专题07 三角形章末易错必刷题型专训（69题23个考点）-2025-2026学年苏科版八年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题07 三角形章末易错必刷题型专训（69题23个考点） 【易错必刷一 三角形的个数问题】 1．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，三角形的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（24-25八年级上·江苏常州·课后作业）观察下图中的小猫图案，它是由若于个三角形拼成的，请你数一数，构成该图案的三角形有 个． 3．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，为四边形内一点，连接，，，，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？ 【易错必刷二 构成三角形的条件】 4．（24-25八年级上·江苏南京·期末）以下列各组数据为边长，能构成三角形的是（   ） A．3，4，5 B．4，4，8 C．3，7，10 D．10，4，5 5．（24-25八年级上·江苏南京·期末）若从如图所示的四条线段中任意选取三条线段，则能组成三角形的是 （填序号）． 6．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）现有三条线段，它们的长分别是9cm，18cm，26cm．这三条线段能构成三角形的三边吗？为什么？ 【易错必刷三 确定第三边的取值范围】 7．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）若一个三角形的三边长分别为，，，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·山东菏泽·模拟预测）在中，，则的长度可能是 ．（写出一个符合要求的值即可） 9．（2025八年级上·江苏·专题练习）如图，已知中，，，是的中线，求的取值范围． 【易错必刷四 重心的概念】 10．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）三角形三条（    ）的交点叫做三角形的重心 A．高 B．角平分线 C．外角角平分线 D．中线 11．（24-25八年级上·江西上饶·期末）三角形的中线把三角形分成了面积相等的两部分，而三条中线交于一点，这一点叫此三角形的 心． 12．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）画出下图中的重心．    【易错必刷五 三角形角平分线的定义】 13．（24-25八年级上·江苏常州·课后作业）如图，是的角平分线，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图：在中，，三角形的外角和的平分线交于点，则 ．    15．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，平分平分，且，，，求的周长． 【易错必刷六 图形的全等】 16．（24-25八年级上·江苏常州·课堂例题）下列每组中的两个图形，是全等形的是（    ） A．   B．   C．   D．   17．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图是由与四边形全等的6个四边形拼成的图形，若，则的长为 cm．    18．（24-25八年级上·江苏盐城·开学考试）如图，将图形分成大小、形状相同的三块，并且每块带一个☆．    【易错必刷七 全等三角形的概念】 19．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．两个直角三角形一定全等 B．形状相同的两个三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．全等三角形的面积一定相等 20．（24-25八年级上·江西上饶·期末）以下说法中，正确的是（填写序号） ． ①周长相等的两个三角形全等； ②有两边及一角分别相等的两个三角形全等； ③两个全等三角形的面积相等； ④面积相等的两个三角形全等． 21．（24-25八年级上·江苏常州·课后作业）如图，，请指出两个全等三角形的对应边和对应角．    【易错必刷八 全等三角形的性质】 22．（25-26八年级上·江苏常州·课后作业）如图，，则的长是（   ） A．1 B．4 C．5 D．不能确定 23．（24-25八年级上·江苏常州·期末）如图，已知，则的度数为 ． 24．（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图，，，，点B，C，D在同一直线上，点E在上，延长交于点F． (1)求的长； (2)求的度数． 【易错必刷九 用SAS证明三角形全等（SAS）】 25．（24-25八年级上·广西南宁·期末）如图，，，能直接判断的依据是（    ） A． B． C． D． 26．（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在和中，，．（1）若添加条件 ，则可用“”判定；（2）若添加条件 ，则可用“”判定． 27．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，，，和全等吗？为什么？ 【易错必刷十 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）】 28．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，小明不慎将一块三角形模具打碎为三块，他可以只带其中的一块碎片到商店去就能配一块与原来一样的三角形模具，带哪块去合适？（      ） A． B． C． D．不确定 29．（24-25八年级·江苏常州·阶段练习）如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是 ． 30．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，点在线段上，，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【易错必刷十一 用SSS证明三角形全等（SSS）】 31．（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）用尺规作角平分线的依据是（    ） A． B． C． D． 32．（24-25八年级上·江苏常州·课后作业）如图，已知，，，则全等三角形共有 对． 33．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，若点、、、在同一直线上，，，．.那么吗？请说明理由. 【易错必刷十二 用HL证全等（HL）】 34．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，要用“HL”证明Rt≌Rt，则需要添加的一个条件是（       ） A． B． C． D． 35．