第1期 §1.1 空间向量及其运算 §1.2空间向量基本定理 §1.3 空间向量及其运算的坐标表示-【数理报】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步学案（人教A版）

高中数学人教A版选择性必修第一册第1~4期 数理柄 答案详解 2025~2026学年高中数学人教A版选择性必修第一册第1~4期(2025年7月) 第1期2版参考答案 3.AB=(-3,1,-1),BC=(m+4,1,n+2), 因为点A,B,C在同一条直线上， 专项小练一 1.Bc;2.A:3.D435.0 所以∥屁，则苦=十-是 -1 解得m=-7,n=-3,所以m-n=-4. 5.解：(1)B.BC=1BI1BC1cos(B,BC 4.设a与b的夹角为0，由a+b+c=0得a+b=-c, =3×4×c0s120°=-6. 两边平方得a2+2a·b+b2=c2, (2)因为C⑦=CB+B+AD, 因为1a1=2,1b1=3,1c1=4, 所以1C2=(C应+B+AD2=1C2+B12+ 所以4+2×2×3×s0+9=16,解得cas0=子， 1A⑦T2+2(CB.BA+B.AD+CB.AD)=16+9+25+2(4 ×3×c0s60°+3×5×c0s60°+4×5×c0s90°)=77， 5成=陀-店=m-m 所以CD=1C⑦1=√7. 专项小练二 店+励)-m 1.ABD:2c:3.4-2:50-号0+c =(所-P成=}(+配-P 专项小练三 =-成+元-成- 1.B,2C;3.AC.4.;53或5. 6.解：设00=入0=(x,入，2入)， 6.设c=(x,y,2）, 则0A=0A-00=(1-A,2-,3-2), 因为向量a=(1,2,3),b=(-2,-4,-6), QB=0i-00=(2-A,1-入，2-2x). 1c1=/14,(a+b)·c=7, 所以QA·QB=(1-A)(2-A)+(2-A)(1-A)+(3 所以a+b=(-1,-2,-3), -2)2-20)=6-161+10=6-号)°-是 所以√家+子+2=4， [-x-2y-3z=7, 当A=专时，·0成的最小值为-号 设a与c的夹角为0， 所以而=（侍号号）即（告专） w。搭分 因为0°≤0≤180°，所以0=120°. 第1期3版参考答案 7.若G,M,W三点共线， §1.1~§1.3同步核心素养测评 则存在实数入，使得0G=入0i+(1-A)0N, 一、单项选择题 1~4 BCCD 5~8 CABC 提示： 1.0A CO-CB=OA+BO=BA. 2.设D(x,y,z）,则AD=(x+2,y-3,z),AB=(3,0,2), 由题可得(x+2,y-3,z)=2(3,0,2)=(6,0,4), 即x+2=6,y-3=0,z=4, 图1 解得x=4,y=3,z=4,故D的坐标为(4,3,4) 又点M,N分别为OA,BC的中点， 高中数学人教A版选择性必修第一册第1~4期 则0成=之0,0成=0成+分0心， 0,故(C)错误； 3 则0=分成+2i+2元 o元=0i+正=a+b+ 1 3 4 c、 = 4a+ 4 b+ 4 C [片方 故(D)正确。 故选(B)(D). 则=x解得x=y=石则x+y= 1 2 3 1.由而=号B+子配， 1-入=y, 2 得破+励=号店+子花， 8.如图2，过点P作平行于底面的截面圆0， 13 过点Q作平行于底面的截面圆02,0102=6， 所以励=子(C-)=子B配 2701 设圆柱的底面圆半径为t,则2π=12， 得2BC=3BD,故(A)错误； 解得，=6 2302 T 如图3，由于G为△ABC的重心， 于是(0，户0,0=2+2-2- 连接AG并延长，交BC于点Q, r Γ3 M 图2 由P0=P0+0O+0,0, 得1p01=√(Po+0,O+02 =√2r+00+2Po.0,d =2x(9) +62+2×（ 图3 =63+m 则心=子而=子·分（证+）=令（店+心. T 所以元=+A元=+子A+子Ad 所以P,Q两点间的距离为53+元 二、多项选择题 =i+子店-子+子心-子 9.BD;10.BD;11.BC. =子+子流+子M元，故(B)正确： 提示： 9.由题得2a+b=（-1,2,7),a=（-2,-1,1), 由MA.BC=0得(MB+B)·BC=0, 而号号≠子，故(A)不正确： 即M店.BC+BA.BC=0, 由M元.A店=0得(M店+BC·A正=0， 因为1a1=6,1b1=52, 所以51al=√31b1,故(B)正确： 即MB.AB+BC·AB=0, 因为a·(5a+4b)=(-2,-1,1)·(2,11,25)=10≠ 两式相加可得M店.BC+M店.AB=0, 0,故(C)不正确； 即M店·AC=0,故(C)正确； 因为a在b上的投影向量的长度为l1a|cos(a,b〉I= 因为三棱锥M-ABC的棱长都为2，可得AQ=MQ=√3， =号放(D)正确 IbI 则1P01=√(3)2-12=2，故(D)错误 5 故选(B)(C). 故选(B)(D). 三、填空题 10.利用向量加法的运算法则得O成=分成+分0心- 12子；133-，4(1-g,-1+ 5 b+2c,故(A)错误： 1 提示： 利用向量减法的运算法则得-0-0-子0成-0 2设器=小 =b+子c-a,故(B)正确： 则E序=E正+B+AD+D 因为IAPI=3IPNI, =-ABB-A店+Ad+之DD 4c- =--A店+丽+分 -2 高中数学人教A版选择性必修第一册第1~4期 =-正+而+（分-）， 1 所以x=-1,y=12=2-A 因为x+y+:=分-A=子所以A=子 D 13.因为BC=A元-AB! 图4 所以O.B元=O.(4元-AB =0A·A-o.AB 则贿(0.0,2)F(分0）.c0,1),c(o,,0) =I OAII AC I cos(OA,AC)-1 OAII ABI.cos(OA,AB) 所以c=(0,-子庄=（分宁） =8×4×cos135°-8×6×cos120 =-162+24. 