第4期 二次函数与一元二次方程、不等式及本章综合-【数理报】2025-2026学年高一数学必修第一册同步学案（人教A版）

高一数学人教A(必修第一册)第1~4期 数理括 答案详解 2025~2026学年 高一数学人教A(必修第一册)第1~4期(2025年7月)】 则AUB=A={x∈RIx≠3}. 第1期2版参考答案 3.因为M={xI-1≤x≤3}，N={xlx=2h-1,ke 专项小练一 N,}, 1.ACD;2.D;3.A;4.{xIx=n,neN,};5.2. 所以MN=1,3. 6.解：(1)不正确。 4.由题化简得集合B={xIx>a}, 因为2=引=宁 结合数轴可知，要使A二B,则只要a≤-1即可， 即实数a的取值范围是aIa≤-1}. 所以这个集合有3个元素. 5.当x=0时，m=y,m可取0,1,2； (2)不正确。 当x=1时，m=1+y,m可取1,2,3； 方程(x-3)(x+1)2=0的解是x1=3,x2=x3=-1, 当x=2时，m=2+y,m可取2,3,4. 因此这个集合只有3，-1两个元素。 因此m的值可以为0,1,2,3,4， 专项小练二 即B={0,1,2,3,4},从而ACB. 1.D;2.C;3.CD;4.BA;5.2 6.根据题意知a>-4,则CRB={x1-4<x≤a. 6.解：(1)由题知A=x1-2≤x≤5}， 又A={xlx<-3或x>1},A∩(CRB)中恰好含有2个 当x∈Z时，A={-2,-1,0,1,2,3,4,5}共8个元素， 整数， 所以A的非空真子集的个数为28-2=254个. 所以A∩(CRB)={xl-4<x<-3或1<x≤a, (2)由题知显然m-1<m+1,因为BCA, 所以3≤a<4. 所以m+1≤5，解得-1≤m≤4， 7.因为A∩B={-2},所以-2∈A, lm-1≥-2， 得(-2)2+2p-2=0,解得p=-1. 所以实数m的取值范围是{m「-1≤m≤4}. 故A={x1x2+x-2=0}={-2,1}. 专项小练三 又因为AUB={-2,1,5},所以B={-2,5}. 1.A;2.A;3.AD;4.8;5.1. 6.解：(1)因为A={xl2≤x<7},B={xl3<x<10}, 人。 所以AUB={xI2≤x<10}, 综上可得p+q+r=-1-3-10=-14 CRA={xlx<2或x≥7}， 8.由题可得x=√5，万，√2+n,√个+， 则(CRA)B={xI7≤x<10}. 又集合A⊙B有3个元素， (2)因为A={x12≤x<7},C={xlx<a},且A∩C 当2=√2+n,即n=0时， ≠0，所以a>2, A⊙B={3,√2，I}满足题意； 所以a的取值范围是{ala>2}. 当2=√+n,即n=1,n=-1(舍去)时， 第1期3,4版参考答案 A⊙B={5,√2}，不符合题意； 当3=√个+n,即n=±2时， 集合同步核心素养测评 一、单项选择题 A⊙B={W5,√2,2}满足题意； 1 ~4 CCAD 5~8 DBCB 当5=2+n,即n=1,n=-1(舍去)时， 提示： A⊙B={5,√2}，不符合题意. 1.根据补集定义可得C4B={0,2,6,10}. 综上，ne{0,2,-2}, 2.由题意可知B≤A, 故所构成集合的非空真子集的个数为2-2=6. 高一数学人教A(必修第一册)第1~4期 二、多项选择题 12.因为A={xx2+2ax-a<0,-1年A, 9.AC;10.ABC;11.ABC. 所以x=-1满足x2+2ax-a≥0， 提示： 9.因为MP, 即1-24-a≥0，解得a≤分 R 所以MUP=P,故(A)正确； 13.集合M,P,Q分别代表被3除余0,1,2的整数构成的集 因为MP,所以P∩M=M, 合，整数集中去掉被3除余0和1的，剩余的只有余数为2的，即 而M手N,故(B)错误； 集合Q. 因为N军P, 14.由题意知，第一天售出但第二天未售出的商品有17-3 所以CRP军CRN,故(C)正确； =14种， M手N,如图1所示， 第二天售出但第一天未售出的商品有13-3=10种， 所以V∩CRM表示的集合为①，不是空集，故(D)错误。 所以前两天共售出的商品有14+10+3=27种， 故选(A)(C). 第三天售出14种商品，后两天都售出的商品有5种， 10.Z={z1川z≥2}={z1z≥2或z≤-2}， 所以第三天售出但第二天未售出的商品有14-5=9种， 因为X=x1-2<x<2}, 因为9<14， 所以CRX={xIx≤-2或x≥2}，(B)正确； 所以这9种商品都是第一天售出但第二天未售出的商品 CRY=lyly>21, 时，该网店这三天售出的商品种类最少，其最小值为27. 则(CRX)U(CRY)=x1x≤-2或x≥2}，(A)正确； 四、解答题 X∩Y={xl-2<x<2},CR(X∩Y)={xIx≥2或 15.解：(1)因为2∈B,BCA, x≤-2}，(C)正确； 所以 [2=+ax+a, XUY={xlx≤2}，C(XUY)={xlx>2},(D)错误 3=x2-5x+9, 故选(A)(B)(C). rx=2, rx=3, 11.若A,B不具有包含关系，用Vemn图分别表示集合A 所以 。2或{ a=- B,A∩B,B-A,如图2， 若A,B具有包含关系，不妨设A军B, (2)因为B=C, x2+(a+1)x-3=3, 所以 4∩B B-A x2+ax +a =1, 图2 图3 解得-1或=3， la=-6la=-2. 则A-B=0,A∩B=A,B-A如图3所示 对于(A),图2中，(A-B)∩(B-A)=0, 16.解：0=x1x是不大于9的正整数}={1,2,3,4,5,6， 图3中，A-B=O,所以(A-B)∩(B-A)=☑，故(A) 7,8,9},且(CA)nB={1,3},(CB)nA={2,4,8},(C4) 正确； n(CB)=C(AUB)={6,9},作出Vem图，如图4. 对于(B),图2中，(A-B)U(B-A)=(AUB)-(A∩ B)成立， B 2,4,85,7 1,3 图3中，(A-B)U(B-A)=B-A,(AUB)-(A∩B) =B-A, 6,9 图4 所以(A-B)U(B-A)=(AUB)-(A∩B)成立，故 所以A={2,4,5,7,8},B={1,3,5,7. (B)正确； 17.解：(1)由题可得集合B中的元素个数为1， 对于(C),若A=B,则A-B=⑦，故(C)正确； 对于(D),由图3可知，若AB,则B-A≠O,故(D) 所以4=4(a+1)2-4(a2-5)=0, 即8(a+3)=0,解得a=-3. 错误 故选(A)(B)(C) (2)因为AUB=A,所以BCA={1,2}. 三、填空题 对集合B讨论： 当A<0,即a<-3时，B=0,满足条件： 2{aa≤号}：13.0（浅1x=3张-1kez): 当A=0,即a=-3时，B=2},满足条件； 14.27. 