13.2.2 三角形的中线、角平分线、高（PPT课件）-【学海风暴】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步备课（人教版2024）

第十三章 三角形 八年级数学人教版·上册 13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 授课人：XXXX 1 教学目标 1.掌握三角形的中线、角平分线、高的概念.（重点） 2.掌握三角形的中线、角平分线、高的画法. 3.掌握钝角三角形的两短边上高的画法.（难点） 新课导入 复习回顾 定义 图示 垂线 线段中点 角平分线 O B A A B 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线 把一条线段分成两条相等的线段的点 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线 新课导入 画一画 如图，P为线段AB右上方一点，过点P作线段AB的垂线. P ● A B 新知探究 问题1 如图，如果点C是线段AB的中点，你能得到什么结论？ A C B AC=BC= AB 一、三角形的中线 新知探究 问题2 如图，如果点D是线段BC的中点，那么线段AD就称为△ABC的中线．类比三角形的高的概念，试说明什么叫三角形的中线？ A B C 定义： 如图，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D,所得线段AD叫作△ABC的边BC上的中线. 想一想：由三角形的中线能得到什么结论？ BD=CD= BC D 新知探究 画一画：如图，分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，并观察它们中线的交点有什么规律？ 画图发现 三角形的三条中线交于三角形内部一点.这一点我们称为三角形的重心. A B C A B C A B C D E F D D E F E F O O O 取一块质地均匀的三角形木板，顶住三条中线的交点，木板会保持平衡，这个平衡点就是这块三角形木板的重心. 新知探究 问题3 如图所示，在△ABC中，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高．试判断 △ABD和△ACD的面积有什么关系？为什么？ B C D E A 答：相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等. 问题4 通过问题3你能发现什么规律？ 答：三角形的中线能将三角形的面积平分. 新知探究 典例精析 例1：如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF和△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，求S△ADF－S△BEF的值. 解：∵点D是AC的中点，∴AD＝ AC. ∵S△ABC＝12，∴S△ABD＝ S△ABC＝ ×12＝6. ∵EC＝2BE，S△ABC＝12，∴S△ABE＝ S△ABC＝ ×12＝4. 新知探究 方法总结：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比． ∵S△ABD－S△ABE＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△ABF＋S△BEF)＝S△ADF－S△BEF， 即S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2. 新知探究 问题1 如图，若OC是∠AOB的平分线，你能得到什么结论？ A C B O ∠AOC= ∠BOC 问题2 你能用同样的方法画出任意一个三角形的一个内角的平分线吗? A B C D 想一想：三角形的角平分线与角的角平分线相同吗? 相同点是： ∠ABD= ∠ CBD; 不同点是：前者是线段，后者是射线. 二、三角形的角平分线 新知探究 问题4：请画出这个三角形的另外两条角平分线,你发现了什么？ 三角形的三条角平分线交于一点． A B C D E F 问题3：一个三角形有几条角平分线？ 3条 称之为三角形的内心． 新知探究 观察锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条角平分线，你又有 什么发现？ 新知探究 例2：如图，DC平分∠ACB，DE∥BC, ∠AED=80°，求∠ECD的度数. 解：∵DC平分∠ACB, 又DE∥BC, 典例精析 ∴∠ACB =∠AED=80°. ∴∠ECD=40°. ∴∠ECD=∠BCD= ∠ACB. E D C B A 新课导入 问题1 什么是三角形的高？怎样画三角形的高？ 定义 如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D,所得线段AD叫作△ABC的边BC上的高线.三角形的 高线简称三角形的高. 问题2 由三角形的高你能得到什么结论？ ∠ADB= ∠ADC=90 ° A B C D 垂足 注意: 标明垂直的记号和垂足的字母. 三、三角形的高 新知探究 高的叙述方法（如图）：有三种 ②AD⊥BC,垂足为D. ③点D在BC上，且∠BDA=∠CDA=90°. ①AD是△ABC的高. A B C D 新知探究 锐角三角形的三条高 问题1 每人画一个锐角三角形. (1) 你能画出这个三角形的三条高吗? (2) 这三条高之间有怎样的位置关系？ O 问题2 锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部? A B C D E F 锐角三角形的三条高交于同一点. 锐角三角形的三条高都在三角形的内部. 探究交流 新知探究 直角三角形的三条高 问题：在纸上画出一个直角三角形. A B C (1)画出直角三角形的三条高. 直角边BC上的高是______; AB 直角边AB上的高是 ; CB (2)它们有怎样的位置关系？ D 斜边AC上的高是_______. BD ● 直角三角形的三条高交于直角顶点. 新知探究 A B C D E F 钝角三角形的三条高 问题： (1) 钝角三角形的三条高交于一点吗？ (2)它们所在的直线交于一点吗？ O 钝角三角形的三条高不相交于一点 钝角三角形的三条高所在直线交于一点 新知探究 三角形的三条高的特性 高所在的直线是否相交 高之间是否相交 高在三角形内部的数量 钝角三角形 直角三角形 锐角三角形 3 1 1 相交 相交 不相交 相交 相交 相交 三条高所在直线的交点的位置 三角形 内部 直角顶点 三角形 外部 新知探究 典例精析 例3：如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，求BP的最小值. 解：根据垂线段最短，可知当BP⊥AC时，BP有最小值． 由△ABC的面积公式可知, AD·BC ＝ BP·AC. 代入数值，可解得BP＝4×6÷5=4.8 . 新知探究 方法总结:面积法的应用：若涉及两条高求长度，一般需结合面积(但不 求出面积)，利用三角形面积的两种不同表示方法列等式求解. 三角形的 重要线段 概念 图形 表示法 三角形 的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段 ∵AD是△ABC的高线. ∴AD⊥BC， ∠ADB=∠ADC=90° 三角形 的中线 三角形中,连接一个顶点和它对边中点的线段 ∵ AD是△ABC的边BC上的中线. ∴ BD=CD= ½BC 三角形的 角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段 ∵.AD是△ABC的∠BAC的平分线, ∴ ∠1=∠2= ½ ∠BAC 新知探究 课堂小结 三角形重要线段 高 钝角三角形两短边上的高的画法 中线 会把原三角形面积平分 一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差 角平分线 课堂小测 1．下列说法正确的是 （　　） A．三角形三条高都在三角形内 B．三角形三条中线相交于一点 C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可能在三角形外 D．三角形的角平分线是射线 B 课堂小测 2．在△ABC中，AD为中线，BE为角平分线，则以下等式： ①∠BAD=∠CAD；②∠ABE=∠CBE；③BD=DC；④AE=EC． 其中正确的是 （　　） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ D 课堂小测 3.如图，在△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，图中线段中可以作为△ABC的 高的线段有（　） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 4.下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC 的边BC上的高 ( ) A D C B A B C D A B C D A B C D A B C D B D D C B A 课堂小测 5.填空： (1)如图①，AD,BE,CF是△ABC的三条中线，则AB=2 ，BD= ，AE= . (2)如图②，AD,BE,CF是△ABC的三条角平分线，则∠1= ， ∠3=_________， ∠ACB=______. 图① 图② AF DC ∠2 2∠4 AC ∠ABC 答案不唯一 课堂小测 6.如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，S△AEC=3cm2， 则S△ABC =______. 12cm2 D C B A E 课堂小测 7.在△ABC中,CD是中线,已知BC-AC=5cm, △DBC的周长为25cm,求△ADC的周长. A D B C 解： ∵CD是△ABC的中线， ∴BD=AD . ∵BC-AC=5cm, ∴ △DBC与△ADC的周长差是5cm, 又∵ △DBC的周长为25cm， ∴ △ADC的周长=25-5=20(cm). $