（24-25八年级上·河北唐山·期末）如图，∠C＝90°，AC＝，BC＝8，AX⊥AC，点P和点Q从A点出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当点P运动到AP＝ ，△ABC与△APQ全等． 36．（24-25八年级上·江苏常州·期末）如图，点在线段上，，，，，求证：． 【易错必刷十三 添加条件使三角形全等】 37．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，，，那么添加下列选项中的条件后，仍然不能判定出的是（   ） A． B． C． D． 38．（24-25八年级上·北京顺义·期中）如图，，只添加一个条件使，添加的条件是 ．（只需添加一个即可）． 39．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，已知，，请添加一个条件，使得，（只需添加一个条件），并写出证明过程．    【易错必刷十四 线段垂直平分线的性质】 40．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）为响应总书记“扶贫先扶志，扶贫必扶智”的号召，我市向某县的，，三个学校捐赠一批书籍，若需要建立一个仓库，使该仓库到三个学校的距离相等，则仓库应设置的最适当的位置是在的（   ） A．三边中线的交点 B．三边的垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点 41．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交，于D，E两点，且，，则的周长为 ． 42．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，已知，请用尺规作图法，在外求作一点D，使点D到的三个顶点距离都相等．（保留作图痕迹，不写作法） 【易错必刷十五 线段垂直平分线的判定】 43．（24-25八年级上·江苏常州·单元测试）下列说法中，正确的是（   ） A．过线段中点的直线，叫做这条线段的垂直平分线 B．若直线是线段的垂直平分线，则也是的垂直平分线 C．线段的中垂线平分线段 D．线段的中垂线有无数条 44．（24-25八年级上·湖南永州·期末）到已知线段两个端点距离相等的点一定在该线段的 上． 45．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，已知点D在上，且．求证：点D在边的垂直平分线上． 【易错必刷十六 角平分线的性质定理】 46．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）在正方形网格中，的位置如图所示，到两边距离相等的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 47．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）如图，在中，，平分交于点，过点作，垂足为点．若，，则的长度为 ． 48．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，平分，交于点D，垂直平分，交于点E．若，，求的长． 【易错必刷十七 角平分线的判定定理】 49．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，两把相同的直尺的一边分别与射线重合，另一边相交于点P，则平分的依据是（    ） A．在角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．角平分线的性质 D．角是轴对称图形 50．（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，PM=PN，∠BOC=20°，则∠AOB= 度． 51．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，D是的垂直平分线上一点，过点D作，垂足为点E，F，．求证：点D在的平分线上．    【易错必刷十八 等边对等角】 52．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，是的平分线，若，则等于（   ） A． B． C． D． 53．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）在等腰三角形中，有一个角为，则底角为 ． 54．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点N，交的延长线于点M，若． (1)求的度数； (2)如果将（1）中的度数改为，其余条件不变，再求的度数； (3)你发现有什么样的规律性，试证明之． 【易错必刷十九 三线合一】 55．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在中，于点，点，是上的两点，若，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B．6 C． D．15 56．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在中，，，且，则长为 57．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，，为的中线，点E在上，，连接若，求的度数． 【易错必刷二十 等边三角形的性质】 58．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在等边中，为边上的中线，点E在边上，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 59．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）若等边的周长为，则 ． 60．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，点C，D在线段上，且是等边三角形，，，．求证：． 【易错必刷二十一 等边三角形的判定】 61．（2025八年级上·江苏无锡·专题练习）如图，在中，，，点从点出发，沿射线方向运动，在运动开始后，形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（    ） A．直角三角形等边三角形直角三角形 B．等边三角形直角三角形等腰三角形 C．等边三角形等腰三角形直角三角形 D．等腰三角形直角三角形等边三角形 62．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）已知中，，试添加一个条件，使具有三条对称轴，下列是几个同学的添法：①②③④，其中正确的添法有 个． 63．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，在中，是边的中线，，将沿折叠，使点B落在点E的位置．判断的形状并加以证明． 【易错必刷二十二 含30度角的直角三角形】 64．（24-25八年级上·天津·期末）如图所示，在中，，于点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 65．