当4>0时，要满足条件，必有B={1,2}, 提示： 由一元二次方程根与系数的关系有 -2 高一数学人教A(必修第一册) 第1~4期 [1+2=-2(a+1), 第2期2版参考答案 l1×2=a2-5, 此方程组无解，不满足条件，舍去 专项小练一 综上，实数a的取值范围是ala≤-3. 1.C;2.ABD;3.B;4.fmlm≤2}；5.③. 18.解：(1)由题意知：CRA={x1-3≤x≤7}， 6.解：(1)因为命题p为真命题，p:关于x的方程x2-2ax+ 因为(CRA)UB=CRA,故BC(CRA). a2+a-1=0有实数根， 则4=4a2-4(a2+a-1)≥0，解得a≤1， ①当B=☑，即m+1>2m-1时， 故实数a的取值范围为aIa≤1}. 满足B∈(CRA),此时m<2; (2)由(1)知p:a≤1,9：m-1≤a≤m+1. ②当B≠O时，若BC(CRA), 若p是q的必要不充分条件，则m+1≤1，解得m≤0. rm+1≤2m-1, 故m的取值范围为mlm≤0}. 则{m+1≥-3，解得2≤m≤4， 专项小练二 2m-1≤7， 1.B;2.B;3.BD;4.{a1a>1};5.-1. 综上，实数m的取值范围为m「m≤4. 6.解：(1)p:3meR,方程x+x-m=0没有实根， (2)因为(CRA)∩B={x1a≤x≤b},且b-a≥1， 因为方程x2+x-m=0的判别式4=1+4m, 故B≠0，即m+1≤2m-1, 所以当m<-子时，4=1+4m<0,方程没有实根， 解得m≥2，则m+1≥3,2m-1≥3. 11 ①当2m-1≤7，即m≤4时， 即存在me{mm<-4} 使得该方程没有实根， (CRA)nB=B={xlm+1≤x≤2m-1}, 所以p为真命题 故2m-1-(m+1)≥1，解得3≤m≤4； (2)q:VxeR,使得x2+x+1>0. ②当2m-1>7, 因为4=1-4<0，所以x2+x+1>0恒成立， 即4<m≤6时， lm+1≤7， 所以9为真命题 (CRA)OB=xIm+1≤x≤7}， 第2期3,4版参考答案 故7-(m+1)≥1，解得4<m≤5； 集合与常用逻辑用语核心素养综合测评 ③当m+1>7,即m>6时，(CA)∩B=☑，不合题意. 一、单项选择题 综上，实数m的取值范围为{m|3≤m≤5}. 1~4 BCAC 5~8 ADBC 19解：()宋合{片5,2}是复活笑 提示： 1.原命题即“]x>0,ax2-x-2=0”, 理由如下： 其否定为“/x>0,ax2-x-2≠0”. 因为15.，5=15+山，5=-1. 2.由集合知识得AUB=A台B二A, 2 2 2 2 所以“AUB=A”是“B二A”的充要条件. 所以纸合{5,12}是复活集 3.由题得U={x∈N11≤x≤6}={1,2,3,4,5,6， 所以CA=2,4,5},CuB=1,5,6, (2)由a1,a2}为“复活集”，设a1+a=aa2=t, 故(CA)n(CB)={5. 因此a1,a2是一元二次方程x2-tx+t=0的两个不等 4.若x∈B,则x=4k=2(2k)eA,所以B二A, 正根， 因为2∈A,且2生B,所以A奕B. 于是△=2-4t>0,且t>0,解得t>4, 5.由题意可知3x2≥a,1≤x≤3恒成立， 所以a1a2的取值范围是{a1a2Ia1a2>4}. 只需a≤(3x2)min=3, (3)不妨设A中元素a,(i=1,2,3)满足a1<a,<a, 结合选项知a≤4ha≤3，但a≤3-a≤4， 故a≤3的一个必要不充分条件为a≤4. 显然a1a2a3=a1+a2+a3<3a3, 6.因为A={1,2,3,4},B=2,4}, 因为a;∈N,则a1a2<3,a1a2∈N,, 又SCA,SnB≠0， 所以a1a2=2,且得a1=1,a2=2, 所以S={2},{4},{1,2},{2,3},{1,4},{3,4},2,4}, 则2a3=3+a3,解得a3=3, {1,2,3},{1,2,4},{2,3,4},{1,3,4},{1,2,3,4}, 所以“复活集”A={1,2,3}. 所以满足条件的集合S的个数是12. 高一数学人教A(必修第一册)第1~4期 7.由x2-x-6=0得x=-2或x=3, 则a=4n1+k,n1eZ,b=4n2+k,n2∈Z, 所以A=-2,3. 则a-b=4(m1-n2)+0,所以a-be[0]; 又A∩B=B,所以BCA. 反之，不妨设a=4n1+k1,n1∈Z,b=4n2+k2,n∈Z, 当a=0时，ax+6=0无解，B=☑，符合题意； 则a-b=4(n1-n2)+(k1-k2), 当a≠0时，由ax+6=0得x=-6, 若a-b∈[0]，则k-k=0,即1=k2, a 所以整数a,b属于同一“类”， 依题意得-6=-2或-6=3. 故整数a,b属于同一“类”的充要条件是a-b∈[0]，即 a a 解得a=3或a=-2, (D)正确.故选(B)(C)(D). 对比四个选项知a的值不能为2. 三、填空题 8.因为p(a,b)=0, 12.充分不必要；13.{mm≤-2}；14.7. 提示： 所以√a2+2-a-b=0,即√a+b=a+b, 12.当开关K和K,有且只有一个闭合时，灯泡L亮，当灯 显然a+b≥0， 泡L亮时，开关K和K2也有可能都闭合，故电路中“开关K和 所以a2+b2=a2+62+2ab,所以ab=0,且a≥0，b≥0， K,有且只有一个闭合”是“灯泡L亮”的充分不必要条件. 所以p(a,b)=0是a与b互补的充分条件； 13.因为了xeB,x∈A为假命题， 当a与b互补时，则有a≥0，b≥0，且ab=0, 所以Hx∈B,x年A为真命题， 所以a,b中至少有一个数为0， 所以A∩B=☑且B≠☑. 所以a2+b2=(a+b)2, 即a2+b=la+b1=a+b, 所以2m≤m+山或大m+1解得m≤-2 lm+1≤-1l2m≥4， 所以p(a,b)=√/a+6-a-b=(a+b)-(a+b)=0, 即实数m的取值范围为{mlm≤-2. 所以p(a,b)=0是a与b互补的必要条件， 14.若M中只有1个元素，则M=3}; 所以p(a,b)=0是a与b互补的充要条件. 若M中有2个元素，则M={1,5}或{2,4}； 二、多项选择题 若M中有3个元素，则M={1,3,5}或{2,3,4}： 9.ABD;10.AD;11.BCD. 若M中有4个元素，则M={1,2,4,5}; 提示 若M中有5个元素，则M={1,2,3,4,5. 9.对于(A),因为ACB,所以Hx∈A,都有x∈B,故(A) 所以满足题意的M共有7个 正确； 四、解答题 对于(B),因为A不包含于B,所以3x∈A,使得xB,如 15.