14.3 第2课时 角的平分线的判定（PPT课件）-【学海风暴】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步备课（人教版2024）

第十四章 全等三角形 八年级数学人教版·上册 14.3 第2课时 角的平分线的判定 授课人：XXXX 1 教学目标 1.理解角平分线判定定理.(难点） 2.掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其解题.（重点） 3.学会判断一个点是否在一个角的平分线上. 新课导入 回顾旧知 P到OA的距离 P到OB的距离 角平分线上的点 几何语言描述： ∵ OC 平分∠AOB， 且PD⊥OA， PE⊥OB. ∴ PD= PE. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 1.叙述角平分线的性质定理 不必再证全等 O D P A C B E 新课导入 2.我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等.那么到角的两边的距 离相等的点是否在角的平分线上呢？ 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 新课导入 P A O B C D E 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 交换角的平分线的性质中的已知和结论，能得到什么结论，这个新结论正确吗？ 角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. ∵ OC平分∠AOB， 且PD⊥OA， PE⊥OB， ∴ PD= PE. 几何语言： 猜想: 思考：这个结论正确吗？ 一、角平分线的判定 新课导入 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE. 求证：点P在∠AOB 的平分线上. 证明： 作射线OP. ∴点P在∠AOB 的平分线上. 在Rt△PDO 和Rt△PEO 中, （全等三角形的对应角相等）, OP=OP（公共边）, PD= PE（已知 ）, B A D O P E ∵PD⊥OA,PE⊥OB, ∴∠PDO=∠PEO=90°. ∴Rt△PDO ≌Rt△PEO（ HL）, ∴∠AOP=∠BOP 证明猜想 新知探究 判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. P A O B C D E 应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. 定理的作用：判断点是否在角平分线上. 应用格式： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE. ∴点P 在∠AOB 的平分线上. 知识总结 新知探究 典例精析 例1 如图，要在S区建一个集贸市场，使它到铁路和公路距离相等， 并且离公路与铁路的交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？ D C S 解：作夹角的角平分线OC， 截取OD=2.5cm ,D即为所求. O 方法点拨：根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点. 新知探究 活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？ 发现：三角形的三条角平分线相交于一点 二、三角形的内角平分线 新知探究 活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量每组垂线段，你发现了什么？ 发现：过交点作三角形三边的垂线段相等 你能证明这个结论吗？ 新知探究 如图，△ABC 的角平分线BM，CN 相交于点P. 求证：点P 到三边AB，BC，CA 的距离相等. 证明结论 证明：过点P 作PD，PE，PF分别垂直于AB， BC，CA，垂足分别为D，E，F. ∵BM 是△ABC 的角平分线， 点P 在BM上， ∴PD=PE.同理PE=PF. ∴PD=PE=PF. 即点P 到三边AB，BC，CA的距离相等. D E F A B P N M C C B N M 新知探究 想一想：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？ 点P在∠A的平分线上. 结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等. D E F A B P N M C 新知探究 变式1：如图，在直角△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,若OM＝4. (1)求点O到△ABC三边的距离和; 温馨提示：不存在垂线段———构造应用 M E N A B C P O D 解：∵AP平分∠BAC，OE⊥AB，OM⊥AC ∴OE=OM=4 同理OE=ON ∴OE=OM=ON=4 ∴点O到△ABC三边的距离和为12. 新知探究 解：连接OC 变式1：如图，在直角△ABC中，AC=BC,∠C＝900，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,若OM＝4. (2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积. M E N A B C P O D AC·OM BC·ON AB·OE AC + BC + AB 新知探究 例2 如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为(　　) A．110° B．120° C．130° D．140° A 解析：由已知，O到三角形三边的距离 相等，所以O是内心，即三条角平分线 的交点，AO，BO，CO都是角平分线， 所以有∠CBO＝ ∠ABO＝ ∠ABC， ∠BCO＝∠ACO＝ ∠ACB， ∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°， ∠OBC＋∠OCB＝70°， ∠BOC＝180°－70°＝110°. 新知探究 由已知，O 到三角形三边的距离相等，得O是内心，再利用三角形内角和 定理即可求出∠BOC的度数． 方法总结 新知探究 归纳总结 角的平分线的性质 图形 已知 条件 结论 P C P C OP平分∠AOB PD⊥OA于D PE⊥OB于E PD=PE OP平分∠AOB PD=PE PD⊥OA于D PE⊥OB于E 角的平分线的判定 1. 如图，某个居民小区C的附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P. 小区C P A O B M N 新知探究 2. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由． 解：AD 平分∠BAC．理由如下： ∵D 到PE 的距离与到PF 的距离相等， ∴点D 在∠EPF 的平分线上． ∴∠1＝∠2． 又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3． 同理，∠2＝∠4． ∴∠3＝∠4，∴AD 平分∠BAC． A B C E F D ( ( ( ( 3 4 1 2 P 新知探究 课堂小结 角平分线 的判定定理 内容 角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 作用 判断一个点是否在角的平分线上 结论 三角形的角平分线相交于内部一点 课堂小测 1.如图，已知∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点F， 求证：点F 在∠DAE 的平分线上． 证明： 过点F 作FG⊥AE 于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M. ∵点F 在∠BCE 的平分线上， FG⊥AE， FM⊥BC. ∴FG＝FM. 又∵点F 在∠CBD 的平分线上， FH⊥AD， FM⊥BC， ∴FM＝FH， ∴FG＝FH. ∴点F 在∠DAE 的平分线上.　　　 G H M A B C F E D 课堂小测 拓展思维 2.如图, 直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路, 现要建一个货物中转站, 要求它到三条公路的距离相等, 可选择的地址有几处? 画出它的位置. 课堂小测 P1 P2 P3 P4 l1 l2 l3 $