（2025·江苏泰州·模拟预测）如图，在中，，，，，分别为边，上的任意一点，且．连接．若是直角三角形，则 ． 66．（24-25八年级上·江苏常州·期末）如图，四边形是某公园的一块空地，已知，，，，，现计划在该空地上种植草皮，求该空地上种植草皮的面积是多少？ 【易错必刷二十三 等腰三角形的性质和判定】 67．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，已知，，，动点从点出发，以的速度沿线段向点运动．在运动过程中，当为等腰三角形时，点出发的时刻可能的值为（  ） A．5 B．5或8 C． D．4或 68．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，是直角，是斜边上的中线，若，则的度数为 ． 69．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，是的角平分线，过点作于点，判断与之间的数量关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 三角形章末易错必刷题型专训（69题23个考点） 【易错必刷一 三角形的个数问题】 1．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，三角形的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据三角形的定义可直接进行解答． 【详解】解：由图可得： 三角形有：△ABC、△ABD、△ADC，所以三角形的个数为3个； 故选B． 【点睛】本题主要考查三角形的概念，正确理解三角形的概念是解题的关键． 2．（24-25八年级上·江苏常州·课后作业）观察下图中的小猫图案，它是由若于个三角形拼成的，请你数一数，构成该图案的三角形有 个． 【答案】12 【分析】根据三角形的定义：不在同一直线上的三点，用线段连接起来的封闭图形进行求解即可． 【详解】解：由题意得：猫头上一个有6个三角形，猫身有3个三角形，猫尾巴有3个三角形， ∴一共有12个三角形， 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了三角形的定义，解题的关键在于能够熟练掌握三角形的定义． 3．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，为四边形内一点，连接，，，，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？ 【答案】4个三角形,三角形的个数与四边形的边数相等 【分析】本题主要考查的是图形的规律性问题，根据图形得到一般规律是解题的关键．首先观察图形，结合三角形的定义及识别方法得到三角形的个数；然后再结合三角形的个数与多边形的边数进行分析，即可完成解答． 【详解】解：为四边形内一点，连接、、、可以得到4个三角形； 三角形的个数与四边形的边数相等． 【易错必刷二 构成三角形的条件】 4．（24-25八年级上·江苏南京·期末）以下列各组数据为边长，能构成三角形的是（   ） A．3，4，5 B．4，4，8 C．3，7，10 D．10，4，5 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．根据三角形的三边关系逐项判断即可得解. 【详解】解：A、因为，，，所以3，4，5满足三边关系，故能构成三角形； B、因为，两边之和等于第三边，所以4，4，8不满足三边关系，故不能构成三角形； C、因为，两边之和等于第三边，所以3，7，10不满足三边关系，故不能构成三角形； D、因为，两边之和小于第三边，所以10，4，5不满足三边关系，故不能构成三角形． 故选：A ． 5．（24-25八年级上·江苏南京·期末）若从如图所示的四条线段中任意选取三条线段，则能组成三角形的是 （填序号）． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了构成三角形的条件，由三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 【详解】解：∵ ∴符合题意的只有②③④． 故答案为：②③④． 6．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）现有三条线段，它们的长分别是9cm，18cm，26cm．这三条线段能构成三角形的三边吗？为什么？ 【答案】能，理由见解析 【分析】根据三角形的三边关系判断即可． 【详解】解：∵9+18=27＞26， ∴这三条线段能构成三角形的三边． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形的两边之和大于第三边． 【易错必刷三 确定第三边的取值范围】 7．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）若一个三角形的三边长分别为，，，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三边关系，根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边即可求解，掌握三角形三边关系是解题的关键． 【详解】解：由题意，得， ∴， ∴选项符合题意， 故选：． 8．（2025·山东菏泽·模拟预测）在中，，则的长度可能是 ．（写出一个符合要求的值即可） 【答案】4（答案不唯一） 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出的范围，即可求解． 【详解】解：在中，，， ，即， 长度可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 9．（2025八年级上·江苏·专题练习）如图，已知中，，，是的中线，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系．延长到，使，连接，证明，得出，再根据三角形的三边关系即可得到结论． 【详解】解：如图，延长到，使，连接， ∵是的中线， ， 在与中， ， ， ， ， ，即， ． 【易错必刷四 重心的概念】 10．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）三角形三条（    ）的交点叫做三角形的重心 A．高 B．角平分线 C．外角角平分线 D．中线 【答案】D 【分析】根据三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，即可得到答案． 【详解】解：由三角形三条中线的交点叫做三角形的重心， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的重心，熟练掌握三角形的重心是指三角形三条中线的交点是解题的关键． 11．（24-25八年级上·江西上饶·期末）三角形的中线把三角形分成了面积相等的两部分，而三条中线交于一点，这一点叫此三角形的 心． 【答案】重 【分析】根据三角形的重心的定义即可求解． 【详解】三角形的三条中线交于一点，这一点叫此三角形的重心； 故答案为：重． 