解：(1)AUB={xI4≤x<10}. A=1,2,3},B=2,3,4},故(B)正确： 因为CRA={x1x<4或x≥8}， 对于(C),当x=2+1时，x2=3+22是无理数，故(C) 所以(CRA)∩B={xI8≤x<10. 错误； (2)要使得A∩C≠⑦，画出数轴如下图所示， 对于(D),当x=2时，x=22是无理数，故(D)正确. 故选(A)(B)(D). 10.0=AUB={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, 由图可知a<8. 又A∩(CB)={1,3,5,7},(CA)∩B=2,8,9,10, 16.解：(1)由二次函数的性质得当1≤x≤2时，1≤x2≤4. 所以A0B={0,4,6. 因为p:]1≤x≤2，x2-a<0为真命题， 则A={0,1,3,4,5,6,7}, 所以a>1. AUB的子集个数为2"=2048， 故实数a的取值范围是{a1a>1}. A∩B的子集有8个，非空真子集有6个， (2)由(1)知命题p为真命题时，a≤1. 故(A),(D)正确.故选(A)(D) 因为命题g为真命题时，4=4a2-4(2a+a2)≥0， 11.由224=4×56可得224∈[0]，故(A)错误： 解得a≤0， 由-2=4×(-1)+2可得，-2∈[2]，故(B)正确： 所以当q为真命题时，a>0. 所有整数被4除所得的余数只有0,1,2,3四种情况，刚好 所以0<a≤1，即实数a的取值范围为{a0<a≤1}. 分成[0]，[1]，[2]，[3]共4类，故Z=[0]U[1]U[2]U 17.解：(1)由x2-(3m-2)x+2m2-m-3=0, [3],故(C)正确； 得[x-(m+1)][x-(2m-3)]=0, 若整数a,b属于同一“类”， 所以x=m+1或x=2m-3. 4 高一数学人教A(必修第一册)第1~4期 因为命题p为真命题， 所以有理数集Q是“好集”. 所以5<m+1<4, (2)证明：因为集合A是“好集”，所以0∈A,若x,y∈A, 1-5<2m-3<4, 则0-y∈A,即-y∈A,所以x-（-y)∈A,即x+y∈A. 得-1<m<3. (3)解：命题为真命题.理由如下： 所以A={m1-1<m<3}. 若x,y中有0,1时，显然有y∈A, (2)由(1)得集合A={mI-1<m<3},集合B=m1 1-a<m<1+a}, 下设，中不存在0,1，由定义得-1，士e4 1 由题得B是A的真子集. 所以=D∈A则(x-）后4. 当B=☑时，1-a≥1+a,解得a≤0，满足题意； 由(2)得x(x-1)+x=x2∈A,同理y2∈A. r1-a<1+a, 1-a<1+a, 若x+y=0或x+y=1时，显然(x+y)2∈A; 当B≠0时，1-a>-1,或1-a≥-1， 若x+y≠0或x+y≠1时，显然(x+y)2∈A, 1+a≤3 1+a<3, 可得2y=(x+y)2-x2-y2∈A, 解得0<a<2. 综上，存在实数a∈aIa<2}满足条件. 所以站。2)得时=六eA所以罗e 1 18.解：(1)若A是空集，则ax2-2x+1=0无实数解. 综上：yeA. 当a=0时，-2+1=0，解得x=分，不符合题意， 故若x,y∈A,则必有xy∈A 所以a≠0,4=4-4a<0,解得a>1, 第3期2版参考答案 即实数a的取值范围为a|a>1}. 专项小练一 (2)若集合A中只有一个元素， 1.D;2.A;3.ACD;4.>; 当a=0时，-2x+1=0,解得x=2,符合题意； 5.80+20(n-1)≥300. 当a≠0时，△=4-4a=0,解得a=1,符合题意. 6.证明：(a+√b)2=a+b+2√ab, 所以a的值为0或1. (e+a)2=c+d+2ca, (3)当B={xIx>0}时，若A∩B为非空集合， 由ab=cd,a+b>c+d, 则A={xIax2-2x+1=0,a∈R至少与集合B有一 得(a+b)2>(+√a)2, 个公共元素，即ax2-2x+1=0至少有一个正根. 所以a+√b>+a. 当a=0时，-2x+1=0,解得x=,所以AnB= 专项小练二 1.A;2.D;3.BD;4.3;5.16. {2},符合题意： 6.解：由x>0, 当a≠0时，由△=4-4a=0,解得a=1,此时，A=x1 3x 2-3x+3 x2-2x+1=0}={1},A∩B=1},符合题意； x+3-3 由(1)得当a>1时，A为空集，不符合题意； 若0<a<1,则4=4-4a>0,ax2-2x+1=0的两根 B一=2+5， 2V×3-32-3 之和子>0，两根之积片>0，即两根都为正根符合题意： 当且仅当x=5时，等号成立， 若a<0,则4=4-4a>0,a2-2x+1=0的两根之和 所以a≥ 5x 2<0,两根之积人<0，即两根为一正根一负根，符合题意 =2+√5， a （-3x+3） 综上，实数a的取值范围为ala≤l}. 故a的取值范围为ala≥2+√3. 19.（1)解：集合B不是“好集”，有理数集Q是“好集”. 第3期3,4版参考答案 理由如下： 因为-1∈B,1∈B,所以-1-1=-2生B, 不等式性质，基本不等式同步核心素养测评 所以集合B不是“好集”. 一、单项选择题 因为0∈Q,1∈Q,对任意x∈Q,y∈Q,都有x-y∈Q, 1 ~4 BCAD 5~8 CDAD 1 提示： 且x≠0时，∈Q 1.基本不等式成立的前提条件是各项均为非负数，又x- -5 高一数学人教A(必修第一册)第1~4期 2y≠0，所以x-2y>0,即x>2y. 对(D),a=2,b=3,d=-2,c=-3时， 2++22 y .1=2+2=4, a+d=b+c=0,(D)错误. 故选(A)(B)(C). 当且仅当x=且y=,即x=1且y=1时等号成立， 10.由题意可得-3≤3a≤12，即-1≤a≤4，(A)正确； 由-5≤a-b≤4可得-8≤2b-2a≤10， ra-B<0, 3.因为-1<a<B<1,所以{-1<-B<1, 又2≤2a+b≤8， 所以-6≤3b≤18，即-2≤b≤6，(B)错误； -1<a<1, 2a -5b =x(a-b)+y(2a +b), 所以-2<a-B<0, 即α-B的取值范围为x|-2<x<0. 则+2=2，。解得=4， l-x+y=-5, ly=-1, 4.因为0<a<1,0<b<1,且a≠b, 因为-20≤4(a-b)≤16，-8≤-(2a+b)≤-2，所以 所以d2+b2>2ab,a+b>2√ab,a>a2,b>b2, -28≤2a-5b≤14，(C)正确； 所以a+b>a2+b2,故选(D). 由(A),(B)选项知-1≤a≤4，-2≤b≤6， 5.设升级前的“屏占比”为名(a>6>0),升级后“屏占 若ab的最大值为24，则a=4,b=6, 比”为+m(m>0).因为2+m-么=a二b)m>0,所以 此时2a+b=14>8,(D)错误. a m a+m a a(a+m) 故选(A)(C). 