所以1G1=平，1=号 所以cos(Oi,BC=0O·Bd I OAII BCI 脉.GG=3x0+分×(-4)+(-2)x(- =24-162_3-22 8×5 5 即0A与BC所成角的余弦值为3-22 所以eos(成，Cds序.GC 5 I EFII C CI 14因为1a1=2,1b1=1,(a,b〉=60°， 则异面直线EF与GG所成角的余弦值为一 1 所以a·b=la1b1cos(a,b)=2×1×2=1, (2)由)得a0,名）， a2=1a12=4,b2=1b12=1, 故(a+Ab)·(Aa-2b)=Aa2+(x2-2)a·b-2Ab2 所以成=（宁）： =4X+（A2-2)-2A=X2+2A-2, 所以FH=IF 1a+b12=a2+2λa·b+A2b2=X2+2)+4, 1Aa-2b12=A2a2-4Aa·b+4b2 =√()+()+（合）=④ =42-4入+4=4(A2-入+1)， 17.解：(1)因为M是PC的中点， 因为向量a+Ab与Aa-2b的夹角为钝角， 所以a+b)·(Aa-2b)<0, 所以B丽=2（武+. lcos(a+Ab,Aa-2b〉≠-1， 因为A=B元，B=A-A正， 即a+Ab)·(Aa-2b)<0, (a+b)·(Aa-2b)≠-la+Ab11Aa-2b1. 所以B丽=而+（市-A], 则+212<0 结合A正=a,A币=b,4=c, 12+2入-2≠-2√2+2n+4·√2-A+1, 得8成=[b+(e-a)]=-2a+b+之 解得-1-5<入<-1+5， (2)因为AB=AD=1,PA=2, 即Ae(-1-√5，-1+5). 所以1a1=lb1=1,lcl=2. 四、解答题 因为AB⊥AD,∠PAB=∠PAD=60°， 15.证明：由题图知 所以a·b=0,a·c=b·c=2×1×cos60°=1. MN DN -DM 由(0知B成-+b+之c, 1 =(号耐+令)-子成 =子+号正-号+成 (atbi+o-2a.b-2ae+2b.e) =号成子成 4×(1+1+4-0-2+2)=3 1 所以向量M,C元，D正共面 16.解：(1)如图4所示，建立空间直角坐标系， 所以1丽1=石，即BM的长等于 -3 高中数学人教A版选择性必修第一册第1~4期 18.证明：(1)易知(A店，BC=120°，AB=A正+BB, 专项小练二 则AE·BC=(A正+BB)·BC 1.A;2.A;3.ABC. 4.石；56 =A店，BC+BB.BC 第2期3版参考答案 =2×2×(-7)+2x2x3=0, 空间向量的应用同步核心素养测评 所以AB,⊥BC 一、单项选择题 (2)易知四边形AA1CC为菱形，所以A,C⊥AC 1~4 AADC 5~8 DCCA 因为AB·AC=(BB-B·(AC-AA) 提示： =(BB-B·(BC-B-AA 1.由题意可得a∥b,所以b=入a(入∈R), =BB·BC-BB·BA-BB·AA-B·BC+BA·BA 则(-4,2x2,6.x)=A(2,-1,3)=(2入，-入，3入)， BA.AA 「-4=2， BB BC-BB'.AA"-BA.BC+BABA 所以2x=-A,解得1=-2， lx=-1. 6x=3A, =2×2×号-4-2×2×7+4 2.设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z), =0, 由AB⊥n,AC⊥n, 所以AB⊥A1C,又AC1∩AB,=A, 得+2)+3=0·所以=名， 所以AC⊥平面AB,C. 3x+2y+z=0,ly=-2x, 19.解：(1)由题知a=i+2j+3k,b=-i+j+2k, 令x=-1,解得y=2,z=-1, 所以a+b=(i+2i+3k)+（-i+j+2k)=3j+5k 所以n=（-1,2,-1). 所以a+b=[0,3,5]. 3.直线l的方向向量为b,平面a的法向量为n, (2)设ij,k分别为与AB,AD,A4同方向的单位向量， 若可能有l∥a,则b⊥n,即b·n=0. 则AB=2i,AD=2j,AA=3k, (A)选项，b·n=1×(-2)=-2≠0，不符合题意； (B)选项，b·n=1×1+3×0+5×1=6≠0，不符合 (i)D=0-花=（花+）-（店+之A) 题意； =-+而+3d-2i+2万+多 (C)选项，b·n=0×(-1)+2×0+1×(-1)=-1≠ 0,不符合题意； =【-22] (D)选项，b·n=1×0+（-1)×3+3×1=0,符合题 意.故选(D) (i)由题AC=Ad+Ad+AA=2i+2j+3k, 4.AB=(-1,-1,-1),AC=(2,0,1), 因为A=[2,0],所以4=2i+, PA=（-x,1,-z). 由AM1AC知A.AC=(2i+2+3k)·(2i+)=0, 因为PA⊥平面ABC, 42+2j2+(4+2t)i:j+6k·i+3k·j=0, 所以PA⊥AB,P⊥AC 4+2+(4+2)·分+3+}=0=-2. 所以P.A店=P·AC=0, 则1AMi1=12i-2j1=√(2i-2j) 28e化2 =√4+42-8i·j=√4+4-4=2. 所以点P的坐标为(-1,0,2). 第2期2版参考答案 5.由题意可知OP在直线l上的投影向量的模长为 专项小练一 103·u1=6=25, 1.A;2.B;3.AD.4.1;5.4. 6.解：因为A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0), 所以点P(1,2,3)到直线1的距离为 所以AB=(1,-2,-4),AC=(2,-4,-3). 设平面a的一个法向量为n=(x,y,z). 则有”·店=0， 即-2y-4好=0，解得=2， 故点P(1,2,3)到直线1的距离是2. 1n.Ad=0,12x-4y-3z=0, lz=0. 6.A店=(-1,1,0)，4元=(-1,0,2)，4=(0，-1,0)， 令y=1,则x=2.故平面α的一个法向量为n=(2,1,0). 设平面ABC的一个法向量为n=（x,y,z), 4 高中数学人教A版选择性必修第一册第1~4期 则.=0即+y=0。 设平面MBC与平面BCA的夹角为a, lac.n=0,-x+2=0, 则oa=-1cw(m.t)1=-2 10 令x=1得)=1，=分则n=(（1,1宁)， 所以平面MBC与平面BCA的夹角的余弦值为3而 10 嘴以a号 二、多项选择题 7.以D为坐标原点，建立如图1所示的空间直角坐标系. 9.ABC;10.ACD;11.ABC. 提示： 9.