【点睛】本题主要考查了三角形的重心，重心是三角形三边中线的交点；三角形的中线将三角形的面积分成了相等的两部分，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为． 12．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）画出下图中的重心．    【答案】见解析 【分析】先作BC、AC的垂直平分线，找到其中点，再作出中线，两中线的交点即重心． 【详解】解：如解图所示，作三角形的两条中线交于点，点即为所求．    【点睛】此题主要考查重心的作图，解题的关键是熟知重心是三角形中线的交点． 【易错必刷五 三角形角平分线的定义】 13．（24-25八年级上·江苏常州·课后作业）如图，是的角平分线，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线，根据，是的角平分线，得出，根据是的角平分线，即可得出． 【详解】解：是的角平分线，， ， 是的角平分线， ． 故选：A． 14．（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图：在中，，三角形的外角和的平分线交于点，则 ．    【答案】 【分析】根据三角形内角和定理得，由三角形的外角和的平分线交于点，可知，，再根据三角形的外角性质可得，，再将这些式子代入，进而求得，代入数据即可求出，最后根据三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：， ， 三角形的外角和的平分线交于点， ，， ，， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，角平分线的定义，准确地运用三角形内角和定理是解题的关键． 15．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，平分平分，且，，，求的周长． 【答案】5 【分析】本题考查了平行线的性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由角平分线的定义，得，结合平行线的性质，得，进行角难度等量代换，得，再结合等角对等边，即可作答． 【详解】解：如图： ∵平分平分 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 则的周长 【易错必刷六 图形的全等】 16．（24-25八年级上·江苏常州·课堂例题）下列每组中的两个图形，是全等形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据全等三角形的定义逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A、两图形能够完全重合，是全等形，符合题意； B、两图形大小不相同，不能重合，不是全等形，不符合题意； C、两图形大小不相同，不能重合，不是全等形，不符合题意； D、两图形大小不相同，形状也不相同，不能重合，不是全等形，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的定义，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，熟练掌握此定义是解题的关键． 17．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图是由与四边形全等的6个四边形拼成的图形，若，则的长为 cm．    【答案】 【分析】根据全等图形的性质即可求解． 【详解】∵图形与四边形全等的6个四边形拼成的图形 ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等图形的性质，注意全等图形的对应边相等是解题的关键． 18．（24-25八年级上·江苏盐城·开学考试）如图，将图形分成大小、形状相同的三块，并且每块带一个☆．    【答案】见解析 【分析】根据图形可知本题分割的难点在于五角星的分割，所以先观察每个五角星所在的位置，在寻找三个五角星共同的位置特征，因为图中一共有12个正方形，所以每个图形拥有四个正方形，结合五角星所在位置的共同特征去分割图形即可． 【详解】解：如下图所示，将图形分成大小、形状相同的三块，并且每块带一个☆，     【点睛】本题考查对图形的观察和分析能力，能够找到三个特殊点共同的位置特征是解决本题的关键． 【易错必刷七 全等三角形的概念】 19．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．两个直角三角形一定全等 B．形状相同的两个三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．全等三角形的面积一定相等 【答案】D 【分析】根据全等三角形定义进行分析即可． 【详解】解：A，两个直角三角形只满足一组角相等，不一定全等，说法不正确； B，形状相同的两个三角形大小不一定相同，不一定全等，说法不正确； C，面积相等的两个三角形形状不一定相同，不一定全等，说法不正确； D，全等三角形能够完全重合，因此面积一定相等，说法正确． 故选D． 【点睛】本题考查全等三角形的定义，解题的关键是牢记定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 20．（24-25八年级上·江西上饶·期末）以下说法中，正确的是（填写序号） ． ①周长相等的两个三角形全等； ②有两边及一角分别相等的两个三角形全等； ③两个全等三角形的面积相等； ④面积相等的两个三角形全等． 【答案】③ 【分析】根据全等三角形的判定及性质即可判断各个小题中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：周长相等的两个三角形不一定全等，如一个三角形的三边长为3，6，8，另一个三角形的边长为4，5，8，故①错误； 有两边及一角分别相等的两个三角形不一定全等，如两个直角三角形有一个直角对应相等，一个直角三角形的两条直角边与另一个直角三角形一条直角边和斜边相等，则这个两个三角形不全等，故②错误； 两个全等三角形的面积相等，故③正确； 面积相等的两个三角形不一定全等，如两个三角形的同底等高，而这两个三角形不一定全等，故④错误； 故答案为：③． 【点睛】本题考查全等三角形的判定、全等三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定定与性质解答． 21．（24-25八年级上·江苏常州·课后作业）如图，，请指出两个全等三角形的对应边和对应角．    【答案】对应边：与，与，与；对应角：与，与，与 【分析】根据全等三角形中能够互相重合的边是对应边，能够互相重合的角是对应角，再解答即可． 【详解】解：∵， ∴对应边：与，与，与；对应角：与，与，与． 【点睛】本题考查的是全等三角形的概念，掌握全等三角形的对应边与对应角的含义是解本题的关键． 【易错必刷八 全等三角形的性质】 22．（25-26八年级上·江苏常州·课后作业）如图，，则的长是（   ） A．1 B．4 C．5 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形性质，掌握知识点是解题的关键． 根据，得到，再由，即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故选C． 