升级后新手机“屏占比”和升级前相比变大. 11.设从A地到B地的距离为S,S>0, 6.m m 2mn 2 SS +3n=m+4mn+3n= m+3+4 立，之_sY+2,= 根据题意可知7=斤+行=2V S n m 2一=2-万，当且仅当m=Bn时取等号，此时m 2S 25+4 'm n 易知元满足受+6)=5测石5 m3n的最大值为2-万 由V>0,V2>0可得， 7.由c-b=4-4a+a2=(2-a)2≥0得c≥b. T= S(y+V2)、2s == 由b+c=6-4a+3a2, ① 2VV,√ c-b=4-4a+a2, ② ≤2S 万2成成 ①-②得2b=2+2a2,即b=1+a2, 即可得T≥T2≥T3,即(A)正确，(B)错误； 所u6-=1+=(a-)+>0， 易知？1= S(y+2).2S S2 2VV +y=2 所以b>a. 综上，c≥b>a. ()广：m心正确： 8.4x+9y=(4x+9y)· (+）=13+空+“≥ x Y 则7+六+2齿 2y'2,y+V2 13+2y 2誓-25当且仅当2=乡 y 4VV2+(y+V2)2 2S(V1+V2) 即x=子y=子时，等号成立 又不等式4x+9y-t≥0恒成立，只需(4x+9y)n≥t, 时=然时+六六即 因此t≤25，故实数t的最大值为25. 故选(A)(C). 二、多项选择题 三、填空题 9.ABC;10.AC;11.AC. 提示： 9对().因为6>a>1,所以分<合<1，（正确： 提示： 12.因为x>0,y>0, 对(B),因为c<d<-1,所以>子>-1.(B)正确： 所以1+子≥2√ xy 对(C),因为c<d<-1,所以-c>-d>0, 所以-bc>-ad,所以ad>bc,(C)正确； 所以y≤3，当且仅当号=子，即x=子y=2时取等号， 3 6 高一数学人教A(必修第一册)第1~4期 因此xy有最大值3. (2)因为a>0,b>0, 所以a+1>0,b+1>0. 13.因为 义a+6=2,所以a+1+6+1=4,所以7十。+746 1(≤4所以子≤1， 4(+。*[a+)+6+1]=+ 所2≤号≤27 4Ψ]=5+29平]-骨当且仅当 14.易知△BDE△ACB,△GFH△ACB, 且BD=CD-BC=b-a,GF=a, 6+1= a+1 ,即a=分6=音时，等号成立 两呢学么荒台。 b 所以十。+的最小值为子 所以4=6，×(a+b+c),h=号×(a+b+e), 18.解：(1)因为屋子的左右两侧墙的长度均为x米(2≤x b ≤6)，底面积为12平方米， 所以+上：a+6+c:1+匠+配 a +b a+b a+b 所以屋子前面的墙的长度为是米， a2+62 1 =1+√+B+2ab =1+ 设甲工程队报价为y元， 2ab 1+ a2+6 则y=3×2×400+2×3x×150+7200=900 16+ 又因为a2+2≥2ab,所以 2ab 2+62s1, x+7200,2≤x≤6， 当且仅当a=b时取等号， 1■ 所以+1+111*Q 因为90(+）+720≥90x2√-+720= a +b 2 14400, 所以最小值为1+乞 2 当且仅当华=，即=4时等号成立。 四、解答题 所以当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队报价最低， 15.解：(px+qy)2-(px2+qy2) 为14400元. =p(p-1)x2+9(q-1)y2+2p9y, 因为p+q=1,所以p-1=-9,9-1=-p, (2②根据题意可知90(+)+720>0a1+ 所以(px+qy)2-(px2+q2）=-pg(x2+y2-2xy） 对任意的2≤x≤6恒成立， =-p9(x-y)2. 因为P,9都为正数，所以-p四(x-y)2≤0， 即x+4)>1+丑对任意的2≤x≤6恒成立， 因此(px+qy)2≤px2+qy2,当且仅当x=y时等号成立. 所以a<仁+4对任意的2≤x≤6恒成立， 1+x 16.证明：因为a>0,b>0,所以ab=a+b≥2ab,当 且仅当a=b=2时取等号，即有ab≥4， 因为a>0,+42-红+1)2+6x+)+9=(x+ 1+x 1+x 于是得(+)+公）=1+女+古+品=1+ x+i+6≥2√/(x+1)9 1)+ +1+6=12, a+bt ab =2+≤2+ 9 ab 当且仅当x+1=子即=2时等号成立，。 所以(1+)(1+古）≤成立 所以0<a<12, 17.解：(1)由a+b=2可得a+(b+1)=3, 故当0<a<12时，无论左右两面墙的长度为多少米，乙 工程队都能竞标成功： 则a6+)≤(t）=(侵)广=是。 19.(1)解：由x2-1比1远离0， 当且仅当a=6+1,即a=多，6=分时等号成立， 则1x2-1-01>11-01, 解得x<-√2或x>2, 所以a(6+1)的最大值是？ 所以x的取值范围是x1x<-√万或x>√2. 高一数学人教A(必修第一册) 第1~4期 (2)证明：若证a3+b3比a2b+ab2远离2ab√ab, 131 5 即证la3+b3-2abab1>1a2b+ab2-2abab1, 因为a≠b,a>0,b>0 第4期3,4版参考答案 则a3+6>2ab=2ab√ab, 一元二次函数、方程和不等式核心素养综合测评 且a2b+ab2>2√ab=2ab√ad, 一、单项选择题 所以即证a3+b-2ab√ab>a2b+ab2-2abab, 1~4 ACBA 5~8 ABDB 即证a3+63>a2b+ab2, 提示： 又a3+63-(a2b+ab2）=(a-b)2(a+b)>0, 1.由(x+1)(x-3)<0,可得-1<x<3. 所以a2+b3>a2b+ab2, 2由x≠0，可得>0，则+京≥2√：·正 1. 即1a3+b-2abab1>1a2b+ab2-2ab√ab1, 即a3+b3比a2b+ab2远离2ab√ab. 当且仅当2=，即x=士1时，等号成立， 第4期2版参考答案 放+子的最小值为2 3.因为-1<a<0, 专项小练 所以1+a>0,0<-a<1, 1.A;2.C;3.B;4.C;5.B;6.ABD;7.B: 所以-a-a2=-a(1+a)>0, 8.C;9.b1-6≤b≤6}. a2-(-a3)=a2(1+a)>0, 10.解：(1)由题可知x1=1,2=b是方程ax2-3x+2= 所以-a>a2>-a3. 0的两个解，且a>0, 4.由题意知4={x1-1<x<3},B={x-3<x<2}, 1+6=3 解得0s1, 所以A∩B=xI-1<x<2, 所以 由根与系数的关系可知a=-1,b=-2, 1×b= 2 b=2. a 所以a+b=-3. (2)由(1)知原不等式为x2-(m+2)x+2m<0, 5.因为a+b=c+d,a+d>b+c, 即(x-m)(x-2)<0, 所以2a>2c,即a>c,因此b<d. 