解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0， ∴(x－2)2＋(y－5)2＝0. ∵(x－2)2≥0，(y－5)2≥0， ∴x－2＝0，y－5＝0， ∴x＝2，y＝5， ∴x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2 几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0 新知探究 方法总结：此类问题一般情况是通过配方将原式转化为非负数的 和的形式，然后利用非负数性质解答问题． 课堂小结 完全平方公式分解因式 公式 a2±2ab+b2=(a±b)2 特点 （1）要求多项式有三项. （2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平 方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍， 符号可正可负. 课堂小测 1.下列四个多项式中，能因式分解的是( ) A．a2＋1 B．a2－6a＋9 C．x2＋5y D．x2－5y 2.把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是( ) A．4xy(x－y)－x3 B．－x(x－2y)2 C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2) 3.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是________． B B 1 4.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的值为___________． ±4 课堂小测 5.把下列多项式因式分解. （1）x2－12x+36; （2）4(2a+b)2-4(2a+b)+1; （3） y2+2y+1－x2. (2)原式=[2(2a+b)]² － 2·2(2a+b)·1+(1)² =(4a+2b－1)2. 解：(1)原式 =x2－2·x·6+(6)2 =(x－6)2. (3)原式=(y+1)² －x² =(y+1+x)(y+1－x). 课堂小测 (2)原式 6.计算：( 1 )38.92－2×38.9×48.9＋48.92; 解：(1)原式＝(38.9－48.9)2 ＝100. 课堂小测 7.分解因式:(1)4x2＋4x＋1；(2) 小聪和小明的解答过程如下： 他们做对了吗？若错误，请你帮忙纠正过来. x2－2x＋3. (2)原式＝ (x2－6x＋9)＝ (x－3)2. 解:(1)原式＝(2x)2＋2•2x•1＋1＝(2x+1)2. 小聪: 小明: × × 课堂小测 8.(1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值； (2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值． 原式＝2×52＝50. 解：(1)原式＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2. 当a－b＝3时，原式＝32＝9. (2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2. 　当ab＝2，a＋b＝5时， $