23．（24-25八年级上·江苏常州·期末）如图，已知，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握全等三角形的对应角相等成为解题的关键． 先根据三角形内角和定理求得，然后根据全等三角形的对应角相等即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 24．（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图，，，，点B，C，D在同一直线上，点E在上，延长交于点F． (1)求的长； (2)求的度数． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质． （1）利用全等三角形的性质解决问题即可； （2）证明即可． 【详解】（1）∵， ， ； （2）∵， ， ∵B，C，D共线， ， ， ， ． 【易错必刷九 用SAS证明三角形全等（SAS）】 25．（24-25八年级上·广西南宁·期末）如图，，，能直接判断的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定条件是解题关键．直接根据“”判断两三角形全等即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 故选：A． 26．（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在和中，，．（1）若添加条件 ，则可用“”判定；（2）若添加条件 ，则可用“”判定． 【答案】 【分析】要使，利用“”只差一条边即可；要使，利用“”差一个角对应相等即可求解． 【详解】解：， ， 即． 在和中， ， ， 添加的条件是：； ， ， 即． 在和中， ， ， 添加的条件是：． 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，理解判定三角形全等的“”和“”是解答关键． 27．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，，，和全等吗？为什么？ 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据已知条件和公共角证明即可． 【详解】解：，理由为： 在和中， ， ∴． 【易错必刷十 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）】 28．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，小明不慎将一块三角形模具打碎为三块，他可以只带其中的一块碎片到商店去就能配一块与原来一样的三角形模具，带哪块去合适？（      ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的应用，根据全等三角形的判定方法结合图形即可得出答案，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 【详解】解：由图形可知，号有完整的两角与夹边，根据“角边角”可以作出与原三角形全等的三角形；号没有完整的边或角，号只有一个完整的角，根据全等三角形的判定方法，号和号都不可以作出与原三角形全等的三角形， 故选：． 29．（24-25八年级·江苏常州·阶段练习）如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是 ． 【答案】 【分析】由图形可知三角形的两边和夹边，于是根据即可画出一个与原来完全一样的三角形． 【详解】解：已知三角形的两角和夹边， ∴两个三角形全等的依据是， 故答案为：ASA． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法． 30．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，点在线段上，，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）由，，可得，利用“”即可得证； （2）根据全等三角形的性质得到，，即可求解． 【详解】（1）证明：，， ， ，， ； （2）， ，， ． 【易错必刷十一 用SSS证明三角形全等（SSS）】 31．（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）用尺规作角平分线的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据尺规作图的方法结合三角形全等的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：如图： 由作图可知：， 又∵， ∴， ∴，即：为的角平分线， ∴用尺规作角平分线的依据是； 故选D． 32．（24-25八年级上·江苏常州·课后作业）如图，已知，，，则全等三角形共有 对． 【答案】3 【分析】根据已知利用全等三角形的判定方法得出全等三角形即可． 【详解】解：全等三角形共有3对，，，， 理由：在和中 ， ， 在和中 ， ， 在和中 ， ． 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，正确把握全等三角形的判定方法是解题关键． 33．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，若点、、、在同一直线上，，，．.那么吗？请说明理由. 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，注意：全等三角形的判定定理有，，，，根据全等三角形的判定定理证即可． 【详解】证明：， ， ， 在和中 ， ． 【易错必刷十二 用HL证全等（HL）】 34．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，要用“HL”证明Rt≌Rt，则需要添加的一个条件是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定的应用，能熟记定理是解此题的关键，注意：直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．利用HL定理进行分析判断． 【详解】解：在Rt≌Rt中，， A．添加，无法证明Rt≌Rt，故此选项不符合题意； B．添加，无法证明Rt≌Rt，故此选项不符合题意； C．添加，可以用“HL”证明Rt≌Rt，故此选项符合题意；     D．添加，无法证明Rt≌Rt，故此选项不符合题意； 故选：C． 35．（24-25八年级上·河北唐山·期末）如图，∠C＝90°，AC＝，BC＝8，AX⊥AC，点P和点Q从A点出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当点P运动到AP＝ ，△ABC与△APQ全等． 【答案】8或/或8 【分析】分两种情况：①当AP=BC=8时；②当AP=CA=时；由HL证明Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；即可得出结果． 