当m>2时，不等式的解集为xl2<x<m}; 因为a+c<b,所以a<b. 当m=2时，不等式的解集为☑： 综上可得d>b>a>c. 当m<2时，不等式的解集为{xIm<x<2}. 6.因为不等式(a-2)x2+4(a-2)x+3>0的解集为R, 山解：（①）当a+子>0时a>是 所以当a-2=0,即a=2时，不等式为3>0恒成立，故 a=2符合题意； 不等式fx)>0,即(x-a)(2x+3)>0, 当a-2≠0，即a≠2时，不等式(a-2)x2+4(a-2)x+ 解得x<-名或>@， 3>0的解集为R, 所以不等式人)>0的解集为{：<-子或>…} 则，-2>0， l4=[4(a-2)]2-4(a-2)×3<0, (2)由题知2x2+(3-2a)x-3a+8=0在x<1上有两 解得2<a<出 个不相等实根， 令g(x)=2x2+(3-2a)x-3a+8, 综上，实数a的跟值范图是{2≤a<号} ,4>0, 4=4a2+12a-55>0, 7.由x+2y-3得(x+2)+(2y+1)=6, 则g(1)>0, 即2+(3-2a)-3a+8>0, 又x>0,y>0,所以x+2>2,2y+1>1, 3-2a<1, 3-2a<1, 4 4 所以+3=(+2+2+2)+(2 2或5 解得a<- <a<3 5 +2+号+) 所以实数a的取值范用为{0口<-号或号 <a< 2 2y+1,x+2】 2Wx+22y+1 子（当且仅当x=y=1时取等号）， 8 高一数学人教A(必修第一册)第1~4期 所以由4≤，十2+2十恒成立可得4≤子 即f(2,4)<f4,2),故(A)错误； 8.解不等式x2-2x-8>0,得x>4或x<-2.解方程2x 对于(B)(）=士（1+2)=士+≥2. +(2k+7:+76=0得=-子=-k①当>子，即 当且仅当子=，即x=1时，等号成立，放(B)正确： -k<-子时，不等式2x+(2k+7)x+7k<0的解集为-太 对于(C),f(x-a,2x)=(x-a)(1+2x)=2x2+(1- 2a)x-a≥-a-2恒成立， <x<- 子此时不等式组28>0， 的解集 即2x2+(1-2a)x+2≥0恒成立， 2x2+(2k+7)x+7k<0 则4=(1-2a)2-16≤0， 为{-k<<-子}，依题意-5≤-k<-4,即4<≤ 解得-子≤a≤子放(C错误： 5:②当k<子，即-k>-子时，不等式22+(2k+7)x+7% 对于(D),由题可知存在x≥2，使得2x2+(1-2a)x+2≤ <0的解集为-子<x<-“、要使不等式组 0成立， 设y=2x2+(1-2a)x+2,因为x=0时，y=2>0, 「x2-2x-8>0, 的解集中只有一个整数，则需满足 2a-1<2, L2x2+(2k+7)x+7k<0 则①{4 -3<-k≤5，即-5≤k<3.所以k的取值范围是k1-5≤ 2×22+(1-2a)×2+2≤0， k<3或4<k≤5}. 或② 2a-1≥2， 4 二、多项选择题 4=(1-2a)2-16≥0， 9.AC:10.AC:11.BD 提示： 由①解得3≤a<号，由②解得a≥号， 9.对于(A),2<a<5所以4<a+2站<1，(A)正确： 综上，得a的取值范围是{ala≥3}，故(D)正确. 2<26<6, 故选(B)(D) r2<a<5, 对于(B)-3<-b<-1 所以-1<a-b<4,(B)不 三、填空题 正确； 12.-6; 13.4.{P 2P<-} 对于(C.a5所以2<ab<15,(C正确： 提示： 1<b<3, 12.由不等式x2+mx-3<0的解集为x|-1<x<n}, r2<a<5, 所以 得-1，n是方程x2+mx-3=0的两根， 对于(D),1 。1 3<<1 号<号<5.(D)不正确 则 -1+n=-m,解得m=-2,n=3, -1·n=-3, 故选(A)(C). 所以m·n=-6. 10.因为关于x的一元二次不等式ax2-bx+c<0的解集 13.因为正数x,y满足x+4y-xy=0, 为x1x<-2或x>3}, 所以a<0,且方程ax2-bx+c=0有两个实根-2和3， 所以x+4y=,即+4=1， y 则9=1，÷=-6，即6=a,c-6a, a 期+y=+（+）=5+子+女≥5+ 所以a+5b+c=a+5a-6a=0,故(A)正确； c=-6a>0,故(B)错误； E.4y=5+4=9, 由bx2-ax+c>0得ar2-ax-6a>0,即x2-x-6< 0,解得-2<x<3,即bx2-ax+c>0的解集是{xl-2<x 当且仅当号=女，即=6，y=3时取等号， <3},故(C)正确； 故x+y的最小值为9，则的最大值为兮 'x+y 由cx2+ax-b<0得-6ax2+ax-a<0,即6x2-x+1 <0,不等式无解，故(D)错误. 14.因为T=(1,-1)=-2,T(4,2)=1, 故选(A)(C). 所片-2路=1，部得a16-3, 11.对于(A),f(2,4)=2×(1+4)=10, 所以T(2m,5-4m）=2m+3×54m≤4. f(4,2)=4×(1+2)=12, 4m+5-4m 高一数学人教A(必修第一册)第1~4期 解得m产之 足题意； 所以满足题意的条件为①③. Tm,3-2m)=m33,2m>P,解得m<9-32 因为不等式y<0的解集为x1-1<x<3}, 2m+3-2m 5 所以-1,3是方程ax2+bx+c=0的两根， 因为不等式组恰有3个整数解， 所以2<9,3P≤3，即-2≤P<- 1 所以-1+3=2=合-1×3=台 5 即b=-2a,c=-3a. 则实数P的取值范围是{P -2≤P<-3} 11 所以函数y=a2+b饭+c在=一名=1处取得最小值， 四、解答题 所以a+b+c=-4a=-4,即a=1, 15.证明：(1)由a>b>1,则a-1>0,b-1>0, 故(a-1)(b-1)>0, 所以b=-2,c=-3. 由d<c<-2,则c+2<0,d+2<0, (2)由(1)知y=x2-2x-3, 故(c+2)(d+2)>0, 则y≥(m-2)x+2m2-3即x2-mx-2m2≥0， 即(x+m)(x-2m)≥0. 所以(a-1)(b-1)(c+2)(d+2)>0,得证. (2)由ac+bd-bc-ad=c(a-b)+db-a）=(c-d)(a 所以当m<0时，不等式的解集为{xlx≤2m或x≥-m}; -b), 当m=0时，不等式的解集为R; 而a-b>0,c-d>0, 当m>0时，不等式的解集为{xlx≥2m或x≤-m}. 所以ac+bd-bc-ad=(c-d)(a-b)>0, 综上，当m<0时，不等式的解集为{xlx≤2m或x≥-m; 即ac+bd>bc+ad,得证. 当m=0时，不等式的解集为R; 16.解：(1)由题意，x万元投入A产品， 当m>0时，不等式的解集为{xlx≥2m或x≤-m}. 则100-x万元投入B产品，则 1 1 ab ab y=y+2=18-180+100-x 19.解：(1)1+a+1+5=ab+a+ab+8 x+10+ 5 b a = -x+10-寺，0<x<100 =38-180 =a+6+a+b=1. (2)因为abc=1, (2)由(1)得，y=38-180 t+105=40- /180 Sax 5bx x+10+ 所以原方程可化为ab+a+ac+c+b+1+ x+10) 5bex 5 ≤0-2 5 =28, 6(ca+c+1)=1, 当日仅当，10。=号”，即=20时等号酸立， 5x 5bx 5bcx 即++ic+bc+h++1+60+b=1, 所以当x=20时，公司利润最大 所以5牛十2区=1，即5=1，解得=号 17.解：(1)y≤4-2a,即x2-(a+2)x+2a≤0， 1 +6+bc (3)M=a6 1 b 1262+2b+1 即(x-a)(x-2)≤0， ab+a+1+2b=1+b+1+2b=2B+36+1 因为不等式的解集恰好为{x12≤x≤5}，所以a=5. b (2)由题意得对任意的1≤x≤4，x2-(a+2)x+5+a≥ =12w+36+1=11 0恒成立，即a(x-1)≤x2-2x+5恒成立. 2b++3 当x=1时，0≤4恒成立，此时a∈R; 当1<气4时a≤：25=-1+恒成立， 因为2+≥2√26：=2，当且仅当26=六 1 x-1 即62。 。1 园为0<-1≤3，所以x1+多 a=方=万时，等号成立， 2√-=4，当组仅当-1=即x=3时 4 所以2b+古有最小值2万， 此时一 等号成立，所以a≤4. 1一有最大值3-22， 1 26+6+3 综上，实数a的取值范围为aIa≤4}. 18.解：(1)假设条件①②符合题意. 从而1-1 有最小值22-2， 因为a=-1,二次函数的图象开口向下， 2h+方+3 所以y<0的解集不可能为xl-1<x<3},不满足题意； 1 1 假设条件②③符合题意. 即M=1+。+中2%有最小值22-2 由a=-1知二次函数的图象开口向下，y无最小值，不满 -1017.(15分)已知关于x的函数y=x2-(a+2)x+4(a∈R. 18.(17分)已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c∈R)只能同 19.(17分)《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从 (1)关于x的不等式y≤4-2a的解集恰好为{xI2≤x≤5， 时满足下列三个条件中的两个：①y<0的解集为x1-1<x<3}; 特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与 求实数a的值； ②a=-1;③y的最小值为-4 方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重 (2)若对任意的1≤x≤4，y+a+1≥0恒成立，求实数a的取 (1)请写出满足题意的两个条件的序号，并求a,b,c的值； 要方法。 值范围. (2)求关于x的不等式y≥(m-2)x+2m2-3(meR)的解集 如已知a6=1,证明：十。+十6=1 1 证明：原式= +。。+。l 1 b 波利亚在《怎样解题》中也指出：“当你找到第一个蘑菇或作出 第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长.”类似上述问题，我 们有更多的式子满足以上特征： 请根据上述材料解答下列问题： 1 ()已知6=1，求+a+1+的值： 高中数学 高中数学·必修第一册（人教A版）核心素养综合测评 (2②)若oc=l方混b0+c+a=l: 5bx 5cx (3)若正数a,b满足a6=1,求M=寸。+十26的最小值 必修第一 册（人教A版）核心素养综合测评 参考答案见下期 本版责任编辑：张瑞霞 报纸编辑质量反馈电话： 高中数学 0351-5271268 2025年7月25日·星期五 报纸发行质量反馈电话： 数评橘 4期总第1148期 人教A 0351-5271248 必修（第一册） 狄拉克 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707八F)邮发代号：21-201 狄拉克(1902~1984 ◆专题辅导 =(-a+V-16), 是20世纪卓越的理论物 理学家，一位数学美的 合叁一元二次不等式的 所以原不等式的解集为 积极推崇者和倡导者.他 求解策胳 {xx<(-a- /a2-16)或x> ©湖南曾玉明 生追求数学美，也提 (-a+-16} 含有参数的一元二次不等式，在求解时相 所以原不等式的解集为{xx>1或x< 倡数学美他曾声称：“我 对增加了难度，本文对含参数的一元二次不等 ②当a=±4时，△=0 想我正是和这一概念 式解法中常见的“三类型”进行解析 a fi 所以原不等式的解集为{xx≠-导} 一、二次项系数含参数 (优美的数学)一起来至 ③当-1<a<0时， >1, ③当-4<a<4时，△<0， 若二次项的系数含有参数a,则须对a的符 所以原不等式的解集为R 这个世界上的” 号分类，即分a>0,a=0,a<0. 所以原不等式的解集为{x1<x< 三、根含参数 狄拉克认为，“如果 例1解关于x的不等式ax2+(1-a)x-1 1 若不等式对应的方程的根x1,x2中含有参 物理定律在数学形式日 >0(其中a>-1). 数，则须对x1,x2的大小来分类，即分x1<x2,x1= 解：二次项系数含有参数，因此需对a进行 不美，那就是一种理论 二、判别式A含参数 x2,x1>x2 讨论 若判别式A=b2-4c中含有参数，则须对 例3解关于x的不等式：x2-(a+a2)x+a 还不够成熟的标志，说 若a≠0，则原不等式ax2+(1-a)x-1>判别式△的符号分类，即分4>0,4=0,4<0. >0(aeR). 明理论有缺陷，需要改 0等价于(x-1)(ax+1)>0.其对应方程的根 例2解关于x的不等式2x2+ax+2>0. 解：将不等式x2-(a+a2)x+a3>0变形 进” 为-1与1 解：由于判别式4=2-16=(a-4)(a+为(x-a)(x-a2)>0. a 4)中含有参数，因此须对△的符号进行讨论，即 当a<a2,即a>1或a<0时，不等式的解 狄拉克心目中的数 又因为a>-1,于是我们有： 对a在-4与4处分开讨论，则： 集为{xIx<a或x>a2{; 学美，除了传统意义上 ①当a=0时，原不等式为x-1>0, ①当a>4或a<-4时，△>0，方程2x2+ 当a=a2,即a=0或a=1时，不等式的解 数学的精确性、严密性 所以原不等式的解集为{x1x>1}; ax+2=0的两根为： 集为xlx≠a; 和简洁性以外，还包括 ②当a>0时，-1 < x1= 4(-a-a-16) 当a>a2,即0<a<1时，不等式的解集为 {x1x<a2或x>a}. 对称性、统一性和在尽 思维拓展■ 由上面的分析可得到如下结论：当a≠0 2.利用一元二次不等式研究二次函数 可能广泛的变换作用下 时，二次函数y=ax2+br+c的两个零点值， 例2不等式ax2-bx+c>0的解集为x 的不变性」 廨， 元二次方程ax2+bx+c=0的两个不相等的根 -2<x<1{,则函数y=ax2-bx+c的图象大 狄拉克坚信美和真 是统一的，美的理论必 三个二次的关系 值，一元二次不等式ax2+bx+c<0(或>0)的 致为 解集的两个不同端点值三者相同.应用此结果 然是正确的，他认为数 可以快速解答与这三个方面相关的问题 :品合 学美的获得，主要靠逻 ©山西孙丽琴 三、结论的应用 一、问题的提出 A (B) (C) 辑思维的作用，而物理 1.利用一元二次方程研究一元二次不等式 在教材中反复提到：“二次函数的零点与相 解：因为ax2-bx+c>0的解集为{x|-2 图象的清晰性，又要依 例1一元二次不等式ax2+bx+c>0的解 应的一元二次方程根的关系”对于这一点我们 <x<1}, 靠形象思维的作用 可以作进一步的探讨：(1)二次函数的零点与一 为{x1-2<x<3{,那么ax2-bx+c>0的解 故函数y=ax2-bx+c的图象开口向下， 狄拉克60多年的科 元二次方程根之间具体的关系；(2)二次函数的 集为 ) 且与x轴的交点坐标为(1,0)和(-2,0)， 零点、一元二次方程的根与一元二次不等式的 (A){x1x>3或x<-2} 故选(A) 研工作，解决了许多理 解集之间是不是也有密切的关系？ (B){x1x>2或x<-3} 3.利用二次函数研究一元二次不等式 论物理的问题.然而他却 二、问题的探讨 (C){xI-2<x<3} 例3二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的 认为：“我没有试图直接 由于篇幅所限，以及在解题中的实用性，我 (D){xI-3<x<2 部分对应值如下表： 解决某一物理问题，而 们可以对于上面提出的问题缩小范围进行探 解：一元二次不等式ax2+bx+c>0的解为 讨：对于二次三项式ax2+bx+c(a≠0)，我们仅 -3-2-101234 只是试图寻求某种优美 作判别式4=b2-4ac>0时的探讨. x1-2<x<3}, 60 40-6 的数学”狄拉克的数学 当a>0时，二次函数y= 所以ax2+bx+c=0的解为x1=-2,x2 则不等式ax2+bx+c<0的解集是 美学思想是科学美学宝 ax2+bx+c有两个零点x1, 3,且a<0, 库中不可多得的奇珍异 x,(x1<x2),如右图所示.由 由根与系数的关系得 图易知此时一元二次方程ax 解：由表格数据的变化易知二次函数的图 宝，值得我们学习和发 +=b =1 +bx+c=0的两个根为x1, 解得b-a, 象开口向下，则a<0, x2,一元二次不等式ax2+bx+ 又由y值为0对应的点知二次函数与x轴的 C Lc =-6a x1·X2= =-6, c>0的解集为x|x<x1或x>x;ax a 交点为(-2,0)，(3,0)， +c<0的解集为x1x1<x<x2 代入得ax2+ax-6a>0,即x2+x-6 所以不等式ax2+bx+c<0的解集为 当a<0时，也有类似结论 0,解得-3<x<2,故选(D) {x1x<-2或x>3}. 2 素养专练 数理极 9.若关于x的一元二次不等式(1-a)x2-4x 专项小练、二次函数与一元二次方程、不等式 (){mm≥2} (B){mm≤4} +6>0的解集是x1-3<x<1},那么若a2+ 1.不等式x2-4x≤0的解集为 (c){mm≤} (D){mm≤3} bx+3≥0的解集为R,则实数b的取值范围是 (A)x10≤x≤4 (B){xI1<x<4 6.(多选)已知关于x的不等式ax2+bx+c> 10.已知不等式ax2-3x+2>0的解集为x 0的解集是{x11<x<3},则 ( (C){x1-4≤x<0或0<x≤4 x<1或x>b. (A)a<0 (D){xIx≤0或x≥4} (1)求a,b的值； (B)a+b+c=0 2.如右图是函数y=ax2+ (2)解不等式ax2-(am+b)x+bm<0. (C)4a+2b+c<0 bx+c的图象，则不等式ax2+bm +c>0的解集为 (D)不等式c2-bx+a<0的解集是{xx (A){x1x>2} (B){x1x>-2 <-1或x>行} (C){xIx<-2或x>2 7.若两个正实数x,y满足4x+y=xy,若不等 (D)xI-2<x<2} 式x+子>m2+3m恒成立，则实数m的取值范围 3.若不等式x2+x+m<0的解集为☑，则实 :0<(+p)(+)(I-q)(I-)(I) 是 ( 11.已知函数f(x)=(x-a)(2x+3) d<(w7-E'w)I t-7271(至ti)s t- 数m的取值范围是 ( ) po+59<pq+D:( (A){m1-1<m<4} (I)当a+子>0时，解关于x的不等式) (a{mm>4} (®){m≥4} (B){ml-4<m<1 >0: (C){m1m<-4或m>1} (c){mm<4} (D){mm≤4} (2)若关于x的方程f(x)+8=0在x<1上 (D){m1m<-3或m>0 8.某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁，若 有两个不相等实根，求实数a的取值范围. 4.已知一元二次方程x2+(a2+1)x+a-2= 每套礼服每天的租价为200元，则所有礼服均被租 0的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范 出；若将每套礼服每天的租价在200元的基础上提 围是 高10x元(1≤x≤20，x∈Z),则被租出的礼服会 (A){aI-3<a<1(B){al-2<a<0 减少10x套.若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服 (C){al-1<a<0(D){al0<a<2 的收入超过6.24万元，则该礼服租赁公司每套礼 5任意-1≤x≤1，使得不等式父-x+分 服每天的租价应定为 ( ) (A)220元 (B)240元 数理报社试题研究中心 m恒成立，则实数m的取值范围是 (C)250元 (D)280元 参考答案见下期 十WV 第3期2版参考答案 所以(x+9y)2-(px2+g2)=-p9(x2+y2-2xy) =-p9(x-y)2 因为m(6+720≥m×2√+72m=140, 专项小练一 因为p,9都为正数，所以-P9(x-y)2≤0， 1.D;2.A;3.ACD;4.>; 因此(px+gy)2≤px2+g2,当且仅当x=y时等号成立 当且仅当=，即：=4时等号成立， 5.80+20(n-1)≥300 16.证明：因为a>0,b>0,所以ab=a+b≥2ad,当且仅 所以当左右两墙的长度为4米时，甲工得队报价最低，为14400元 6.证明：(a+D)2=a+b+2而， 当a=b=2时取等号，即有ab≥4， (2)根据题意可知900(5+：）+72m>0a1+过对年 (6+a)2=c+d+2ca 由ab=cd,a+b>c+d, 于是得(+日)(1+公)=1+女+片+品=1+陆 意的2≤x≤6恒成立， 得(a+B)2>(E+a)2, +=2+≤2+= 即任+42>1+对任意的2≤≤6恒成立， II q7+D>t(V) qo> 所以a+D>E+a. 专项小练二 所拟(1+日)(1+古)≤号成立 所以a<(x+4)2 1+对任意的2≤*≤6恒成立， 1.A;2.D;3.BD;4.3;5.16. 因为a>0,x+4)2-+1)2+6(x+)+9-（x+1)+ 17.解：(1)由a+b=2可得a+(b+1)=3 1+x 1+x 6.解：由x>0, 则+s()-()广： +6≥206=2， 9 当且仅当a=6+1,即a=子6=分时等号成立， 当且仅当+1=子即x=2时等号成立， 9 ≤ 3 指 2√x3-3 26-32+月 所以a(6+)的最大值是？ 所以0<a<12 故当0<a<12时，无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程 (2)因为a>0,b>0,所以a+1>0,b+1>0. 当且仅当x=尽时，等号成立 队都能竞标成功. 又a+6=2,所以a+1+6+1=4,所以十。+46 19.(1)解：由x2-1比1远离0，则1x2-1-01>11-01, 所以=(=2+6 解得x<-2或x>√2 故a的取值范围为a|a≥2+√5 (a+)[a+)+6+11-[5+ 所以x的取值范围是{x|x<-√E或x>√2。 出]≥5+2√]=当且仅当 (2)证明：若证a3+b比a2b+ab2远离2abad (名88期) 第3期3,4版参考答案 即i证1a3+b3-2ab√ab1>1a2b+ab2-2ab√a1, 、单项选择题 计=出即a=分6=子时，等号成立 因为a≠b,a>0,b>0, 1~4 BCAD 5~8 CDAD 则+b>2aB=2abab 二、多项选择题 所以十。+4的最小值为号 4 且a2b+ab2>2√a=2abab 9.ABC;10.AC;11.AC 18.解：(1)因为屋子的左右两侧墙的长度均为x米(2≤x≤ 所以即i证a3+3-2abab>a2b+ab2-2abab, 三、填空题 6),底面积为12平方米， 即证a3+)3>a2b+a2, 2:1B{号2≤号<2n}:41+号 所以屋子前面的墙的长度为是米， 又a3+b3-(a2b+ab2)=(a-b)2(a 四、解答题 b)>0,所以a3+b3>a2b+ab2, 设甲工程队报价为y元， 15.解：(px+9y)2-(px2+gy2) Ia+b-2ab ab I>l a2b+ab2- R =p(p-1)x2+qg(q-1)y2+2p9y, 则y=3x是x40+2x3x×150+720=00(6+2ab瓜1， 因为p+9=1,所以P-1=-4,9-1=-P, +7200,2≤x≤6， 即3+b3比a2b+ab2远离2abad. (A){x1-1<x<3} (B){xI-3<x<1} 10.已知关于x的一元二次不等式ax2-bx+c<0的解集为x (C){x1x<-1或x>3} (D){x|x<-3或x>1} <-2或x>3},下列说法正确的是 2.当x≠0时，x2+ +」，的最小值为 (A)a+5b+c=0 2 数学 (B)e<0 、1 (A)2 (B)1 (C)2 (D)22 (C)bx2-ax+c>0的解集是{x1-2<x<3} 修第一 3.已知-1<a<0,则-a,-a,a2的大小关系是 (D)对于任意的x∈R,cx2+ax-b<0恒成立 高中数学·必修第 (A)a2>-a3>-a (B)-a>a2>-a2 11.我们把有两个自变量的函数称为“二元函数”，已知关于实数 册 16.(15分)某公司计划投资A,B两种金融产品，根据市场调查与 (C)-a3>-a>a2 (D)a2>-a>-a x,y的二元函数(x,y)=x(1+y),则以下说法正确的是() 册 (人教 4.已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,x2+x-6<0的解集 (A)f2,4)=f4,2) 预测d产品的种润，与投资金条：的故关系为，=18一0 教 A 版 为B,若不等式x2+ax+b<0的解集为A∩B,则a+b=( (B)对任意的x>0,(2)≥2 B产品的利润%与投资金额x的函数关系为为=专（注：利润与授资 A 版 核 (A)-3 (B)1 (C)-1 (D)3 (C)若对任意实数x,f(x-a,2x)≥-a-2,则实数a的取值范围 核 心 金额单位：万元).现在该公司有100万元资金，并全部投入A,B两种 5.有外表一样，质量不同的四个小球，它们的质量分别是a,b,c, 心 是{al-3<a<5} 产品中且均有投，其中x万元资金投入A产品. 素养综合测 d.已知a+b=c+d,a+d>b+c,a+c<b,则这四个小球的质量 (D)若存在x≥2，使不等式f(x-a,2x)≤-a-2成立，则实数 (1)请把A,B两种产品利润总和y表示为x的函数，并直接写出x的 由大到小的排列顺序是 a的取值范围是{ala≥3 素养综合测 范围； 评 (A)d>b>axc (B)b >c>d>a (2)在(1)的条件下，当x取何值时才能使公司获得最大利润？ (C)dzb>c>a (D)c>a >d>b 第Ⅱ卷非选择题（共92分） 6.若不等式(a-2)x2+4(a-2)x+3>0的解集为R,则实数a 的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (){a2<a<4} (){a2≤a<} 12.不等式x2+mx-3<0的解集为{xl-1<x<n,则m·n (c){aa<2或a> (D){aa≤2或a>} 13.若正数，时清足x+4y-y=0,则，的最大值为 7.已知对任意x>0,>0,且x+2y=3,1≤+2+2y+1 成立，则t的取值范围是 14对，y定义一种新运算7，规定：）=士（共中a,小 (A){t1t≤4 (B){≤2} 均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例如：T(0,1)= (c{d≤3} (D){+≤子} 0×0+b×1=6,已知7(1，-1)=-2,7(4,2)=1，若关于m的不 2×0+1