因为AP.AB=-2-2+4=0,所以AP1AB, 所以AP⊥AB,故(A)正确： 因为AP.AD=-4+4+0=0,所以4P上AD, 所以AP⊥AD,故(B)正确； 因为AP⊥AB,AP⊥AD,AB∩AD=A, 图1 所以AP⊥平面ABCD, 设SD=t(t>0), 所以AP是平面ABCD的一个法向量，故(C)正确； 则B(2,2,0),C(0,2,0),S(0,0,t), BD =AD-AB =(2,3,4),BD =A AP, E(21,0),F(0,1,） r2=-入， 所以武=(-2,1,0)，脉=（-2，-1,2) 即3=2入，方程组无解，故(D)错误。 4=-入， 因为直线EC与BF所成角的余弦值为 故选(A)(B)(C). 10.由题意可得D(0,0,0),B(3,2,0),D'(0,0,1), 所以1cos(E元，B丽1=1元.B A'(3,0,1),C'(0,2,1), I ECII BFI 则BD=(-3,-2,1), 14-1+01 5 5 DA=(3,0,1),故(A)正确： 4+T× 4+1+4 解得t=4(负值舍去)，即SD=4. cos(DA,BD=DA·BD I DAII BDI 8.如图2所示，过A作AE⊥CD,垂足为E, -8 则DE=1,以A为坐标原点，分别以AE,AB,AP所在直线 =~435 √10×√14 35 为x,y,z轴建立如图2所示的空间直角坐标系， 所以异面直线4D与BD'夹角的余弦值为压 35, 故(B)不正确； DC=(0,2,1). 设平面A'C'D的一个法向量为n=(x,y,z), n·DA=0 则 所以3x+2=0 图2 n·Dc=0, l2y+z=0, 则B(0,1,0),C(22,1,0),P(0,0,1),D(22,-1,0), 取z=6得n=（-2,-3,6),故(C)正确； (E-) 易知平面A'DD'的一个法向量为m=(0,1,0), 设平面C'A'D与平面A'DD'的夹角为0， 成-（5，-33)d=(250.0. 则co0=canm1==号 设平面MBC的一个法向量为m=(x,y,z), 故平面CA"D与平面A'DD的夹角的余弦值为号 rm·BC=22x=0, 则 故(D)正确， mB成=万x-2+=0, 1 故选(A)(C)(D). 令y=1得m=(0,1,3). 11.以D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x轴y轴、z 取平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1), 轴建立如图3所示的空间直角坐标系， 高中数学人教A版选择性必修第一册第1~4期 图4 图3 则A(1,0,0),C(0,1,0),S(0,0,1),B(1,1,0), 则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(2,0,1) 从而AC=(-1,1,0),SB=(1,1,-1) 易得平面a的一个法向量为Ci=(2,-2,1), 设P(0,2,z),0≤z≤2，直线AP与平面a的夹角为0， 设向量n=()清足~C=0, ln·SB=0, 则P=(2,-2,-z), 即-+y=0,令y=1得n=（1,12. 所以sin0=1cos(pi,Ci1=8-2 x+y-z=0, 3√层+8 在AC上取点A,在SB上取点B, 设8-z=t, AB=(0,1,0),故异面直线SB与AC间的距离为 则sin0= 3(8-t)2+8 d=1A店·ml=6 I n l 6 =,t∈[6,8]， 14.如图5，以D为坐标原点，分别以 3√(：）+ D,D元，DD的方向为x,y,z轴正方向建 立空间直角坐标系， 所以当1=6，即：=2时，加0有最小值，为。 则D(0,0,0),P(1,a,0),Q(0,1,a), R(a,0,1),C(0,1,0), 当1=8，即：=0时，m0有最大值，为写放)正确： 因为G是△PQR的重心， 图5 B元=(-2,0,0)，所以点C到平面a的距离为d= 所以c(a+1,a+1a+1) 333 1心=号故(B正确： 所以D元= I CMI ） 设E,F分别为B,C1,C1D1的中点，易证CM⊥平面BDFE, 设平面CPQ的一个法向量为m=（x,y,z), 则平面BDFE就是平面α截正方体所得的截面， 因为C=(1,a-1,0),C0=(0,0,a), 易得四边形BDFE为等腰梯形， [m.CB=x+(a-1)y=0, 所以 其面积为号，故(C)正确(D)错误。 m.co=az =0, 令y=1,则m=(1-a,1,0), 故选(A)(B)(C). 因为直线DG与平面CPQ所成角为45°， 三、填空题 2-33答4店 所以sin45°=1cos(DC,m)1=1Dd·ml I DGI -I ml 2-a 2 提示： = 5/a-2a+2 12.由题知0A=（-3,y,2), 化简得a2+2a-2=0, 因为0A上a,所以OA∥n, 解得a=5-1或a=-5-1(舍去). 设O=An(入∈R), 四、解答题 则(-3，y,2)=A(6,-2,z), 15.解：以A为坐标原点，AB,AD,AP的方向分别为x,y,z轴 1 的正方向建立空间直角坐标系如图6所示， ,-3=6入， 入=-2 所以 y=-2A,解得 y=1, 2=入z, z=-4, 所以y+z=-3. 13.以点D为坐标原点，DA,DC,DS所在直线分别为x轴y 轴、z轴，建立如图4所示的空间直角坐标系， 6 高中数学人教A版选择性必修第一册第1~4期 则P(0,0,2),B(2,0,0),D(0,2,0),C(2,2,0), 因为AD⊥DC,AD∩DE=D,AD,DEC平面ADE, 0(1,1,0),F(1,0,1),E(0,1,1), 所以DC⊥平面ADE,又AEC平面A1DE, 所以F元=(1,2，-1)，龙=(-1,1,0)， 所以DC⊥AE, 设平面EFC的一个法向量为n=(x,y,z), 又因为AE⊥DE,DC∩DE=D,DC,DEC平面BCDE, 则元=0-+2y=0 所以A1E⊥平面BCDE. n·屁=0{-x+y=0, (2)解：不存在.理由如下： 由题意以E为坐标原点，EB,ED,EA,所在直线分别为x, 令x=1,则y=1,z=3. y,z轴，建空间直角坐标系，如图8， 所以平面EFC的一个法向量为n=(1,1,3), 因为0G∥平面EFC,则n·OC=0. D 设G(0,0,a),则0元=(-1，-1，a). 