【详解】∵AX⊥AC， ∴∠PAQ=90°， ∴∠C=∠PAQ=90°， 分两种情况： ①当AP=BC=8时， 在Rt△ABC和Rt△QPA中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）； ②当AP=CA=10时， 在△ABC和△PQA中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）； 综上所述：当点P运动到AP=8或时，△ABC与△APQ全等； 故答案为：8或． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定方法；熟练掌握直角三角形全等的判定方法，本题需要分类讨论，难度适中． 36．（24-25八年级上·江苏常州·期末）如图，点在线段上，，，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，先证明，再根据直角三角形的全等判定定理“”证明即可，掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 【易错必刷十三 添加条件使三角形全等】 37．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，，，那么添加下列选项中的条件后，仍然不能判定出的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．先根据已知条件可知，，再选择全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 即． 可知，． 添加时，则，所以选项A不符合题意； 添加，则，所以选项B不符合题意； 添加时，则，所以选项C不符合题意； 添加时，由不能判断，所以选项D符合题意． 故选：D． 38．（24-25八年级上·北京顺义·期中）如图，，只添加一个条件使，添加的条件是 ．（只需添加一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法，即可解答． 【详解】解：添加的条件是：， 理由：在和中， ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 39．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，已知，，请添加一个条件，使得，（只需添加一个条件），并写出证明过程．    【答案】添加条件为，证明见解析（答案不唯一） 【分析】根据可得，两个三角形满足一组对角相等，一组边相等，因此添加的条件可以为另一组对边相等，或另外两组对角中的任意一组相等． 【详解】解：添加后，． 证明：， ， ， 在和中， ， ． 【点睛】本题考查添加条件使三角形全等，解题的关键是掌握全等三角形、、等判定方法． 【易错必刷十四 线段垂直平分线的性质】 40．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）为响应总书记“扶贫先扶志，扶贫必扶智”的号召，我市向某县的，，三个学校捐赠一批书籍，若需要建立一个仓库，使该仓库到三个学校的距离相等，则仓库应设置的最适当的位置是在的（   ） A．三边中线的交点 B．三边的垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点 【答案】B 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 根据垂直平分线的性质可得答案． 【详解】解：∵仓库到三个学校的距离相等， ∴仓库应设置的最适当的位置是在的三边的垂直平分线的交点， 故选：． 41．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交，于D，E两点，且，，则的周长为 ． 【答案】13 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解决问题的关键．首先根据垂直平分线的性质得到，然后根据三角形周长公式求解即可． 【详解】解：∵边的垂直平分线分别交，于D、E两点， ∴， ∴的周长为 ， 故答案为：13． 42．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，已知，请用尺规作图法，在外求作一点D，使点D到的三个顶点距离都相等．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图、垂直平分线的性质，熟练掌握尺规作垂直平分线的方法是解题的关键．利用尺规分别作、的垂直平分线交于点，连接，，，根据垂直平分线的性质可得，则点D即为所求． 【详解】解：如图，分别作、的垂直平分线交于点，连接，，， ∵、的垂直平分线交于点， ∴，， ∴， 即点D到的三个顶点距离都相等， ∴点D即为所求． 【易错必刷十五 线段垂直平分线的判定】 43．（24-25八年级上·江苏常州·单元测试）下列说法中，正确的是（   ） A．过线段中点的直线，叫做这条线段的垂直平分线 B．若直线是线段的垂直平分线，则也是的垂直平分线 C．线段的中垂线平分线段 D．线段的中垂线有无数条 【答案】C 【分析】根据线段垂直平分线具备的两个条件：①垂直这条线段；②平分这条线段逐项进行分析即可得到结论．本题主要考查了线段垂直平分线的定义，掌握段垂直平分线具备的两个条件：①垂直这条线段；②平分这条线段是解决问题的关键． 【详解】解：A．经过线段中点且与这条线段垂直的直线是这条线段的垂直平分线，故本选项不符合题意； B．直线是线段的垂直平分线，则不一定是的垂直平分线，故本选项不符合题意； C．线段的中垂线平分线段，故本选项符合题意； D．线段的中垂线只有一条，故本选项不符合题意； 故选：C． 44．（24-25八年级上·湖南永州·期末）到已知线段两个端点距离相等的点一定在该线段的 上． 【答案】垂直平分线 【分析】根据线段垂直平分线性质的逆运用得出即可． 【详解】解：到已知线段两个端点距离相等的点一定在该线段的垂直平分线上， 故答案为：垂直平分线． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，能熟记垂直平分线的性质是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 45．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，已知点D在上，且．求证：点D在边的垂直平分线上． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，熟练掌握垂直平分线的判定是解题的关键．根据垂直平分线上的点到两端点的距离相等证明即可． 【详解】证明：，， ， 点D在边的垂直平分线上． 【易错必刷十六 角平分线的性质定理】 46．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）在正方形网格中，的位置如图所示，到两边距离相等的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．角的平分线上的点到角的两边的距离相等，由此即可得到答案． 【详解】解：在的平分线上，、、不在的平分线上， 到两边距离相等． 故选：C． 47．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）如图，在中，，平分交于点，过点作，垂足为点．若，，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得：，根据图中线段之间的关系可以求出的长度． 【详解】解：， ， 平分，， ， 又， ． 故答案为：． 48．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，平分，交于点D，垂直平分，交于点E．若，，求的长． 【答案】． 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质，可得，根据角平分线的性质，求得的长，据此即可求解． 【详解】解：∵垂直平分，， ∴，， ∵在中，，平分交于点D，， ∴， ∴． 【易错必刷十七 角平分线的判定定理】 49．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，两把相同的直尺的一边分别与射线重合，另一边相交于点P，则平分的依据是（    ） A．在角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．角平分线的性质 D．角是轴对称图形 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的判定，解题的关键是熟练掌握在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．根据角平分线的判定定理进行解答即可． 【详解】解：∵两把相同的直尺宽度相同， ∴点到射线的距离相等， ∵在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上， ∴点在的平分线上， ∴平分，故A正确． 故选：A． 50．（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，PM=PN，∠BOC=20°，则∠AOB= 度． 【答案】40° 【分析】根据角平分线的判定定理证得OC平分∠AOB，进而可求得∠AOB的度数． 【详解】解：由图可知：PM⊥OA，PN⊥OB， ∵PM=PN， ∴OC平分∠AOB， ∴∠AOB=2∠BOC=2×20°=40°， 故答案为：40°． 【点睛】本题考查角平分线的判定定理、角平分线的定义，熟练掌握角平分线的判定定理需要满足的条件是解答的关键． 51．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，D是的垂直平分线上一点，过点D作，垂足为点E，F，．求证：点D在的平分线上．    【答案】见解析 【分析】本题考查了直角三角形的判定和性质，角平分线的判定，熟练掌握知识点并添加适当的辅助线是解题的关键．连接，先证明，可得，再根据角平分线的判定定理求解即可． 【详解】证明：连接，    ∵， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， 平分， ∴点D在的平分线上． 【易错必刷十八 等边对等角】 52．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，是的平分线，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，角平分线的定义，由等边对等角得到，设，由角平分线的定义得到，则由三角形内角和定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 设， ∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 53．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）在等腰三角形中，有一个角为，则底角为 ． 【答案】25 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，解题的关键是判断已知角是顶角还是底角，结合三角形内角和为排除不可能的情况． 在等腰三角形中，已知一个角为，需判断该角是顶角还是底角；若为底角，则两个底角之和为，超过三角形内角和，故只能是顶角；因此底角和为，又因等腰三角形底角相等，所以底角为． 【详解】在等腰三角形中，设底角为． ∵等腰三角形两底角相等，三角形内角和为， 若为底角，则两底角之和为，这与三角形内角和为矛盾，故只能是顶角． ∴两底角之和为， 又∵两底角相等， ∴底角． 故答案为：． 54．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点N，交的延长线于点M，若． (1)求的度数； (2)如果将（1）中的度数改为，其余条件不变，再求的度数； (3)你发现有什么样的规律性，试证明之． 【答案】(1) (2) (3)的垂直平分线与底边的延长线所夹的锐角等于的一半； 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质． （1）先求出，则， 即可求得答案； （2）先求出，则， 即可求得答案； （3）的垂直平分线与底边的延长线所夹的锐角等于的一半.先求出，则，即可求得答案. 【详解】（1）解：， ， 。 （2），， ， ， （3）规律：的度数等于顶角度数的一半， 证明：， ∴， ∴， ∵， ∴， 的度数等于顶角度数的一半. 【易错必刷十九 三线合一】 55．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在中，于点，点，是上的两点，若，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B．6 C． D．15 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质是解题的关键． 先利用等腰三角形的三线合一性质可得是的垂直平分线，从而可得，然后利用证明，从而可得图中阴影部分的面积的面积，进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴是的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴的面积的面积， ∵，， ∴的面积， ∴图中阴影部分的面积的面积， 故选：C． 56．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在中，，，且，则长为 【答案】2 【分析】本题主要考查了等腰三角形的三线合一的性质．根据等腰三角形的性质得到即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：2． 57．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，，为的中线，点E在上，，连接若，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的三线合一的性质解答．根据等腰三角形的三线合一的性质得出平分，，进而解答即可． 【详解】解：，为的中线， 平分，， 平分， ， ， ， ． 【易错必刷二十 等边三角形的性质】 58．