所以-1-1+3a=0. B 解得0=子所以c(0.0,子)，即4G=子 图8 则DE=25, 16.(1)证明：取PD的中点Q, A1(0,0,2),B(2,0,0),C(4,25,0),D(0,25,0), 连接MQ,CQ,如图7， 所以BA=(-2,0,2),BC=(2,25,0). 设平面A1BC的一个法向量为m=(x,y,z), m·BA1=-2x+2z=0, 则 m·BC=2x+23y=0. 令x=-5得y=1,z=-5, 所以m=(-√5,1，-5)， 图7 设P(t,0,0)(0≤t≤2)， 因为M,Q分别为PA,PD的中点， 则A1P=(t,0,-2),A1D=(0,25,-2). 所以M0∥AD,M0=4D=1, 设平面ADP的一个法向量为n=(a,b,c), A1D.n=25b-2c=0, 又底面ABCD为正方形，N为BC的中点， 则 A B.n ta -2c=0, 所以C∥AD,NC=之AD=1, 所以MQ∥C,MQ=WC, 令a=2可得m=(2,得片 所以四边形MQCN为平行四边形，所以MW∥CQ, 因为平面ADP⊥平面ABC, 因为MW￠平面PCD,CQC平面PCD, 所以am=-2厅+号-5：=0，解得1=-3， 所以直线MN∥平面PCD. (2)解：因为底面ABCD为正方形，且PA⊥底面ABCD, 因为0≤t≤2， 所以AB,AD,AP两两互相垂直. 所以在线段EB上不存在一点P, 以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x轴y轴2 使平面ADP⊥平面ABC. 轴建立空间直角坐标系，如图7， 18.(1)证明：连接BD交CE于点G,连接FG, 则M(0,0,1),B(2,0,0),D(0,2,0),N(2,1,0) 由E∥BC,得%-在△AC中，由DE/BC. 所以M=(0,2,-1),D示N=(2,-1,0),B=(0,1,0), 设平面MWD的一个法向量为n=(x,y,z), ·防=0即-=0 则 则%号：路Pm∥G n·D示=0,12x-y=0, 而又FGC平面CEF,PD￠平面CEF, 令x=1得n=(1,2,4), 所以PD∥平面CEF. 所以点B到平面MWD的距离 (2)解：由DE⊥CD,DE⊥PD,CD∩PD=D, d=1B·nL=2-2I CD,PDC平面PCD, 1n=方=21 得DE⊥平面PCD,又PCC平面PCD, 17.(1)证明：因为DE⊥AB,AB∥DC, 则DE⊥PC,又DE∥BC, 所以DE⊥DC, 因此PC⊥BC,直线CP,CD,CB两两垂直， 高中数学人教A版选择性必修第一册第1~4期 以C为坐标原点，CD,CB,CP所在直线分别为x轴，y轴，z 故以O'为原点，以A,O'、O'A所在直线为x、z轴，建立如图 轴建立空间直角坐标系， 10所示的空间直角坐标系， 则D(2,0,0),B(0,3,0),E(2,2,0), Pro.,2.og5） 2-2,20).亦-(0，gg)元-2.0，-2). 设P7=tPD(0<t<1), 则Ci=Cp+P7=(2t,0,23-25t), 图10 设平面CFE的一个法向量为m=(x,y,z), m㎡名+ 则0'(0,0,0)，A(0,0,4),A2(2,-6,0), 则 520, A3(2,6,0),A4(-22,0,0),0(0,0,1), m·C2=2x+2y=0, 因为0A:=子0A,即0=子0N, 令z=1得m=(5,-5,1), 设平面HCF的一个法向量为n=(a,b,c), 则(-4号0时） a亦=gb+6e=0. 则 所以不=026,0)=(-79，-5写） n.Ci=2ta+23(1-t)c=0, 设平面A2AA4的一个法向量为n=(x,y,z), 令c=t得n=(5(t-1),-3t,t), 设平面HCF与平面CFE的夹角为O, A2A⊥n, r26y=0, 则 即 则e9-aa1=调 (AA Ln, 7迈 号-6+子=0， 1 17t-31 1 令x=1得n=(1,0,72), =7 √万.√7-6t+3 又0A=(0,0,3), 解得1=宁或：= 所以cs(Om)=,21E。=72 3T×3 33 所瑞=子瑞=音 19.解：(1)点0为四面体A1-A,AA4外接球的球心， 放01与面4,4所成角9的正弦值为爱 即0A1=0A2=0A3=0A4,且A101面A2AA4,A0⊥ 第3期3版参考答案 面A1A3A4,A0⊥面A1A2A4,A40⊥面A1A2A3, 则空间四面体A,-A2AA4的每一条棱都相等， 空间向量与立体几何核心素养综合测评 AA2 =AA3 AA A2A3 AA A.A2. 一、单项选择题 (2)在四面体A1-A2AA4中，不妨令 1~4 DCBD 5~8 DDCA 0A1=0A2=0A3=0A4=3,A1A2=A1A3 提示： =AA =A2A3 =A3As =AA2 =a, 1.由对称性可知点C的坐标为(1,2，-1)， 在面A2AA4内作点0的射影0'， 由空间两点间的距离公式得 连接0'A2, 1BC1=(-3-1)2+(-1-2)2+(4+1)7=52. 在等边△A2AA4中，0'为其外心， 则0%=子×月。-. 图9 2.设P(x,y,z),若点P在平面a内，则n·MP=0, 则2(x-1)-(y+1)+2(z-2)=0, 在Rt△A10'A2中（如图9），可得 经过验证只有点(2,3,3)满足. 3.ha+b=(-k+1,k,2),a-2b=(-3,1,-4), 0A=-0-V-(得)-5. 因为ka+b与a-2b互相平行， 所u(5。-3)°+()=， 所以二+1=k=2 -3 1-4 解得a=26,所以0A=气=9x26=4. 解得6=一之 4.因为a与b的夹角为钝角， 又因为A0⊥面A2AA4,且垂足为0'， 所以a·b<0,且a与b不共线， —8 高中数学人教A版选择性必修第一册第1~4期 r-1-2(x-1)-1<0, 所以 所以0成=(00.)成=（分0，-） ≠-1， 解得x>0且x≠3， 励=(9) 所以x的取值范围是(0,3)U(3,+∞). 设平面BCD的一个法向量为n=(x,y,z), 5.连接AC,BD相交于点O, 则0=子配=之（店+， BC·n=0, 2、 则 即 CB.n=0 由于元-2元-2（石-耐=2[分(+动-] 分+=0， 令z=1得x=√5，y=1,则n=(5,1,1), AB +AD-2AP=a b -2c 6.在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD1中，以D为原点， 易知平面c01的-个法向量为02=(0.0，冷)。 DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如 设平面BCD与平面CDA的夹角为O, 图1， 5 所以cos0=1cos(0B,n〉1= 2 D 5 ×5 5 2 8.如图3，连接AC1交BD1于点0，连接A0, DP 过点C作CH⊥AO于点H,连接CO,AC. A B 易得平面ABD1⊥平面AA,CC, 图1 且平面AB,D1∩平面AAC,C=A0,CHC平面AAC,C, 则有B(2,2,0),F(1,0,2), 则F=(1,2,-2), 所以CH⊥平面AB,D,则CH=4 5 设点P(0,y,0)y∈[0,2]， 设AA1=a(a>0),则A0=C0=√/a+2,AC=22, Bp=（-2,y-2,0), 则根据三角形面积公式得 则点P到直线BF的距离为 2×40xCH=×4CxM, 1Bp12- BB.FB d= 代入解得a=22(负值舍). 以A为坐标原点，建立如图3所示的空间直角坐标系。 /(y2-4y+8)- =√(-)+≥5 5 当且仅当y=号时取等号。 则点P到直线BF的距离的最小值为45 7.设菱形ABCD的边长为1， 图3 取AC的中点O,连接B0,D0, 则A(0,0,22),B(2,0,0),D1(0,2,0),D(0,2,22), 因为∠ABC=60°，所以B0⊥AC, 所以4D=(0,2,-22),AB=(2,0,-22), 又平面BAC⊥平面DAC,平面BAC∩平面DAC=AC, 所以BO⊥平面ACD,如图2建立空间直角坐标系， B,D=(-2,2,22) 设平面AB,D1的一个法向量为n=(x,y,z), n·AD=0,n「2y-22z=0, 则 即 n·AB=0,2x-22z=0, 令x=2得y=2,z=1, 图2 所以平面ABD1的一个法向量为n=(2,√2,1). 期00.0,0)，c(30.0),s(0.0号)D(0,号0) cos(BB.n) 可n- I B DII nl 10 高中数学人教A版选择性必修第一册第1~4期 所以直线B,D与平面AB,D,的夹角的余弦值为 -( 2 -30 10 二、多项选择题 9.ACD;10.ABC;11.ABC. 0 提示： 图5 9.A正=(2,1,0)，B元=(-3,1,1)，4C=(-1,2,1), 设点O是顶，点A在底面的射影，则AO是正四面体ABCD的 所以1A店1=√2+下=√5，故(A)正确： 高，OB是△BCD的外接圆半径，所以Bd=2OG, 子≠十，所以正与成不共线放()错误： 因为AE⊥底面BCD,CDC底面BCD, 所以AE⊥CD,所以A正.CD=0,故(A)正确； AB.A元=-2+2=0， 取CD的中点G,AB的中点F,连接AG,BG,GF, 所以AB和AC夹角的余弦值是0，故(C)正确； 设AO0 FG=E', 与A同向的单位向量是 设证=A0则证=A(号衣+号)， 花=-12. 666 1AC1个+4+I 6’3’6 ,故(D)正确. 由F,E',G三点共线得 故选(A)(C)(D). AE=uAG+(1-)A=μAG+,业AB 10.如图4，以D为坐标原点，DA,DC,DD1所在直线分别为 x轴y轴、z轴建立空间直角坐标系， 所以 入=4 解得 1 μ=2 所以证=子d,证=子花+之应， 所以E'为FG的中点， 因为AG=BG=5x2=5, 2 B 期0B=号8G=号×号x2:2 图4 则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0), AO =VAB-OB=2/6 3 A1(2,0,4),B1(2,2,4),D1(0,0,4) 因为BE=(A0-AE)2+B02, 设E(0,2,a),ae[0,4], 即AE=(A0-AE)2+0B, 则4B=(0,2,0),BE=（-2,0,a), 则ac-(5-A)+9) 因为AB·B2=0,所以A1B1⊥BE,故(A)正确； 因为VE-BBD=V1-E, 解得46一今放(C)正商： 又S△B1E为定值，点D,到平面B,BE的距离也为定值， 所以VE-B1BD,为定值，故(B)正确； 由40=5,4证=要得正=子d, 设平面BD,E的一个法向量为n=(x,y,z), 所以E,E'重合，所以E为FG的中点，即EF=EG, 因为B2=(-2,0,a),BD=（-2,-2,4), 所以EA+EB=2EF,EC+ED=2EG, 所以m·配-2x+:=0, 则E+EE=-(E元+E), ln·BD=-2x-2y+4z=0, 所以E+E元+E元+E元=0，故(B)正确； 令x=a,则y=4-a,z=2,所以n=(a,4-a,2), 因为cos(AC,A=os(aC,Ad=40=6 AC 3 因为AC=(-2,2,0),所以由AC·n=-2a+8-2a=0, 可得a=2,所以E(0,2,2),故(C)正确； 所以正.元-1C(元-x2x5- 3 因为BD上平面BDE,DB=(2,2,4), 2,故(D)错误 所以号=42=子，无解，故(D)结误 故选(A)(B)(C). 2 三、填空题 故选(A)(B)(C). 11.由题意得E是正四面体ABCD外接球的球心，如图5. 12分；1B月，4au<a< 1016.（15分)在棱长为1的正方体ABCD-A,BC,D1中，E,F分 18.(17分)如图8，在所有棱长均为2的三棱柱ABC-A,B,C 19.(17分)空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构 别为D,D,BD的中点，点C在楼CD上，且CG=CD,H为C,C的中 中，∠B,BC=60°. 成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐 (1)证明：AB,⊥BC; 标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的 点，应用空间向量的方法求解下列问题， (2)证明：AC⊥平面AB,C1 夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空 (I)求EF与C,G所成角的余弦值； 间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：ij, (2)求FH的长 k,分别为“斜60°坐标系”下三条数轴(x轴、y轴、z轴)正方向的单 位向量，若向量n=xi+i+水，则n与有序实数组(x,y,z)相对应 8 称向量的斜60°坐标为[x,y,z],记作n=[x,y,]. (1)若a=[1,2,3],b=[-1,1,2],求a+b的斜60°坐标； (2)在平行六面体ABCD-AB,C,D1中，AB=AD=2,AA1= 3,LBAD=∠BAA1=DAA1=60°，如图9，以{AB,AD,AA为基 高中数学 底建立“空间斜60°坐标系” (1)若B正=EB,求向量ED的斜60°坐标； (i)若A7=[2,t,0],且AM⊥AC,求1A1 选择性 17.(15分)如图7，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为 1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB,AD的夹角都等于60°，M 必修第 是PC的中点，设AB=a,AD=b,AP=c. 册 (1)试用a,b,c表示向量Bi; (2)求BM的长. A 版)同步核心素养测评 高中数学·选择性必修第一册（人教A版）同步核心素养测评 参考答案见下期 本版责任编辑：蒋丕清 报纸编辑质量反馈电话： 0351-5271268 数淫括 2025年7月7日·星期 高中数学 报纸发行质量反馈电话： 期总第1145期 人教A 0351-5271248 选择性必修第一册 2025~2026学年 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707八F) 邮发代号：21-289 高中数学人教A版 空间向量三定理是指空间向量基本定理、共面！ 共线向量定理和共面向量定理，它们既相区别 (2)共面向量定理给出了平面的向量表示， 选择性必修第一册 解读 又紧密联系.下面分别解读这三个定理，供同学 它既是判断三个向量是否共面的依据，又是已 编辑计划 们参考 知共面条件的另一种表示形式，可以借此将已 空间向量三定理 第1期§1.1空 一、共线向量定理 知共面条件化为向量式，以便进行向量运算 间向量及其运算、§1.2 对于任意两个空间向量a,b(b≠0)，a∥b (3)三个向量共面是指它们所在的基线平行 ◎山东费彦青 空间向量基本定理 的充要条件是存在实数入，使a=b. 于同一平面或在同一平面内，并不是指它们的基线 (2)用三个不共面的已知向量组a,b,c可 说明：(1)在此定理中必须要有b≠0这个 一定在同一平面内，利用此定理可以证明四点共 以线性表示出空间的任意一个向量，而且表示 §1.3空间向量及其运 条件，因为0与任意一个非零向量共线. 面、点线共面、线面平行等 的结果是唯一的. 算的坐标表示 (2)在a=b中，对于确定的入和b,a= 三、空间向量基本定理 四、依据共线向量定理、共面向量定理和空 第2期§1.4空 b表示空间中与b平行或共线且长度为1b 如果三个向量a,b,c不共面，那么对任意一个 间向量基本定理可以有下面的具体结论： 间向量的应用 的所有向量， 空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得 (1)A,B,C三点共线台AB∥AC台存在实 第3期空间向量 (3)利用共线向量定理可以证明两条直线p=xa+b+c 数x,使AC=xAB曰存在唯一的一对实数x,y, 与立体几何核心素养 平行或三点共线问题。 这时不共面的三个向量a,b,c叫做空间的 使得0元=x0A+y0B,且x+y=1. 综合测评 二、共面向量定理 一个基底，记作{a,b,c},其中a,b,c都叫做基 (2)判断空间四点是否共面我们有两个结 如果两个向量a,b不共线，那么向量p与向 向量 第4期核心素养 论：设A,B,C三点不共线，则：①P,A,B,C四点 量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数 说明：(1)空间任意三个不共面的向量都 阶段测评（一） 共面的充要条件是：存在有序实数对(x,y),使 对(x,y),使=xa+b. 可以作为空间向量的一个基底，同时由于0与 第5期§2.1直 说明：(1)由于空间的任意两个非零向量任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量 A下=xAB+yAC:②P,A,B,C四点共面的充要 线的倾斜角与余斜率 a,b都可以通过平移，转化到一个平面内，因此 共面，所以三个向量不共面就隐含着它们都是 条件是：对空间任意一点0，都有0P=x0+ 第6期82.2直 它们总是共面的.规定：0与任意两个非零向量 非零向量 y0B+z0C,且x+y+z=1. 线的方程 AB=3,AA1=2,E为BC的中 坐标系，则B(0,0,0),D(0,2,2),B(0,0,4) 第7期82.3直线 空间向量坐标运算 点，求AO1与B,E所成角的余 设BA=a,则A(a,0,0) 的交点坐标与距离公式 弦值 第8期82.4圆 应用show 所以B=(a,0,0) 解：建立空间直角坐标系 BD=(0,2,2), 的方程 0-xy:如图1所示. ◎贵州欧善群 由题意得A(2,0,0),01(0,0,2), B1D=(0,2,-2). 第9期§2.5直 线与圆、圆与圆的位置 从近几年高考看，空间向量的题目几乎都 B(2,3,2),E(1,3,0) 因为B1D·BA=0 离不开空间向量的坐标运算.运用空间向量的 关系 所以40，=(-2,0,2)，BE=(-1,0,-2), B,D.BD=0, 坐标运算可以解决有关定量和定性的问题下面 第10期直线和 所以cos〈AO1,B1E) -2 10 所以B,D⊥BA,BD⊥BD 举例说明，供大家参考 210 10 又BA∩BD=B,因此B,D⊥平面ABD 圆的方程核心素养综 一、求长度 五、巧解探究性问题 合测评 例1已知A,B,C三点的坐标分别是(2， 即A0,与B,E所成角的余弦值为 10 例7已知矩形ABCD,PA⊥平面ABCD,M, 第11期核心素 -1,-2),(4,5,1),(-22,3),且4=2(a正 三、处理平行问题 N分别是AB,PC的中点，∠PDA=0,能否确定 养阶段测评（二） 例4已知A(1,5,-2),B(3,4,4),C(a,3,b0,使直线MN是直线AB与PC的公垂线？若能确 第12期§3.1 -2AC),求向量A的模 +2),如果A,B,C三点共线，则a+b=定，求出0的值；若不能确定，请说明理由 椭圆 解：4正=(2,6,3)，4C=(-4,3,5) 解：如图3，以点A为坐标 第13期S3.2 则=2(A店-2AC=(5,0,- 解：因为A,B,C三点共线，所以AB∥AC, 原点建立空间直角坐标系，设 A(0,0,0),D(2a,0,0),B(0 双曲线 而AB=(2,-1,6), 第14期§3.3 所以1AM1= 52+0+(-)】 2b,0),C(2a,2b,0), AC=(a-1,-2,b+4) 那么P(0,0,2atan0) 抛物线 √149 2=子=4 -1-61 M(0,b,0), 第15期 圆锥曲 所以a=5,b=8,所以a+b=13 N(a,b,atan 0) 线的方程核心素养综 二、求角度 四、处理垂直问题 所以AB=(0,2b,0),PC=(2a,2b 合测评 例2已知空间三点A(1,2,3),B(2,-1, 例5已知a=(2,-1,3),b=(-4,2,x),-2atan9),M=(a,0,atan9). 第16期核心素 5),C(3,2,5),设a=AB,b=A元，若a与b的夹c=(1,-4x,2),若(a+b)1c,则x= 因为AB.M=(0,2b,0)·(a,0,atan0)=0, 养阶段测评（三） 角为0，求c0s0. 解：因为4B=(1,-3,2),4元=(2,0,2) 解：由题得a+b=(-2,1,x+3) 所以AB⊥M,即AB⊥MN恒成立. 第17期学业水 因为(a+b)⊥c, 若MN⊥PC, 平测评（一） 所以1a1=1AB1=√2+(-3)2+2 所以-2-4x+2(x+3)=0 则yMn.P元=(a,0,atan0)·(2a,2b,-2atan0) 第18期 学业水 =14 解得x=2. =2a2-2a2tan20=0, 平测评（二） b1=1AC1=√22+02+22=22 例6在直三棱柱ABC-A,B,C,中，∠ABC 得lan0=1. 阴w9ca。。-3治 =90°，1BC1=2,1CC,I=4,D为CC,的中 因为0为锐角，所以an0=1,即0=45 点.证明：BD1平面ABD 即当6=45°时，直线MW是直线AB与PC的 例3在长方体OABC-O1AB,C1中，OA=2, 证明：如图2，以B为坐标原点，建立空间直角公垂线 2 素养·专练 数理极 一、结论多解型 z∈R),则“x+y+z=1”是“点P位于平面ABC 新题速递 例1如右图所示，在正方 内”的 体ABCD-A,B,C,D,中，①(AB (A)充分不必要条件 空间向量及其运算 +BC)+CC;②(AA+AD) (B)必要不充分条件 (C)充要条件 创新题展示 +D,C;③(AB+BB)+B,C; (D)既不充分又不必要条件 ④(AA+A,B)+B,C.上列各 ©四川陈其伟 分析：根据共面向量定理，结合充要条件的概 式中运算的结果为向量AC,的共有 (将念作出判断. 是否存在实数对(x,y),使得A=xAB+yAC成立 以上运算结果为AC的序号填到横线上). 解：若空间任意一点O和不共线的三点A,B, 解：点M与A,B,C不共面，理由如下： 分析：根据向量的运算法则逐个将各式化简作出C,满足O丽=xO+yO店+z0C(x∈R,y∈R,z 假设点M与A,B,C一定共面， 判断. ∈R),且x+y+z=1,则点P位于平面ABC内， 则存在实数对(x,y), 解：①（正+BC+CC=AC+CC=AC;反之，若点P位于平面ABC内，且亦=x0+y0丽 使得AM=xAB+yAC成立 ②(+AD)+D,C=AD+D,G=AC:+:0Cx∈R,y∈R,∈R),则x+y+:=1. 于是对平面ABC外任一点O, ③(AB+BB)+BC=AB+B1C=AC;④(AA 0M=(1-x-y)0A+x0B+y0C, 故选(C). 1-x-y=2, +A,B)+B,C=AB+B,C=AC.所以运算结 点评：本题只要是空间向量与逻辑条件的交 比较原式，由基本定理得{x=-1, 果是4C的有①②③④. 汇问题，解题的关健是熟练掌握充分条件、必要条 y=-1, 点评：结论开放型创新问题，结论是不确定或不件、充要条件的概念 此方程组无解，这与假设矛盾， 唯一的，解题时要注意运用相应的解题策略，如举反 三、探索型 所以不存在x,y使AM=xAB+yAC成立 例、特殊值法、排除法、等价转化、数形结合等」 例3已知A,B,C三点不共线，对平面ABC外 所以点M与A,B,C不共面. 二、知识交汇型 的任一点0，若0M=20A-0B-0C,则点M是否 点评：本题主要考查了空间向量的共面向量 例2已知空间任意一点0和不共线的三点A, 与A,B,C一定共面，并说明理由. 定理，考查了方程思想的运用，从结论入手降低了 B,C,满足OP=xOA+yO店+z0C(x∈R,y∈R, 分析：若确定，点M是否与A,B,C一定共面，就看 思维难度 专项小练一、空间向量及其运算 专项小练二、空间向量基本定理 专项小练三、空间向量及其运算的坐标表示 1.(多选)下列说法正确的是( 1.（多选)已知{a,b,c}是空间的一组基，若 1.在空间直角坐标系Oxyz中，点A(0,1, (A)在同一条直线上的单位向量都相等 a+b,b-c,m}是空间的另一组基，则m可以为 -1),B(1,1,2),点A关于y轴对称的点为C,点 (B)只有零向量的模等于0 ( B关于平面xOz对称的点为D,则向量CD的坐标 (C)在正方体ABCD-A,B,C,D,中，AD,与 (A)a (B)c BC是相等向量 (C)a+c (D)a-c (A)(-1,2,-1) (B)(1,-2,1) (C)(-1,0,1) (D)(1,0,-1) (D)在空间四边形ABCD中，AB与CD是相 2.在四面体OABC中，N是BC的中点.设OA 反向量 2.已知a=(2,0,1),b=(3,2,-5),则向 =a,0B=b,0元=c,则4N= ( 量b在向量a上的投影向量是 2.在四面体PABC中，PB-AB-CA= () (a++2 (A)0(3,2,-5) (B)53,2,-5) (A)PC (B)AP (C)AE (D)AC (c)(2,0,1) (D)82.0） 3.已知e1,e2,e3为空间三个不共面的向量， (B)zatbse 向量a=e1+ue2+4e3,b=3e1+9e2+Ae3,若 3.（多选)已知向量a=(m,n,2),b=(2, a与b共线，则入+u= () (c)-a+2b+2 -2,1),则下列结论正确的是 (A)-3(B)3 (C)-15(D)15 (D)-a++c (A)若a∥b,则m=4,n=-4 (B)若a∥b,则m=-4,n=4 4.已知1a1=22,161= 2,ab=-2, 3.已知a,b,c}是空间的一组基底，其中AB (C)若a⊥b,则m-n+1=0 则a,b〉= (D)若a⊥b,则n-m+1=0 2a-3b,AC a-c,AD=2b+Ac.A,B,C, 5.已知单位向量a,b满足1a1=1a+b1,则 4.已知a=(1,0,1),b=(1,1,2),则向量a D四点共面，则入= 与b的夹角为 (a+b）h= (-圣 5.在空间直角坐标系中，设A(1,2,a),B(2 6.如下图，在空间四边形ABCD中，AB=3, 3,4),若1AB1=3,则实数a的值是 BC=4,AD=5,∠ABC=∠BAD=120°，AD1 (c)号 (D)- 6.已知A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),0 BC. 4.已知0是空间任意一点，A,B,C,D四点满 为坐标原点，点Q在直线0P上运动，当Q4·QB (1)求BA.BC; 取最小值时，求点Q的坐标 (2)求CD的长 足任意三点均不共线，但四点共面，且O= 2xB0+3yC0+4:D0,则4x+6y+8x= 5.在正三棱柱ABC-AB,C,中，M为 △4，B,C,的重心，若4B=a,AC=b,A4=c,则 数理报社试题研究中心 CM=·(用a,b,c表示) 参考答案见下期 () (B) (c (D)5 第Ⅱ卷非选择题（共92分) §1.1-§1.3同步核心素养测评 8.如图2，正方形ABB,A,的边长为12，其内有两点P,Q,点P到 边AA,,A,B,的距离分别为3,2，点Q到边BB,,AB的距离也是3和2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 现将正方形卷成一个圆柱，使得AB和A,B,重合（如图3）.则此时P, 12.在平行六面体ABCD-A,B,C,D,中，E,F分别在棱BB,和 ©数理报社试题研究中心 Q两点间的距离为 DD,上，且DF=)DD.记E亦=xA店+yA币+：A不，若x+y+:= 第I卷选择题（共58分） 器 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 13.如图5，在四面体0ABC中，0A=8,AB=6. 1.在空间四边形OABC中，化简OA+C0-CB= AC=4,BC=5,∠0AC=45°，∠0AB=60°，则0A与 (A)OC (B)BA 图2 图3 BC所成角的余弦值为 14.已知空间向量a,b,1al=2,1b1=1,〈a,b) 高中 (c)ac (D)OB (A)6个+n (B)6W2+m T =60°，则使向量a+Ab与入a-2b的夹角为钝角的实 高中 数学 2.已知点A(-2,3,0),B(1,3,2),AD=2AB,则点D的坐标为 ( (C)6V3+m (D)64+n 数入的取值范围是 数学 T 四、解答题：本题共5小题，共77分 选择性 (A)(-11,3,-6) (B)(9,0,6) 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 15.(13分)如图6，点M,V分别在对角线BD,AE上，且BM= (C)(4,3,4) (D)(-1,15,6) 9.已知空间向量a=(-2,-1,1),b=(3,4,5),则下列结论正 必修第 3BD,AN=号4E.证明：向量N,Cd,D龙共面。 3.若点A(2,-5,-1),B(-1,-4,-2),C(m+3,-3,n)在 确的是 择性必修第 同一条直线上，则m-n= ( (A)(2a+b)∥a 册 (A)21 (B)4 (B)51a1=51b1 册 教 (C)-4 (D)10 (C)a⊥(5a+4b) 4.已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,1a1=2,Ib1=3, 教 A 版Ic1=4,则a与b的夹角为 () (D)“在b上的投影向量的长度为5 同 (A)30° (B)45 10.如图4所示，M是四面体OABC的棱 步核 (C)609 (D)以上都不对 BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN 心 5.如图1，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，E是PD 素养测评 上，且1AP=31Pw1.0N=子0，设0- 的中点.若P=a,PB=b,PC=c,则B正= A版)同步核心素养测评 a,0B=b,0C=c,则下列等式成立的是 1 ( 图4 (®)=动+-a 1 (c)7a-b+ 4、3 (c)-b- 4 (D)0p=1 (D)z-e 3 11.在三棱锥M-ABC中，下列说法正确的是 (A)若D=殳A店+？AC,则BC=3B 3 6.已知向量a=(1,2,3),b=(-2,-4,-6),1c1=√14， 若(a+b)·c=7,则(a,c〉= (B)若G为△ABC的重心，则MC=子M+子M店+号MC (A)120° (B)90° (C)60° (D)30° (C)若MA.BC=0,MC.A正=0，则M店.AC=0 7.在四面体OABC中，点M,N分别为OA,BC的中点，若OC= (D)若三棱锥M-ABC的棱长都为2，P,Q分别为MA,BC的中 号01+x0成+y0C,且C,M,N三点共线，则x+y= ( 点，则IP01=2