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在等边中，为边上的中线，点E在边上，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质， 先根据等边三角形的性质得，再根据等腰三角形的性质求出，然后根据得出答案． 【详解】解：∵是等边三角形，且是边上的中线， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：D． 59．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）若等边的周长为，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查等边三角形的性质，等边三角形的三边相等是解题的关键． 设的长为，即可得一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】解：设的长为， 是等边三角形， ， 解得，， 即， 故答案为：． 60．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，点C，D在线段上，且是等边三角形，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的判定和等边三角形的性质，先证明，然后由为等边三角形可证明，从而可证明． 【详解】证明：为等边三角形， ，， ， ∵，，． ． ． 【易错必刷二十一 等边三角形的判定】 61．（2025八年级上·江苏无锡·专题练习）如图，在中，，，点从点出发，沿射线方向运动，在运动开始后，形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（    ） A．直角三角形等边三角形直角三角形 B．等边三角形直角三角形等腰三角形 C．等边三角形等腰三角形直角三角形 D．等腰三角形直角三角形等边三角形 【答案】A 【分析】本题考查三角形，是特殊三角形，特殊三角形只能是直角三角形，等边三角形，由此判断即可解答． 【详解】解：点从点出发，沿射线方向运动，在运动开始后，形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是：直角三角形，等边三角形，直角三角形． 故选：． 62．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）已知中，，试添加一个条件，使具有三条对称轴，下列是几个同学的添法：①②③④，其中正确的添法有 个． 【答案】3 【分析】根据题意使△ABC为等边三角形即可，故可依次判断. 【详解】要使具有三条对称轴，则需△ABC为等边三角形 ∵在中，， 添加①，可使△ABC为等边三角形，故正确； 添加②，△ABC为等腰直角三角形，故错误； 添加③，可使△ABC为等边三角形，故正确； 添加④，即三边相等，可使△ABC为等边三角形，故正确； 故答案为：3. 【点睛】此题主要考查等边三角形的判定，解题的关键是熟知等腰三角形的性质及等边三角形的判定方法. 63．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，在中，是边的中线，，将沿折叠，使点B落在点E的位置．判断的形状并加以证明． 【答案】等边三角形，见解析 【分析】本题考查了翻折变换、平行线的判定以及等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定定理是解题的关键．由折叠的性质可得出、，根据角的计算可得出，再根据中线的定义即可得出，由此即可证出是等边三角形． 【详解】证明：由折叠的性质可知：，， ∵是边的中线， ∴， ∴． 又∵， ∴是等边三角形． 【易错必刷二十二 含30度角的直角三角形】 64．（24-25八年级上·天津·期末）如图所示，在中，，于点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，先由直角三角形的性质可得，再求出，最后由直角三角形的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 65．（2025·江苏泰州·模拟预测）如图，在中，，，，，分别为边，上的任意一点，且．连接．若是直角三角形，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了含度角的直角三角形的性质，分，两种情况分析，分别画出图形，根据含度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：当时， ∵，， ∴， ∴ ∴， 又∵ ∴， ∴， 当时， 如图 ∵，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：或． 66．（24-25八年级上·江苏常州·期末）如图，四边形是某公园的一块空地，已知，，，，，现计划在该空地上种植草皮，求该空地上种植草皮的面积是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，含30度角的直角三角形的性质，根据含30度角的直角三角形的性质得到，由勾股定理得到，证明，得到，再根据列式求解即可． 【详解】解：，，， ， 在中，由勾股定理得：， ∵，， ∴，， ， ， ， 答：在该空地上种植草皮面积． 【易错必刷二十三 等腰三角形的性质和判定】 67．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，已知，，，动点从点出发，以的速度沿线段向点运动．在运动过程中，当为等腰三角形时，点出发的时刻可能的值为（  ） A．5 B．5或8 C． D．4或 【答案】B 【分析】此题考查了等腰三角形的定义，等边对等角，解题的关键是分情况讨论． 根据题意分情况讨论，分别根据等腰三角形的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， 根据题意得，， ①当时，， ②当时， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ③若时，点P在延长线上，不符合题意． 综上所述，t的值是5或8． 故选：B． 68．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，是直角，是斜边上的中线，若，则的度数为 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据直角三角形的性质得到，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得到，得出，即可得到答案． 【详解】解：，， ， 是斜边上的中线， ， ， 故答案为：． 69．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，是的角平分线，过点作于点，判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质及同角的余角相等，先求出，，，进而证明，即可得出结论． 【详解】解：，理由如下： ，是的角平分线， ，， ， ， ， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $